中考数学与中点有关的问题试题(24题)

（二讲）与中点有关的几何题

（2014

年昌平二模）24．【探究】如图1，在△ABC 中， D 是AB 边的中点，AE ⊥BC 于点E ，BF ⊥AC 于点F ，AE ，BF

相交于点M ，连接DE ，DF . 则DE ，DF 的数量关系为 .

【拓展】如图2，在△ A B C 中 ，C B = C A ，点 D 是AB 边的 中点 ，点M 在 △ A B C 的部 ，且 ∠MBC =∠MAC . 过点M 作ME ⊥

BC 于点E ，MF ⊥AC 于点F ，连接DE ，DF . 求证：DE =DF ；

【推广】如图3，若将上面【拓展】中的条件“CB =CA ”变为“CB ≠CA ”，其他条件不变，试探究DE 与DF 之间的

数量关系，并证明你的结论.

A

D

B

E C

M F A D B

E

C

M

F M

A

B

C

D

F

E

图3

图2

图1

海淀2-海淀25. 在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中 点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.

（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系

及

BM

CE

的值, 并证明你的结论; （2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否

成立, 若成立,加以证明; 若不成立, 请说明理由;

（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请

直接写出你的结论.

丰台1-24．已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取

EC 的中点M ，联结BM 和DM ．

（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系

是 ；

（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

海淀1-24． 在□ABCD 中，∠A =∠DBC , 过点D 作DE =DF , 且∠EDF=∠ABD , 连接EF 、 EC ,

N 、P 分别为EC 、BC 的中点，连接NP ．

（1）如图1，若点E 在DP 上, EF 与DC 交于点M , 试探究线段NP 与线段NM 的数量

关系及∠ABD 与∠MNP 满足的等量关系，请直接写出你的结论；

（2）如图2，若点M 在线段EF 上, 当点M 在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然

成立，写出你确定的点M 的位置，并证明（1）中的结论.

图1 图2 D C B A E

M

M

E

A B C M

B

D

C

F

E A

N

P

P

N

A

E

F

C

D

B

E

D

B

C

E

D

B

C

M

B

C

13、（2014燕山一模）24.如图1，已知ABC ?是等腰直角三角形，?=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接 AE ，BG ．

（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是 ； （2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(?≤

1、（2014年门头沟二模）24. 在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC 边中点中点，连接MD 和ME

（1）如图24-1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是

（2）如图24-2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； （3） 在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的侧．作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．

（2014年昌平二模）

24．【探究】DE =DF . …………………………………………………………………………………1分

【拓展】如图2，连接CD . ∵在△ A B C 中 ，C B = C A ， ∴∠CAB =∠CBA . ∵∠MBC =∠MAC ,

∴∠MAB =∠MBA . …………………………… 2分

∴AM =BM .

∵点 D 是 边 AB 的 中点 ，

∴点M 在CD 上. ……………………………………… 3分 ∴CM 平分∠FCE . ∴∠FCD =∠ECD .

∵ME ⊥BC 于E ，MF ⊥AC 于F ， ∴MF =ME . 又∵CM =CM , ∴△CMF ≌△CME . ∴CF =CE . ∵CD =CD ，

∴△CFD ≌△CED .

∴DE =DF . ……………………………………… 4分 【推广】 DE =DF .

如图3，作AM 的中点G ,BM 的中点H .

∵点 D 是 边 AB 的 中点 ， ∴1//,.2

DG BM DG BM =

同理可得：1//,.2

DH AM DH AM = ∵ME ⊥BC 于E ，H 是BM 的中点， ∴在Rt △BEM 中， 1.2

HE BM BH ==

∴DG =HE . …………………………………………………… 5分 同理可得：.DH FG = ∵DG //BM ,DH //GM ,

图2

F M

C

E

B

D A

图3

H G

F M C

E B

D A

∴四边形DHMG 是平行四边形. ∴∠DGM =∠DHM .

∵∠MGF =2∠MAC , ∠MHE =2∠MBC , 又∵∠MBC =∠MAC , ∴∠MGF =∠MHE .

∴∠DGM +∠MGF =∠DHM +∠MHE .

∴∠DGF =∠DHE . …………………………………… 6分 ∴△DHE ≌△FGD .

∴DE =DF . …………………………………………………… 7分

（海淀二模）25. 解：（1）BN 与NE 的位置关系是BN ⊥NE ；CE BM

.

证明：如图，过点E 作EG ⊥AF 于G , 则∠EGN =90°．

∵ 矩形ABCD 中, AB =BC ， ∴ 矩形ABCD 为正方形.

∴ AB =AD =CD , ∠A =∠ADC =∠DCB =90°．

∴ EG//CD , ∠EGN =∠A , ∠CDF =90°． ………………………………1分 ∵ E 为CF 的中点，EG//CD ,

∴ GF =DG =11

.22

DF CD =

∴ 1.2

GE CD =

∵ N 为MD (AD )的中点， ∴ AN =ND =11.22

AD CD =

∴ GE =AN , NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB . ……………………………2分

∴ △NGE ≌△BAN ． ∴ ∠1=∠2.

∵ ∠2+∠3=90°， ∴ ∠1+∠3=90°． ∴ ∠BNE =90°.

∴ BN ⊥NE ． ……………………………………………………………3分 ∵ ∠CDF =90°, CD =DF , 可得 ∠F =∠FCD =45°，

2.CF CD

.

于是

12

2.CF CE CE CE BM

BA

CD

CD

……………………………………4分 （2）在（1）中得到的两个结论均成立. 证明：如图，延长BN 交CD 的延长线于点

G ，连结BE 、GE ，过E 作

EH ⊥CE ，

交CD 于点H ．

H

B

C

E

M

32

1

G

F

E

A (M )

C

D

N

B

∴AB∥CG．

∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN.

∵N为MD的中点，

∴MN=DN．

∴△BMN≌△GDN．

∴MB=DG，BN=GN.

∵BN=NE，

∴BN=NE=GN.

∴∠BEG=90°．……………………………………………5分∵EH⊥CE，

∴∠CEH =90°．

∴∠BEG=∠CEH．

∴∠BEC=∠GEH．

由（1）得∠DCF =45°．

∴∠CHE=∠HCE =45°．

∴EC=EH, ∠EHG =135°．

∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°，

∴∠ECB =∠EHG．

∴△ECB≌△EHG．

∴EB=EG，CB=HG．

∵BN=NG，

∴BN⊥NE. ……………………………………………6分

∵BM =DG= HG-HD= BC-HD =CD-

CE，

∴CE

BM

. ……………………………………………7分

（3）BN⊥NE；CE

BM

. …………………………………………8分

（2012丰台一模）

24.解：（1）BM=DM且BM⊥DM．………2分

（2）成立．……………3分

理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、BF、BD．

易证△EMD≌△CMF．………4分

∴ED=CF，∠DEM=∠1．

∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，

∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°．

∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．

∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，

∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9）

=360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9=90°+∠6 ．∴∠8=∠BAD．………5分

又AD=CF．∴△ABD≌△CBF．

∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．………6分

∴∠DBF=∠ABC=90°．

9

∴BM =DM 且BM ⊥DM ．

（海淀一模）

解:（1） NP =MN , ∠ABD +∠MNP =180 (或其它变式及文字叙述,各1分). ………2分 （2）点M 是线段EF 的中点(或其它等价写法). 证明：如图, 分别连接BE 、CF .

∵ 四边形ABCD 是平行四边形，

∴ AD ∥BC ，AB ∥DC ，∠A =∠DCB ， ∴∠ABD =∠BDC . ∵ ∠A =∠DBC ， ∴ ∠DBC =∠DCB . ∴ DB =DC . ① ………………………3分 ∵∠EDF =∠ABD ,

∴∠EDF =∠BDC .

∴∠BDC-∠EDC =∠EDF-∠EDC .

即∠BDE =∠CDF . ②

又 DE =DF ， ③

由①②③得△BDE ≌△CDF . …………………………………………4分 ∴ EB =FC , ∠1=∠2.

∵ N 、P 分别为EC 、BC 的中点， ∴NP ∥EB , NP =EB 2

1. 同理可得 MN ∥FC ，MN =FC 2

1.

∴ NP = NM . …………………………………………………5分

∵ NP ∥EB , ∴∠NPC =∠4.

∴∠ENP =∠NCP +∠NPC =∠NCP +∠4. ∵MN ∥FC ，

∴∠MNE =∠FCE =∠3+∠2=∠3+∠1.

∴ ∠MNP =∠MNE +∠ENP =∠3+∠1+∠NCP +∠4

=∠DBC +∠DCB =180-∠BDC =180-∠ABD .

∴ ∠ABD +∠MNP =180. ……………………………………7分 （2014燕山一模）解析：

24. 解：（1）AE BG =； …………………2分 （2）①成立．以下给出证明： 如图，连接AD ，

∵在 Rt BAC ?中，D 为斜边BC 中点，

∴ BD AD =，BC AD ⊥，

∴?=∠+∠90GDB ADG ． …………………3分 ∵四边形EFGD 为正方形， ∴DG DE =，且?=∠90GDE ， ∴?=∠+∠90ADE ADG ， ∴ADE BGD ∠=∠． ……4分 在BDG ?和ADE ?中，

M 1

3

2 4

P N A E

F C D

B G F

B

C

??

?

??=∠=∠=,,,ED GD ADE BDG AD BD

∴BDG ?≌ADE ?，

∴AE BG =． ……………………5分 ②由①可得AE BG =，当BG 取得最大值时，AE 取得最大值． 当旋转角为?270时，AE BG =，最大值为642=+. ………6分 如图,此时13222=+=EF AE AF ． ……………………7分

（2014年门头沟二模）24. （1）MD =ME ……………1分

（2）如图，作DF ⊥AB ，EG ⊥AC ，垂足分别为F 、G ．

因为DF 、EG 分别是等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形 ACE 斜边上的高，

所以F 、G 分别是AB 、AC 的中点．

又∵M 是BC 的中点，所以MF 、MG 是△ABC 的中位线． ∴12

MF AC =

，1

2MG AB =，MF //AC ，MG //AB ．

∴∠BFM ＝∠BAC ，∠MGC ＝∠BAC ．

∴∠BFM ＝∠MGC ．所以∠DFM ＝∠MGE ．……………2分

∵DF 、EG 分别是直角三角形ABD 和直角三角形ACE 斜边上的中线， ∴12EG AC =

，1

2

DF AB =． ∴MF ＝EG ，DF ＝NG ． ……………3分

∴△DFM ≌△MGE ．

∴DM ＝ME ． ……………4分 ∠FMD=∠GEM

∴∠DME =∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC +∠GME ∵EG ⊥AC ∴∠EGC=900

∵∠GEM+∠MGC +∠GME+∠EGC=1800 ∴∠DME=900

……………5分 （3）作图正确得一分 ……………6分

△MDE 是等腰直角三角形． ……………7分

B

A C

D

E G

F