最新高中数学复合函数练习题
人教高中数学必修一复合函数问题练习(含答案)
2[()]()()f f x af x ba axb ba xab b复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若AB ，则y 关于x函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二复合函数解析式1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．例1设)(x f 是一次函数，且34)]([x x f f ，求)(x f ．解：设b axx f )()0(a，则342b aba ，3212ba ba 或 ．32)(12)(x x f x x f 或 ．2、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．例2已知221)1(xxx x f )0(x ，求()f x 的解析式．解：2)1()1(2xxxxf ，21xx，2)(2xx f )2(x ．3、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化．例3已知x x xf 2)1(，求)1(x f ．解：令1x t ，则1t ，2)1(t x．x x x f 2)1(，,1)1(2)1()(22tt t t f 1)(2xx f )1(x，x xx xf 21)1()1(22)0(x ．4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．例4已知：函数)(2x g yx xy 与的图象关于点)3,2(对称，求)(x g 的解析式．解：设),(y x M 为)(x g y 上任一点，且),(y x M 为),(y x M 关于点)3,2(的对称点．则3222y yx x，解得：yyx x 64，点),(y x M 在)(x g y 上，x xy 2．把yyx x 64代入得：)4()4(62xx y．整理得672x xy，67)(2x x x g ．5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．例5设,)1(2)()(x xf x f x f 满足求)(x f ．解xxf x f )1(2)(①显然,0x将x 换成x1，得：xx f x f 1)(2)1(②解①②联立的方程组，得：xx x f 323)(．6、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式．例7已知：1)0(f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ．解对于任意实数x 、y ，等式)12()()(y x y x f y xf 恒成立，不妨令0x ，则有1)1(1)1()0()(2y yy y y y f y f ．再令x y得函数解析式为：1)(2xxx f ．7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式．例8设)(x f 是定义在N 上的函数，满足1)1(f ，对任意的自然数b a,都有ab b af b f a f )()()(，求)(x f ．解N ba ab b a f b f a f ,)()()(，，不妨令1,bx a，得：x x f f x f )1()1()(，又1)()1(,1)1(xx f xf f 故①令①式中的x ＝1，2，…，n －1得：(2)(1)2(3)(2)3()(1)f f f f f n f n n，，，将上述各式相加得：n f n f 32)1()(，2)1(321)(n n nn f ，N x x xx f ,2121)(2．三复合函数定义域问题(1)、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D ，即，所以的作用范围为D ，又f 对作用，作用范围不变，所以D x g )(，解得，E 为的定义域。
复合函数练习题附答案
复合函数练习题附答案21、已知函数f的定义域为[0,1]，求函数f的定义域。
析：由已知，x?[0,1],故x?[?1,1]。
所以所求定义域为[?1,1]2、已知函数f的定义域为[?3,3]，求f的定义域析：由已知x的范围为[?1,1],那么3?2x的范围为[1,5],从而f 的定义域为[1,5]3、已知函数y?f的定义域为，求f的定义域。
由f 的定义域可知f的定义域为,则求f的定义域应满足析：132x?1?,解得x??224、设f?x??lg2?x?x??2?，则ff??的定义域为?x?2??x?A. ??4,00,4?B. ??4,?11,4?C. ??2,?11,2?D. ??4,?22,4??x?0，即?0,得?2?x?2.那么由题意应有2?x析：?-2?x??4?x?4??2,解得?,综上x??,选B?2x??1或x?12??2x?5．函数y＝log1的单调递减区间是2A． B．C． D．析：本题考查复合函数的单调性，根据同增异减。
对于对数型复合函数，应先求定义域，即x2?3x?2?0,得定义域为?.由于外函数是以0?1?1为底，故为减函数。
则求y的减区间，只需要求内函数的增23区间。
内函数为t?x2?3x?2，其对称轴为x?,在函数y的定义域内，t在上2为增函数，所以选择B6．找出下列函数的单调区间.y?a?x2?3x?2；解析：此题为指数型复合函数，考查同增异减。
令t??x2?3x?2,则y?at,t??x2?3x?2。
由于a?1,则外函数为增函数，由同增异减可知，t的增区间即为y的增区间。
而内函数t的333,即t在上位增函数，在上位减函数，从而函22233数y的增区间为，减区间为22对称轴为x?y?2x2?2x?3.解：设t??x2?2x?3，则y?2t.因?x2?2x?3?0,得?1?x?3.由?x2?2x?3对称轴为x?1.即内函数t的增区间为[?1,1],减区间为[1,3]。
高中数学指数型复合函数的性质及其应用专题含答案
高中数学指数型复合函数的性质及其应用专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 若函数y ＝(2a −1)x 在R 上为单调减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A.a >1B.12<a <1C.a ≤1D.a >122. 函数f(x)=(14)x +(12)x −1，x ∈[0, +∞)的值域为( )A.(−54, 1]B.[−54, 1]C.(−1, 1]D.[−1, 1]3. 函数f(x)=a x−3+1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则定点P 的坐标为（ ）A.(3, 3)B.(3, 2)C.(3, 6)D.(3, 7)4. 函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间为（ ）A.(−∞, −1)B.(−∞, 0)C.(0, +∞)D.(−1, +∞)5. 函数f(x)=(a 2−4a +4)a x 是指数函数，则a 等于（ ）A.a >0，且a ≠1B.1或3C.3D.16.设α∈R ，函数f(x)=(13)x−1−a 的图象一定经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7. 函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)的图象过定点（ ）A.(0, 23)B.(0, 1)C.(23, 1)D.(1, 0)8. 已知函数f(x)=13x +2，则函数在(0, +∞)上（ ）A.单调递减且无最小值B.单调递减且有最小值C.单调递增且无最大值D.单调递增且有最大值9. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=3x−2，则不等式f(2−x)>1的解集为( )A.{x|x<1或x>3}B.{x|1<x<3}C.{x|1<x<2}D.{x|0<x<2}10. 函数y=21x2+1的值域为()A.(1,2]B.(0,2]C.(−∞,2]D.[1,2]11. 函数f(x)=(15)x2+ax在区间[1, 2]上是单调减函数，则实数a的取值范围是( )A.a≤−4B.a≤−2C.a≥−2D.a>−412. 关于x的方程9x+(a+4)⋅3x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是（）A.[0, +∞)B.(−∞, −8]C.(−∞, −8]∪[0, +∞)D.以上都不对13. 已知函数y=a x+b(a>1,b>0)的图象经过点P(1, 3)，则4a−1+1b的最小值为________．14. 函数f(x)=a x−3+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点，则定点P的坐标是________．15. 函数y=(13)x2−3x+2的单调递增区间为________．16. 函数y=(13)|2−x|−m的图象与x轴有交点，则m的取值范围为________．17. 函数y=2x−1在[0, 4)上的值域为________．18. 函数y=32−3x2的单调递减区间是________．19. 已知函数f(x)=a x+b(a>0且, a≠1)的定义域和值域都是[−1, 0]，则a−b=________．20. 若方程4x +(m −3)⋅2x +m =0有两个不相同的实根，则m 的取值范围是________．21. 已知函数y =(14)x −(12)x +1的定义域为[−3, 2]，则该函数的值域为________．22. 函数y =1+2x +4x a 在x ∈(−∞, 1]上y >0恒成立，则a 的取值范围是________．23. 方程4x −3⋅2x+1+8=0的解集为________．24. 函数y =(12)x2−2x+2的值域为________．25. 已知关于x 的方程9x −(4+a)⋅3x +4=0有两个实数解x 1，x 2，则x 12+x 22x 1x 2的最小值是________．26. 求函数y =2x+2−3⋅4x ，x ∈[−1, 0]的值域．27. 已知函数， （1）判断函数的奇偶性；（2）求该函数的值域；（3）证明是 上的增函数.28. 已知函数y =4x −2x+1+2，x ∈[−1, 2]．（1）设t =2x ，求t 的取值范围；（2）求函数的最值，并求出取得最值时对应的x 的值．29. 设函数f(x)=2（n−1）x 在全体实数范围内为减函数，求n 的取值范围．30. 若函数y=a2x+2a x，(a>0且a≠1)在区间[−1, 1]上的最大值为35，求a的值．31. 已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的图象过点(0,−2)，(2,0).(1)求a与b的值；(2)当x∈[−2,2]时，求f(x)的值域．32. 已知：函数g(x)＝ax2−2ax+1+b(a≠0, b<1)，在区间[2, 3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)．x（1）求a、b的值及函数f(x)的解析式；（2）若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在x∈[−1, 1]时恒成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析高中数学指数型复合函数的性质及其应用专题含答案一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】指数函数y ＝a x ，当0<a <1时为定义域上的减函数，故依题意只需0<2a −1<1，即可解得a 的范围【解答】函数y ＝(2a −1)x 在R 上为单调减函数，∴ 0<2a −1<1解得12<a <1 2.【答案】C【考点】二次函数在闭区间上的最值指数型复合函数的性质及应用【解析】令t =(12)x (0<t ≤1)，则y =t 2+t −1=(t +12)2−54，由y 在(0, 1]递增，计算即可得到值域．【解答】解：令t =(12)x (0<t ≤1)，则y =t 2+t −1=(t +12)2−54，且在(0, 1]上单调递增，则有−1<y ≤1，则值域为(−1, 1]．故选C ．3.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】解析式中的指数x −3=0求出x 的值，再代入解析式求出y 的值，即得到定点的坐标．【解答】解：由于指数函数y =a x (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(0, 1)，故令x −3=0，解得x =3，当x =3时，f(3)=2，即无论a 为何值时，x =3，y =2都成立，因此，函数f(x)=a x−3+1的图象恒过定点的(3, 2)，故选B ．4.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：f(x)=2−|x+1|=(12)|x+1|， 设t =|x +1|，则y =(12)t ，为减函数，∴ 要求函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间，即求函数t =|x +1|的单调递减区间，∵ 函数t =|x +1|的单调递减区间是(−∞, −1)，∴ 函数f(x)=2−|x+1|的单调递增区间为(−∞, −1)，故选：A5.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的定义可得{a 2−4a +4=1a >0且a ≠1求解即可． 【解答】解：根据指数函数的定义可得{a 2−4a +4=1a >0且a ≠1∴ {a 2−4a +3=0a >0,a ≠1解得a =3故选C6.【答案】B【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据指数函数的性质求出函数的取值范围即可．【解答】解：∵ f(x)=(13)x−1−a 为减函数，∴ 当a =0时，函数f(x)>0，则函数不经过第四象限，若a =3，则f(0)=1−1=0，此时函数不经过第三象限，若a <3，则f(0)=1−a <0，则函数不经过第一象限，故函数f(x)的图象一定经过第二象限.故选B .7.【答案】C【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据函数的解析式和a 0=1令3x −2=0，即可函数图象过的定点坐标．【解答】解：由题意得，函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)，令3x −2=0得，x =23， ∴ 函数y =a 3x−2(a >0, a ≠1)的图象过定点是(23, 1)，故选：C ．8.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】根据复合函数单调性之间的关系进行判断即可．【解答】解：∵ y =3x +2在(0, +∞)是为增函数，且y >2，∴ f(x)=13x +2在(0, +∞)上为减函数，则0<y <12，则函数在(0, +∞)上为减函数，无最大值和无最小值，故选：A9.【答案】A【考点】绝对值不等式指数型复合函数的性质及应用奇偶性与单调性的综合【解析】此题暂无解析【解答】解：当x ≥0时， f (x )=3x −2，此时函数y =f (x )单调递增.因为函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数，且f(1)=31−2=1，由f(2−x)>1，得f(|x−2|)>f(1)，所以|x−2|>1，解得x<1或x>3，因此，不等式f(2−x)>1的解集为{x|x<1或x>3}. 故选A.10.【答案】A【考点】指数型复合函数的性质及应用函数的值域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】解：由二次函数的性质可得，x2+1≥1，∴1x2+1∈(0,1]，由指数函数的性质可得，21x2+1∈(1,2].故选A.11.【答案】C【考点】二次函数的性质二次函数的图象指数型复合函数的性质及应用【解析】先求出二次函数的对称轴方程，再根据二次函数的图象和性质列出不等式求解．【解答】解：记u(x)=x2+ax=(x+a2)2−a24，其图象为抛物线，对称轴为x=−a2，且开口向上，∵函数f(x)=(15)x2+ax在区间[1, 2]上是单调减函数，∴函数u(x)在区间[1, 2]上是单调增函数，而u(x)在[−a2, +∞)上单调递增，所以，−a2≤1，解得a≥−2.故选C．12.B【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系指数型复合函数的性质及应用【解析】可分离出a ，转化为函数f(x)=−4−9x 3x −4的值域问题，令3x =t ，利用基本不等式和不等式的性质求值域即可．【解答】解：a =−4−9x3x−4，令3x =t(t >0)，则a =−−4−t 2t −4=−(t +4t )−4 因为t +4t ≥4，所以−4−9x 3x −4≤−8所以a 的范围为(−∞, −8]．故选B ．二、 填空题 （本题共计 13 小题 ，每题 3 分 ，共计39分 ） 13.【答案】92【考点】指数型复合函数的性质及应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】函数y =a x +b(b >0)的图象经过点P(1, 3)，可得3=a +b ，a >1，b >0．即(a −1)+b =2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵ 函数y =a x +b(b >0)的图象经过点P(1, 3)， ∴ 3=a +b ，a >1，b >0．∴ (a −1)+b =2．∴ 4a−1+1b =12(a −1+b)(4a−1+1b )=12(5+4b a −1+a −1b) ≥12(5+2√4b a−1⋅a−1b )=92， 当且仅当a −1=2b =43时取等号．故答案为：92．14.【答案】(3, 4)【考点】指数型复合函数的性质及应用根据指数函数过定点的性质，令指数幂等于0即可．【解答】解：由x −3=0得x =3，此时y =a 0+3=1+3=4， 故图象恒过定点P(3, 4)，故答案为：(3, 4)15.【答案】(−∞, 32] 【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】利用复合函数的单调性判断函数的单调区间．【解答】解：∵ y =x 2−3x +2在(−∞, 32]上是减函数， 在(32, +∞)上是增函数；又∵ y =(13)x 在R 上是减函数； 故函数y =(13)x 2−3x+2的单调递增区间为(−∞, 32]； 故答案为：(−∞, 32]．16.【答案】(0, 1]【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】函数y =(13)|2−x|−m 的图象与x 轴有交点可化为方程(13)|2−x|−m =0有解，从而可得m =(13)|2−x|，从而求函数的值域即可．【解答】解：由题意，∵ (13)|2−x|−m =0有解， ∴ m =(13)|2−x|，∵ |2−x|≥0，∴ 0<(13)|2−x|≤1，故0<m ≤1，故答案为：(0, 1]．17.【答案】{y|12≤y<8}【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】由题意可得2−1<2x−1<23，即可求函数的值域【解答】解：∵0≤x<4∴−1≤x−1<3∴2−1<2x−1<23即12≤y<8故答案为：{y|12≤y<8}18.【答案】[0, +∞)【考点】指数函数的单调性与特殊点指数型复合函数的性质及应用【解析】原函数可看作由y=3t，t=2−3x2复合得到，复合函数单调性判断规则，原函数在定义域上的单调递减区间即为函数t=2−3x2的单调递减区间，根据二次函数图象与性质可求．【解答】解：由题意，函数y=32−3x2的是一个复合函数，定义域为R，外层函数是y=3t，内层函数是t=2−3x2，由于外层函数y=3t是增函数，内层函数t=x2+2x在(−∞, 0)上是增函数，在(0, +∞)上是减函数，故复合函数y=32−3x2的单调递减区间是：(0, +∞).故答案为：[0, +∞).19.【答案】52【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域指数型复合函数的性质及应用【解析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a>1时，函数f(x)=a x+b在定义域上是增函数，所以{1+b=0，1a+b=−1，解得b =−1，1a =0不符合题意舍去；当0<a <1时，函数f(x)=a x +b 在定义域上是减函数， 所以{1+b =−1，1a+b =0， 解得b =−2，a =12，符合题意， 综上a −b =52.故答案为：52. 20.【答案】(0, 1) 【考点】函数的零点与方程根的关系 指数型复合函数的性质及应用【解析】由题意可得方程t 2+(m −3)t +m =0有两个不相同的正实数实根，故有△>0，且两根之和3−m >0，两根之积m >0，由此求得m 的取值范围． 【解答】解：令t =2x ，则由题意可得方程t 2+(m −3)t +m =0有两个不相同的正实数实根， 故有 Δ=(m −3)2−4m >0，且两根之和3−m >0，两根之积m >0， 解得0<m <1. 故答案为：(0, 1)． 21. 【答案】[34,57] 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】由于x ∈[−3, 2]，可得14≤(12)x ≤8，令t =(12)x ，有y =t 2−t +1=(t −12)2+34，再利用二次函数的性质求出它的最值． 【解答】解：由于x ∈[−3, 2]， ∴ 14≤(12)x ≤8. 令t =(12)x ，则有y =t 2−t +1=(t −12)2+34， 故当t =12时，y 有最小值为34；当t =8时，y 有最大值为57. 故答案为：[34,57]．22. 【答案】(−34, +∞) 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】由题设条件可化为∴ a >−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上恒成立，求出−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上的最大值即可． 【解答】解：由题意，得1+2x +4x a >0在x ∈(−∞, 1]上恒成立， ∴ a >−1+2x 4x在x ∈(−∞, 1]上恒成立．又∵ t =−1+2x 4x=−(12)2x −(12)x =−[(12)x +12]2+14，当x ∈(−∞, 1]时t 的值域为(−∞, −34]， ∴ a >−34；即a 的取值范围是(−34, +∞)； 故答案为：(−34, +∞)．23.【答案】 {1, 2} 【考点】指数型复合函数的性质及应用 【解析】先将方程转化为关于2x 的二次方程，再利用因式分解法求二次方程的根，最后通过解简单的指数方程得方程的解集 【解答】解：4x −3⋅2x+1+8=0 ⇔(2x )2−6×2x +8=0 ⇔(2x −2)(2x −4)=0 ⇔2x =2或2x =4 即x =1或x =2 故答案为{1, 2} 24. 【答案】 (0, 12]【解析】先利用配方法求出指数的取值范围，然后根据指数函数的单调性求出值域即可． 【解答】解：∵ x 2−2x +2=(x −1)2+1≥1 ∴ 函数y =(12)x2−2x+2的值域为(0, 12]故答案为：(0, 12] 25.【答案】 2【考点】基本不等式在最值问题中的应用 根与系数的关系指数型复合函数的性质及应用【解析】由题设可先将3x 看作一个整体，将方程整理为一元二次方程，由根与系数的关系得到3x 1⋅3x 2=4，即可得到x 1+x 2=2log 32，进而再得到x 1x 2≤(log 32)2．代入即可求得x 12+x 22x 1x 2的最小值【解答】解：原方程可化为(3x )2−(4+a)⋅3x +4=0， ∴ 3x 1⋅3x 2=4， ∴ x 1+x 2=2log 32， 又(x 1+x 2)2≥4x 1x 2， ∴ x 1x 2≤(log 32)2．∴ x 12+x 22x1x 2=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=4(log 32)2x 1x 2−2≥2．故答案为2三、 解答题 （本题共计 7 小题 ，每题 10 分 ，共计70分 ） 26.【答案】解：∵ 函数y =2x+2−3⋅4x =22⋅2x −3•(2x )2 =−3[(2x )2−43⋅2x +49]+43=−3(2x −23)2+43，∴ 当x ∈[−1, 0]时，2x ∈[12, 1]，∴ 当2x =23，即x =log 223=1−log 23时，函数y 取得最大值43， 当2x =1，即x =0时，函数y 取得最小值1； ∴ 函数y 的值域是[1, 43]．【解析】根据函数y 的解析式与自变量的取值范围，求出函数y 的最大、最小值即可． 【解答】解：∵ 函数y =2x+2−3⋅4x =22⋅2x −3•(2x )2 =−3[(2x )2−43⋅2x +49]+43=−3(2x −23)2+43，∴ 当x ∈[−1, 0]时，2x ∈[12, 1]，∴ 当2x =23，即x =log 223=1−log 23时，函数y 取得最大值43，当2x =1，即x =0时，函数y 取得最小值1； ∴ 函数y 的值域是[1, 43]． 27.【答案】解：∵ f(x)定义域为 ，关于原点对称。
人教版高中数学选择性必修第二册5.2.3简单复合函数的导数 同步练习(含解析)
5.2.3简单复合函数的导数基础过关练题组一复合函数的求导法则1.函数y=(2020-8x)3的导数y'=()A.3(2020-8x)2B.-24xC.-24(2020-8x)2D.24(2020-8x)22.若f(x)=e x ln2x,则f'(x)=()A.e x ln2x+e 2B.e x ln2x-eC.e x ln2x+eD.2e x·13.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.14.若函数f(x)=4 -3,则f'(x)=.5.函数f(x)=cos2 e 的导函数f'(x)=.6.求下列函数的导数.(1)y= 2(2 +1)3;(2)y=e-x sin2x;(3)y=ln2 +1-1;(4)y=cos(-2x)+32x+1.深度解析题组二复合函数求导的综合运用7.曲线f(x)=e 4x -x-2在点(0,f(0))处的切线方程是()A.3x+y+1=0B.3x+y-1=0C.3x-y+1=0D.3x-y-1=08.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=10 ,则在时刻t=40min 的降雨强度为()A.20mm/minB.400mm/minC.12mm/min D.14mm/min 9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则lim Δ →0(1-2Δ )- (1)Δ的值为()A.10B.-10C.-20D.2010.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a 的值为()A.1B.2C.-1D.-211.设函数f(x)在(-∞,+∞)内的导函数为f'(x),若f(ln x)=+1,则(0)'(0)=()A.2B.-2C.1D.e+112.设曲线y=e ax 在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=.13.已知f(x)为偶函数,当x ≤0时,f(x)=e -x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为.14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a ∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y 轴交于点(0,6),试确定a 的值.能力提升练题组复合函数的导数及其应用1.()已知y=f(x)=ln|x|,则下列各命题中,正确的是()A.x>0时,f'(x)=1 ,x<0时,f'(x)=-1B.x>0时,f'(x)=1 ,x<0时,f'(x)无意义C.x≠0时,都有f'(x)=1D.因为x=0时f(x)无意义,所以不能对y=ln|x|求导2.()设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()A.-15B.0C.15D.53.()已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(0)=()A.nB.n-1C. ( -1)2D. ( +1)24.(2020河南开封五县高二上期末联考,)设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x 为奇函数,曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线方程为()A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-y=0D.4x+y=05.()定义方程f(x)=f'(x)的实数根x 0为函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),φ(x)=cos x(x∈(0,π))的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a6.(多选)()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法正确的是()A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-π12(k∈Z)B.函数g(x)的最大值为2C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为π27.()已知y= 1−1− ,则y'=.8.()若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.9.()设函数f(x)=ae x ln x+ e -1 .(1)求导函数f'(x);(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.答案全解全析基础过关练1.C y'=3(2020-8x)2×(2020-8x)'=3×(2020-8x)2×(-8)=-24(2020-8x)2.故选C.2.C f'(x)=(e x)'·ln2x+e x·(ln2x)'=e x ln2x+e .故选C.3.B由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)= -1,由f'(2)=2,可得 2 -1=2,解得a=23.故选B.4.答案24 -34 -3解析∵f(x)=4 -3=(4x-3)12,∴f'(x)=12(4x-3)-12·(4x-3)'=24 -34 -3.5.答案-2sin2 +cos2e解析由f(x)=cos2 e ,得f'(x)=-2sin2 +cos2e .6.解析(1)∵y= 2(2 +1)3,∴y'=2 ·(2 +1)3- 2·3(2x+1)2·2(2 +1)6=2 -2 2(2 +1)4.(2)y'=-e-x sin2x+2e-x cos2x=e-x(2cos2x-sin2x).(3)∵y=ln2 +1-1=12ln(2x+1)-1,∴y'=12×12 +1×(2x+1)'=12 +1.(4)y'=-2sin 2x+(2x+1)'32x+1ln 3=-2sin 2x+2·32x+1ln 3.易错警示分析函数的运算结构,以基本初等函数的导数为基础,利用导数的四则运算法则及复合函数的求导法则依次求导即可.7.D ∵f'(x)=4e 4x -1,∴k=f'(0)=3.又f(0)=-1,∴切线方程为y+1=3x,即3x-y-1=0.故选D.8.D 由f(t)=10 ,得10(10t)'=10,所以10=14.9.C ∵f(x)=2ln(3x)+8x,∴f'(x)=2+8,∴f'(1)=10,∴limΔ →0(1-2Δ )- (1)Δ =-2limΔ →0(1-2Δ )- (1)-2Δ=-2f'(1)=-20.故选C.10.B 设切点为P(x 0,y 0),则y 0=x 0+1,y 0=ln(x 0+a),∵y'= 0=10+a=1,∴x 0+a=1,∴y 0=ln(x 0+a)=0,∴x 0=y 0-1=-1.∴a=1-x 0=2.故选B.11.B 令ln x=t,则x=e t,代入f(ln x)=+1得y=e +1e=1+1e =1+e -t ,∴y'=-1e ,∴ (0) '(0)=1+1-1=-2.故选B.12.答案2解析令y=f(x),则曲线y=e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=e ax,所以f'(x)=(e ax)'=(e ax)·(ax)'=ae ax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.13.答案y=2x-1解析设x>0,则-x<0,∴f(-x)=e x-2+x,∵f(x)为偶函数,∴f(x)=e x-2+x,则f'(x)=e x-2+1,∴f'(2)=2,又f(2)=3,∴曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1.14.解析因为f(x)=a(x-5)2+6ln x,所以f'(x)=2a(x-5)+6 .令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6,解得a=12.能力提升练1.C根据题意得f(x)=ln ( >0),ln(− )( <0).分两种情况讨论:(1)x>0时,f(x)=ln x⇒f'(x)=(ln x)'=1 ;(2)x<0时,f(x)=ln(-x)⇒f'(x)=[ln(-x)]'=1- ·(-1)=1 .故选C.2.B由题设可知f(x+5)=f(x),∴f'(x+5)=f'(x),∴f'(5)=f'(0),又f(-x)=f(x),∴f'(-x)(-1)=f'(x),即f'(-x)=-f'(x),∴f'(0)=0,∴f'(5)=f'(0)=0.故选B.3.D f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(x)=1+2(1+x)+3(1+x)2+4(1+x)3+…+n(1+x)n-1,则f'(0)=1+2+3+4+…+n= ( +1)2.故选D.4.A因为函数f(x)=e x+a·e-x是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对一切x∈R恒成立,所以e-x+a·e x=-e x-a·e-x对一切x∈R恒成立,即(a+1)(e x+e-x)=0对一切x∈R恒成立,所以a+1=0,解得a=-1,因此f(x)=e x-e-x,故f'(x)=e x+e-x.由曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,得f(x)=e x-e-x=0,解得x=0.所以曲线y=f(x)的这条切线的切点的坐标为(0,0),切线的斜率为f'(0)=e0+e0=2.故曲线y=f(x)的这条切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.故选A.5.C由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x,令x2+1=2x,解得x1=x2=1,即a=1.由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=1 +2,设F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-1 +2,当x=-1时,F(-1)=-1<0,当x=0时,F(0)=ln2-12=ln4-ln e>0,故-1<b<0.由φ(x)=cos x(x∈(0,π))可得φ'(x)=-sin x,令cos x=-sin x,得sin x+cos x=0,则2sin +又x∈(0,π),所以x+π4=π,得x=3π4,即c=3π4.综上可知,b<a<c.故选C.6.AD根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2, 4=2π3-π6=π2,∴T=2π,ω=2π =1.根据五点法画图知,当x=π6时,ωx+φ=π6+φ=π2+2kπ,k∈Z,∵|φ|<π2,∴φ=π3,∴f(x)=2sin +∴f'(x)=2cos +∴g(x)=f(x)+f'(x)=2sin + +=22sin +π=22sin +令x+7π12=π2+kπ,k∈Z,解得x=-π12+kπ,k∈Z,∴函数g(x)图象的对称轴方程为x=-π12+kπ,k∈Z,A正确;当x+7π12=π2+2kπ,k∈Z时,函数g(x)取得最大值22,B错误;g'(x)=22cos +∵g'(x)≤22<3,∴不存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误;方程g(x)=2,即22sin +∴sin +=22,∴x+7π12=π4+2kπ,k∈Z或x+7π12=3π4+2kπ,k∈Z,∴方程的两个不同的解分别为x1,x2时,|x1-x2|的最小值为π2,D正确.故选AD.7.答案解析 1−1−·(1+1− )(1-1− )·1− )= (1+1− )1−(1− )=1+1− .设y=1+ ,u=1-x,则y'x=y'u·u'x=(1+ )'·(1-x)'=12 ·8.答案1-ln2解析设f(x)=ln x+2,g(x)=ln(x+1),则f'(x)=1 ,g'(x)=1 +1.设f(x)上的切点为(x1,y1),g(x)上的切点为(x2,y2),则k=1 1=1 2+1,则x2+1=x1.又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,所以k= 1- 2 1- 2=2,故x1=1 =12,y1=ln12+2=2-ln2.故b=y1-kx1=2-ln2-1=1-ln2.9.解析(1)由f(x)=ae x ln x+ e -1 ,得f'(x)=(ae x ln=ae x ln x+ e + e -1x-be -1 2.(2)由题意得,切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,将x=1代入切线方程,得y=2,将x=1代入函数y=f(x),得f(1)=b,所以b=2.将x=1代入导函数f'(x)中,得f'(1)=ae=e,所以a=1.10.解析由f(x)=3x+cos2x+sin2x,得f'(x)=3-2sin2x+2cos2x,则π2+2cosπ2=1.由y=x3得y'=3x2.当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3,又b=a3,∴b=1,∴切点P的坐标为(1,1),∴曲线y=x3上以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.当P点不是切点时,设切点坐标为(x0, 03),此时切线的斜率k'=302,∴切线方程为y-03=3 02(x-x0).∵P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,∴b=1,将P(1,1)代入切线方程,得1-03=3 02(1-x0),∴203-3 02+1=0,∴2 03-2 02- 02+1=0,∴(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=-12(x0=1舍去),∴切点坐标为-12,-8又切线的斜率为3×-=3,∴切线方程为y+18=34 +即3x-4y+1=0.综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.。
复合函数(习题)
复合函数（习题）1. 若函数2()2f x x =+，21()1x x g x x x -+<⎧=⎨⎩≥，，，则函数(())g f x 的解析式是_______________________．2. 已知2(1)45f x x x -=+-，则(1)f x +=_______________．3. （1）若函数(3)f x +的定义域为[52]--，，则()(1)(1)F x f x f x =++-的定义域为_______________．（2）已知2()4x y f =的定义域为，则1()2x y f += 的定义域为_______________．4. （1）函数()432301x x f x x =-+<⋅≤（）的值域是_______．（2）函数3()1log f x x =+的定义域是(19]，，则函数22()[()]()g x f x f x =+的值域是_______________．5. （1）函数2431()3x x y -+-=的单调递增区间为______________．（2）函数22log (231)y x x =-+的单调递减区间为________．（3）函数4287y x x =--的单调递减区间是_____________．（4）函数222(log )2log 314y x x x =--≤≤（）的单调递增区间是______________．（5）函数1421x x y +=-+-的单调递增区间是____________．6. （1）函数34()24x f x x -=-的单调递增区间是______________．（2）函数()f x =的单调递增区间是____________．（3）函数y =____________．7. 函数y =的单调递减区间是____________．8. 已知函数1()log (2)a f x x =-在其定义域上单调递减，则函数2()log (1)a g x x =-的单调递减区间是（ ） A ．(10)-，B ．[0)+∞，C ．(0]-∞，D ．[01)，9. 若函数22(1)1()2xa x f x --+=在区间[5)+∞，上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(6)+∞，B ．[6)+∞，C ．(6)-∞，D ．(6]-∞，10. 已知函数()log (2)x a f x a =-在区间(1]-∞，上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．(12)，B．(01)，C．(01)(12)，，D．(01)(2)+∞，，【参考答案】1.2(())2g f x x=+2.x2+8x+73.（1）[-1，0]；（2）[0，3]4.（1）3[1]4，；（2）(2，7]5.（1）(2，+∞)；（2）1 ()2-∞，；（3）(0，2)，(-∞，-2)；（4）(2，4)；（5）(-∞，0)6.（1）(-∞，2)，(2，+∞)；（2）3(2)4，；（3）(-∞，1)7.(3，+∞)8. A9. D10.A。
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题精品资料欢迎下载复合函数求导练题一、选择题（共26小题）1.设$f(x)=\sqrt{\frac{x}{x+1}}$，则$f'(2)=\frac{1}{9}$。
2.设函数$f(x)=g(x)+x+\ln x$，曲线$y=g(x)$在点$(1,g(1))$处的切线方程为$y=2x+1$，则曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x+2$。
3.下列式子不正确的是$(2sin2x)'=2cos2x$。
4.设$f(x)=sin2x$，则$f''(\frac{\pi}{4})=-1$。
5.函数$y=cos(2x+1)$的导数是$y'=-2sin(2x+1)$。
6.下列导数运算正确的是$(x^2)'=2x$。
7.下列式子不正确的是$(3x^2+xcosx)'=6x+cosx-xsinx$。
8.已知函数$f(x)=e^{2x}-3x$，则$f'(0)=2$。
9.函数$f(x)=\frac{1}{1+e^x}$的导数是$f'(x)=-\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$。
10.已知函数$f(x)=sin2x$，则$f'(x)=2cos2x$。
11.$y=e^{sinx\ cosx\ sinx}$，则$y'=\frac{d}{dx}(e^{sinx\ cosx\ sinx})=cosx\ cos^2x\ e^{sinx\ cosx\ sinx}$，所以$y'(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{4}$。
12.下列求导运算正确的是$(e^{2x})'=2e^{2x}$。
13.若$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{1-x}}$，则函数$f(x)$可以是$ln\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$。
复合函数单调性(专题训练)
复合函数单调性一．选择题1．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．2．函数y=（）的单调递增区间是（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，）C．[，+∞）D．[，2]3．函数f（x）=的单调减区间为（）A．（）B．（）C．D．（1，+∞）4．已知函数在[1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．D．5．设函数，则使得f（x）≤f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．D．6．已知函数f（x）=log a（﹣x2﹣2x+3），若f（0）＜0，则此函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1）D．（﹣3，﹣1]7．函数y=|log2x|在区间（k﹣1，k+1）内有意义且不单调，则k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．[1，2）D．（0，2）8．函数在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．1＜a D．a＜29．若函数有最大值，则a的取值范围为（）A．B．C．D．（1，2）10．设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A．y=在R上为减函数B．y=|f（x）|在R上为增函数C．y=2﹣f（x）在R上为减函数D．y=﹣[f（x）]3在R上为增函数11．函数f（x）=log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）12．函数y=|log2|x﹣2||的单调递增区间（）A．（2，3）B．（3，+∞）C．（1，2）和（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）和（2，3）二．填空题13．已知f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，则实数a的取值范围是．14．函数y=（）|x|﹣1的单调增区间为．15．函数f（x）=lgx2的单调递减区间是．16．函数f（x）=（x2﹣6x+5）的单调递减区间是．17．已知函数y=log a（ax2﹣x）在区间[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是．18．函数y=（m2﹣m﹣1）是幂函数且在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为．19．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥f3（x）恒成立，则实数t的取值范围是．20．已知函数f（x）与函数的图象关于直线y=x对称，则函数f（x2+2x）的单调递增区间是．复合函数单调性一．选择题（共12小题）1．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的定义域与函数的单调性排除A、B，C，推出结果即可．【解答】解：令g（x）=lnx﹣1，则g′（x）=＞0，由g'（x）＞0，得x＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以当x=e时，函数g（x）=0，函数f（x）=对任意的x∈（0，e），（e，+∞），有f（x）是减函数，故排除A、B、C，故选：D．2．函数y=（）的单调递增区间是（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，）C．[，+∞）D．[，2]【分析】令t=﹣x2+x+2，则y=（）t，本题即求函数t的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：y=（），令t=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，则y=（）t，本题即求函数t的减区间．再利用二次函数的性质可得t的减区间为[，+∞），故选：C．3．函数f（x）=的单调减区间为（）A．（）B．（）C．D．（1，+∞）【分析】令t=x2﹣x＞0，求得函数的定义域，本题即求t在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得t在定义域内的增区间．【解答】解：令t=x2﹣x＞0，求得x＜0，或x＞1，故函数的定义域为{x|x＜0，或x＞1}，本题即求t在{x|x＜0，或x＞1}内的增区间．利用二次函数的性质可得t在{x|x＜0，或x＞1}内的增区间为（1，+∞），即函数f（x）=的单调减区间为（1，+∞），故选：D．4．已知函数在[1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．D．【分析】可看出该函数是由t=x2﹣ax+3a和y=log0.5t复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义域便可建立关于a的不等式组，解出a的取值范围即可．【解答】解：设y=f（x），令x2﹣ax+3a=t，则y=log0.5t单调递减；∵f（x）在[1，+∞）上单调递减；∴t=x2﹣ax+3a在[1，+∞）上单调递增，且满足t＞0；∴；解得，﹣＜a≤2；∴实数a的取值范围是（﹣，2]．故选：D．5．设函数，则使得f（x）≤f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．D．【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为减函数，进而可以将f（x）≤f（2x﹣1）转化为|x|≥|2x﹣1|，变形可得x2≥4x2﹣4x+1，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，分析可得f（﹣x）=[1+（﹣x）2]+=（1+x2）+=f（x），则函数f（x）为偶函数，分析易得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，若f（x）≤f（2x﹣1），则有f（|x|）≤f（|2x﹣1|），即有|x|≥|2x﹣1|，变形可得x2≥4x2﹣4x+1，解可得：≤x≤1，即x的取值范围是[，1]；故选：C．6．已知函数f（x）=log a（﹣x2﹣2x+3），若f（0）＜0，则此函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1）D．（﹣3，﹣1]【分析】令t=﹣x2+2x﹣3＞0，求得函数的定义域，根据f（0）=log a3＜0，可得0＜a＜1，f（x）=g（t）=log a t，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：令t=﹣x2﹣2x+3＞0，可得﹣3＜x＜1，故函数的定义域为{x|﹣3＜x＜1}．根据f（0）=log a3＜0，可得0＜a＜1，f（x）=g（t）=log a t，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质求得函数t在定义域内的减区间为[﹣1，1），故选：C．7．函数y=|log2x|在区间（k﹣1，k+1）内有意义且不单调，则k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．[1，2）D．（0，2）【分析】由题意可得1＞k﹣1≥0，且k+1＞1，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵函数y=|log2x|在区间（k﹣1，k+1）内有意义且不单调，可得k﹣1≥0，且1∈（k ﹣1，k+1），∴1＞k﹣1≥0，且k+1＞1．解得1≤k＜2，故选：C．8．函数在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．1＜a D．a＜2【分析】利用对数函数的底数，求出a的范围，利用复合函数的单调性求解即可．【解答】解：函数在[0，1]上是减函数，可得a＞0并且a≠1，y=1﹣在[0，1]上是减函数，所以a＞1，并且1，解得a∈（1，2）．故选：B．9．若函数有最大值，则a的取值范围为（）A．B．C．D．（1，2）【分析】由题意可得内层函数t=要有最小正值，且为减函数，可得外层函数y=log a t 为减函数，可知0＜a＜1．再由二次函数t=的判别式小于0求得x的范围，取交集得答案．【解答】解：令t=，要使函数有最大值，则内层函数t=要有最小正值，且为减函数，则外层函数y=log a t为减函数，可知0＜a＜1．要使内层函数t=要有最小正值，则，解得．取交集可得：a的取值范围为（）．故选：B．10．设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A．y=在R上为减函数B．y=|f（x）|在R上为增函数C．y=2﹣f（x）在R上为减函数D．y=﹣[f（x）]3在R上为增函数【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、B、D，举出反例分析可得其错误，对于C，结合复合函数的单调性判定方法，分析可得C正确，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于函数f（x）=x，y==，在R上不是减函数，A错误；对于B，对于函数f（x）=x，y=|f（x）|=|x|，在R上不是减函数，B错误；对于C，令t=f（x），则y=2﹣f（x）=（）f（x）=（）t，t=f（x）在R上为增函数，y=（）t在R上为减函数，则y=2﹣f（x）在R上为减函数，C正确；对于D，对于函数f（x）=x，y=﹣[f（x）]3=﹣x3，在R上是减函数，D错误；故选：C．11．函数f（x）=log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）【分析】先求出函数的定义域，结合复合函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则得，即﹣2＜x＜2，即函数的定义域为（﹣2，2），f（x）=log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）=log0.5（2﹣x）（2+x）=log0.5（4﹣x2），设t=4﹣x2，则y=log0.5t是减函数，要求函数f（x）的单调递增区间，等价为求函数t=4﹣x2，的单调递减区间，∵函数t=4﹣x2，的单调递减区间为[0，2），∴f（x）的单调递增区间为（0，2），故选：C．12．函数y=|log2|x﹣2||的单调递增区间（）A．（2，3）B．（3，+∞）C．（1，2）和（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）和（2，3）【分析】先求得函数的定义域，然后分情况去掉绝对值符号，根据根据复合函数单调性的判断方法及基本函数的单调性可得函数的单调区间．【解答】解：由x﹣2≠0得函数的定义域为（﹣∞，2）∪（2，+∞），当2＜x≤3时，y=﹣log2（x﹣2），单调递减；当x＞3时，y=log2（x﹣2），单调递增；当1≤x＜2时，y=﹣log2（2﹣x），单调递增；当x＜1时，y=log2（2﹣x），单调递减；综上，函数y=|log2|x﹣2||的单调递增区间为：（3，+∞）和（1，2），故选：C．二．填空题（共8小题）13．已知f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【分析】利用指数函数的性质，列出不等式求解即可．【解答】解：f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，可得a2﹣2a﹣2＞1，解得a∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．14．函数y=（）|x|﹣1的单调增区间为（﹣∞，0）（亦可写成（﹣∞，0]）．【分析】利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：设t=|x|﹣1，则y═（）t为减函数，要求函数y=（）|x|﹣1的单调增区间，根据复合函数单调性之间的关系，等价求函数t=|x|﹣1的减区间，∵当x≤0时，函数t=|x|﹣1是减函数，∴函数t=|x|﹣1的单调递减区间为（﹣∞，0），则函数y=（）|x|﹣1的单调增区间为（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．15．函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．【分析】先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．【解答】解：方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．16．函数f（x）=（x2﹣6x+5）的单调递减区间是（5，+∞）．【分析】先求出fx）的定义域，在利用复合函数的单调性得出答案．【解答】解：有函数f（x）有意义得x2﹣6x+5＞0，解得x＜1或x＞5．令g（x）=x2﹣6x+5，则g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（5，+∞）上单调递增，∴f（x）=log（x2﹣6x+5）在（﹣∞，1）上单调递增，在（5，+∞）上单调递减．故答案为（5，+∞）17．已知函数y=log a（ax2﹣x）在区间[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）=ax2﹣x的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．【解答】解：令g（x）=ax2﹣x（a＞0，且a≠1），当a＞1时，g（x）在[2，4]上单调递增，∴∴a＞1当0＜a＜1时，g（x）在[2，4]上单调递减，∴∴a∈∅综上所述：a＞1故答案为：（1，+∞）18．函数y=（m2﹣m﹣1）是幂函数且在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为2．【分析】根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据单调性进行排除，可得答案．【解答】解：∵函数y=（m2﹣m﹣1）是幂函数∴可得m2﹣m﹣1=1 解得m=﹣1或2当m=﹣1时，函数为y=x5在区间（0，+∞）上单调递增，不满足题意当m=2时，函数为y=x﹣13在（0，+∞）上单调递减满足条件故答案为：2．19．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥f3（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【分析】由当x＞0时，f（x）=2x．函数是奇函数，可得当x=0时，f（x）=0，当x＜0时，f（x）=﹣2﹣x，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足f3（x）=f（3x），再根据不等式f（x+t）≥f3（x）=f（3x）在[t，t+1]恒成立，可得x+t≥3x在[t，t+1]恒成立，即可得出答案．【解答】解：当x＞0时，f（x）=2x．∵函数是奇函数∴当x＜0时，f（x）=﹣2﹣x∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足f3（x）=f（3x），∵不不等式f（x+t）≥f3（x）=f（3x）在[t，t+1]恒成立，∴x+t≥3x在[t，t+1]恒成立，即：x≤t在[t，t+1]恒成立，∴t+1≤t解得：t≤﹣2，故答案为：（﹣∞，﹣2]．20．已知函数f（x）与函数的图象关于直线y=x对称，则函数f（x2+2x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1] ．【分析】先求出函数f（x）的解析式，确定内外函数的单调性，即可求得函数f（x2+2x）的单调递增区间．【解答】解：∵函数f（x）与函数的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=∴函数f（x）在R上单调递减∵t=x2+2x=（x+1）2﹣1，∴t=x2+2x在（﹣∞，﹣1]上单调递减∴函数f（x2+2x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1]故答案为：（﹣∞，﹣1]．。
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题(共12页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-复合函数求导练习题一．选择题（共26小题）1．设，则f′（2）=（）A．B．C．D．2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．3．下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=4．设f（x）=sin2x，则=（）A．B．C．1 D．﹣15．函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）6．下列导数运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinxD．（xlnx）′=lnx+17．下列式子不正确的是（）A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2xC．D．8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣39．函数的导数是（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x11．y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．212．下列求导运算正确的是（）A．B．C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x13．若，则函数f（x）可以是（）A．B．C．D．lnx14．设，则f2013（x）=（）A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x）C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x）15．设f（x）=cos22x，则=（）A．2 B． C．﹣1 D．﹣216．函数的导数为（）A．B．C．D．17．函数y=cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2）B．﹣sin（1+x2）C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）18．函数y=sin（﹣x）的导数为（）A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f （0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x） D．y′=4cos（2x2+x）21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x22．函数的导函数是（）A．f'（x）=2e2x B．C．D．23．函数的导数为（）A．B．C．D．24．y=sin（3﹣4x），则y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）25．下列结论正确的是（）A．若，B．若y=cos5x，则y′=﹣sin5xC．若y=sinx2，则y′=2xcosx2D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2x26．函数y=的导数是（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）27．设y=f（x）是可导函数，则y=f（）的导数为．28．函数y=cos（2x2+x）的导数是．29．函数y=ln的导数为．30．若函数，则的值为．参考答案与试题解析一．选择题（共26小题）1．（2015春•拉萨校级期中）设，则f′（2）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）=ln，令u（x）=，则f（u）=lnu，∵f′（u）=，u′（x）=•=，由复合函数的导数公式得：f′（x）=•=，∴f′（2）=．故选B．2．（2014•怀远县校级模拟）设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g （1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D．【解答】解：由已知g′（1）=2，而，所以f′（1）=g′（1）+1+1=4，即切线斜率为4，又g（1）=3，故f（1）=g（1）+1+ln1=4，故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣4=4（x﹣1），即y=4x，故选A．3．（2014春•永寿县校级期中）下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′=【解答】解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′=6x﹣sinx成立，故A正确对于选项B，成立，故B正确对于选项C，（2sin2x）′=4cos2x≠2cos2x，故C不正确对于选项D，成立，故D正确故选C4．（2014春•晋江市校级期中）设f（x）=sin2x，则=（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：因为f（x）=sin2x，所以f′（x）=（2x）′cos2x=2cos2x．则=2cos（2×）=﹣1．故选D．5．（2014秋•阜城县校级月考）函数y=cos（2x+1）的导数是（）A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1）C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1）【解答】解：函数的导数y′=﹣sin（2x+1）（2x+1）′=﹣2sin（2x+1），故选：C6．（2014春•福建月考）下列导数运算正确的是（）A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinxD．（xlnx）′=lnx+1【解答】解：根据导数的运算公式可得：A，（x+）′=1﹣，故A错误．B，（2x）′=lnx2x，故B错误．C，（cosx）′=﹣sinx，故C错误．D．（xlnx）′=lnx+1，正确．故选：D7．（2013春•海曙区校级期末）下列式子不正确的是（）A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2xC．D．【解答】解：因为（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx，所以选项A正确；（sin2x）′=2cos2x，所以选项B正确；，所以C正确；，所以D不正确．故选D．8．（2013春•江西期中）已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（）A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3【解答】解：∵f′（x）=2e2x+1﹣3，∴f′（0）=2e﹣3．故选C．9．（2013春•黔西南州校级月考）函数的导数是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数，∴y′=3cos（3x+）×3=，故选B．10．（2013春•东莞市校级月考）已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x【解答】解：由f（x）=sin2x，则f′（x）=（sin2x）′=（cos2x）•（2x）′=2cos2x．所以f′（x）=2cos2x．故选D．11．（2013秋•惠农区校级月考）y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【解答】解：∵y=e sinx cosx（sinx），∴y′=（e sinx）′cosx（sinx）+e sinx（cosx）′（sinx）+e sinx（cosx）（sinx）′=e sinx cos2x（sinx）+e sinx（﹣sin2x）+e sinx（cos2x）∴y′（0）=0+0+1=1故选B12．（2012秋•珠海期末）下列求导运算正确的是（）A．B．C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x【解答】解：因为，所以选项A不正确；，所以选项B正确；（（2x+3）2）′=2（2x+3）•（2x+3）′=4（2x+3），所以选项C不正确；（e2x）′=e2x•（2x）′=2e2x，所以选项D不正确．故选B．13．（2012秋•朝阳区期末）若，则函数f（x）可以是（）A．B．C．D．lnx【解答】解：；；；．所以满足的f（x）为．故选A．14．（2012秋•庐阳区校级月考）设，则f2013（x）=（）A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x）C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x）【解答】解：∵f0（x）=sin2x+cos2x，∴f1（x）==2（cos2x﹣sin2x），f2（x）==22（﹣sin2x﹣cos2x），f3（x）==23（﹣cos2x+sin2x），f4（x）==24（sin2x+cos2x），…通过以上可以看出：f n（x）满足以下规律，对任意n∈N，．∴f2013（x）=f503×4+1（x）=22012f1（x）=22013（cos2x﹣sin2x）．故选：B．15．（2011•潜江校级模拟）设f（x）=cos22x，则=（）A．2 B． C．﹣1 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=cos22x=∴=﹣2sin4x∴故选D．16．（2011秋•平遥县校级期末）函数的导数为（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴∴=故选D17．（2011春•南湖区校级月考）函数y=cos（1+x2）的导数是（）A．2xsin（1+x2）B．﹣sin（1+x2）C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2）【解答】解：y′=﹣sin（1+x2）•（1+x2）′=﹣2xsin（1+x2）故选C18．（2011春•瑞安市校级月考）函数y=sin（﹣x）的导数为（）A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+）【解答】解：∵函数y=sin（﹣x）可看成y=sinu，u=﹣x复合而成且y u′=（sinu）′=cosu，∴函数y=sin（﹣x）的导数为y′=y u′u x′=﹣cos（﹣x）=﹣sin[﹣（﹣x）]=﹣sin（+x）故答案选D19．（2011春•龙港区校级月考）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f （0）【解答】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），令f（x）=﹣1，则f′（x）=0，满足题意显然选项A成立故选A．20．（2010•永州校级模拟）函数y=sin（2x2+x）导数是（）A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）C．y′=（4x+1）cos（2x2+x） D．y′=4cos（2x2+x）【解答】解：设y=sinu，u=2x2+x，则y′=cosu，u′=4x+1，∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），故选C．21．（2010•祁阳县校级模拟）函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（）A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x【解答】解：将y=sin2x写成，y=u2，u=sinx的形式．对外函数求导为y′=2u，对内函数求导为u′=co sx，故可以得到y=sin2x的导数为y′=2ucosx=2sinxcosx=sin2x故选D22．（2010春•朝阳区期末）函数的导函数是（）A．f'（x）=2e2x B．C．D．【解答】解：对于函数，对其求导可得：f′（x）===；故选C．23．（2009春•房山区期中）函数的导数为（）A．B．C．D．【解答】解：令y=3sint，t=2x﹣，则y′=（3sint）′•（2x﹣）′=3cos（2x﹣）•2=，故选A．24．（2009春•瑞安市校级期中）y=sin（3﹣4x），则y′=（）A．﹣sin（3﹣4x）B．3﹣cos（﹣4x）C．4cos（3﹣4x）D．﹣4cos（3﹣4x）【解答】解：由于y=sin（3﹣4x），则y′=cos（3﹣4x）×（3﹣4x）′=﹣4cos（3﹣4x）故选D25．（2006春•珠海期末）下列结论正确的是（）A．若，B．若y=cos5x，则y′=﹣sin5xC．若y=sinx2，则y′=2xcosx2D．若y=xsin2x，则y′=﹣2xsin2x【解答】解：函数的导数为，，∴A错误函数y=cos5x的导数为：y′=﹣5sin5x，∴B错误函数y=sinx2的导数为：y′=2xcosx，，∴C正确函数y=xsin2x的导数为：y′=sin2x+2xcos2x，∴D错误故选C26．函数y=的导数是（）A．B．C．D．【解答】解：由复合函数的求导法则可得，•[ln（x2+1）]′ln2=（1+x2）′ln2=•ln2故选A二．填空题（共4小题）27．（2013春•巨野县校级期中）设y=f（x）是可导函数，则y=f（）的导数为y′=f′（）．【解答】解：设y=f（u），u=，则y′=f'（u），u′=，∴y′=f′（）故答案为：y′=f′（）．28．（2013春•吴兴区校级月考）函数y=cos（2x2+x）的导数是﹣（4x+1）sin（2x2+x）．【解答】解：y′=﹣（4x+1）sin（2x2+x），故答案为﹣（4x+1）sin（2x2+x）．29．（2012•洞口县校级模拟）函数y=ln的导数为．【解答】解：y′=（）′=•（）′=•.=•=故答案为：30．（2009春•雁塔区校级期中）若函数，则的值为．【解答】解：由故=故答案为：．。
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立身以立学为先，立学以读书为本
2、 已知函数 f ( 3 2x ) 的定义域为 [ 3, 3] ，求 f ( x ) 的定义域。
答案： [ 3, 9]
3、 已知函数 y f (x 2) 的定义域为 ( 1, 0) ，求 f (| 2x 1|) 的定义域。
1
3
( , 0) (1, )
答案： 2
2
2x
2， 4
即 f (log 2 x) 的定义域为 2， 4
评注：函数定义域是自变量 x 的取值范围（用集合或区间表示） f 对谁作用，则谁的范 围是 f 的作用范围， f 的作用对象可以变，但 f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定 义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。
（二）同步练习： 1、 已知函数 f ( x) 的定义域为 [ 0, 1] ，求函数 f ( x 2 ) 的定义域。 答案： [ 1, 1]
2
2
［点评］对于含有参数的函数， 求其定义域， 必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字
母的方法。
立身以立学为先，立学以读书为本
三、复合函数单调性问题 （1）引理证明
已知函数 y f (g( x)) . 若 u g (x) 在区间 (a, b ）上是减函数，其值域为 (c ， d) ，又 函数 y f (u) 在区间 (c,d) 上是减函数，那么，原复合函数 y f ( g( x)) 在区间 ( a,b ）上
f ( x2
4)
x2
x2
lg x 2
，知
8
x2
8
0
解得 x 2 4 4 ， f 的作用范围为 (4， ) ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 x (4， ) ，即 f ( x) 的定义域为 (4， )
（ 3）、已知 f g( x) 的定义域，求 f h( x) 的定义域
思路：设 f g( x) 的定义域为 D，即 x D ，由此得 g( x) E ， f 的作用范围为 E， 又 f 对 h( x) 作用，作用范围不变，所以 h( x) E ，解得 x F ， F 为 f h(x) 的定义域。
例 2. 若函数 f (x)
1 ，则函数 f f ( x) 的定义域为 ______________。
x1
解析：先求 f 的作用范围，由 f ( x)
1 ，知 x
1
x1
即 f 的作用范围为 x R|x 1 ，又 f 对 f(x)作用
所以 f ( x) R且f ( x)
x1 1 ，即 f f ( x) 中 x 应满足
f (x) 1
x1
即1
，解得 x 1且x 2
1
x1
故函数 f f ( x) 的定义域为 x R|x 1且x 2
（ 2）、已知 f g( x) 的定义域，求 f ( x) 的定义域 思路：设 f g(x) 的定义域为 D，即 x D ，由此得 g( x) E ，所以 f 的作用范围为
E，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 x E，E 为 f ( x) 的定义域。 例 3. 已知 f (3 2x) 的定义域为 x 1， 2 ，则函数 f ( x) 的定义域为 _________ 。 解析： f (3 2x) 的定义域为 1， 2 ，即 x 1， 2 ，由此得 3 2x 1， 5
x
2
4、设 f x lg
，则 f
f
的定义域为（
）
2x
2
x
A. 4,0 0,4
B. 4, 1 1,4
C. 2, 1 1,2
D. 4, 2 2,4
解：选 C.由 2 x 0得， f ( x) 的定义域为 x | 2 x 2 。故 2x
x
2
2,
2
，解得
2 2 2.
x
x
4, 1
1,4 。故 f
x 2
f 2 的定义域为 4, 1 1,4 x
例 5. 若函数 f (2x ) 的定义域为 1，1 ，则 f (log 2 x) 的定义域为 ____________。
解析： f (2x ) 的定义域为 1，1 ，即 x
1，1 ，由此得 2x
1 ，2 2
1
f 的作用范围为
，2
2
又 f 对 log 2 x 作用，所以 log 2 x
1 ， 2 ，解得 x 2
立身以立学为先，立学以读书为本
所以 f 的作用范围为 1， 5 ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以 x 1， 5 即函数 f ( x) 的定义域为 1，5
例 4. 已知 f ( x2
4)
x2
lg x2
Hale Waihona Puke ，则函数8f ( x) 的定义域为 ______________。
解析：先求 f 的作用范围，由
13 5、已知函数 f ( x) 的定义域为 x ( , ) ，求 g (x) f ( ax)
22
［解析］由已知，有
1
3
ax ,
2
2
1x3 ,
2a2
1
3
x
,
2a
2a
a
3
x a.
2
2
x f ( )(a
a
0) 的定义域。
（ 1）当 a 1 时，定义域为 { x | 1 x 3} ；
2
2
（ 2）当 3 3 a ，即 0 a 1 时，有 1
立身以立学为先，立学以读书为本
第一篇、复合函数问题
一、复合函数定义： 设 y=f(u) 的定义域为 A， u=g(x) 的值域为 B，若 A B，则 y 关 于 x 函数的 y=f ［ g(x) ］叫做函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间量 .
二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：
(1) 、已知 f ( x) 的定义域，求 f g(x) 的定义域 思路： 设函数 f ( x) 的定义域为 D，即 x D ，所以 f 的作用范围为 D，又 f 对 g(x) 作 用，作用范围不变，所以 g( x) D ，解得 x E ， E 为 f g( x) 的定义域。 例 1. 设函数 f (u) 的定义域为（ 0， 1），则函数 f (ln x) 的定义域为 _____________。 解析：函数 f (u) 的定义域为（ 0， 1）即 u (0，1) ，所以 f 的作用范围为（ 0， 1） 又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以 0 ln x 1 解得 x (1，e) ，故函数 f (ln x) 的定义域为（ 1， e）
a，
2a 2
2a 2
定义域为 { x | a x 3 a} ；
2
2
（ 3）当 3 3 a ，即 a 1 时，有 1
a ，
2a 2
2a 2
定义域为 { x | 1 x 3 } .
2a
2a
故当 a 1 时，定义域为 { x | 1 x 3 } ；
2a
2a
当 0 a 1时，定义域为 { x | a x 3 a}.