高中数学复合函数练习题
高考数学 高考试题教学运用与探究 破解复合函数方程 试题
换元法破解复合函数方程的解本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
复合函数是高考的重点和热点内容之一，可以全面考察学生对函数概念和性质的理解，考察函数与方程、转化与化归、数学结合、分类讨论等数学思想，是高中数学的一个难点．如何破解复合函数的有关问题呢？此类问题的破解途径是主要借助于换元法，应用数形结合的数学思想进展求解．【例1】函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对()0,x ∈+∞都有()44f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，那么()f x =_____．【分析】由于函数具有单调性，函数值为4的值只有一个，()4f x x-必定为一个常数，因此，可以借助于换元法求解函数的解析式..【解析】因为函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，所以()4f x x-为一个常数； 令()4,t f x x =-那么()4f t =，且()4,f x t x=+所以()4f t t t=+，即44t t =+，解得：2t =．故4()2,f x x =+答案为4()2f x x=+．【点评】一般地，此类复合函数方程的问题的解决方法是结合函数的图象与性质，应用函数与方程、数形结合的数学思想，结合换元法，灵敏赋值，进而探求函数的解析式.【变式1】()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，那么(2)f = .【例2】〔2021〕假设函数()y f x =在0x x =处获得极大值或者极小值,那么称0x 为函数()y f x =的极值点.a b ，是实数,1和1-是函数()32f x x ax bx =++的两个极值点.(1)求a 和b 的值；(2)〔略〕(3)设()()()h x f f x c =-,其中[22]c ∈-，,求函数()y h x =的零点个数.【分析】函数()y h x =的零点亦即函数对应方程()()ff x c =的解．此题是复合函数的零点问题，势必要借助于换元法，令()t f x =，转化为函数()f t c =的解的问题，应用数形结合的数学思想讨论()f t c =的解的各种情形，最后，根据所求的t 的值，再次应用数形结合的数学思想求解()f x t =的解．【解析】解:(1) 3()3f x x x =-. (2) (略)(3)首先，复原复合函数的复合过程. 令()f x t =,那么()y f t c =-. 其次，研究内层函数的单调性.因为3()3f x x x =-,()()()=311f'x x x +-，所以，当(),1x ∈-∞-时, 3()3f x x x =-单调递增；当()1,1x ∈-时, 3()3f x x x =-单调递增；当()1,x ∈+∞时,3()3f x x x =-单调递增，()()()()212,122f f f f -==--==如下图：再次，研究外层函数()y f t c =-的零点，即对应方程()f t c =的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的解.关于x 的函数()[]()2, 2y f t c t =-∈-的零点情况，即方程()[]()2, 2f t c t =∈-的解的情况. 当2c =时，()2f t =-的两个不同的根为122,1t t =-=，此时，()12f x t ==-有两个解，()21f x t ==有三个解，故()y h x =有5个解；注意到()y f t =是奇函数，()2f t =也有5个解.当2c <时，()f t c =的三个不同的根为()123,,2,2t t t ∈-，此时，()()12,2f x t =∈-有三个解，同理，()()22,2f x t =∈-有三个解，()()32,2f x t =∈-有三个解，故()y h x =有9个解；综上所述,当2c =时,函数()y h x =有5 个零点;当2c <时,函数()y h x =有9 个零点. 【评注】复合函数的零点的个数问题主要考察数形结合思想和分类讨论思想，综合性较强，全方位地考察分析问题和解决问题的才能.此类问题的解决的三个环节是：〔1〕复原复合函数的复合过程； 〔2〕研究内层函数的单调性；〔3〕研究外层函数的零点，即对应方程的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的解.【变式2】设函数()()()220log 0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为 ． 【变式3】函数()()20f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称．据此可推测，对任意的非零实数,,,,,,a b c m n p 关于x 的函数()()2y mf x nf x p =++的零点不可能是A. {}1,2B. {}1,5C. {}1,2,3,4D. {}1,4,16,64【变式4】函数()()()12212x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩ ，关于x 的方程()2()0f x bf x c ++=的有三个解123,,x x x ，那么222123x x x ++= .【例3】关于x 的函数()()22211f x x x k =---+，给出以下四个命题：①存在实数k ，使得函数恰有2个零点； ②存在实数k ，使得函数恰有4个零点； ③存在实数k ，使得函数恰有5个零点； ④存在实数k ，使得函数恰有8个零点.其中假命题的个数是 〔 〕 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4【分析】函数()y f x =的零点亦即函数对应方程()0f x =的解．复合函数()y f x =的零点问题，令21t x =-(0)t ≥，转化为函数()20y t t k t =-+≥的零点问题．而含有参数的方程()20y t t k t =-+≥的解的个数须转化为两个函数()212,0y k y t t t ==-≥的图象的交点的个数来求解，进而借助于数形结合、分类讨论思想数学思想加以解决．【解析】首先，复原复合函数的复合过程；令21t x =-(0)t ≥，那么函数()20y t t k t =-+≥；其次，研究内层函数的单调性； 作出函数21y x =-的图象，如图：程再次，研究外层函数()20y t t k t=-+≥的零点，即对应方解.()20k t t t =-+≥的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的此〔1〕当0k <时，方程()20k t t t =-+≥有一个解1t >，时，211t x =->有2解，故函数()y f x =有2解；〔2〕当0k =时，方程()20k t t t =-+≥有两个解121,0t t ==，此时，2110t x =-=有2解，2211t x =-=有3解，故函数()y f x =有5解；〔3〕当104k <<时，方程()20k t t t =-+≥有两个解()12,0,1t t ∈，此时，()2110,1x t -=∈有4解，()2210,1x t -=∈也有4解，故函数()y f x =有8解；〔4〕当14k =时，方程()20k t t t =-+≥有一个解12t =，此时，2112x -=有4解，故函数()y f x =有4解；〔5〕当14k >时，方程()20k t t t =-+≥无解，故函数()y f x =无解. 应选A.【评注】数形结合的思想，其本质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的互相转化，可以使代数问题几何化，几何问题代数化．复合函数的零点问题，实际上就是复合函数对应方程的解的个数问题，假设是仅从方程的角度考虑，难以奏效，而从函数图象的角度来考虑却轻松获解，这也就是思维的灵敏性．【变式5】关于x 的函数()sin sin 29438xx f x a a a =⋅+⋅+-有零点，那么a 的取值范围〔 〕A.0>a 或者8-≤aB.0>aC.3180≤<a D.2372318≤≤a【变式6】〔2021年〕函数()32f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，假设()112f x x x =<，那么关于x 的函数()()2320f x af x b ++=的解的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【变式7】函数()()()()333log 22log 52log 2x x x f x a =-+---，求函数()y f x =的零点个数.变式训练提示：变式1【提示】因为函数()f x 是定义在R 上的增函数，所以()3xf x -为一个常数；设()3x f x m -=，那么()4f m =，()3xf x m =+。
高中数学复合函数练习题
第一篇、复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析： (1)、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D ，即，所以的作用范围为D ，又f 对作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得，E 为的定义域。
例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。
解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以解得，故函数的定义域为（1，e ） 例2. 若函数，则函数的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由，知即f 的作用范围为，又f 对f(x)作用所以，即中x 应满足即，解得故函数的定义域为（2）、已知的定义域，求的定义域 思路：设的定义域为D ，即，由此得，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以为的定义域。
例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。
解析：的定义域为，即，由此得所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由，知解得，f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以，即的定义域为 （3）、已知的定义域，求的定义域 思路：设的定义域为D ，即，由此得，的作用范围为E ，又f 对作用，作用范围不变，所以，解得，F 为的定义域。
例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。
解析：的定义域为，即，由此得的作用范围为又f 对作用，所以，解得即的定义域为评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。
2020高中数学 检测(四)复合函数求导及应用(含解析)2-2
课时跟踪检测（四）复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一简单复合函数求导问题1．y＝cos3x的导数是（)A．y′＝－3cos2x sin x B．y′＝－3cos2xC．y′＝－3sin2x D．y′＝－3cos x sin2x解析:选A 令t＝cos x，则y＝t3,y′＝y t′·t x′＝3t2·（－sin x)＝－3cos2x sin x。
2．求下列函数的导数．(1）y＝ln（e x＋x2);（2）y＝102x＋3；(3)y＝sin4x＋cos4x。
解：(1）令u＝e x＋x2，则y＝ln u.∴y′x＝y′u·u′x＝错误!·（e x＋x2）′＝错误!·(e x＋2x)＝错误!。
（2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·（2x＋3）′＝2×102x＋3ln 10。
(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x）2－2sin2x·cos2x＝1－12sin22x＝1－错误!(1－cos 4x)＝错误!＋错误!cos 4x.所以y′＝错误!′＝－sin 4x。
对点练二复合函数与导数运算法则的综合应用3．函数y＝x2cos 2x的导数为( )A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2x B．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2x sin 2x D．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x解析：选B y′＝（x2）′cos 2x＋x2（cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·（2x）′＝2x cos 2x－2x2sin 2x。
4．函数y＝x ln(2x＋5）的导数为（)A．ln(2x＋5)－错误!B．ln(2x＋5)＋错误!C．2x ln（2x＋5) D．错误!解析：选B y′＝[x ln（2x＋5）]′＝x′ln（2x＋5）＋x［ln（2x＋5)］′＝ln(2x＋5）＋x·12x＋5·(2x＋5)′＝ln（2x＋5）＋错误!。
高中数学：求解复合函数定义域
高中数学：求解复合函数定义域
函数的定义域是函数的灵魂，是研究函数及应用函数解决问题的基础，处理函数问题必须树立“定义域优先”的数学意识，因此求函数的定义域是最关键的问题。
但对于求复合函数的定义域，大部分同学感到很棘手，下面着重谈谈复合函数定义域的求法。
一、已知的定义域，求的定义域
例1、已知函数的定义域为，求函数的定义域。
分析：函数的定义域是式子当中x的取值范围，确保两个函数中整体x，的取值范围相同。
解析：依题意有，
∴。
∴的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则函数的定义域是使函数的的取值范围。
二、已知的定义域，求的定义域
例2、已知函数的定义域为，求的定义域。
解析：∵的定义域为，
∴，。
∴的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则函数的定义域是函数的值域。
三、已知的定义域，求的定义域
例3、已知函数的定义域为，求的定义域。
分析：应由确定的范围，求出函数的定义域，进而再求的定义域，它是例1和例2的综合应用。
解析：因为的定义域是（，0），即其中的x 应满足，所以，的定义域为（1，2），所以函数应满足，于是有或，所以或，故原函数的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则可得的值域为B，那么函数的定义域是使的的取值范围。
高中数学函数基础练习题
高中数学函数基础练习题
1. 一元二次函数
a. 已知一元二次函数的顶点坐标为（2，-3），过该点的切线
方程为y=2x+1。
求该函数的解析式。
b. 若一元二次函数经过点（1，2）和（3，-4），求该函数的
解析式。
2. 指数函数
a. 已知指数函数的解析式为y=2^x，求使得y=8的x的取值。
b. 若指数函数的解析式为y=3^x，求使得y=1/27的x的取值。
3. 对数函数
a. 已知对数函数的解析式为y=log2(x)，求使得y=4的x的取值。
b. 若对数函数的解析式为y=log5(x)，求使得y=1/125的x的取值。
4. 三角函数
a. 已知三角函数y=sin(x+π/6)，求使得y=1的x的取值。
b. 已知三角函数y=cos(2x+π/3)，求使得y=0的x的取值。
5. 合并函数
a. 已知函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求函数h(x)=f(g(x))的解析式。
b. 已知函数g(x)=x^2，h(x)=√(x+7)，求函数f(x)=h(g(x))的解析式。
6. 组合函数
a. 已知函数f(x)=2x^3-3x+1，求函数g(x)=f(f(x))的解析式。
b. 已知函数g(x)=√(x+1)，求函数f(x)=g(g(x))的解析式。
7. 复合函数
a. 已知函数f(x)=3x+5，g(x)=2x-1，求函数h(x)=f(g(x))的解析式。
b. 已知函数g(x)=3x-2，h(x)=2x+4，求函数f(x)=g(h(x))的解析式。
高中数学如何求解三角函数的复合函数问题
高中数学如何求解三角函数的复合函数问题在高中数学中，我们经常会遇到三角函数的复合函数问题，这是一个常见但也较为复杂的题型。
掌握解决这类问题的方法和技巧，对于提高数学成绩和解题效率都非常重要。
本文将以具体的题目为例，分析解题思路和方法，帮助读者更好地理解和应用。
一、题目分析考虑以下题目：已知函数$f(x)=\sin(x)$，$g(x)=\cos(2x)$，求复合函数$h(x)=f(g(x))$的表达式。
这是一个典型的三角函数的复合函数问题，需要我们将两个函数进行复合，得到最终的表达式。
解决这类问题的关键在于理解复合函数的含义和运算规则。
二、解题思路对于复合函数$h(x)=f(g(x))$，我们可以先计算$g(x)$，再将$g(x)$的结果代入$f(x)$中。
具体步骤如下：1. 首先计算$g(x)$的表达式。
已知$g(x)=\cos(2x)$，根据三角函数的基本性质，我们知道$\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$。
因此，$g(x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$。
2. 将$g(x)$的表达式代入$f(x)$中。
已知$f(x)=\sin(x)$，将$g(x)$的表达式代入$f(x)$中得到$h(x)=f(g(x))=\sin(\cos^2(x)-\sin^2(x))$。
至此，我们得到了复合函数$h(x)$的表达式。
三、解题分析通过以上步骤，我们成功求解了复合函数$h(x)$的表达式。
在解题过程中，我们需要掌握一些关于三角函数的基本性质和运算规则，如$\cos(2x)$的展开公式。
此外，我们还需要注意复合函数的计算顺序，先计算内层函数，再计算外层函数。
这个题目主要考察了对三角函数的复合运算的理解和应用。
在解题过程中，我们还可以进一步思考如何将复合函数的表达式进行化简，以便更好地理解和应用。
四、举一反三通过以上的例题分析，我们可以得出一些解题技巧和方法。
同时，我们也可以运用这些技巧和方法解决其他类似的题目。
专题22复合函数的零点问题-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题(原卷版)
个整数解，则实数a的最大值为（）
A．2B．3C．5D．8
5.（2020·吉林长春）函数f(x)2sinxsin2x在0,2的零点个数为（）
A．2B．3C．4D．5
6.（2018·辽宁期中）定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1x)f(1x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若函数g(x)＝f(x)－ae－在区间[2018,2018]上有4 032个零点，则实数a的取值范围是
.
10.（2020·霍邱县）已知函数fxxefx2tfx30tR
x2
，若关于x的方程有两个不等实
数根，则t的取值范围为．
第22题复合函数的零点问题
一．题源探究·黄金母题
设函数f(x)
若x0是ff
周期点．
1x, 0xa,
a（a为常数且a0,1
11x,ax1
1a
xx的零点但不是fxx的零点，则称x0
）
为
．
f
(x)
的二阶周期点，求函数
f
(x)
的二阶
【试题来源】2013年高考江西卷改编．
【母题评析】本题以新定义的形式考查复合函数、分段函数的零点，难度较大．新定义（信息题）是近几年来高考的一个热点．
4个交点，求出参数a
的范围
考向2有关分段函数的复合函数的零点
2x2
,x1
已知函数fx{2
log2x1,x1
Fxffx2fx3的零点个数是（）
2
A．4B．5C．6D．7
，
则
函数
【温馨提醒】本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t对应几个x．
考向3二次函数型复合函数的零点问题
已知f(x)=x，若关于的方程f(x)2t(2b+ㄮ)f(x)+b2+b=0恰
高中数学第一章导数及其应用1.2.2复合函数的导数及导数公式的应用习题课件新人教a选修2_2
d＝|2－40＋＋13|＝ 5， 即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是 5.
答案：A
二、填空题：每小题5分，共15分． 7．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂 直，则a＝________.
第一章
导数及其应用
1．2 导数的计算
课时2 复合函数的导数及导数公式的应用
作业 ①理解复合函数的概念．②掌握复合函数求导的
目标 方法与步骤，会求一些简单的复合函数的导数．
作业 设计
限时：40分钟 满分：90分
一、选择题：每小题5分，共30分．
1．函数y＝2sin3x的导数是( )
A．2cos3x
)
A.12(ex－e－x)
B.12(ex＋e－x)
C．ex－e－x
D．ex＋e－x
解析：y′＝12(ex＋e－x)′＝12(ex－e－x)．
答案：A
6．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离
是( )
A. 5
B．2 5
C．3 5
D．0
解析：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－ y＋3＝0平行．
B．－2cos3x
C．6sin3x
D．6cos3x
解析：y′＝(2sin3x)′＝2cos3x·(3x)′＝6cos3x.
答案：D
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( ) A．ln(2x＋5)－2x＋x 5 B．ln(2x＋5)＋2x2＋x 5 C．2xln(2x＋5)
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第一篇、复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析：(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x 解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ） 例 2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11(){}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ，即函数f x ()的定义域为[]-15， 例 4. 已知f x x x ()lg 22248-=-，则函数f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 22248-=-，知x x 2280->f x ()的定义域为()4，+∞（3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。
例 5. 若函数f x ()2的定义域为[]-11，，则f x (log )2的定义域为____________。
解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[]x ∈-11，，由此得2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥， f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，，解得[]x ∈24，即f x (log )2的定义域为[]24，（二）同步练习：1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域。
答案：]1,1[-2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。
答案：]9,3[-3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。
答案：)23,1()0,21(⋃- 三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤：ⅰ 确定函数的定义域； ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。
（4）例题演练例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或。
单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则 )32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x ∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<<∴012<-y y 即 12y y <∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性.［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数.∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。
当10<<a 时，若1>x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数，若31-<x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. （5）同步练习：1．函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，23）D ．（23，＋∞）答案：B2找出下列函数的单调区间. （1）)1(232>=++-a a y x x ；（2）.2322++-=x x y答案：(1)在]23,(-∞上是增函数，在),23[+∞上是减函数。
（2）单调增区间是]1,1[-，减区间是]3,1[。
3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y x a 且的单调性。
答案：,1>a 时),0(+∞为增函数，01>>a 时，)0,(-∞为增函数。
变式练习一、选择题1．函数f （x ）＝)1(log 21－x 的定义域是（ ）A ．（1，＋∞）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，2）D ．]21(，解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥0)1(log 0121－＞－x x 解得1＜x ≤2． 答案：D2．函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，23） D ．（23，＋∞）解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝21log （x 2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．答案：B3．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则xy的值为（ ）A ．4B ．1或41C ．1或4D ．41 错解：由2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，得（x －2y ）2＝xy ，解得x ＝4y 或x ＝y ，则有xy ＝41或yx ＝1．答案：选B 正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x －2y ＞0，所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ．答案：D4．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，21） B ．（0，21） C ．（21，＋∞） D ．（0，＋∞） 解析：因为x ∈（－1，0），所以x ＋1∈（0，1）．当f （x ）＞0时，根据图象只有0＜2a ＜l ，解得0＜a ＜21（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．答案：A 5．函数y ＝lg （x－12－1）的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝lg （x －12－1）＝x x －＋11lg ，所以为奇函数．形如y ＝xx－＋11lg 或y ＝xx－＋11lg的函数都为奇函数．答案：C 二、填空题已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是__________．解析：a ＞0且a ≠1⇒μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0⇒a ＜32（0＜x ＜1）⇒a ＜2，所以a ∈（1，2）． 答案：a ∈（1，2）7．函数f （x ）的图象与g （x ）＝（31）x 的图象关于直线y ＝x 对称，则f （2x －x 2）的单调递减区间为______．解析：因为f （x ）与g （x ）互为反函数，所以f （x ）＝31log x则f （2x －x 2）＝31log （2x －x 2），令μ（x ）＝2x －x 2＞0，解得0＜x ＜2．μ（x ）＝2x －x 2在（0，1）上单调递增，则f ［μ（x ）］在（0，1）上单调递减；μ（x ）＝2x －x 2在（1，2）上单调递减，则f ［μ（x ）］在［1，2）上单调递增．所以f （2x －x 2）的单调递减区间为（0，1）． 答案：（0，1） 8．已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （21）＝0，则不等式f （l og 4x ）的解集是______．解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－21）＝f （21）＝0．又f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，所以f （x ）在（－∞，0）上是减函数．所以f （l og 4x ）＞0⇒l og 4x ＞21或l og 4x ＜－21． 解得x ＞2或0＜x ＜21． 答案：x ＞2或0＜x ＜21 三、解答题10．设函数f （x ）＝532＋x ＋x x2323lg ＋－，（1）求函数f （x ）的定义域；（2）判断函数f （x ）的单调性，并给出证明；（3）已知函数f （x ）的反函数f －1（x ），问函数y ＝f －1（x ）的图象与x 轴有交点吗若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由． 解：（1）由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0，解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－23＜x ＜23．（2）令μ（x ）＝3x ＋5，随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；x x 2323＋－＝－1＋x236＋随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．又y ＝lg x 在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y ＝x x 2323lg＋－是减函数，所以f （x ）＝532＋x ＋xx2323lg ＋－是减函数．（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．设函数f（x）的反函数f－1（x）与工轴的交点为（x0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f（x）与y轴的交点是（0，x0），将（0，x0）代入f（x），解得x0＝52．所以函数y＝f－1（x）的图象与x轴有交点，交点为（52，0）。