求极限的计算方法与技巧

淮北煤炭师范学院论文分类号：O172.2 2008届学士学位论文

求极限的计算方法与技巧

系别、专业信息学院、数学与应用数学

研究方向数学分析

学生姓名郑福梅

学号200418440094

指导教师姓名王信松

指导教师职称教授

2008年5月3日

求极限的计算方法与技巧

郑福梅

淮北煤炭师范学院信息学院

摘要

极限概念是高等数学中很重要的概念之一，其它所有的重要的数学概念如导数﹑定积分都是建立在极限概念的基础上的。因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限概念的高度抽象，致使我们很难用极限定义本身去求极限；又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的，所以掌握极限的方法非常重要。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以极限的方法是十分繁多的.针对这种情况，本文通过例题总结﹑归纳了常见的求极限的方法及一些技巧。有关命题与结论在文中有详细地说明。

关键词：极限，计算方法，技巧

Skills and methods of computing limit

Zheng Fumei

School of information, Huaibei Coal Industry Teacher’s Co llege

Abstract

The limiting concept is one of the very important concepts in advanced mathematics. The other important mathematical concepts, such as derivative, definite integral are based on this concept. Therefore limit is the basic operation in adva nced mathematics. Because of most abstractness of limit, it is difficult to obtain limit by the concept of limit. Since the concept of limit exists in the whole advanced mathematics, and many important concepts are derived from the definition of limit, it is important to grasp the method of limit. On the other hand, we can also use these concepts to obtain some limits; therefore there are various ways to obtain limits. From above descriptions, Common methods and some skills of obtaining limit are generalized through examples in this thesis. Some relevant propositions and conclusions are also extensively illustrated in this thesis.

Keywords: limit，computing method，skill

目录

一、引言 (1)

二﹑相关定义与定理 (1)

三、极限的几个重要性质 (3)

1、收敛数列的一些性质 (4)

2、函数极限的相关性质 (4)

四、极限的计算方法与技巧及举例说明 (5)

1、利用极限定义验证极限 (5)

2、利用等价无穷小求极限 (6)

3、利用两个重要极限求极限 (7)

4、利用数列与级数的关系求极限 (8)

5、利用定积分概念求极限 (8)

6、利用泰勒展开式求极限 (9)

7、递推关系法 (9)

8、拆项相消法 (10)

9、利用不等式 (10)

10、洛必达法则 (11)

11、中值定理法 (12)

12、单调有界定理 (13)

13、利用极限的四则运算法则求极限 (14)

14、利用加权平均值定理求极限 (14)

15、拟和法 (15)

16、利用函数导数、连续的定义 (16)

17、化积为商法 (17)

18、构造新数列 (17)

19、Euler常数法 (18)

五、总结 (18)

致谢 (18)

参考文献 (19)

一、引言

在高等数学领域中极限是一个重要概念，求数列与函数的极限是数学分析的基本运算。如函数的连续﹑导数﹑定积分及级数的收敛等都是在极限理论的基础上建立的。求极限的主要方法有：定义法﹑四则运算﹑两边夹法则﹑实数连续性公理﹑数列的求和公式﹑利用两个重要极限等。除这些常规方法外还有很多技巧，这些技巧隐含在函数的相关理论中，对这些技巧进行归纳探讨并就应用范围进行分析。求极限是大学理科学生必须练好的一门的基本功，然而面对错综复杂的极限计算题许多学生感到茫然不知所措，为了帮助学生学好极限，本文对其方法进行了简略地归纳和总结.

二、相关定义与定理

定义1[1] 设{}n a 为数列,a 为定数。若对任意的正数ε，总存在正整数N ，使得当N n >时有|,n a a ε-<|则称数列 {}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作

lim ,n n a a →∞

=或n a a →()

n →∞

读作“当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a ”.若数列{}n a 没有极限,则称{}n a 不收敛,或称{}n a 为发散数列.

定义2[2] 设f 为定义在[),a +∞上的函数,A 为定数.若对任意的0ε>,存在正 数()M a ≥,使得当x M >时有

()f x A ε-<

则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限,记作

lim ()x f x A →+∞

=,或()f x A →()x →+∞.

定义3 设函数f 在点0x 的某空心邻域()0'0;U x δ内有定义,A 是一个确定 常数.若0,0εδ?>?>,总存在'x ,满足'0o x x δ<-<,且0()f x A ε-<，则称当

0x x →时,()f x 以A

为极限,记为0

lim ()x x f x A →=.

定义4 设函数()f x 在(),o U a δ+内有定义,A 是一个确定的常数，若

ε?>，0δ?>,使当a x a δ<<+时,都有()f x A ε-<,则称函数()f x 在x 趋于

a +时右极限存在,并以A

为右极限记作lim ()x a

f x A +

→=.有时也记

(0)lim ()x a

f a f x +→+=.

定理 1〔单调有界定理〕在实系数中，有界的单调数列必有极限. 定理 2〔柯西收敛准则〕数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>，存 在正整数N ，使得当,n m N >时有n m a a ε-<. 这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。

定理 3〔致密性定理〕有界数列必存在收敛子列。

定理 4〔施笃兹定理〕 设数列{}n y 单调递增趋于+∞，11lim

.n n n n n

x x A y y +→∞

+-=-（可

以为无穷），则lim

n n n

x A

y →+∞

= .

定理5

[]

3〔有界变差数列收敛定理〕若数列{}n x 满足条件：

()11221

2,3n n n n x x x x x x M n ----+-++-≤=

则称{}n x 为有界变差数列，且有界变差数列一定收敛。

定理 6〔柯西准则〕设函数f 在()0'0;U x δ内有定义.()0

lim x x f x →存在的充

要条件是:任给0ε>,存在正数δ()'δ<,使得对任何()'"00,;x x U x δ∈有

()()

'

"

f

x f x ε

-<.

定理 7 设f 为定义在()0

0U x +上的单调有界函数,则右极限()0

lim x x f x +

→存在.

定理 8〔拉格朗日中值定理〕[]4设函数f 满足如下条件: （1）f 在闭区间[],a b 上连续；

（2）f 在开区间〔,a b 〕内可导,则在(,a b )内至少存在一点ξ,使

()()'

()f b f a f b a

ξ-=

-.

定理 9〔积分第一中值定理〕设函数f 在闭区间[],a b 上连续,则至少存在

[],,a b ξ∈使得

()()()b a

f x dx f b a ξ=-?

.

定理10〔推广的积分第一中值定理〕若f 与g 都在[],a b 上连续,且()g x 在

[],a b 上不变号, 则至少存在一点[],,a b ε∈使得

()()()()b b

a

a

f x

g x dx f g x dx ε=?

?.

(当()1g x ≡时,既为定理9).

定理 11〔欧拉定理〕[]5序列()1111ln 1,22

3

n x n n n

=++

++

-= 收敛.

因此有公式1111ln 23n

C n n

ε

+

+++

=++ 式中0.577216C = 称为欧拉常数,且

当n →∞时，0n ε→

定理 12〔级数收敛定理〕若级数1

n n u ∞

=∑收敛,则lim 0n n u →∞

=

定理13〔归结原则〕设函数f 在()0'0;U x δ内有定义. ()0

lim x x f x →存在的充要

条件是:对任何含于()0'0;U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ,极限()lim n n f x →∞

都存在且

相等.

注1 归结原则也可简叙为: 0

lim ()x x f x A →=?对任何()0n x x n →→∞有

()lim n n f x A →∞

=.

注2 归结原则是联系数列与函数的桥梁.

三、极限的几个重要性质

1﹑收敛数列的一些性质

（1）唯一性 若数列{}n a 收敛,则它只有一个极限.

（2）有界性 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正数n 有n a M ≤.

（3）保号性 若lim 0n n a a →∞

=>（或0a <）任何()'0,a a ∈（或()',0a a ∈）

存在正数N ,使得当n N >时有'n a a >（或'n a a <）.

（4）保不等式性 设{}{}n n a b 与 均为收敛数列.若存在正数0N ,使得当

0n N >时有n n a b ≤，则lim lim n n n n a b →∞

→∞

≤

（5）两边夹 设数列{}{},n n a b 都以a 为极限，且lim 0n n b →∞

≠，若数列n c 满足:

存在正数0N ,当0n N >时有n n n a c b ≤≤,则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞

=.

（6）四则运算法则 若{}n a 与{}n b 为收敛数列,则{}{},{},.n n n n n n a b a b a b +- 且有()lim lim lim ,lim (.)lim .lim n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b →∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

±=±=.

特别当n b 为常数c 时有lim ()lim ,lim lim n n n n n n n n a c a c ca c a →∞

→∞

→∞

→∞

±=±=

若再假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则n n a b ??????

也是收敛数列,且有lim lim /lim n n n n n n n a

a b b →∞→∞→∞

=.

2﹑函数极限的相关性质

（1）唯一性 若极限()0

lim x x f x →存在,则此极限是唯一的.

（2）局部有界性 若极限()0

lim x x f x →存在,则f 在0x 的某空心邻域()0

0U x 内有

界 .

（3）局部保号性 若极限()0

lim 0x x f x A →=>,则对任意正数r ，存在0x 的某空

心邻域()0

0U x ,使对()00x U x ?∈，恒有()0f x r >>.

（4）不等式[]6性 若()0

lim x x f x A →= ,()0

lim x x g x B →=有'0δ>，()()f x g x ≤，

x ?∈()0

'

;U

x

δ

成立,则A B ≤,即()()0

lim lim x x x x f x g x →→≤.

（5）迫敛性 设()()0

lim lim x x x x f x g x A →→==,在空心邻域()0

0U x 内有

()()()f x h x g x ≤≤，则()0

lim x x h x A →=.

（6）若()()()0

lim lim lim x x

x x x x f x A f x f x +

-

→→→=?=

注 极限的性质是在某一邻域内研究的而数列极限的性质是在实数范围内研究的.

四﹑极限的计算方法与技巧及举例说明

在上面我们讲了极限的定义﹑定理及相关性质，我们可以利用一些性质来归纳极限的计算方法及所隐含的技巧。 1、利用极限定义验证极限

前提：知道数列（函数）的极限值； 关键：寻找)(δN . 基本方法：

（1）求最小的N ：从不等式ε

<-a a n 直接解出n ；

（2）适当放大法：不等式ε

<-a a n

较为复杂，无法直接解出，或求解的过

程较繁，为此先将表达式a

a n -进行化简，并适当放大，使之成为关于n 的简单

函数

)

(n H （仍为无穷小量），即)

(n H a a n <-. 于是，要使

ε

<-a a n ，只要

ε

<)(n H ，解此不等式便得所求.

（3）分步法：不对n 作限制（尤其是函数极限），便无法化简和放大，为此先限定1N n >

，然后按（2）求得2N ，于是所求的{}21,m ax N N N =.

例 已知A x n n =∞

→lim

（有限，∞

+，或∞-），用定义证明：

A

n

x x x n

n =++∞

→ 21lim

.

解 当A 为有限数时，有

n

A

x A x A x A n

x x x n n

-++-+-≤

-++ 2121.

由A x n n =∞

→lim

知，2

,,0,011ε

ε<

->?>?>?A x N n N n ，从而当1N n

>时，有

n

N n n

A

x A x A x A n

x x x N n

2)(121211ε

-+

-++-+-≤

-++ .

注意到A x A x N -++-11 为常数，因而0

2

>?N ，当2

N n >

时，有

2

121ε

<

-++-+-n

A

x A x A x N .

取{}21,m ax N N N

=，则当N

n >时，有

ε

<-++A n

x x x n

21，

即A

n

x x x n

n =++∞

→ 21lim

.

当+∞=A 时，则11,0,0N n N M >?>?>?时，有

)1(2+>M x n .

于是当12N n

>时，有

.

1)

1(2)(1

1

2112121++++>

+?-+

++>++M n

x x x n

M N n n

x x x n

x x x N N n

注意到11N x x +为常数，因而02>?N ，当2

N n >时，有

.

取{}

21,2max N N N =11

1<+n

x x N ，则当N

n >时，有

12n

x x x M n

+++> ，

即+∞

=++∞

→n

x x x n

n 21lim

.

同理可证-∞=A 情形.

注 （1）当∞=A 时结论不成立。如数列 ,,,2,2,1,1n n ---. （2）若不限制方法，用Studs 定理最简单.

2﹑利用等价无穷小求极限

若()f x 与()g x 都是无穷小量,且()0,g x ≠()()

lim

1

x a

f

x g x →=时称()f x 与

()g x 是等价无穷小量表示为()()[]

4f

x g x ,因为当()()

f x

g x ()

x a →时

可写为

()()

()()1,f

x d x d x g x =+是无穷小量从而()()()1f x g x d x =+????,这时

()()li m li m x a

x a

f

x g x →→=这些可将复杂函数的极限用简单函数的极限代替简化其

计算.注意,在乘积或相除时可以随意替换,但在和差时,不可以使用.

例 设函数)(x f 在区间]1,1[-上连续，计算极限

.1

31

sin )(1lim

3

0--+→x

x x x f

解 当0→x 时，,3ln ~13,sin )(3

1

~1sin )(13x x x f x x f x --+sin x x , 所

以由)(x f 连续得

.3

ln 3)0(3

ln 3sin )(lim

1

31

sin )(1lim

3

f x x x f x x f x x

x =

=--+→→

注 这种方法中一般将一个函数()11x x ?

+-? 形式的等价无穷小找出来.

3、利用两个重要极限求极限

重要极限:0

sin 1lim

1;lim 1x

x x x e x

x →→∞?

?=+= ??

?此种方法主要利用类似于两个重要极限中的函数形式的特点来求极限的.如第一个极限结构的特点为0

sin lim

1;?→?=?

第

二个重要极限结构的特点为1lim 1e ?

?→∞?

?+= ???

?.在每一个极限中?处变量形式是一

致的.

例（1）求3

sin()3lim

12cos x x x π

π

→

-

-

解 设3x y π

=+，则3

sin()

3lim

12cos x x x ππ

→

-

-

=0

lim

y →

sin 1lim

sin

2.sin 22

y y

y

y

y y →==

+

（2）

求1lim 1x x →+∞?

- ?

?

?

解

原式lim 11lim

11x x e e

→+∞

→+∞

?

?

=-+==

= ?

?

+ ?

4﹑利用数列与级数的关系求极限

对于数列{}n a 对应一个级数n a ∑如果能判断此级数是收敛的,由级数收敛的柯西准则可以知道lim 0n n a →∞

=,此方法的关键是求出的极限为0.换句话说,若一

个数列的极限不是0就不能用此方法.

例 计算()ln 1lim

1(ln ln )

n

n n n →∞

≥

解 因为ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln (ln ln )()()n

n n n n n n e e n ===

当n 充分大时2(ln ln )n n >，于是

2

11ln ln n

n

<

，

故由∞

∑

2

n=1

1n

收敛可知2

1ln ln n n

∞

=∑

收敛，所以

ln 1lim

0(ln ln )

n

n n →∞

=

5﹑利用定积分概念求极限

定积分黎曼和的极限即若一个数列的通项是某一函数在某一区间上的特定取法,特定分发下的黎曼和则只要此函数可积且积分能求出来,则数列极限就是该函数在某一区间上的定积分.

例 求n

n n

n n n

n n

x n 1sin

2

12sin

1

sin

+

+++++=

π

ππ

的极限 解 由于

n

n n

n n

n

x n n

n n n

n 1sin 2sin

sin

1

sin

2sin

sin

+

+++≤

≤++++πππππ

π，

而 π

π

ππ

π

ππ

π

π

2

d s i n 1s i n 1

1lim

1

sin

2sin

sin

lim

1

=

=+=++++?

∑

=∞

→∞

→x x n k n n n

n n

n n n

n

k n n ，同

理右端极限也为π

2

，由两边夹定理得π2

lim =

∞

→n n x

6﹑利用泰勒展开式求极限

若一个函数的表达式比较复杂时,我们将它展成泰勒展试,若能展成,这样将一个表达式很复杂的函数化成一个多项式和一个无穷小量的和,而多项式的计算是较简单的,从而此法能简化求极限的运算.

例 求2

1

lim (cos sin )x x x x x →+

解 应用()cos ,sin ,ln 1x x x +的展式有

()

()

()()()

2

2

3

2

3

2323

11cos sin 112

2

11ln cos sin ln 122

x x x x x o x

x o x

x x x x o x x o x +=-

++=+

+??+=++=+ ???

因此()()2

322001

11lim ln cos sin lim 22

x x x

x x x o x x x

→→??+=+= ???

于是2

10

lim (cos sin )

x

x x x x →+()

2

1

1

ln cos sin 20

lim x x x x

x e

e +→==.

7﹑递推关系法[]7

递推关系中最常见的方法法是利用单调有界定理，但也有一部分并不满足单

调性，从而不能使用单调有界定理，其相应的难度有所加大，其方法也有所不同.

例 设

,2,1,11,311=+=

=+n a a a n

n .考察极限n n

a lim .

解 若极限存在，设极限值为a ，在递推关系中令∞→n 得a

a +=

11，解之

得2

15-=

a

（另一负根舍去）.

下证2

15-=

a

确实是其极限值. 事实上，

a

a a

a a a a a

a a a n n n n n -+<

++-=

+-

+=

-----1111

11)

1)(1(1111，

由此递推关系立得

)(0)

1(111

∞→→-+<

--n a a a a a n n .

8﹑拆项相消法

若要求极限1

li m n

k n k a →∞

=∑当k a 可以拆成两项之差时，可以采用此法先求出和

1

n

k

k a =∑的简单形式再取极限。

例 设()()1

1

12n

n k x k k k ==

++∑

，求lim n n x →∞

.

解 因为()()

1

112112212k k k k k k ??

=

-+ ?++++??

所以

1

1121212n

n k x k k k =??

=

-+ ?++??

∑

1211211

21122323412n n n ????????=

-++-+++-+?? ? ? ?++????????

11114

221n n ??

=

+

- ?++??

所以1lim 4

n n x →∞

=

。

9﹑利用不等式

严格地说，此法应属于两边夹方法，但由于所用不等式较为特殊，而使问题解决的中心在于不等式的应用，因而单列为一种方法.

例 设n

n x n ln 131211-+

+++

= . 证明极限n n x ∞

→lim 存在，并由此计算：

)212

111(

lim n

n n n +

+++

+∞

→ .

证 由于

1

)

11()11(++

<<+

n n

n

e n

，

两边取对数得

,2,1,1)11ln(1

1=<

+

<+n n

n n

由此立得

0)1

1ln(1

11<+

-+=

-+n

n x x n n ，

即数列{}n x 单减. 此外，

n

n n n

x n ln )11ln()2

11ln()11ln(ln 1211-+

+++

++>-+

++

=

)11ln(ln )134232ln(>+=-+??

=n n n

n .

即{}n x 有下界. 由单调有界定理知其收敛，其极限值称为欧拉常数，常用c 表示. 由此易得

)21

21

1

1

(

lim n n n n +

+++

+∞

→

2ln ]2ln )ln 1

211())2ln(21211[(lim =+-++--++=∞→n n

n n n

注 也可用定积分法求之. 例 证明：4

)

2()2)(1(lim

e n n n n

n

n =

++∞→ .

证 +∈?Z n ，1

)

11()

11(++

<<+

n n

n

e n

当n 分别为12,,1,-+n n n 时，将所得n 个不等式相乘得

n

n n n

n n n

n n n n n n e n n n n n

n 22

1

1

21

)

1

22(

)

1

2(

)

1(

)

122(

)

12(

)1(-+++<<-+++++-+ ，

)

2()2)(1()

2(1)

2()2)(1()

2(11

21

2n n n n n

e

n n n n n

n n n

n

n

++<

<++++.

化简上式得

n

n n n n n

n e

n n n n

n n

n

n

2)

2()2)(1(1

))2((

)

2()2)(1(1

))2((2

2

?

++?

<<++?

，

两边开n 次方得

n n

n

n n n n

e n n n n

2)

2()2)(1(4)2()2)(1(4?++<

<++ ，

由此立得所求极限为4

e

（也可用定积分法）.

10﹑洛必达法则

洛必达法则是求解不定式极限的强有力工具. 数列极限也可转化为相应的函

数极限，然后利用洛必达法则求之. 洛必达法则只有直接适用于0,

0∞∞

未定式，而

0,∞∞-∞ 型未定式通过恒等变形可化作

0,0∞

∞

型。而000,,1∞∞型未定式则通过取

对数化作0,0∞∞

型。因此在使用洛必达法则时每步都要检查是否符合洛必达法则

条件。此外，还应注意及时化简算式，把定式部分分离出来并求出极限，再对未定式部分使用洛必达法则。

例 求1

tan 1tan 1lim

---

+→x

x e x

x

解 先分子有理化再使用等价无穷小替换，然后使用洛必达法则可得

.11

tan tan 1tan 12

lim

1

tan 1tan 1lim

=-?

-+

+=---

+→→x

x x

x e x x

x e x

x

注 在使用洛必达法则时，往往先对等式进行初等变换，然后在不同阶段使用等价无穷小替换，并时刻注意将非零因子从极限式中分离出来，以简化求导过程。

11﹑中值定理法

在求函数()F x 的极限时，若能根据()F x 的特点寻得一个新的可微函数()f t 再借助中值定理则往往得到巧妙的解法。

例 求sin 0

lim

sin x

x

x e e

x x

→--.

解 对函数()f t t e =在以x 和()sin 0x x ≠为端点的闭区间上用微分中值定理有

()()()'

sin sin f x f x f

x x

ε-=-,

即

s i n

s i n x

x e e

e x x

ε

-=-（ε在x 与sin x 之间）

因为当0x →时，有0ε→ 所以

sin lim

lim 1sin x

x e e x e e x x

ε

ε→→-===-

例 计算dt

t

t t I

x x

x ?+∞

→=5

2

2

3tan

)(lim

?，其中)(t ?连续，且)(2)(+∞→→t t ?.

解 由积分中值定理：)5,(+∈?x x ξ，使得

2

52

2

2

2

2

3

tan

33lim

()tan

d 5lim ()tan

15lim ()30

3

x x

x x x I t t t t

ξ

?ξ?ξ?ξξ

ξ

+→∞

→∞

→∞

===?

=?

.

12、单调有界定理

通常根据所求极限式的特征，估计其上下界，然后用数学归纳法等方法证明其单调性和有界性，并注意上下界在证明单调性中的应用，最后往往通过方程求解极限值，注意根的取舍.

例 设0>a ，01>x ， ,2,1),(2

11=+

=+n x a

x x n

n

n .试证明： （1）极限n n x ∞

→lim

存在，并求之； （2）级数∑-+)

1(

1n n x x 收敛.

证 （1）

,2,1,1

=≥

+n a x n .即数列有下界. 又因为

22

1≤-=

-+n

n n n x x a x x ，

即数列是单减的，由单调有界定理知其极限存在.

设lim n n x α→∞

=，则由极限的保序性和（1）知a

≥α

. 在递推公式两边取极限

得

)(21α

ααa

+

=

，

解得α

=

α=)，即a

x n n =

∞

→lim

.

（2）由（1）知此是正项级数，且a

x n

≥

，于是

)(1)(110111

1

++++-≤

-=

-≤

n n n n n n n x x a

x x x x x ，

由此得

1111

1

1)(1)1(x a

x x a

x

x S n n

k n n

n ≤

-≤

-=

+=+∑，

即部分和有界，故级数收敛.

13﹑利用极限的四则运算法则求极限

对和差积商形式的函数求极限自然会想到极限的四则运算法则,但是为了能自然使用这些法则,往往需要先对函数作某些恒等变形或化简,采用怎样的变形与化简要根据具体的算式来确定,常用的有分式的约分或通分,分式的分解,分子或分母的有理化,三角函数的恒等变形, 某些求和公式与求积公式及适当变量替换等.

（1）有理分式函数的极限

)(),(x Q x P 均是关于x 的多项式，则有

??

????=???=∞→)).

(())(()),(())((,)),(())((,

0)

()(lim x P x Q x P x Q x P x Q n Q n P x 最高次系数之比，

对于其他类型的极限，可利用函数的连续性和洛必达法则求解. （2）无理根式的极限

通常采用分子有理化或分母有理化方式进行求解. 例 计算)(lim

2

2

n n

n n

n --

+∞

→.

解

原式

lim

n

→∞

=

lim

1n →∞

==

例 计算极限.1

2lim

++++∞

→x x

x x x

解

lim

lim

2

x x →+∞

→+∞

==

.

14、利用加权平均值定理求极限[]8

定理（加权平均值定理）设数列{}{}n n a b 与满足： （1）0,1,2,3n b n >=

（2）1

lim n

k n k b →∞

==+∞∑

（3）11

lim lim

n

k

k

k n n n n k

k a

b a a a b

=→∞

→∞

===∑∑则

该定理指出，在定理的条件下，数列{}1

1n

k k k n n

k k a b a b ==??

????

???

?????

∑∑与有相同的极限，但1

1n

k k k n n

k k a b a b ==??

????

??

??

???

?

∑∑比要简单得多，因此，若能将某个待定式∞∞表示为加权平均值，则可将其转化为简单数列的极限。

例

求极限1112

lim

1n n →∞

+

+++

+

解

令)1

1,2,,0lim

n

n n

k

n k b n b b

→∞

===>=+∞

∑ 则且

再令1,lim 0n n n n n a b a a n

→∞

=

=

=则

由上面定理知原式=11

lim

lim 0n

k

k

k n n

n n k

k a

b a b =→∞

→∞

===∑∑

15、拟和法

在证明A x n -能任意小的过程中，有时需将A 改写成与n x 结构相类似的形式，从而达到解题的目的.

例 设0→x 时，∑

=-=

n

i n a n

i f x x x f 1

2

)

12(

,~)(. 试证明：a x n n =∞

→lim . 其中a 是

大于零的常数.

证 由于∑

∑==-=

=-n

i n

i a n

i a n

i 1

2

2

1

12,)12(，从而有

∑

∑

∑

===--

-≤

--

-=

-n

i n

i n

i n a

n

i a n

i f a n

i a n

i f a x 1

2

2

1

1

2

2

12)12(

12)12(

.

若能证明：0>?ε，当n 充分大时，有

ε

2

2

2

1212)12(n

i a n

i a n

i f -<

--

-， ,2,1=i

则命题成立。要证上式成立，只要证明：当n 充分大时，有

a

a

n

i a n i f ε

<

---112)1

2(2

2

.

事实上，因为)0(~)(→x x x f ，因此，,0,0>?>?δε当δ<

a

x

x f ε<

-1)(.

于是令)2,212(222δδδa

n a n

n a n n a N

><<-≥

，当N n >时，有

.,,2,1,

1202

n i a n

i =<-<

δ

从而所证之式成立.

注 （1）拟合法的实质就是将实数1作适当分解. 数学中采用拟合法解决了不少重大问题；

（2）本例极限中的函数)(x f 可替换成与x 等价的无穷小量，从而得到不

同形式的极限，应予以注意.

16、 利用函数导数、连续的定义