临界阻尼和阻尼振荡
§ 15-3 阻尼与受迫振动1运动方程及其解
d 2q dq q L 2 R E 0 cos t dt C dt
其稳态解为
L
E t
R
C
q Q0 cos t 0
电路中的电流为 dq i Q0 cos t 0 I 0 cos t 0 dt 2
1 R L C 1 当电路条件满足L 时，电路中的电流振幅有最大 C E0 值。此时的电流振幅为 ，电流与电动势的相位差 R 0 。这种状态称为电共振。电共振的条件为 0
T 2 LC
对电量的表达式求时间的导数，任意时刻的电流 dq i Q0 sin t 0 dt
令 I 0 Q0 为电流振幅，改写电流表达式为
i I 0 sin t 0 I 0 cos t 0 2
将上式与电量的表达式比较知， 电流的相位比电量的相 位超前 。 2
T t 2
3T t 4
C
I
Q
Q
A A
I
Q
Q
C
t T
2．电流随时间的变化规律 设 t 时刻电容器极板上的电量为 q ，电 路中的电流为 i，回路电流沿顺时针方向。 线圈两端的电势差等于电容器极板间的电 势差，有 di q U L UC 即 L dt C 由于电流的方向使电容器的电量减少，故有 d 2q 1 dq q i 2 LC dt dt 令
2. 共振（resonance) 理论计算得到稳定时受迫振动的振幅和初相为
A
m
2 0
F0
2 2 4Fra bibliotek 2 22 gb tan 0 2 , 0为受迫振动与强迫力的相位差。 2 0 稳态时物体的速度 v dx v cos t dt 2
阻尼振动
2
0
i t
2
2
通解：x
e
t
( c1 e
t
i t
c2e
)
i
1
可写成 x Ae
cos( t )
A 与 由初始条件确定。
A
5
x0
2Hale Waihona Puke (v0 x 0 )2
0
2
tg
(v0 x 0 )
0
2
x Ae
t
x
欠阻尼 过阻尼 临界阻尼
t
临界阻尼达到平衡位置的时 间最短，但仍不能超过平衡 o 位置。 临界阻尼情况是振动系统刚 刚不能作准周期振动，而很 快回到平衡位置的情况，应 三种阻尼振动比较 用在天平调衡中。
8
二、受迫振动 共振
1.受迫振动 在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期 的强迫力------策动力。这种在周期性处力作用下进行 的振动叫受迫振动。 1.受迫振动方程 以弹簧一维振动为例 阻尼力 F阻 v 弹簧受弹性力 F 弹 kx
2
2
时A最大。 当阻尼很小，策动力频 率等于固有频率时振幅 最大------共振。
H m
2
dx dt
0 x h cos p t
受迫振动方程---二阶常系数非齐次微分方程 通解 x A 0 e t cos( t ) A cos( p t )
受迫振动可以看成是两个振动合成的。
10
通解： x A 0 e
t
cos( t ) A cos( p t )
2
1.阻尼振动方程（低速） 以弹簧一维振动为例 振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比， v 与其方向相反。
阻尼振动的分类
阻尼振动的分类
阻尼振动是指系统受到阻力作用而逐渐失去能量的振动。
根据阻尼的大小，阻尼振动可以分为三类：过阻尼、欠阻尼和临界阻尼。
1.过阻尼：当系统的阻尼力过大时，系统在受到扰动后会缓慢地返回平衡位置，不会出现振荡现象。
在这种情况下，系统的响应速度较慢，但能够保持稳定。
2.欠阻尼：当系统的阻尼力较小时，系统在受到扰动后会出现振荡现象，但随着时间的推移，振荡幅度逐渐减小，最终趋于平衡位置。
在这种情况下，系统的响应速度较快，但可能会出现过度振荡。
3.临界阻尼：当系统的阻尼力恰好等于临界值时，系统在受到扰动后会以最快的速度返回平衡位置，且不会出现振荡现象。
在这种情况下，系统的响应速度最快，且能够保持稳定。
临界阻尼-上海交通大学
§6.1 线性定常RLC电路的零输入响应
d 2iL L diL LC 2 iL 0 dt R dt
特征根
L L 4 LC 2 R 1 1 1 R 2 2 0 2 LC 2 RC 2 RC LC
由
iL (0 ) k1 0 diL (0 ) L L( sk1 k2 ) V0 dt
k1 0,k2
V0 L
则有
iL (t )
V0 st te t …0 L
称临界阻尼情况
§6.1 线性定常RLC电路的零输入响应
C dv v iL 0 dt R
vL diL dt
vC (0 ) V0 iL (0 ) 0
电路方程
因为 所以
d 2iL L diL LC 2 iL 0 dt R dt
d 2iL L diL LC dt 2 R dt iL 0 iL (0 ) 0 di (0 ) V L 0 L dt
则有
V0 k L0 90
iL (t )
称无损耗情况
V0 cos(0t 90 t …0 Ld
iC (t ) C
dvC CV0 2 s2t ( s12e s1t s2 e )u (t ) dt s1 s2
iL
t
iR , v
0
tm iC
2tm
§6.1 线性定常RLC电路的零输入响应
电路响应的物理过程
一致参考方向下，
iR , v
iL
P P
0吸收功率， 0发出功率。
t
0
tm iC
2
欠阻尼,过阻尼,临界阻尼公式
欠阻尼,过阻尼,临界阻尼公式
欠阻尼、过阻尼和临界阻尼的公式如下：
1. 欠阻尼：R<2√(L/C)，此时电路有一对共轭复数的两个特征根，振荡放电过程。
2. 过阻尼：R>2√(L/C)，此时电路有不等负实数的两个特征根，非振荡放电过程。
3. 临界阻尼：R=2√(L/C)，此时电路有两个相同的特征根，处于非振荡放电的临界状态。
阻尼比是阻尼系数与临界阻尼系数之比，通常用符号ζ表示。
其中c是阻尼系数，c_{cr}是临界阻尼系数。
当阻尼比ζ<1时为欠阻尼，ζ=1时为临界阻尼，ζ>1时为过阻尼。
以上信息仅供参考，如有需要，建议查阅电路相关的书籍。
阻尼振动的衰减特性与稳定性
阻尼振动的衰减特性与稳定性阻尼振动是指在振动系统中，由于存在阻尼力的作用而引起的振动现象。
阻尼是一种能量的损耗过程，通过阻尼力的作用，振动系统的能量逐渐减小，振动幅度逐渐减小，最终趋于稳定状态。
本文将讨论阻尼振动的衰减特性与稳定性。
首先，我们来了解一下阻尼振动的衰减特性。
在没有阻尼力的情况下，振动系统会以自然频率进行无阻尼振动。
然而，在实际情况下，很难避免阻尼的存在。
阻尼力的作用会导致振动系统的振幅逐渐减小，振动周期逐渐增长。
阻尼振动的衰减特性可以通过振动系统的阻尼比来描述。
阻尼比是指振动系统的实际阻尼与临界阻尼之间的比值。
当阻尼比小于临界阻尼时，振动系统呈过阻尼状态，振幅衰减速度较快；当阻尼比等于临界阻尼时，振动系统呈临界阻尼状态，振幅衰减速度最慢；当阻尼比大于临界阻尼时，振动系统呈欠阻尼状态，振幅衰减速度较慢。
因此，阻尼振动的衰减特性与阻尼比密切相关。
其次，我们来讨论阻尼振动的稳定性。
稳定性是指振动系统在受到外界扰动后，是否能够回到平衡位置并保持稳定状态。
阻尼振动的稳定性与振动系统的阻尼比以及外界扰动的幅度有关。
当阻尼比小于临界阻尼时，振动系统的稳定性较好，即使受到较大的外界扰动，也能够快速回到平衡位置；当阻尼比等于临界阻尼时，振动系统的稳定性较差，受到外界扰动后可能出现较大的振幅；当阻尼比大于临界阻尼时，振动系统的稳定性又会得到改善，振幅会逐渐减小，最终趋于稳定状态。
因此，阻尼振动的稳定性与阻尼比和外界扰动密切相关。
在实际应用中，我们常常需要考虑阻尼振动的稳定性。
例如，在建筑物的结构设计中，需要确保结构在受到地震等外界扰动时能够保持稳定，阻尼振动的稳定性就成为一个重要的考虑因素。
此外，在机械工程中，阻尼振动的稳定性也是一个关键问题。
例如，在汽车悬挂系统的设计中，需要确保悬挂系统在行驶过程中能够保持稳定，阻尼振动的稳定性对乘坐舒适性和操控性能都有重要影响。
总结起来，阻尼振动的衰减特性与稳定性是振动系统中重要的性质。
振动系统的自由振动与阻尼振动
振动系统的自由振动与阻尼振动振动系统是研究物体在受外力作用下发生振动的系统。
振动系统包括质点振动和连续体振动两种类型。
其中，自由振动与阻尼振动是两种常见的振动形式。
本文将就振动系统的自由振动与阻尼振动进行探讨。
一、自由振动自由振动指的是在没有任何外力作用下，振动系统发生的振动。
在自由振动中，不考虑阻尼以及外力引起的影响，系统能够保持自身的振动频率。
1.简谐振动简谐振动是自由振动的一种特殊情况，具有周期性、等幅且频率恒定的特点。
在简谐振动中，振动系统的回复力与位移成正比，且反向相对。
2.振动的阶数振动的阶数指的是振动周期中的一个完整振动过程。
对于一个简单的振动系统，其振动阶数为一。
而对于复杂的振动系统，则需要通过求解微分方程来确定振动阶数。
二、阻尼振动阻尼振动是在振动系统中存在阻力或摩擦力的情况下发生的振动。
阻尼振动可以分为三种类型：无阻尼振动、临界阻尼振动和过阻尼振动。
1.无阻尼振动无阻尼振动是指在没有阻力作用下进行的振动。
在无阻尼振动中，振动系统的振幅将保持不变。
2.临界阻尼振动临界阻尼振动是指振动系统受到与阻尼振动相等的阻力时的振动情况。
在临界阻尼振动中，振动系统回复到平衡位置所需的时间最短。
3.过阻尼振动过阻尼振动是指振动系统受到大于临界阻尼的阻力时的振动情况。
在过阻尼振动中，振动系统会经历一段时间的减振过程，直至回到平衡位置。
三、振动系统的应用振动系统广泛应用于各个领域。
其中一些具体的应用包括：1.钟表：钟表中的振荡器通常采用自由振动，通过调整振荡器的频率来实现时间的精确计量。
2.建筑工程：在大型建筑工程中，通过振动系统可以进行结构的模拟和分析，以确保建筑物在地震等自然灾害中的安全性。
3.交通工具：汽车、飞机等交通工具中的悬挂系统和减震系统都采用了振动系统的原理，以提供更加平稳的行驶体验。
4.音乐乐器：各种乐器中的共鸣器、弦线等部件都属于振动系统的范畴，通过改变振动频率和振幅可以产生不同的音调和音色。
欠阻尼,过阻尼,临界阻尼电路动态过程
欠阻尼、过阻尼和临界阻尼是描述电路动态过程的三种状态。
欠阻尼电路：在激励信号作用下，电路中的电流和电压关系呈线性关系，即没有能量耗散。
这种状态下，电路响应迅速，但响应不够强烈。
过阻尼电路：在激励信号作用下，电路中的电流和电压关系呈非线性关系，即存在能量耗散。
这种状态下，电路响应缓慢，但响应强烈。
临界阻尼电路：介于欠阻尼和过阻尼之间的状态。
在这种状态下，电路的响应既不是非常迅速也不是非常缓慢，响应强度也适中。
这些状态的变化是由电路中的阻尼系数和激励频率决定的。
对于给定的电路，可以通过调整这些参数来改变其动态特性。
长江大学物理实验报告RC,RLC电路的暂态过程
大学物理课题RC、RLC电路的暂态过程教学目的 1、观察RC电路的暂态过程，理解时间常数τ的意义。
2、观察RLC串联电路的暂态过程及其阻尼震荡规律。
重难点 1、观察RC电路的暂态过程，理解时间常数τ的意义；学会测量RC暂态过程半衰期的方法，并由此求出时间常数τ。
观察RLC串联电路的暂态过程及其阻尼震荡规律。
2、理解当L、C一定时，R值的不同导致RLC电路出现三种不同的阻尼震荡的原因。
教学方法讲授与实验演示相结合。
学时 3学时。
一．前言RC串联电路与直流电源相接，当接通电源或断开电源的瞬间将形成电路充电或放电的瞬态变化过程，这瞬态变化快慢是由电路各元件量值和特性决定的，描述瞬态变化快慢的特性参数就是放电电路的时间常数或半衰期。
本实验主要研究当方波电源加于RC串联电路时产生的RC瞬态放电曲线及用示波器测量电路半衰期的方法；同时还要了解方波电源加于RLC串联电路时产生的阻尼衰减震荡的特性及测量方法。
二．实验仪器FB318型RLC电路实验仪，双踪示波器。
三．实验原理1、RC电路的瞬态过程电阻R与纯电容C串联接于阻为r的方波信号发生器中，用示波器观察C上的波形。
在方波电压值为U0的半个周期时间，电源对电容C充电，而在方波电压为零的半个周期，电容器捏电荷通过电阻（R+r）放电。
充放电过程如图所示，电容器上电压U C随时间t的变化规律为U C= U0[1-e-t/(R+r)c] (充电过程) （1）测RC充放电电路tRC放电曲线U C= U0e-t/(R+r)c（放电过程）（2）式中，(R+r)c称为电路的时间常数（或弛豫时间）。
当电容C上电压在放电时由U C减少到U0/2时，相应经过的时间成为半衰期T1/2，此时T 1/2=（R+r ）c ㏑2=0.693（R+r ）c (3) 一般从示波器上测量RC 放电曲线的半衰期比测弛豫时间要方便。
所以，可测量半衰期T 1/2，然后，除以㏑2得到时间常数（R+r ）c 。
临界阻尼系数
临界阻尼系数引言临界阻尼系数是在动力学系统中用于描述阻尼效应的重要参数。
它是指当一个振动系统的阻尼系数等于临界阻尼系数时，系统的阻尼特性将发生变化。
本文将深入探讨临界阻尼系数的定义、特性和应用。
临界阻尼系数的定义临界阻尼系数是指在阻尼系统中，当阻尼系数等于临界阻尼系数时，系统的阻尼特性发生变化，此时系统的振动无衰减，也即阻尼不起任何作用。
临界阻尼系数通常用ξ_c表示。
临界阻尼系数的计算方法对于一般的线性阻尼系统，其临界阻尼系数可以通过以下公式计算：\[\xi_c = \frac{2\sqrt{mk}}{c}\]其中，m表示系统的质量，k表示系统的刚度，c表示系统的阻尼系数。
临界阻尼系数的特性1.系统阻尼小于临界阻尼系数时，系统为欠阻尼系统。
此时，系统存在振荡，振幅逐渐减小。
2.系统阻尼等于临界阻尼系数时，系统为临界阻尼系统。
此时，系统的振幅不会衰减，但也无法实现持续振动。
3.系统阻尼大于临界阻尼系数时，系统为过阻尼系统。
此时，系统的振幅会迅速衰减，回归平衡态。
临界阻尼系数的应用工程中的应用在工程领域，临界阻尼系数的应用非常广泛。
以桥梁抗震设计为例，设计师会根据桥梁的结构特点和材料性能选择合适的阻尼系统，以确保桥梁在发生地震时能够保持稳定。
控制系统中的应用在控制系统中，临界阻尼系数也扮演着重要角色。
临界阻尼系数是控制系统中达到最快响应时间的阻尼参数。
控制系统设计中，通常会通过调节阻尼系数的值来使系统的阻尼达到临界阻尼系数，以提高系统的响应速度和稳定性。
结构动力学中的应用在结构动力学中，临界阻尼系数与结构的稳定性密切相关。
当临界阻尼系数小于1时，结构存在自激振荡现象，容易导致破坏。
因此，结构的设计和分析中必须考虑临界阻尼系数，以确保结构的稳定性和安全性。
总结临界阻尼系数是描述阻尼效应的重要参数，它的计算方法和特性使其在工程、控制系统和结构动力学等领域有着广泛的应用。
了解临界阻尼系数对于设计和优化动力学系统具有重要意义，在实际应用中可以提高系统的性能和稳定性。
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i
R
Rt
K1e L ,
K1 eK
式中K1为积分常数,由t=0，i0
0
确定.可得 K1
R
即解为：i
R
1
e
R L
t
根据得到的结果画出 L 不同值时电流i随时间t变化 的曲线，由图可看出，R 接通电源后，电流要经过一
段指数式上升过程，最后达到稳定值
I0
R
0, L
L di , L di
dt
dt
Ri .
这就是电路中变化着的瞬时电流i所满足的微分方程，它是
一个一阶线性常系数非齐次方程，可用分离变量法求解。
将上式写成:
di
i
R dt, L
R
2
对上式两边积分，得:
lni R t K, 或 R L
,
定了电流i上升的快慢程度，它具有时间
比值 L 的量纲R
决 。
通常令 L ，称为RL电路的时间常数。 R
3
i
I0 R
L小
L大
0.63I0 R
R
O
t
从上式看出， 值大（即电路的L大、R小）电流增长慢， 达到稳定值所需时间长； 值小（即L小，R大）电流增长
快，达到稳定值所需时间短，所以它是标志RL电路中暂态
L dt
i
Rt
eL
R
5
将电源撒去时，电流下降也按指数递减，递减的快慢用同一时 间常数 L 来表征。
R
总之，LR电路在阶跃电压的作用下，电流不能突变，电流 滞后一段时间才趋于稳定值，滞后的时间由时间常数标志。
二、RC电路的暂态过程 RC电路的暂态过程就是通过电阻对电容器充电或
电容器通过电阻放电的过程。在电子线路（如脉冲、 数字电路）中经常遇到。本节重点放在求电容器电压 随时间变化的规律上， 即求出函数uc（t）.掌握了u0 （t）后，其它如电流、电量的变化规律就不难求得。
2L
下图中三条曲线对应三种情形：分别称为过阻尼、 临界阻尼和阻尼振荡。
15
q
阻尼振荡
q
临界阻尼
过阻尼
Cε
过阻尼 临界阻尼 O
O
t
阻尼振荡
t
下面着重从能量的角度定性讨论LCR电路放电过程的特点，说
明过阻尼、临界阻尼和阻尼振荡的含义。
我们知道，电容和电感是储能元件，其中能量的转换是 可逆的。而电阻是耗散性元件，其中电能单向地转化为热能。 由于阻尼度是与电阻成正比，它的大小反映着电路中电磁能 耗散的情况。
过程持续时间长短的特征量。
当
t 时
i 1 e1
R
R
1 0.37
0.63I0
4
这就是说， 等于电流从零增加到稳定值的63%所需的时间。
当 t 5 时，可算出i=0.994I。，此时i已足够接近I。，故
可认为暂态过程已结束。
通常的RL电路， 值极小（毫秒级或微秒级），所以只需
16
首先我们看电路中R=0的情形，此时 0。放电过程开始 时，电容器中原来积累的电量减少，线圈中的电流增大，这 时电容器中储存的静电能转化为电感元件中的磁能。当电容 器中积累的电量放电完毕时，全部静电能转化为磁能以后， 电路中的电流在自感电动势的推动下持续下去，使电容器反 方向充电，于是，磁能又转化为电能。如此的过程反复进行 下去，形成等幅振荡。振荡的频率和周期分别为 它们分别称为电路的自由振荡频率和自由周期。
在暂态过程的讨论中，需要借助欧姆定律和基 尔霍夫定律列出电路方程，这些在稳恒电流中成立 的定律对于变化电流是否还成立呢？在第六章中将 指出，当变化的电流满足“似稳条件”时，稳恒电 流电路的各种规律仍适用，这里讨论的变化电流电 路，似稳态条件均能很好的满足。
讨论暂态过程要涉及许多随时间变化的量，为 明确区分它们，分别用小写字母表示随时间变化的 量，用大写字母表示不随时间变化的量。
9
三、LC振荡电路
10
11
12
13
四、RLC电路的暂态过程
如图所示，与上述RC和LR电路类似。
LR2K Nhomakorabeaε
1
这个电路的微分方程为：
L di dt
iR
q C
K接于1 0K接于2
i
dq dt
L
d 2q dt 2
R
dq dt
q C
0
14
这是二阶线性常系数微分方程，方程式解的形 式与阻尼度 R C 有密切关系。
得， A
RC大
RC小
t
故得特解： uc t e RC
0.37ε
O
t
8
综上所述，我们在研究暂态过程中要抓住两个 要点：（1）微分方程；（2）初始条件。微分方程 反映待求函数在整个暂态过程中所服从的物理规律； 初始条件反映待求函数在开关拔动的瞬间所应满足 的条件，对含有线圈的电路它可从“线圈电流不能 突变”得出，对含有电容的电路可从“电容器电压 不能突变”得出。
f0
2
1 LC
, T0
uc
t
(1
e
t RC
)
7
RC 的值称为RC电路的时间常数。 t 5 时， 则充电过程实际上已基本结束。
放电过程：
uC(t)
iR uc 0,
RC小
t 0.63ε
求得其通解为：uc t Ae RC
RC大
由初始条件 uc 0 ，
O
t
uC(t)
一、RL串联电路的暂态过程
RL电路与直流电源接通，如图所示，若把开关K拔 向1时作为时间的起点（即t=0），这一时刻后，电路 中的电流随时间变化的规律怎样?即求出函数i（t）。1
R
L L
i
2
1K
它们的正方向如图所示，设电源的电动势为 ，内阻为零，
根据一段含源电路的欧姆定律，可得:
iR L
经过极短的时间，即可认为暂态过程已经结束而达到稳态。
暂态的全过程，电流从零达到稳定值，这是在线圈中建立
磁场的过程，或者说是电源对线圈的充磁过程。
将开关由1很快拔向2，作
i
用在LR电路上的阶跃电压从
I0 L大
到0，这时按照欧姆定律，电
L小
R
0.37I0 R
流I所满足的微分方程为： O
t
iR , L di iR 0
6
RC
i
uR uC
2
K1
如图所示，设原先电容器不带电，当电键k拔向1时。 ,对. 电容器充电，瞬时电流为i，这时有如下关系：
uc iR ,
i
dq dt
, uc
q C
,i
C
duc dt
, RC
duc dt
uc
上式即为 uc 所满足的微分方程,采用分离变量
法可求得其特解为：