阻尼受迫振动

讨论阻尼受迫振动方程的解
物理102 34号 温一鸣
阻尼受迫振动系统的动力学模型如图2.18所示。

在此系统上除了有弹性恢复力kx 及阻尼力
x
c 作用外，还始终作用着一个简谐振力。

t P P x ωsin 0=
若以静平衡位置O —O 为坐标原点，取质量块m 的振动位移x 为广义坐标，且向下为正，则可按牛顿运动定律直接写出该系统的运动微分方程式：
t P kx x c x
m ωsin 0=++ （2.56） 令m
P q m c m k n 02
,2,===αω 上式可改写成以下形式：
t q x x x n
ωωαsin 22=++ （2.57） 这是一个非齐次二阶常数线性微分方程式，其通解应为： ()()()t x t x t x 21+=
其中，()t x 1是（2.57）式中右端为零的齐次方程的通解。

在弱阻尼状态下，这一通解（见2.49）。

()ϕωα+=-t Ae x d t sin
()t x 2是方程（2.57）式的一个特解，因为这一方程的非齐次项为正弦函数，故其特解也为简谐函数，且其频率与非齐次项的正弦函数的频率一致。

即：
()()ψω-=t B t x sin 2
所以方程（2.57）式的通解为：
()()ψωϕωα-++=-t B t Ae x d t sin sin
上式中，等式右边第一项表示有阻尼的自由振动（即衰减振动），后一项表示有阻尼的受迫振动。

因此在开始振动时，运动是衰减振动和受迫振动的叠加，形成振动的暂态过程，这一过程中的振动称为瞬态振动。

如图2.19所示，经过一段时间后，衰减振动很快就衰减掉了，而受迫振动则持续下去，形成振动的稳态过程，这一过程中的振动称为稳态振动。

一般不研究振动的暂态过程，因为它只是一个过渡现象，而只研究振动的稳态过程。

因此我们只分析（2.58）式中的第二项，即：
()ψω-=t B x sin
式中：B ——受迫振动的振幅；
ω——受迫振动的圆频率；
ψ——振动体位移x 与激振力p x 之间的相位差。

其中B 和ψ是两个特定常数，可用下法求得。

()ψωω-=t B x
cos （速度） ()ψωω--=t B x
sin 2 （加速度） 将以上两式代入（2.57）式得：
()()
()()[]
()()ψωψψωψψψωωωψωωψωωαψωω-+-=+-==-+-+-t q t q t q t q t q t B t B t B n n n cos sin sin cos sin sin sin sin cos 2sin 22
两式加以整理得：
()[]()
[]()()⎭
⎬⎫
=-=--=--+---0sin 20cos 0
cos sin 2sin cos 2
222
ψωαψωωψωψωαψωψωωq B q B t q B t q B n n 解上列联立方程式，将两式平方相加得： ()22
2224ωαωω+-=n q
B
（2.61） 又 222
ω
ωαω
ψ-=n tg （2.62） 令 K p
q B n 0
20=
=ω，称为静变位，
n
ωω
λ=， 称为频率比；
0c c
n =
=ωαξ， 称为阻尼比
则（2.61）及（2.62）式可改写成下列形式： ()()2220
21ξλλ+-=B B （2.63）
21
12λξλψ-=-tg （2.64） 振动特性的讨论
（1）受迫振动的运动规律
如前所述，当作用在系统上的干扰力是简谐激振力t p p x ωsin 0=时，则系统的响应为：
()()()()ψωξλλψω-+-=-=t B t B x sin 21sin 2220
（2.65）
而且只要有激振力存在，这一振动就不会被阻尼衰减掉。

（2）受迫振动的频率
受迫振动的频率与激振力的频率ω相同。

（3）受迫振动的振幅
受迫振动的振幅大小，在工程实际问题中具有重要意义。

若振幅超过允许的限度，机器零件中会产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者会影响机器及仪表的精度。

1）自由振动的振幅与初始条件有关，而受迫振动的振幅与初始条件无关。

2）受迫振动的振幅B 与静变位B 0成正比。

而静变位B 0表示在与激振
力幅值p 0相等的静力作用下系统产生的变位。

所以振幅B 与激振力幅
p 0成线性关系，p 0越大，则B 越大。

（4）阻尼的影响：阻尼增大可以有效地降低共振的振幅。

当阻尼为零时，共振振幅B n 趋于无穷大。

增大阻尼将使B n 相应减小。

当ξ＞
0.5时，将使B n ＜B 。

这说明：阻尼增大虽不能使受迫振动停息下来，
但却可使它的振幅减小。

若阻尼足够大时，则可使共振现象不再出现，而将受迫振动维持在一个不大的振幅上。

（5）受迫振动的相位差
由（2.64）式得知，受迫振动的位移对激振力的相位差ψ与频率比λ及阻尼比ξ有关。

ψ始终是正值，故受迫振动的位移总是滞后于激振力；而且不论阻尼比ξ的大小如何，当λ=1时，ψ=90°，振动系统的位移对激振力的相位差总是90°。

若ξ≠0，则当λ＜1时，ψ在0°～90°之间；当λ＞1时，ψ在90°～180°之间。

若ξ=0，即系统无阻尼存在时，相位差ψ在λ=1处有一个突变，即λ＜1时，ψ=0；λ＞1时，ψ=180°。

就是说，在ω＜ωn时，受迫振动的位
移与激振力同相；在ω＞ω
n时，受迫振动的位移与激振力反相。

若
系统有阻尼存在，则这种相位突然变化的规律渐趋平缓。

参考文献:
[1]复旦大学物理系,上海师范大学物理系.物理学[M].上海:上海科学技术出版社,1978.
[2]漆安慎,杜婵英.力学[M].北京:高等教育出版社,2006.
[3]刘克哲.物理学[M].北京:高等教育出版社,2003。