数学反演理论基础研究—偏微分方程反问题

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反问题的严格定义很难给出。因此，反问题的定义似乎有点“只能意会，不能言传”的味 道。美国斯坦福大学的 J.B.Keller（1976）：若在两个问题中，一个问题的表述或处理涉及到或 包含了有关另一个问题的全部或部分的知识，我们称其中一个为正问题（direct problem），另 一个为反问题（inverse problem）。
∫ 的解，其中 H (t) = 1
2a πt
D
exp
⎧ ⎨ ⎩
−ξ 2 4a2t
⎫ ⎬ ⎭
dξ
例 1.5 Abel 积分方程：物理中的反问题
设有一个质量为 m 的质点在重力 mg 的作用下，从铅直平面中高度为 h > 0 处的点 p1 ，
沿着某一曲线 Γ 无摩擦地滑到高度为 h=0 处的点 p0 。
例 1.1 加减法 互为逆运算，由此引发的填空问题。 例 1.2 积分和微分 互为逆运算，但并不是一一对应的，需要附加条件。 一般性所考虑问题的思维方式：“由因及果”，也就是人们习惯于根据原因去研究相应的 结果这样的一种因果关系思维方式。 原因=〉结果 输入+系统=输出 因果关系是辩证的，相对的，都不是绝对的。如果我们仅仅知道结果，也就是输出，需 要去追寻原因的时候，就需要一种逆向思维方式，即“由果索因”。 原因〈=结果
Kx = y
其中，算子 K 和右端项是已知量。近似的利用已知 K 和 y 来求 x。当算子 K 是线性算子时， 称为线性反问题，否则称为非线性反问题。当 K 为微分方程算子时，称为微分方程反问题。
z 通常称一个先前被研究过的相对充分或完备的问题为正问题，而称与此相对应的另 一个问题为反问题。
z 正问题是线性的，对应的反问题也可能是非线性的。
这里 C 代表复平面 R2 。强度 I 的减弱可近似地表示为： dI = −γρ Idu ，其中 γ 为常数，沿直
线 L 积分：
∫ ln I (u) = −γ u ρ(seiδ + iueiδ )du u0
若假定密度 ρ(x, y) 具有紧支性，则强度损失由下式给出：
∫ ln I (∞) = −γ +∞ ρ (seiδ + iueiδ )du −∞
+系统=输出 也就是说这两种思维方式是相对的，如果我们把“由因及果”所考虑的问题称为正问题， 那么“由果索因”所考虑的问题就是反问题。 例 1.3 多项式函数
正问题：给定多项式 Pn (x) = cn xn + cn−1xn−1 + + c1x + c0 ，求在 n +1个已知点
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x0 , x1, , xn 处的函数值 y0 , y1, , yn 。
dτ
其中 χD (x) 为示性函数，D 为 R1 中的有届区域。
正问题：已知 z(t) ，利用上式求未来任意时刻的温度分布 u(x, t)
反问题：已知 u(0, t) = g(t) ，求 z(t) ，即第一类 Volterra 积分方程
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∫t H (t −τ )z(τ )dτ = g(t), t > 0 0
∫ ∫ ∫ u(x,t) = 1
2a πt
+∞ φ
−∞
(ξ
)
exp
⎧ ⎨ ⎩
−(x −ξ 4a2t
)2
⎫⎬dξ ⎭
+
2a
1 π
t
t 0
+∞ −∞
f
(ξ ,τ t −τ
)
exp
⎧ ⎨ ⎩
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ−(
x−ξ 4a2t
)2
⎫⎬dξ ⎭
dτ
（1）若 f (x,t) ≡ 0 ，则有
∫ u(x,t) = 1
2a πt
+∞ −∞
φ
(ξ
)
exp
⎧ ⎨ ⎩
−(
x−ξ 4a2t
)2
⎫⎬dξ ⎭
正问题：已知φ(x) 和 a 通过上式求温度分布 u(x, t) 。
反问题：已知某一时刻 T 时的温度分布 u(x,T ) := uT (x) 和 a ，求初始时刻温度分布φ(x) ，
即求解下述第一类 Fredholm 积分方程
∫ 1
2a πT
正问题：当曲线 Γ 给定后，决定从该质点 p1 滑到 p0 所需要的时间 T.
反问题：假定已通过测量得出高度 h 和时间的关系：T = T (h) ，要求决定该曲线的形状。
不妨设该曲线的表达式为 x =ψ ( y) ，其上任一点的坐标为 (ψ ( y), y) 。根据能量守恒定律
可知速度 v 满足：
考虑二维情况，通过人体的某一平面用 ρ(x, y) 表示点 (x, y) 的密度，而用 L 表示该平面
内的任意直线，假定发射一束 X 光沿直线 L 穿过人体，并测量 X 光闯过人体后的强度变化。
用参数 (s,δ ) 来刻画直线 L，其中 s ∈ R,δ ∈[0,π ] 。射线 Ls,δ 可表示为 seiδ + iueiδ ∈ C, u ∈ R ，
第一章 绪论
近二十多年以来，数学物理反问题已经成为应用数学中成长和发展最快的领域之一。之 所以如此，在很大程度上是受其他学科与众多工程技术领域的应用中产生的迫切需求所驱动 的。在实践中，许多反问题可归结为第一类算子方程的求解问题；而反问题的某些求解方法 如广义脉冲谱方法（GPST），最佳摄动法等，也常常把第一类算子方程的求解过程，作为方法 本身的一个子过程，因此，本章将以第一类算子方程为数学框架来描述和研究反问题。
E +U = 1 mv2 + mgy = mgh 2
ds = v = 2g(h − y) dt
于是，有任一点 p1 滑到 p0 所需要的总时间为：
∫ ∫ T = T (h) = p1 ds = h 1+ψ ′( y)2 dy, h > 0
v p0 0 2g(h − y)
令φ( y) = 1+ψ ′( y)2 ，且设 f (h) := T (h) 2g 为已知，则反问题就是由下面的 Abel 方程：
反问题：Lagrange 插值问题：给定 n +1组值 (xi , yi ), i = 0,1, , n ，要求确定 n 次多项式
Pn (x) 的系数 ci ，使得其满足插值条件： Pn (xi ) = yi , i = 0,1, , n 。
例子可以看出，反问题是相对于正问题而言的，在这个例子中，如果我们把 Lagrange 插
偏微分方程反问题的数值解法 教案
哈尔滨工业大学理学院数学系 陈勇 2007.8
参考书目：不适定问题的正则化方法及应用，刘继军著，科学出版社，2005.9 反问题的数值解法，肖庭延，于慎根，王彦飞著，科学出版社，2003.9 反演问题的计算方法及其应用，王彦飞著，高等教育出版社，2007.1 Inverse problems for partial differential equations, Victor Isakov, Springer, 1998 An introduction to the mathematical theory of inverse problems, Andreas Kirsch, Springer, 1996
∫ h φ( y) dy = f (h), h > 0
0 h− y
来求φ( y) 。
Abel 应用：地震学，利用地震波的传播时间来确定地壳运动的速度。等离子物理，用光谱法 测量和计算温度，电子密度，粒子密度等。
例 1.6 CT 技术中的反问题 背景：Radon，1917，二维、三维的物体可由他的无限多个投影的逆变换实现重构。美国 工程师 A.M.Cormack 试图帮助医生不经手术了解人体内有关器官大小和组织结构变异的情况。 英国工程师 G.N.Hounsfield 在 1972 年成功研制出头颅 X 射线断层摄影装置，并与 1979 年与
在两个相互为逆的问题中，如果一个问题在 Hadamard 意义下是不适定的，特别是若问题 的解不连续地依赖于原始数据，则称其为反问题。
1.2 反问题的数学结构及其分类
数学物理反问题的一般的数学形式：这就是微分方程定解条件中的三个组成部分（方程， 初始条件，边界条件）再加上一个附加条件。写成一般的形式为：
C.W.Groetsch：反问题是很难定义的，但是几乎每一个数学家都能马上判断出一个问题是 正问题还是反问题。
苏联学者 Levrentiev：“偏微分方程的反问题是指从偏微分方程解的某些泛函去确定偏微 分方程的系数或右端项”。
T.Robinson 的观点：“Usually in mathematics you have an equation and you want to find a solution. Here you were given a solution and you had to find the equation. I liked that.”
+∞ −∞
φ
(ξ
)
exp
⎧ ⎨ ⎩
−(x −ξ 4a2T
)
2
⎫⎬dξ ⎭
=
uT
(x)
（2）若φ(x) ≡ 0 ，但 f (x,t) = z(t)χD (x) ，则有
∫ ∫ u(x,t) = 1
2a π
t +∞ 0 −∞
z(τ ) t −τ
exp
⎧ ⎨ ⎩
−( 4a
x− 2 (t
ξ −
)2 τ)
⎫⎬dξ ⎭
1.1 反问题的若干例子
背景：1923，Hadamard,线性偏微分方程的 Cauchy 问题时开始研究反问题的不适定性。 20 世纪 40 年代，Tikhonov，提出了变分正则化方法，《Solutions of ill-posed problems》,(Tikhonov,1977,中译本《不适定问题的解法》（王秉忱，1979，地质出版社）)， Landweber 和 Fridman，迭代正则化方法。Morozov 和 Groetsch 把不适定问题的正则化放在抽 象泛函空间进行完整描述。国内：冯康等。