牛顿莱布尼茨公式
偶函数牛顿莱布尼茨公式
偶函数牛顿莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式又被称为基本定理或者牛顿公式。
它是微积分中的基本公式，用于计算定积分的值。
公式的原型可以表达为：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)
其中，f(x)是被积函数，定义在闭区间[a,b]上，F(x)是f(x)的一个原函数。
该公式的意义在于，对于连续函数f(x)而言，其定积分可以通过求出f(x)的一个原函数F(x)，再将F(x)在区间[a,b]的两个端点值相减获得。
拓展方面，在实际应用中，牛顿-莱布尼茨公式也可以用于计算定积分的面积、质量、电荷等物理量。
对于非整数次幂的函数，可以通过基本定理来计算其不定积分，从而得到它的一个原函数。
此外，基本定理也可用于计算曲线的弧长、旋转体的体积以及概率密度函数的期望值。
它在微积分和数学物理中都具有重要的应用。
牛顿莱布尼兹公式
极限来判定有界函数的可积性来说，简单得多了。 常用定理9.3' 证明有界函数的可积性较方便。
7
三、 可积函数类 根据可积的准则，我们可以证明下面三种类型的函数必是可积的。 定理9.4 若f在[a, b]上连续，则f在[a, b]上必可积。 证 定理9.5 若f是区间[a, b]上只有有限个间断点的有界函数，则f在 [a, b]上必可积。 证 定理9.6 若f是区间[a, b]上的单调函数，，则f在[a, b]上必可积。 证
4
思路与方案: 1. 思路与方案 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于 分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 ξi T , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无 关的条件 。 方案: 定义上和 S (T ) 和下和 s (T ) ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 达布和: 2. 达布和
b
∫ f ( x)dx = F (b) F (a).
a
称为牛顿 莱布尼茨公式，它常写成： f ( x)dx = F ( x) b = F (b) F (a ). a ∫
a
b
证
1
公式使用说明：
1、 在应用公式求∫ f ( x)dx 时，f ( x)的原函数必须是初等函数，否则使用
a b
公式求∫ f ( x)dx失效。即f ( x)的原函数F ( x)可由∫ f ( x)dx求出。
§8.2 牛顿—莱布尼兹公式 若用定积分定义求
b a
∫ f ( x ) dx
a
b
，一般来说是比较困难的。是否有
较简便的方法求 ∫ f ( x ) dx ？下面介绍的牛顿—莱布尼兹公式不仅 为定积分计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与 不定积分联系了起来。
如何理解牛顿莱布尼茨公式
如何理解牛顿莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要公式之一，它将函数的导数和原函数之间建立了联系。
这个公式可以用数学符号表示为：∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)
其中，∫ab表示区间[a,b]上的定积分，f(x)表示函数的导数，F(x)表示函数的原函数。
理解这个公式需要掌握以下几个概念：
1. 定积分：定积分是一种求曲线下面面积的方法。
它可以看作是将曲线分成无数个小矩形，然后将这些小矩形的面积加起来得到曲线下面的总面积。
定积分的符号为∫。
2. 导数：导数是函数在某一点处的斜率，它表示函数曲线在这个点处的变化率。
导数可以表示为f'(x)。
3. 原函数：原函数是导数的反函数。
即如果f(x)是函数的导数，那么F(x)就是函数的原函数。
原函数的符号为∫f(x)dx。
4. 牛顿-莱布尼茨公式：这个公式表示函数的定积分可以用函数的原函数来表示。
例如，在区间[0,1]上，如果f(x)=2x，则：
∫01 2x dx = x^2|01 = 1
而f(x)的原函数是F(x)=x^2，所以根据牛顿-莱布尼茨公式，上式也可以表示为：
F(1) - F(0) = 1-0 = 1
这个公式在微积分中有着广泛的应用，例如求曲线的弧长、求旋
转体的体积等。
掌握了这个公式，可以更深入地理解微积分的精髓。
牛顿莱布尼茨公式与积分运算
牛顿莱布尼茨公式与积分运算知识点：牛顿-莱布尼茨公式与积分运算一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的表述，它建立了微分学与积分学之间的联系。
公式如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间(a, b)内可导，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫(from a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的一个原函数，即F’(x) = f(x)。
二、积分运算的基本性质1.线性性质：设f(x)和g(x)是两个可积函数，α和β是两个常数，则有：∫(from a to b) (αf(x) + βg(x))dx = α∫(from a to b) f(x)dx + β∫(from a to b) g(x)dx2.保号性：如果f(x)在区间[a, b]上非负（非正），则∫(from a to b)f(x)dx非负（非正）。
3.可加性：如果f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，且它们的区间分界点相同，那么：∫(from a to b) f(x)dx + ∫(from a to b) g(x)dx = ∫(from a to b) (f(x) + g(x))dx4.换元积分法：设 Integration variable change : x = g(t)，dx = g’(t)dt，则有：∫(from a to b) f(x)dx = ∫(from g(a) to g(b)) f(g(t))g’(t)dt三、积分运算的基本公式1.幂函数的积分公式：∫(from a to b) x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为积分常数。
2.指数函数的积分公式：∫(fro m a to b) e^x dx = e^x + C。
3.对数函数的积分公式：∫(from a to b) ln|x| dx = ln|x| + C。
牛顿莱布尼茨公式相减等于0了
牛顿莱布尼茨公式相减等于0了
牛顿莱布尼茨公式是数学中一个著名的定理，有其重要的意义。
它由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨共同推导而出，其式子如下：
F＝GMm / R
其中，F 为物体之间的引力，G 为万有引力常数，M 为质量，m 为另一物体的质量，R 代表两体之间的距离。
由这一公式，我们可以得出，当两体之间的距离R = 0时，引力将无限增大，而引力F也将无穷大。
这个结论是多年以前就已经确认的，但是最近，一些数学家们却做出了新的发现。
他们证明，当两体之间的距离R = 0时，牛顿莱布尼茨公式相减等于0，即F＝GMm / R-GMm / R＝0。
这一发现可以说是比较令人惊讶的，因为以前的模型只能解释到R＝0时，引力F必然是无穷大，但实际上，当R＝0时，引力却是等于0.这是由于引力F具有两个方面，一方面是刚性斥力，另一方面是弹性引力，当两体之间距离R＝0时，弹性引力将全部抵消掉刚性斥力，从而使得F＝0.
因此，这一发现对物理学、天文学和数学都有一定的意义，它不仅提升了我们对牛顿莱布尼茨公式的理解，还为我们提供了更多的思考空间，引发了新的研究方向。
首先，物理学家可以由此探索关于万有引力及其他相关现象的本质原因，而天文学家则可以从此探索宇宙中物质之间引力的作用，在
研究宇宙膨胀、太阳系运动等现象时有更深入的理解。
再者，数学家们也可以从此着手研究物理世界中许多有趣的定理和公式，加深我们对物理原理的理解。
总之，牛顿莱布尼茨公式相减等于0的发现，对物理学、天文学和数学都有重要的意义，它不仅引领我们探寻宇宙奥秘的道路，更让我们思想得到更为广阔的开阔。
定积分牛顿莱布尼茨公式
定积分牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式（也称为牛莱公式）是微积分学中的一个重要定理，它连接了定积分和原函数之间的关系。
该公式在微积分起源和发展中起到了关键的作用，它的发现极大地推动了微积分学的发展。
首先，我们需要明确定积分的定义。
定积分是求一个函数在一个区间上的“积累量”，它可以看作是无穷多个微小的面积的总和。
设函数f(x)在[a,b]上连续，它的一个原函数为F(x)。
根据牛顿-莱布尼茨公式，定积分的值可以通过求函数的原函数在两个端点的值之差来计算。
具体而言，公式可以表达为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)这个公式的含义是，函数f(x)在区间[a,b]上的定积分等于它的一个原函数F(x)在b和a处的取值之差。
这个公式可用于求解定积分，而无需使用极限定义来进行计算。
牛顿-莱布尼茨公式可以通过微积分基本定理来证明。
微积分基本定理表明，如果一个函数在一个区间上连续，那么它必然有一个原函数。
这个定理的证明涉及到反函数的构造和连续函数的一些性质，它超出了本文的讨论范围。
牛顿-莱布尼茨公式的证明主要涉及到导数和微分的基本概念。
设a 和b为两个实数，函数F(x)在[a,b]上连续且可微。
根据导数的定义，我们有：F'(x) = lim(h->0) [F(x+h) - F(x)]/h我们可以根据这个式子来近似计算定积分的值。
我们可以将区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n。
记第i个小区间为[x_i-1,x_i]。
我们将每个小区间上的函数值F(x_i)与F(x_i-1)相减后再乘以区间宽度h，得到一个近似的定积分值。
如果我们取n趋近于无穷大，这个近似值将趋近于定积分的真正的值。
具体而言，我们可以写出这个近似值为：Σ {i=1 to n} [F(x_i) - F(x_i-1)] * h这个近似值可以表示为区间[a,b]上的一个数列的和。
当n趋近于无穷大时，这个数列的和将趋近于定积分的真正值。
latex牛顿莱布尼茨公式
latex牛顿莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一个重要定理，它描述了函数的积分与导数之间的关系。
该公式的形式可以用以下等式表示：$$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$其中，$f(x)$是连续函数，$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，$a$和$b$是积分区间的边界。
牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的一种表述，它不仅提供了一种计算定积分的方法，还揭示了导数与积分之间的基本关系。
首先，我们需要了解原函数的概念。
给定一个函数$f(x)$，如果存在一个函数$F(x)$，使得$F'(x)=f(x)$，那么$F(x)$就是$f(x)$的一个原函数。
这意味着原函数$F(x)$的导数等于给定函数$f(x)$。
在这个公式中，$F(x)$被称为积分的“积分匹配”。
根据微积分基本定理，我们知道一个连续函数$f(x)$在一个闭区间上的定积分可以通过求它的原函数在区间边界处的差值来计算。
这就是牛顿-莱布尼茨公式的核心思想。
例如，考虑函数$f(x) = x^2$，我们希望计算它在区间$[0, 2]$上的定积分。
首先，我们需要找到$f(x)$的一个原函数$F(x)$。
通过求导，我们可以得到$F(x) = \frac{1}{3}x^3$。
现在，我们可以使用牛顿-莱布尼茨公式来计算定积分如下：$$\int_0^2 x^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^2 =\frac{1}{3}(2^3) - \frac{1}{3}(0^3) = \frac{8}{3}$$这个结果告诉我们，在区间$[0, 2]$上，函数$f(x) = x^2$的定积分等于$\frac{8}{3}$。
牛顿-莱布尼茨公式不仅适用于具体的函数，也适用于一类函数的积分。
例如，对于多项式函数$f(x) = ax^n$，其中$a$是常数，$n$是正整数，我们可以求出它的原函数$F(x) = \frac{a}{n+1}x^{n+1}$。
《牛顿莱布尼茨公式》课件
牛顿莱布尼茨公式定义为一个函数在一个区间上的定积分等于该函数在区间端点上的值之差与一个关于该函数在 区间内所有点的平均值的权重的积分之和。公式表示为：∫(a,b) f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
牛顿莱布尼茨公式的历史背景
总结词
牛顿莱布尼茨公式是微积分发展史上的重要里程碑，为解决定积分问题提供了有 效的方法计算系统的传递函数。通过使用牛顿
-莱布尼茨公式，我们可以找到传递函数的原函数，从而更好地理解系
统的动态行为。
02
流体动力学
在流体动力学中，我们经常需要计算流体在管道或容器中的压力和速度
分布。通过使用牛顿-莱布尼茨公式，我们可以找到这些量作为位置的
函数的定积分。
03
热力学
在热力学中，我们经常需要计算系统的热量和熵等量。通过使用牛顿-
莱布尼茨公式，我们可以找到这些量作为温度的函数的定积分。
05
牛顿莱布尼茨公式的扩展与
深化
广义的牛顿莱布尼茨公式
广义的牛顿莱布尼茨公式是指将积分上限和下限扩展到任意 实数，甚至扩展到复数域的情况。这使得积分运算的范围更 加广泛，能够处理更复杂的数学问题。
的函数的定积分。
解决力学问题
在解决与力、运动和牛顿第二定 律相关的问题时，牛顿-莱布尼 茨公式可以帮助我们找到物体的
位移、速度和加速度。
电磁学中的应用
在电磁学中，我们经常需要计算 电场和磁场的能量密度。通过使 用牛顿-莱布尼茨公式，我们可 以找到这些量作为空间位置的函
数的定积分。
在工程领域的应用
01
详细描述
牛顿和莱布尼茨分别独立地发现了这个公式，并为其证明做出了贡献。在此之前 ，计算定积分需要使用复杂的几何方法或数值近似法，而牛顿莱布尼茨公式提供 了一种简便且精确的计算方法，极大地推动了微积分学的发展。
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… …
于 是 ， 当 xi T 时 ， 任 取 i xi1, xi 便 有
…
…
i i ，这就证得
…
… …
n
f i xi Fb Fa
i 1
…
n
…
f i f i xi
…
i1
…
… …
n
f i f i xi i 1
…
… … …
ba
n
xi
i 1
装 …
所以 f (x) 在 a,b上可积，且有公式（1）成立。
a
装 … …
（3） b dx 1 b 1 1
a x2
xa a b
… … …
（4） sin xdx cos x 2
0
0
…
（5）先用不定积分法求出 f x x 4 x2 的任一原函数，
…
…
然后完成定积分计算：
… 订 …
x 4 x2 dx 1 4 x2 d 4 x2 1 4 x2 3 C
…
…
2）对 f (x) 的要求可减弱为：在 a,b上可积（不一定连
…
…
续），这时公式（2）仍成立。
线
…
2.3 例题讲解
… …
例 1 利用牛顿-莱布尼茨公式计算下列定积分
… …
（1） b x ndx （ n 为正整数） a
… …
（2） b e x dx a
… … …
（3） b dx 0 a b a x2
…
x
… …
J 2 1 dx 3 1 dx ln 2
1x
2 x 1
装
注意：这类问题的解题思想，是要把所求的极限转化为某
…
…
个函数 f x 在某一区间 a,b上的积分和的极限，然后利
…
… …
用牛顿-莱布尼茨公式计算
J
b
a
f
xdx 的值。
… …
3、课堂小结
…
微积分基本公式：
…
订
若 函 数 f (x) 在 a,b 上 连 续 ， 且 存 在 原 函 数 Fx , 即
… … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … …
… … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … …… 线… …… …… …… …… …… …… …… …… …装 ……
（4）
sin xdx
0
…
（5）
2
x
4 x2 dx
0
… …
解：其中（1）—（3）即为上节的例题和习题，现在用牛
…
顿-莱布尼茨公式来计算就十分方便了。
…
… …
（1）
b xndx
x n1
b
1
b n1 a n1
a
n1 n1
…
a
… …
（2） b e x dx e x b eb ea
a
… …
公式使用说明：
… …
（1）在应用公式求
b
a
f
xdx
时，
f
(x)
的原函数必须是初
… …
等函数，否则使用公式求
b
a
f
xdx
失效。即
f
(x)
的原函
…
…
数 Fx可由 f xdx求出。
订
…
（2）定理的条件还可以适当减弱，如：
… …
1） 对 Fx的要求可减弱为：在 a,b上连续，在 a,b
…
…
内可导，且 F ' (x) f (x) ，不影响定理的证明。
n i1 1 i n
n
…
… …
不难看出，其中的和式是函数 f x 1 在区间 0,1上的
x 1
…
一个积分和（这里所取得是等分分割，
… …
xi
1 n
,
i
i n
i
1, n
i n
,
i
1,2,, n ），所以
… … …
1
J
1
1
dx ln1 x ln 2
01 x
0
… …
当然，也可把 J 看作 f x 1 在 1,2上定积分，同样有
2
3
… … …
2 x
4 x2 dx 1
4 x2 3 2 8
0
3
03
… …
例 2 利用定积分求极限：
… … …
lim 1 1 1 J
n n 1 n 2
2n
线 …
解：把极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算定
…
积分。为此作如下变形：
…
… … …
n
J lim
1 1
…
…
…
…
…
…
订
…
…
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
山西水利职业技术学院教案纸
…
…
…
…
…
…
…
…
…
装
…
…
…
…
…
…
…
…
…
订
…
…
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
山西水利职业技术学院教案纸
…
…
…
…
…
…
…
…
…
装
…
…
…
…
…
…
…
…
…
订
…
…
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
山西水利职业技术学院教案纸
装 …
T 时，有
…
… … …
n
f i xi Fb Fa
i1
…
下面证明满足如此要求的 确实是存在的。事实上，对于
…
…
a,b的任一分割T a x0 , x1,, xn b，在每个小区间
…
订 …
xi1, xi 上对 Fx 使用拉格朗日中值定理，则分别存在
… …
i xi1, xi ,i 1,2,, n ，使得
…
…
…
…
…
…
…
…
…
装
…
…
…
…
…
…
…
…
…
订
…
…
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
F ' (x) f (x) ， x a,b，则 f (x) 在 a,b上可积，且
…
… …
b
a
f
( x)dx
F b
F a
… …
4、课后作业
…
习题 4-3
…
线
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
… … … … … … … … … … 装 … … … … … … … … … 订 … … … … … … … … … 线 … … … … …
… … …
n
n
Fb F a F xi F xi1 F ' i xi （2）
i 1
i 1
…
…
因为 f (x) 在 a,b 上连续，从而一致连续，所以对上述
…
线
0 ，存在 0，当 x' , x'' a,b且 x' x'' 时有
…
… …
f (x' ) f x'' ba
…
即 F ' (x) f (x) ， x a,b，则 f (x) 在 a,b上可积，且
…
… …
b
a
f
( x)dx
Fb
F a
（1）
…
则上式称为牛顿-莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式，
…
…
它也常写成
… … …
b f (x)d(x) F(x) b
a
a
…
证明：由定积分定义，任给 0 ，要证明存在 0，当
…
… 线
b
s a v(t)dt s(b) s(a)
… …
注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v(t) 的原函数，因此把定
… …
积分与不定积分联系起来了，这就是下面要介绍的牛顿-
…
莱布尼茨公式。
…
…
2.2 牛顿-莱布尼茨公式
… …
定理：若函数 f (x) 在 a,b 上连续，且存在原函数 Fx ,
… …
教学过程
… …
1、复习旧知识，引入课题
…
（1）复习：定积分的概念及几何意义
… …
原函数的概念
ห้องสมุดไป่ตู้
… …
导数的定义
…
（2）课题引入：从上节的例题和习题中可以看到利用定
装 …
积分的定义计算定积分的值是十分繁琐且易出错的，有时