四种命题的概念
四种命题
逆否命题： x UA∪ UB ，xA∪B 。
假
练一练
1.判断下列说法是否正确。
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。 答：0个、2个、4个。 如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假
课 堂 小 结
原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p
总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析:直接证不好下手.
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。 由于原命题和它的逆否命题具有相同的真 假性，要证原命题为真命题，可以证明它 的逆否命题为真命题。
2 2 即证明 为真命题 “若p q 2, 则p q 2.”
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.
证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛 盾, ∴a能被2整除.
四种命题及其关系
对所有x, 存在某x， 对任何x 对所有x, 存在某 ， 对任何x， 成立 不成立 不成立 P且 q
┐p或┐q 或
P或 q
┐p且┐q 且
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
两直线平行 同位角相等
同位角相等， 同位角相等， 两直线平行， 两直线平行，
同位角不相等， 两直线不平行 同位角不相等，
两直线不平行， 逆否命题 两直线不平行， 同位角不相等 互为逆否命题：一个命题的条件 结论分别是另一个 互为逆否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个 条件和 命题的结论的否定 条件的否定， 结论的否定和 命题的结论的否定和条件的否定， 互为逆否命题。 这两个命题叫做互为逆否命题 这两个命题叫做互为逆否命题。 其中一个命题叫做原命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否 命 题：另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否命题:若 逆否命题 若┐q ,则┐ p 则 原命题: p,则 原命题:若p,则q
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； f(x)是正弦函数 是正弦函数， f(x)是周期函数 是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； f(x)是周期函数 是周期函数， f(x)是正弦函数 是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； f(x)不是正弦函数 不是正弦函数， f(x)不是周期函数 不是周期函数；
例: “若x2+y2≠0，则x，y至少有一个不为0” ≠0， 至少有一个不为0” 是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、 是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、 逆否命题并判断它们的真假。 逆否命题并判断它们的真假。
四种命题
四种命题的相互关系
¬p ¬q
¬q ¬p
一个符号 条件Ｐ的否定，记作“Ｐ”。读作“非 Ｐ”。
原命题则 q
逆否命题：若 q 则 p
命题:
原命题： 同位角相等，两直线平行。
逆命题： 两直线平行，同位角相等。
否命题： 同位角不相等，两直线不平行。
真 ___
假 真
假 ___ 假 ___
真
假 ___ 真 ___
假
真 ___ 真 ___
假 假
假 ___
2.四种命题的真假性之间的关系: 逆否命题 它们有相同 (1)两个命题互为_________, 的真假性. 互逆命题 互否命题 或_________, (2)两个命题为_________ 其真假性没有关系. 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个互逆命题的真假性相同.( ) (2)原命题的逆命题与原命题的否命题真 假性相同.( ) (3)对于一个命题的四种命题,可以一个真 命题也没有.( )
【解析】1.选B.①否命题:若 x+y≠0,则x,y不互为相反数,真 命题.②逆否命题:若a2≤b2,则 a≤b,假命题.③否命题:若x>-3, 则x2-x-6≤0,假命题.④逆命题: 相等的两个角是对顶角,假命题. 故选B.
2.方法一:∵m>0,∴4m>0,∴4m+1>0, ∴方程x2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0. ∴方程x2+x-m=0有实数根. ∴原命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数 根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价,所以 “如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆 否命题也为真.
2、分别写出下列各命题 的逆命题、否命题和逆 否命题： （1）正方形的四边相等。
四种命题及其关系
四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。
2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。
对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。
3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。
4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。
二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。
原命题为真时，逆命题不一定为真。
例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。
2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。
例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。
3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。
例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。
4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。
例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。
四种命题
四种命题112四种命题学习目标四种命题的内在联系，能根据一个命题构造它的逆命题、否命题和逆否命题学习过程四种命题的概念（1）对两个命题，如果一个命题的条和结论分别是另一个命题的结论和条，那么我们这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做原命题为：“若，则”，则逆命题为：“ ”(2) 一个命题的条和结论恰好是另一个命题的条的否定和结论的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的若原命题为：“若，则”，则否命题为：“ ”（3）一个命题的条和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条的否定, 我们把这样的两个命题叫做,其中一个命题叫做命题,那么另一个命题叫做原命题的若原命题为：“若，则”，则否命题为：“ ”练习：下列四个命题：（1）若是正弦函数，则是周期函数；（2）若是周期函数，则是正弦函数；（3）若不是正弦函数，则不是周期函数；（4）若不是周期函数，则不是正弦函数（1）（2）互为（1）（3）互为（1）（4）互为（2）（3）互为例3 命题：“已知、、、是实数，若子，则”写出逆命题、否命题、逆否命题变式：设原命题为“已知、是实数，若是无理数，则、都是无理数”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题动手试试写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假：（1）若一个整数的末位数是0，则这个整数能被整除；（2）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；（3）奇函数的图像关于原点对称小结这节你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？后作业1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假（1）若都是偶数，则是偶数；（2）若，则方程有实数根2把下列命题改写成“若，则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；（2）矩形的对角线相等6命题“如果，那么”的逆否命题是（）A如果，那么B如果，那么如果，那么D如果，那么7若ab=0则a=0或b=0写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：8若则a=0且b=0写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：四种命题二时学习目标1四种命题关系图；2四种命题真假关系3，命题的否定与原命题真假关系，否命题及命题的否定形式区别。
四种命题
结 论 3
原命题和逆否题 总是同真同假
观察下列命题的真假，并总结规律。
真 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c 真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 假 否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直。 假 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 真 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2
结 论 1
原命题的真假和逆命题
的真假没有关系
判断下列否命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c
真 真
真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 假 否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不直。
原命题：若a>b，则ac2>bc2
例如： 原命题： 同位角相等，两直线平行
否命题： 同位角不相等，两直线不平行 总结： 原命题： 若p则q
否命题： 若 p 则 q
3、互为逆否命题
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题
的结论的否定和条件的否定，这两个命题就
叫做互为逆否命题。把其中一个叫做原命题，
则另一个叫做原命题的逆否命题。
原命题： 同位角相等，两直线平行 例如： 逆否命题： 两直线不平行，同位角不相等 总结：原命题： 若p则q 逆否命题： 若 q 则 p
真 真
三边对应不全相等的两个三角形不全等。 真
逆否命题： 不全等的两个三角形三边对应不全相等。真 原命题： 逆命题： 否命题： 若a+b是偶数，则a、b都是偶数。 若a、b都是偶数，则a+b是偶数。 若a+b不是偶数，则a、b不都是偶数。
四种命题的概念
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四种命题的概念
4、写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假：
（1）若 x2 1，则x 1 （2）对顶角相等； （3）等腰三角形的两腰相等； （4）x2 2x 8 0 的解集为空集。
解：（1）逆命题是：若 x 1，则x2 1
原命题是假命题，逆命题是真命题 （2）逆命题是：如果两个角相等，则这两个角是对顶角
解：逆命题：当 c>0时，若ac>bc，则a>b 否命题：当 c>0时，若a≤b，则ac≤bc 逆否命题：当 c>0时，若ac≤bc，则a≤b
注意：本题中的“当c>0时”是大前提，不论在写逆命题、否命题或逆否命 题时都应该把它写在最前面；而本题原命题的条件p时：若a>b，结 论是：ac>bc.
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四种命题的概念
例2、写出命题“若xy=0，则x=0或y=0的逆命题、否命题、逆否命题 解：逆命题：若x=0或y=0，则xy=0
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0 逆否命题：若x≠0或y ≠0，则xy≠0 注意：（1）┓(p或q)=(┓p)且(┓q)
┓(p且q)=(┓p)或(┓q) （2）要写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题关键是要找出原命
原命题是真命题，逆命题是假命题 （3）逆命题是：如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形
是等腰三角形 原命题是真命题，逆命题是真命题
（4）逆命题是：空集是 x2 2x 8 0 的解集
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四种命题的概念
课后小结： 1、四种命题的概念； 2、四种命题的表示方法； 3、能根据原命题写出原命题的逆命题、否命题及逆否命题。
观察下列两个命题，说出他们的不同之处 （1）同位角相等，两直线平行。 （2）两直线不平行，同位角不相等。
数学中的四种命题
真命题 真命题 假命题 假命题 真命题
练习
1,将命题"a>0时,函数 ,将命题" 的值随x值的增 时 函数y=ax+b的值随 值的增 的值随 加而增加"改写成" 则 的形式 的形式, 加而增加"改写成"p则q"的形式,并判断命题的 真假. 真假. 解答:a>0时,若x增加,则函数 增加, 解答 时 增加 则函数y=ax+b的值也随之 的值也随之 增加,它是真命题. 增加,它是真命题.
原结论 是 都是 大于 小于 反设词 不是 不都是 原结论 至少有一个 反设词 一个也没有
至少有两个 至多有一个 至少有n个 至多有(n-1)个 至少有n 至多有( 不大于 个 大于或等于 至多有n个 至少有(n+1)个 至多有n 至少有( 个 存在某x, 存在某 , 成立
对Байду номын сангаас有x, 存在某x, 对任何x 对所有x, 存在某 , 对任何x, 不成立 成立 不成立
"若p则q"形式的命题 若 则 形式的命题
命题"若整数 是质数 是质数, 是奇数. 命题"若整数a是质数,则a是奇数."具 是奇数 q 的形式. 有"若p则q"的形式. p 则 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的 叫做 通常 我们把这种形式的命题中的p叫做 我们把这种形式的命题中的 命题的条件 叫做命题的结论 条件,q叫做命题的结论. 命题的条件 叫做命题的结论. "若p则q"形式的命题是命题的一种形 则 形式的命题是命题的一种形 式而不是唯一的形式,也可写成 如果p, 也可写成" 式而不是唯一的形式 也可写成"如果 那么q" 只要 就有q"等形式 只要p,就有 等形式. 那么 "只要 就有 等形式. 其中p和 可以是命题也可以不是命题 可以是命题也可以不是命题. 其中 和q可以是命题也可以不是命题
《四种命题》的教学设计
《四种命题》的教学设计任何一种教学都要从设计开始。
教学设计是一种按照指示去实施、完成短期任务的活动，它是一个系统、有秩序并且依据科学原理和方法的活动，它的目的是发挥教学的有效性，通过一定的步骤，逐渐实现预定的教学目标。
和其它教学一样，四种命题也需要一定的教学设计，实现教学目标。
一、四种命题的定义：1、问句陈述命题：这是一种最基本的命题，也称为“否定题”，是指在问句中提出的疑问，要求考生按照是非正误选择。
2、直接表达命题：这种命题只要求考生选择相应的答案，无需写出任何理由。
3、简答命题：这种命题要求考生简单地回答问题，可以有简短的解释，也可以有理由，但也不能过长。
4、分析命题：这种命题要求考生在答题的基础上，进一步分析问题，提出解决方法。
二、四种命题教学设计：1、针对问句陈述命题：在本教学设计上，首先在课前对问句陈述命题进行讲解，介绍此类命题的特点，如果是否定题，要求考生正确选择“正确”或“错误”，如果是肯定题，考生应正确选择是的答案。
接着让考生实践，根据讲解的内容，解答问句陈述命题。
2、针对直接表达命题：首先老师对学生进行直接表达命题的讲解，引导学生正确理解命题的内容，然后在根据老师提出的问题，理解命题的语义，并进行实践，反复锻炼。
3、针对简答命题：在教学中，老师首先对简答命题进行讲解，然后让学生充分利用自己的知识，有理有据地回答问题。
最后，让学生总结和归纳出学习要点，加深印象。
4、针对分析命题：教学活动中，老师首先对分析命题进行讲解，在讲解的过程中，要教会学生弄清问题的细节和特点，然后在根据问题的特点，提出解决方案，最后让学生对解决方案进行综合考虑，给出自己的解决方案。
三、四种命题教学反馈：教学中，学生从听课到实践过程中要及时进行反馈，及时调整学习策略，完善有关教学内容。
1、问句陈述命题：在教学反馈的过程中，要让学生及时反思，对自己掌握了解的情况进行评估，对未理解的地方思考、猜测，课堂上反馈口化，实践层面上利用简单的自测题进行反馈，并及时矫正向正确的方向前进。
命题的四种形式举例
命题的四种形式举例
命题是逻辑学的基本概念，它指的是一个判断（陈述）所表达的观点或命题。
命题可以是直言命题、条件命题、模态命题和复合命题。
下面分别介绍这四种形式的命题，并给出相应的例子。
1.直言命题
直言命题是指直接陈述一个事物的本质或属性的命题。
例如：“所有猫都是哺乳动物。
”这个命题就属于直言命题，因为它直接陈述了猫的本质属性。
2.条件命题
条件命题是指陈述两个命题之间逻辑关系的命题。
条件命题通常由两个部分组成：前件和后件。
前件是条件，后件是结果。
例如：“如果天下雨，那么地会湿。
”这个命题就是一个条件命题，其中“天下雨”是前件，“地会湿”是后件。
3.模态命题
模态命题是指陈述事物的可能性或必然性的命题。
例如：“明天可能会下雨。
”这个命题就是一个模态命题，表达了明天下雨的可能性。
4.复合命题
复合命题是指由多个简单命题组合而成的复杂命题。
复合命题通常由多个子命题组成，每个子命题都是一个简单的判断（陈述）。
例如：“如果天下雨，那么地会湿，但是今天没下雨。
”这个命题就是一个复合命题，它由两个条件命题和一个否定命题组成。
以上就是四种形式的命题及其举例。
在逻辑学中，这些命题形式被广泛用于推理和论证。
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论是：ac>bc.
四种命题的概念
3a 3 3、设原命题是“若a 0，则 4a 4
”的相关命题如下，在题后面的
括号里注明它是这一命题的什么命题：
3a 3 （ 1 ）若a 0, 则 （ 4a 4 3a 3 （2）若 , 则a 0 （ 4a 4 3a 3 （3）若 ，则a 0 （ 4a 4
四种命题的概念
例2、写出命题“若xy=0，则x=0或y=0的逆命题、否命题、逆否命题 解：逆命题：若x=0或y=0，则xy=0 否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0 逆否命题：若x≠0或y ≠0，则xy≠0 注意：（1）┓(p或q)=(┓p)且(┓q) ┓(p且q)=(┓p)或(┓q)
（2）要写出原命题的逆命题，否命题，逆否命题关键是要找出原命 题的条件p和结论q
原命题：同位角相等，两直线平行。
条件（题设）：同位角相等。 结论：两直线平行 它的逆命题：两直线平行，同位角相等。
原命题：同位角不相等，两直线不平行。
它的逆命题：两直线不平行，同位角不相等。
四种命题的概念
二、新知识：四种命题的概念： 1、原命题：通常把所给定的一个命题叫做原命题，如果用p和q分别表示
四种命题的概念
例1、把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题 及逆否命题. （1）负数的平方是正数； （2）正方形的四条边相等.
解：（1）原命题可以写成: 若一个数是负数，则它的平方是正数;
逆命题：若一个数的平方是正数,则它是负数; 否命题：若一个数不是负数,则它的平方不是正数; 逆否命题：若一个数的平方不是正数,则它不是负数; （2）原命题可以写成：若一个四边形是正方形,则它的四条边相等; 逆命题：若一个四边形的四条边相等,则它是正方形; 否命题：若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等; 逆否命题：若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
原命题的条件和结论，
则原命题可表示为：若p则q. 2、逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命 题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个 命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做 原命题的逆命题 原命题的逆命题可表示为：若q则p. 观察下列两个命题，说出他们的不同之处
否命题 逆命题
） ） ）
逆否命题
四种命题的概念
4、写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假：
（1）若
x 2 1，则x 1来自（2）对顶角相等；（3）等腰三角形的两腰相等； （4）x 2
解：（1）逆命题是：若 原命题是假命题，逆命题是真命题
2 x 8 0 的解集为空集。 x 1，则x 2 1
（1）同位角相等，两直线平行。
（2）同位角不相等，两直线不平行。
四种命题的概念
3、互否命题 ：一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的 否定和结论的否定。 否命题的形式可以写成：若非p则非q 其中：“非”字可以用符号“﹃”代替 即“若非p则非q”可以写成：若﹃p ，则﹃q 观察下列两个命题，说出他们的不同之处 （1）同位角相等，两直线平行。 （2）两直线不平行，同位角不相等。 4、逆否命题：一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否 定和条件的否定。 逆否命题的形式可表示为：若非q则非p 或 若﹃q，则﹃p
四种命题的概念
学习目标： 1、理解四种命题的概念；
2、掌握四种命题的表示方法；
3、能根据原命题写出原命题的逆命题、否命题及逆否命题
四种命题的概念
一、复习回顾： 逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命 题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个 命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做 原命题的逆命题。 例如：
四种命题的概念
1、设原命题是“若a=0，则 ab=0”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题。
解：逆命题：若ab=0，则a=0 否命题：若a≠0，则ab≠0 逆否命题：若ab≠0，则a≠0 2、设原命题是“当 c>0时，若a>b，则ac>bc“写出它的逆命题、否命题与 逆否命题。 解：逆命题：当 c>0时，若ac>bc，则a>b 否命题：当 c>0时，若a≤b，则ac≤bc 逆否命题：当 c>0时，若ac≤bc，则a≤b 注意：本题中的“当c>0时”是大前提，不论在写逆命题、否命题或逆否命 题时都应该把它写在最前面；而本题原命题的条件p时：若a>b，结
（2）逆命题是：如果两个角相等，则这两个角是对顶角 原命题是真命题，逆命题是假命题 （3）逆命题是：如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形 是等腰三角形 原命题是真命题，逆命题是真命题 （4）逆命题是：空集是
x 2 2 x 8 0 的解集
四种命题的概念
课后小结： 1、四种命题的概念； 2、四种命题的表示方法； 3、能根据原命题写出原命题的逆命题、否命题及逆否命题。