第12章机械波基础

1、已知波源 x0 的振动方程，写出波动方程
例例 一平面简谐波以波速 u 沿 x 轴正向传播 , 在离原点o 的
距离为 x0 处的 p0 点，其振动方程为 y = A cos (ωt + φ)
（1）求波动方程；
o•
•p0
Δ x = x2 - x1
图中b点比a点的相位落后：
Δϕ
=
−
2π λ
(
x2
−
x1
)
=
−
2π λ
Δx
其中Δx叫波程差
（记住！）
20
)当 x、t 都变化时
表达了波线上所有质元在各个时刻的位移，波函数
表示波形沿传播方向的运动情况（行波）
如图：
t 时刻的波形曲线
y
Δx = uΔt
u
o
x
λ （ λ亦称空间周期） t + Δt 时刻的波形曲线
速度 u 传播，媒质均匀、无限大，无吸收。
10
如何写出平面（一维）简谐波的波函数？
♦ 抓住概念：某时刻某质元的相位（振动状态） 将在较晚时刻于“下游”某处出现。
♦ 须知三个条件：
1. 某参考点的振动方程( A, ω, φ ) 2. 波长λ (或 u) u = λ / T = λ ν
3. 波的传播方向 11
Ay
u
O
λ
x
−A
λ
波长 λ ：沿波的传播方向，两个相邻的、相
位差为 2π 的振动质点之间的距离，即一个完整
波形的长度.
7
周期 T ：波前进一个波长的距离所需要
的时间.
ν 频率 ：周期的倒数，即单位时间内波
动所传播的完整波的数目.
ν =1 T
u 波速 ：波动过程中，某一振动状态（即
振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.
¾ 质点的振动速度，加速度：
v = ∂y = −ω A sin[ω( t − x ) + ϕ ]
∂t
u
a
=
∂2 y ∂t 2
=
−ω2 Acos[ω(
t
−
x u
)+ϕ
]
15
讨论
1)
y=
A
cos
⎛ ⎜⎝
(ωt
−
2π λ
x
)
+
ϕ
0
⎞ ⎟⎠
向x轴正向传播
y
=
A
cos
⎛ ⎜⎝
(ω
t
+
2π λ
x) +
ϕ0
⎞ ⎟⎠
向x轴负向传播
平面谐波一般表达：
y
=
Acos⎜⎝⎛ (ωt
∓
2π λ
x)
+
ϕ0
⎞ ⎟⎠
负（正）号代表向 x 正（负）向传播的简谐波
16
2）波的表达式的物理意义
y
=
A coλ
x)
+
ϕ0
⎞ ⎟⎠
)当坐标 x 确定(即考察波线上的某一点)
表达式变成 y－t 关系 表达了 x 点的振动 如图：
一 机械波的形成
机械波：机械振动在弹性介质中的传播. 产生条件：1）波源；2）弹性介质.
波源
机 械
+
弹性作用
波
介质
注意
波是运动状态的传播，介质的 质点并不随波传播.
3
二 横波与纵波
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.
¾ 特征：具有交替出现的波峰和波谷.
4
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. ¾ 特征：具有交替出现的密部和疏部.
所以波动方程描述了波形的传播
21
ξy
u
t 时刻 t + Δt 时刻
O
xx
Δx
y = Acos 2 π( t − x ) ϕ(t, x) = ϕ(t + Δt, x + Δx)
Tλ
2 π( t T
−
x
λ
)
=
2
π( t
+ Δt
T
−
x
+ Δx λ
)
Δt = Δx Tλ
Δx = uΔt 22
● 求解波动问题示例
y
=
A cos[2π(νt
−
x)+ λ
ϕ0]
y
=
A cos[2π( t T
−
x λ
)
+
ϕ
0
]
y
=
A cos[ 2π λ
(ut
−
x) +
ϕ0]
y( x ,t ) = A cos( ω t − kx + ϕ )
ω = 2π 角频率----表示单位 T 时间内相位的变化
波数 k = 2π = ω λu
波数----表示单位长 度上波的相位变化14
343 m s 空气，常温
如声音的传播速度
4000 m s 左右，混凝土 9
§12.2 平面简谐波的表达式 波动微分方程
一、 简谐波（simple harmonic wave）
如果波传播的扰动是简谐振动，这样的 波称为简谐波（余弦波）
一维平面简谐波的表达式（波函数）
以机械波的横波为例，设平面波沿 x方向以
u = λ = λν
T
λ = u =Tu ν
注意
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
8
波速 u 与介质的性质有关，ρ 为介质的密度.
固体
u=
G
ρ
G切变模量
u=
Y
ρ
Y弹性模量
液、气体 u =
B
ρ
B体积模量
紧 拉 的 绳 索 ,横 波 的 波 速 为 :
横波 纵波
u=
T
μ
(T张力,μ是质量线密度)
y
x点的振动曲线
o T
t
17
波线上各点的简谐运动图
18
) 当时刻 t 确定(即某一瞬时)
表达式变成 y-x 关系 表达了 t 时刻空间各
点移分布——波形图 如图:
y
t 时刻的波形曲线
o
λ
（空间周期）
x
19
从波形图可看出在同一时刻，距波源 o 分别为x1、x2两质点的相位差:
u
传播方向
a∙
b∙
x
以速度u 沿 x 轴正
向传播的平面简谐 波。取平衡位置在 坐标原点ο处的质元 作参考，ο点的振动 表达式为：
yo = A cos (ωt + ϕ0 ) ，设任意一点 p 坐标为 x
时间推迟方法 （或由运动的重复关系）
点O 的振动状态
yo = A cos (ωt + ϕ0 )
Δt = x u
点P
12
t− x u
时刻点O 的运动
则点P 振动方程:
yp
=
Acos
⎡⎢⎣ω
⎛ ⎜⎝
t
−
x u
⎞ ⎟⎠
+ ϕ0
⎤ ⎥⎦
t 时刻点 P 的运动
Ay u
O x P* λ x
−A
¾ 波函数
y
=
A cos ⎡⎢⎣ω
⎛ ⎜⎝
t
−
x u
⎞ ⎟⎠
+
ϕ
0
⎤ ⎥⎦
或:y
=
A cos ⎡⎢⎣ω
t
−
2π
λ
x
+
ϕ
0
⎤ ⎥⎦
13
¾ 波动方程的其它形式
5
三 波线 波面 波前
波线（wave line）—— 表示波的传播方向的射线（波射线）
波面（wave surface）——
媒质振动相位相同的点组成的面（同相面）
波前（wave front）—— 某时刻波到达的最前面的波(振)面
波面
波
波前
线
波振面是
平面的波
平面波 波前
球面波
6
四 波长 波的周期和频率 波速
第十二章
波动
（Wave）
1
前言
波动是振动的传播过程.
振动是激发波动的波源.
机械波 机械振动在弹性介质中的传播.
波动
两
电磁波 交变电磁场在空间的传播. 两
类 波 机械波的传播需
类 波
2能量传播
的 有传播振动的介质;
不
同 之
电磁波的传播可
处 不需介质.
的 2反射
共 同
2折射
特 2干涉
征 2衍射
2
§12.1 机械波的形成与传播