复合函数的值域及单调性
高考数学复合函数基础理论总结
高考数学复合函数基础理论总结复合函数是高一数学学习的重点和难点之一，也是高考数学考试的常见考点。
理解和掌握复合函数的基础理论是学好高等数学、应用数学、物理、化学等学科的前提。
本文将围绕复合函数的定义、性质、运算规则以及应用进行总结和分析。
一、复合函数的定义复合函数的定义：设函数f的定义域为Df，值域为Rf，函数g的定义域为Dg，值域为Rg。
如果存在一个函数h(x)使得对于f的定义域Df中的每一个元素x，都有g的定义域Dg中恰有一个元素y与之对应，并且y是f(x)在g的范围内的唯一值，则称h(x)为f和g的复合函数，表示为h(x) = f(g(x))。
二、复合函数的性质1. 复合函数的定义域：复合函数的定义域由g的定义域和f的值域的交集构成，即Dh = {x|x∈Dg且g(x)∈Df}。
2. 复合函数的值域：复合函数的值域为f的值域的子集，即Rh ⊆ Rf。
3. 复合函数的单调性：若f(x)和g(x)在其定义域内单调增加（或单调减少），则h(x) = f(g(x))也在其定义域内单调增加（或单调减少）。
4. 复合函数的奇偶性：若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则h(x) = f(g(x))为奇函数；若f(x)和g(x)均为偶函数，则h(x) = f(g(x))为偶函数。
5. 复合函数的周期性：若f(x)的周期为T1，g(x)的周期为T2，则当T2是T1的正整数倍时，h(x) = f(g(x))的周期为T1。
三、复合函数的运算规则1. 复合函数的加法：设h1(x) = f1(g1(x))，h2(x) = f2(g2(x))，且f1(x)和f2(x)的值域相等。
则有(h1 + h2)(x) = f1(g1(x))+f2(g2(x))。
2. 复合函数的减法：设h1(x) = f1(g1(x))，h2(x) = f2(g2(x))，且f1(x)和f2(x)的值域相等。
则有(h1 - h2)(x) = f1(g1(x))-f2(g2(x))。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
复合函数单调性的判断方法
【解】 （1）定义域： 0，
（4）外函数 y 2u 2 2u 1在
（2）此函数是由下列函数复合所得
y 2u 2 2u 1，（ u x） log 1 x
2
（3）内函数 （ u x） log 1 x 在
2
1 1 u ， 单调递减， u ， 单调递增 2 2 2 1 ， （5）原函数在 u ， x 2 2
增减相异复合减
贰
判断
HI
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
贰
举例
【例 1】求函数 y log 1 x 2 4 x 3 的单调区间
2
【解】 （1）定义域： ， 1 3，
（2）还原复合函数的复合过程：
x 2， 单调递增
（4） y log 1 u 在 u 0, 上单调递减
2
此函数是由下列函数复合所得
y log 1 u，（ u x） x 4x 3
2 2
（5） y log 1 x 2 4 x 3 在
2
u x） x 4x 3 在 （3）内函数 （
2
1 单调递增， 3， 单调递减 ，
复合函数 单调性的判断方法
复合函数单调性的判断方法
1
1
2
定义
2
判断
一
定义
HI
设 y f (u ) 定义域为Ａ， u g ( x) 的值域为Ｂ 若B A 则 y 关于 x 的函数 y f [ g ( x)] 叫做 函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间变量
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
2
x 1
在区间 [0,) 上都是增函数。
其中正确命题的序号是：__________。 （把你认为正确的命题序号都填上）
7
2.函数 y e |ln x| | x 1 | 的图象大致是（
）
6
Go the distance
3． （2008 江苏南通模拟， 5 分） 设 f ( x) o g l
3 3
a
（ a 0 且 a 1） ， 若 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) 1 （ xi R ， x
a a a 函数.而实质上原函数的最大单调增区间是 , ,由 ,3 , 得 3 ,即 a 6 . 2 2 2
【过关检测】
1. （1） f ( x)
x 2 5x 4 ;
2） g ( x) ( ) 4( ) 5
4.求复合函数的单调性 若 u g ( x) 增函数 减函数 增函数 减函数 即“同增异减”法则 5.复合函数的奇偶性 一偶则偶，同奇则奇
【例题讲解】
y f ( x)
增函数 减函数 减函数 增函数
则 y f [ g ( x)] 增函数 增函数 减函数 减函数
一、复合函数定义域解析式 例1 设函数 f ( x) 2 x 3, g ( x) 3x 5 ，求 f ( g ( x)), g ( f ( x)) ．
1 2
2
2.求函数 y 4
x
3 2 x 5 的单调区间和值域.
例2
求 f ( x) = 5 - 4 x - x 2 的单调区间及值域
变式练习 2 求函数 f(x)= 2
高中数学-复合函数的值域
巩固训练
已知函数 f (x) loga[ax2 (3a 1)x 3] 的值域为 R ，求 a 的取值
课后作业
1、已知函数 f (x) x2 2 tan x 1, x [1, 3], ，当 时，求函数 f(x)的最大值与最小值 6
2、求函数 y x(x a) 在 x [1 , 1]上的最大值 3、已知函数 f (x) ax2 2ax 1在区间[3, 2] 上的最大值为 4，求实数 a 的值
【变式训练】
1、已知函数 f（x）=log 2
x x
2 2
,
g
(
x)
log
2
(
x
2)
log
2
(
p
x),且
p＞2，设
F
(
x)
f (x) g(x)
（1）求 F(x) 的定义域
（2）求 F(x) 的值域
例 2、（耐克函数）求函数 f (x) x2 x a (a 0), x [1, 2] 的值域 x
4、 已知函数 y sin2 x a sin x a 1 的最大值为 2 ，求 a 的值 42
（2）求函数 y log 2 x log x (2x) 的值
例
3、（其它函数复合）求函数
y
x2
1 x2
2x
2 x
4(x
பைடு நூலகம்
1) 的值域 2
【变式训练】
已知函数 y＝(ex－3)2＋(e－x－3)2(a∈R，a≠0)，求函数 y 的最小值
【方法总结】 1、复合函数值域（最值）的求法一般用换元法，但换元时要注意中间变量的取值范围，换元后求新的函数的值域（最 值）即可 2、复合函数值域（最值）的考察一般分为两种：指、对数函数复合和其他函数复合，前一种为重点
复合函数的单调性 ppt课件
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是 增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为 减函数。
2020/12/2
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•复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y=f(u) 增函数 减函数 减函数 增函数 则y=f[g(x)] 增函数 增函数 减函数 减函数
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增
函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是
减函数。 “同增异减”
2020/12/2
以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.
u=x2－4x+3=(x－2)2－1,
x＞3或x＜1，(复合函数定义域)
x＞2 (u增)
解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
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例2 求下列复合函数的单调区间： y=log(2x－x2)
解: 设 y=logu,u=2x－x2.由u＞0,u=2x－x2
因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2), 记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2 (c,d).因为 函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b) 上是增函数。
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•复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,
专题复合函数单调性
y=log0.3t
(0,+ ∞)
t= x2 -4x+3
(- ∞,1) (3, + ∞ )
y log0.3(x2 4x 3) (- ∞,1) (3, + ∞)
∴函数y=log 0.3 (x2-4x+3 ) 在（–∞，１)上递增, 在（３，+∞ ）上递减．
课堂思考题
1若函数y=loga(2–ax)在[0,1] 上是减函数,求a的取值范围
y ( 1 )|x| 2
R
y 2x2 2x3 R
(0,+∞)
R
(1,+∞) [1,+∞)
R (-∞,0] 减，[0,+∞)增
(0,1] [0,+∞减) ，(-∞,0] 增 [4, ,+∞) (-∞,1] 减 [1,+∞)增
总结 y a f (x)的单调区间？
(1)当a 1时，y at是单调增的， f (x)的增区间就是原函数的增区间； f (x)的减区间就是原函数的减区间。
一.函数单调性的定义：
一般地，设函数 f (x)的定义域为 A,区间I A.
1增函数：如果对于区间I内的任意两个值x1, x2,
当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ),那么就说y f (x) 在区间I上是单调增函数。
2减函数：如果对于区间I内某个的任意两个值x1, x2,
解： 函数的定义域为 R
∵ y = log 2 t 在 ( 0 , +∞ ) 上是增函数 又 t = 4+x 2 (x∈R )的单调递增区间为 〔0, +∞),
单调递减区间为 (-∞,0〕
故此函数的单调递增区间为〔0, +∞), 单调递减区间为 (-∞,0〕
复合函数的单调性例题和知识点总结
复合函数的单调性例题和知识点总结在数学的学习中，函数是一个非常重要的概念，而复合函数的单调性更是函数知识中的重点和难点。
理解并掌握复合函数的单调性，对于解决函数相关的问题有着至关重要的作用。
下面，我们将通过一些例题来深入探讨复合函数的单调性，并对相关知识点进行总结。
首先，我们来明确一下复合函数的概念。
如果函数$y=f(u)＄的定义域为$D_1$，函数$u=g(x)＄的值域为$D_2$，且$D_2\subseteq D_1$，那么对于定义域内的某个区间上的任意一个$x$，经过中间变量$u$，有唯一确定的$y$值与之对应，则变量$y$是变量$x$的复合函数，记为$y=fg(x)＄。
接下来，我们探讨复合函数单调性的判断方法——同增异减。
也就是说，当内层函数与外层函数的单调性相同时，复合函数为增函数；当内层函数与外层函数的单调性不同时，复合函数为减函数。
下面通过几个例题来加深对复合函数单调性的理解。
例题 1：求函数$f(x)＝＼log_2(x^2 2x ＋ 3)＄的单调性。
首先，令$u ＝ x^2 2x ＋ 3$，则$f(u) ＝＼log_2 u$。
对于$u ＝ x^2 2x ＋ 3$，其图象开口向上，对称轴为$x ＝ 1$。
所以$u$在$（＼infty, 1)＄上单调递减，在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增。
而$f(u) ＝＼log_2 u$在定义域$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。
因为内层函数$u$在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增，外层函数$f(u)＄也单调递增，根据同增异减，所以复合函数$f(x)＄在$（1, ＋＼infty)＄上单调递增。
又因为内层函数$u$在$（＼infty, 1)＄上单调递减，外层函数$f(u)＄单调递增，所以复合函数$f(x)＄在$（＼infty, 1)＄上单调递减。
例题 2：求函数$f(x) ＝ 2^｛x^2 ＋ 2x 3}＄的单调性。
令$u ＝ x^2 ＋ 2x 3$，则$f(u) ＝ 2^u$。
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x
x2
1 2x
，求f 3
x的值域.
例析：
函数f x的定义域为 x x2 2x 3 0 即， 3 U3,1 U1，
函数f
x
x2
1 是由函数y 2x 3
1 和t t
x2
2x 3x
3且x
1复合而成
t
欲求函数y 1的值域，需求t的范围 t
由t x2 2x 3 x 3且x 1可得 t 4,0 U0,
当a 0时，函数t ax2 4x 3的值域为R
a 0
例2.若函数f
x
log
ax2 3
4
x
3
的值域为R，求a的取值范围.
例析：
函数f x log3 ax2 4x 3是由函数y log3 t和t ax2 4x 3复合而成的
要使函数y log3 t得值域为R
t必须取到所有的正数
即0， t t ax2 4x 3
当a 0时, t t ax2 4x 3 =R 符合条件 当a 0时, 要使得0， t t ax2 4x 3 当a 0时, 显然0， t t ax2 4x 3
需 0
a 0 0
综上可得
a 0 0
例3.若函数f
o
x
由y 1 t 4,0 U0, 可得 t
y
,
1 4
U
0,
请你求出该函数的单调区间，你会吗？
若不会，发短信.
y 4
o 1 t 4
例4.若函数f x log3 x2 2x 3，求f x的单调区间和值域.
复合函数的单调性与值域
例1.若函数f
x
1 3
ax2 4 x3
的值域为 0.
，求a的值
例析：
函数f
x
1 3
ax2 4 x3
是由函数y
1 3
t
和t
ax 2
4x
3复合而成的
Q函数y
1 3
t
的值4x 3的值域必须是R
显然，当a 0时，函数t ax2 4x 3的值域不为R