高中物理竞赛(动量)

动 量一.冲量、动量定理1.冲量：I =Ft ，相当于F -t 图象的面积。

2.动量定理：Ft =mv 2-mv 1(是矢量关系)。

3.动量定理的推广：∑∑=v m t F ∆∆。

1. 如图所示,水平面上有二个物体A 和B ,质量分别为m A =2Kg,m B =1Kg,A 与B 相距一定的距离,A 以v 0=10m/s 的初速度向静止的B 运动,与B 发生正碰后分开,分开后A 仍向原方向运动,已知A 从开始运动到停下来共运动6s 时间.求碰后B 能滑行的时间.(略去A 、B 的碰撞时间,A 和B 与地面之间的动摩擦因数都为0.1,重力加速度g =10m/s 2) （答案：8s ）解：对系统，有动量定理：-μm A gt A -μm B gt B =0-m A v 0,t B =8s.2. 以速度大小为v 1竖直向上抛出一小球,小球落回地面时的速度大小为v 2,设小球在运动过程中受空气阻力大小与速度大小成正比,求小球在空中运动的时间.[答案：(v 1+v 2)/g ]解:因小球在运动过程中受到的阻力大小是变化的,所以无法直接用牛顿定律解,把物体运动过程分成无数段,则∑=s t v ∆。

上升过程，有动量定理:-mg ∆t -kv ∆t =m ∆v ,求和得:mgt 上+ks =mv 1. 同理下落过程:mgt 下-ks =mv 2.两式相加得:t =t 上+t 下=(v 1+v 2)/g .3. 质量为m 的均匀铁链,悬挂在天花板上,其下端恰好与水平桌面接触,当上端的悬挂点突然脱开后,求当有一半的铁链在水平桌面上时,铁链对桌面的压力. （答案：3mg /2）解:设铁链长为L ,则单位长度的质量为m /L ,当有一半的铁链在水平桌面上时,铁链对桌面的压力为:桌面上的铁链的重力F 1=mg /2和落到桌面上的铁链对桌面的冲力F 2之和.取刚落到桌面上的一小段铁链作为研究对象,它的初速度v 0=gL gL=22,末速度v =0,质量∆m =v 0∆tm /L .有动量定理:.),(0)(11mg Lg tmmg Lg t m F Lg m t mg F =≈+=--=-∆∆∆∆∆∆∆∆得 所以铁链对桌面的压力F =F 1+F 2=3mg /2.(F 2不能用动能定理,为什么?) 4. 一根均匀柔软绳长为L ,质量为m ,对折后两端固定在一个钉子上.其中一端突然从钉子上脱落,如图所示.求下落端的端点离钉子的距离为x 时,钉子对绳子另一端的作用力.[答案：21mg (1+3x /L )]解:当左边绳端离钉子的距离为x 时,左边绳长为x =21(L -x ),速度gx v 2=.右边绳长为21(L +x ),又经一段很短时间∆t 后,左边的绳子又有长度为21v ∆t 的一小段转移到右边去了,我们就分析这一小段绳子,这一小段绳子受两个力作用:上面绳子对它的拉力T 和它本身的重力21v ∆t λg (λ=m /L ,为绳子的线密度),根据动量定理(不能用动能定理,因在绳子受T 的作用过程有动能损失), 设向上方向为正:(T -21v ∆t λg )∆t =0-(-21v ∆t λv ),由于∆t 取得很小,因此这一小段绳子的重力相对于T 来说是很小的，可以忽略。

所以T =21v 2λ=gx λ,因此钉子对右端绳的作用力F =21(L +x )g λ+T =21mg (1+3x /L ). 5. 如图所示,质量为M 小车在光滑的水平面上以v 的速度向左作匀速直线运动.一质量为m 的小球从高为h 处自由下落,与小车碰撞后,反弹上升的高度仍为h ,小球与小车碰撞时,小球受到小车的弹力N >>mg ,小球与小车间的动摩擦因数为μ,求小球弹起后的水平速度。

[答案：gh 22μ或Mv /(M +m )]解：小球刚落到车上量的竖直速度gH v 20=。

设小碰后的水平速度为v '，竖直方向的速度变为2v 0，平均支持力为N ， 在竖直方向：Nt =2mv 0,在此过程中摩擦力产生的冲量:ft =μNt =2μmv 0,根据动量定理：2μmv 0=mv ',得小球弹起后的水平速度v '=2μv 0=gh 22μ 若2μmv 0>mv ',实际上小球离开小车前摩擦力消失，小球的水平速度与小车相等。

有动量守恒定律：Mv =(M +m )v ',得小球弹起后的水平速度v '=Mv /(M +m ). 二.动量守恒定律：m 1v 1+m 2v 2=m 1v 1'+m 2v 2'.6. 光滑水平面上有一平板车，质量为M ,上面站着质量为m 的人,共同以v 0的速度前进,若人相对于车以v 的水平速度跳出，求下列情况下人跳出车后车的速度大小。

（1）人向后跳出。

（2）人向前跳出。

[答案：（1）m M mv v m M v +++='0)(；（2）mM mvv m M v +-+='0)(]解（1）设人跳出车后车的速度为v ',人对地的速度v '-v (向前) 有动量守恒：(M +m )v 0=Mv '+m (v '-v ),得mM mvv m M v +++='0)(。

人对地的速度v -v '(向后)，则：(M +m )v 0=Mv '-m (v -v '),得mM mvv m M v +++='0)(。

（2）设人跳出车后车的速度为v '（向前）,则人对地的速度v '+v有动量守恒：(M +m )v 0=Mv '+m (v '+v ),得mM mvv m M v +-+='0)(。

车对地的速度v '(向后)：(M +m )v 0=-Mv '+m (v -v '),得mM mvv m M v +-+-='0)(（负号向前）。

1.当速度方向不在一直线上时的动量守恒：正交分解7. 如图所示，光滑水平面上有一长为L 的平板小车,其质量为M ，车左端站着一个质量为m 的人,车和人都处于静止状态，若人要从车的左端刚好跳到车的右端，至少要多大的速度（对地）。

（答案：mM MLg v +=0）解：设人起跳的速度大小为v 0,与水平面的夹角为α，则人的水平位移：gv g v v x ααα2sin sin 2cos 2000=⨯=，对人而言，α=45︒时，x 1最大，v 0可最小，但车向左在运动，x 与车的速度有关。

有水平方向动量守恒：-Mv +mv 0soc α=0,得车的速度v =mv 0soc α/M ,人落到车的右端条件：L gv M mv g v =⨯+αααsin 2cos 2sin 0020， 得起跳的速度大小：α2sin )(0m M MLg v +=，当α=45︒时， v 0最小，起跳的最小速度：mM MLg v +=0。

8. 有一个质量及线度足够大的水平板,它绕垂直于水平板的竖直轴以角速度ω旋转.在板的上方h 处有一群相同的小球(可视为质点),它们以板的转轴为中心、R 为半径均匀地在水平面内排成一个圆周(以单位长度内小球的个数表示数线密度).现让这些小球同时从静止状态开始自由落下,设每个球与平板发生碰撞的时间非常短,而且碰撞前后小球在竖直方向上速度的大小不变,仅是方向相反.而在水平方向上则会发生滑动摩擦,滑动摩擦系数为μ.（1）求这群小球第二次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比1k 。

(2)如果2ωμgR <（g 为重力加速度）且211=k ，求这群小球第三次和第一次与平板碰撞时小球数线密度之比2k 。

[答案：（1）g h k R v R h k R v 21221281/1,;)8(1/1,ωωμω+='≥+=<时当时当；(2)212=k ]解(1):设总数为N ,则第一次λ1=N /2πR ,在这些小球中任取一只,刚碰时,,20gh v =设碰撞时间∆t ,平均力为F ,其竖直速度不变,所以F ∆t =2mv 0,板有切线方向的速度v 1=ωR .这样使小球在切线方向获得速度v 2. 当v 2<v 1时,则f ∆t =mv 2,或μF ∆t =mv 2,得v 2=2μv 0=R gh ωμ<22当v 2≥v 1时,则f 作用时间小于∆t ,v 2=ωR .第一次和第二次碰撞点的水平距离:.)(,22R)(,8.22222⎪⎩⎪⎨⎧=<⇒⨯=R v g h R v h g h v L ωωωμ第二次与平板碰撞时离圆心的距离（即半径）.)(,)8(1)(,)8(2222221⎪⎩⎪⎨⎧=+=<+=R v g h R R R v h R R ωμωμ gh k R v R h k R v r r k 212212211281/1,;)8(1/1,,ωωμωλλ+='≥+=<==时当时所以当因。

（2）如果取1k 的结果，211=k ，得μ8Rh =，由R gh ωμ<22，得到2ωμg R >，这与题设条件2ωμgR <相矛盾。

如果取1k '的结果，211=k ，得28ωg h =，由R gh ωμ≥22，得到2ωμgR ≤，这与题设条件2ωμgR <相符合。

因此取R gh ωμ≥22，28ωg h =，将28ωg h =代入L 后得R ghRL ==22ω。

在第二次碰撞中，每个小球在竖直方向上仍有F ∆t =2mv 0,在碰撞前小球对地的速度为R v ω=球地，碰撞点板对地的速度为R v ω2=板地，它们间的夹角α=45︒，有地板球地球板v v v +=，得球相对板的速度R v ω=球板， 因第一次和第二次与板碰撞时与板的相对速度相同，那么在R gh ωμ≥22的条件下，而平板对小球的摩擦力与相对速度方向相反，碰撞结束前小球已处于相对静止，碰后的速度为222v R v =='ω球地，它的水平射程R ghv L 22222==' 于是第三次相碰时这群小球对应的半径R L R 222='='，2122='=R R k2.当外力不零时的动量守恒：当物体间作用时间及短时，可忽略外力的冲量，动量守恒9. 质量为m 的重锤从高为H 处自由下落,打在质量也为m 的木桩上,设重锤与木桩为完全非弹性碰撞(碰撞后速度相同),木桩受到地的阻力与木桩进入地内的深度成正比，即f =kx (k 为已知的常数，x 是木桩打入地内的深度)，设每次重锤下落的高度相同，地对木桩的阻力比重力大得多。

求（1）第一次打入的深度。

（2）第n 次打入的深度。