06全国高中物理竞赛-质心问题
物理竞赛-力学_舒幼生_第五章质心刚体
4
质点系的质心 (center of mass)
质心速度
vc
drc dt
rc
mi ri
i
m
质心加速度
ac
dvc dt
质心动量等于质点系的总动量
质心动能
Ekc
1 2
mvc2
质心角动量
Lc rc mvc
mvc mivi
i
5
质心运动定理
F合外 mac
质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。
其中G*为假想的引力常量，r 为两质点的间距。不考虑碰撞的 可能性，试导出多质点引力系统各质点的运动轨道和周期。
质心系是惯性系，以质心为坐标原点。
第 i 个质点
(m1
,
ri
,
ri )
质心
质点系总质量 m
动力学方程组miri
G *mimj (rj ri )
ji
22
miri
G * mim j (rj ri )
牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的， 那么在大尺度范围内也将是正确的。
特殊的质点系——刚体
6
质心的性质
①质心在整个物体的包络内
②物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。
③几个物体的质心满足质心组合关系
rc
i
mi ri
mArA
mB
rB
mC
rC
m
m
7
例 由两个质点构成的质点系的质心
子完全伸直？（提示：可在质心系中分析） 在质心系中，B端相对质心速度不变
A l/2
B端的速度 vB gl
质心速度
vC
1 4
gl
高中物理教学论文 巧用“质心”概念解决中学物理问题
用心
爱心
专心
1
二、优化解题方法 例 2、如图 2 所示，光滑的木板AB水平放置，左端用一铰链固定在墙上，右 端用一轻绳悬挂在天花板上．板上静放着木块m 1 和m 2 ，m 1 和m 2 之间用轻质弹簧相 连接，并用细线拉着，使弹簧处于被压缩状态．现剪断细线，m 1 和m 2 在弹簧的作 用下在板上来回振动，试问细线OB的拉力将如何变化?
O
m1 m2
A
图2
B
解析：思路 1，用动量守恒定律解释：设开始时m 1 与m 2 对于转轴B 的力矩为
M 1 m1 gl1 m2 gl 2 ，
剪断细线后力矩为 M 2 m1 g (l1 x1 ) m2 g (l 2 x 2 ) ， 又由动量守恒定律得， m1v1 m2 v 2 0 ，则有 m1 x1 m2 x 2 0 所以 M 2 m1 g (l1 x1 ) m 2 g (l 2 x 2 ) m1 gl1 m2 gl 2 即，力矩 M 1 M 2 , 因此细线 OB 的拉力不会变化。
O
A B 分析：由机械能守恒定律易判断 BD 正 确，但是对于 C 选项，则不易直接判断，可 以用质心概念来解题，AB 两球的质心位于 C 点，则原图可以等效为一个摆，摆 球处于 C 点，如图 5 所示。质心摆到左侧与 C 点等高位置时，B 球到达位置应 高于 A 球开始运动的高度则 C 项正确。
如果不借用质心概念，用机械能守恒定律来研究 A、B 的运动过程，则过程 复杂且需要较高的数学运算能力才能判断 C 项正确。
思路 2， m 1 和m 2 组成的系统满足动量守恒的条件， 即水平方向质点系所受外 来之和为零，且系统原来处于静止状态，即质心速度为零，虽然后来m 1 和m 2 都来 回振动，但质心始终静止末动．这就相当于木板上放着一个质量为(m 1 + m 2 )、位 置始终不变的物体．所以细线OB的拉力也不会变化。 （使一个繁杂的问题变得简单明了。 ） 例 3、如图 3 所示，台秤上放有一个装有水的杯 子，通过固定在台秤上的支架用细线悬挂一个小球， 球全部浸没在水中，平衡时台秤的读数为某一数值， 今剪断细线，在球下落但还没有达到杯底的过程中， 不计水的阻力，则台秤的读数将（ ） A、变大 B、变小 C、不变 D、无法判断
质心教育原创物理竞赛模拟题第五套
1质心教育原创物理竞赛模拟题第五套满分160分 命题人 蔡子星第一题（20分）（1）如图4根轻杆之间铰接，左端铰接在墙上，0A 端挂有重物P 。
求出11,A B 端和墙之间的作用力。
（2）如图将上述结构复制n 份，铰接起来，分别挂有重物P ，/2P ，…，1/2n P -。
求出当n 足够大的时候，墙上两个端点与墙之间的相互作用力。
第二题（20分）空间中有两层很薄的电荷，电荷密度为σ±，间距为h ，h 很小，叫做电偶极层。
一个电量为0q >，质量为m 的点电荷，只能和电偶极层间发生静电相互作用（而不会碰撞）。
（1）粒子以速度0v ，角度θ，入射电偶极层，出射方向i 。
求出sin i 和sin θ之间的关系。
PA 0B 1B 1A2（2）将电偶极层弯成离心率为e 的双曲面形状，左边为正电荷，两个焦点沿着x 轴方向，要求所有平行于与x 轴方向入射的粒子都能汇交与焦点，则粒子速度，电偶极层厚度，电荷密度之间应当满足什么关系？ 第三题（20分）空间中有沿着z 方向的磁场，磁场大小随着时间和空间变化，满足0cos()B B t kx ω=-。
一个桌面在0z =平面上，平面上有一个沿着x-y 方向正放的线框，线框边长为l ，总电阻为R 。
（1）假设线框相对于桌面静止，线圈的左端位于0x =的位置，求出线框中电动势随着时间的变化关系。
（2）若线框质量为m ，摩擦系数为μ，线框是否可能相对于桌面沿着x 方向做匀速直线运动？如果可能求出参数之间应当满足的条件，如果不可以，写明理由。
（以下不是考题：找到三个这样的线框，沿着x 轴发成一排，相邻两个之间用长度为'l 的绝缘木棒连接，问这三个线框是否可能一起做匀速直线运动，如果可以求出各参数应当满足条件，如果不可以写明理由。
）第四题（20分）一个金属球壳，半径为R ，质量为M ，带电量为Q ，初始时刻自由的静止在空间中。
球壳的一端有一个小洞。
球心与小洞的连线方向视为轴线方向。
高中物理竞赛课件：质心平衡共33页文档
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
高中物理竞赛_话题1：重心与质心的确定
话题1：重心与质心的确定一、平行力的合成与分解物体所受的几个力的作用线彼此平行，且不作用于一点，即为平行力（系）。
在平行力的合成或分解的过程中，必须同时考虑到力的平动效果和转动效果，后者要求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都相同。
两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同，其大小等于分力大小之和。
其作用线在两个分力作用点的连线上。
合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。
例如：两个同向平行力A F 和B F ，其合力的大小A B F F F =+，合力作用点O 满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。
两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。
其作用线在两个分力作用点的连线的延长线上，且在较大的分力的外侧。
合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。
例如：两个反向平行力A F 和B F 的合成其合力的大小B A F F F =-(假如B A F F >，则F 和B F 同向)其合力的作用点满足A B AO F BO F ⋅=⋅的关系。
一个力分解成两个平行力，是平行力合成的逆过程。
二、重心和质心重心是重力的作用点。
质心是物体(或由多个物体组成的系统)质量分布的中心。
物体的重心和质心是两个不同的概念，当物体远离地球而不受重力作用时，重心这个概念就失去意义，但质心却依然存在。
对于地球上体积不太大的物体，由于重力与质量成正比，重心与质心的位置是重合的。
但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时，两者就不重合了，如高山的重心比质心要低一些。
在重力加速度g 为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我们讨论的都是这种情形），BF AF FO BA BF AF F OBA重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。
求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。
相距L ，质量分别为12,m m 的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且与12,m m 相距分别为1L ,2L ：1122m L m L = 12L L L +=2112m LL m m =+1212m LL m m =+均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。
质心教育原创物理竞赛模拟题第三套
质心教育原创物理竞赛模拟题第三套满分160分 命题⼈人 蔡⼦子星、唐鹏、肖虓第一题（22分）一个质量为m 的人站在长度为l 质量为M 的木板上，木板和地面摩擦系数为µ。
要求人在不同的位置都能将自己和木板拉离地面（木板绕着右方端点转起来，而不发生滑动，人的脚和木板之间用胶水黏起来，不会分离和滑动）。
问摩擦系数µ应当满足的关系。
取m /M=2。
第二题（20分）【梯子不用时请横放】一个梯子用完了，靠在墙上，小明同学不小心一脚踢到了梯子上，将梯子踢飞了，脚肿了不要紧，要紧的时砸到了花花草草，甚是不安。
现在我们来粗略还原一下现场。
为了简化问题，将梯子视为质量为M 、长度为L 的匀质棒子，竖直靠在墙上。
梯子与地面、墙面的摩擦系数忽略不计，小明同学的脚视为质量为m 的质点。
脚的初速度方向也平行于墙与地面的交线，脚踢到梯子时，碰撞点为梯子的最下方，视为完全非弹性碰撞，且碰撞时间非常短，之后由于小明疼痛难耐，脚不再与梯子接触。
（均匀棒绕质心的转动惯量为I=ML 2/12）1）求小明以初速0v 踢完梯子瞬间梯子的运动状态。
2）若小明这一脚踢得很重，刚刚踢完，梯子就直接“飞”起来了（即接触点与地面分离），问脚的初速度至少为多少。
第四题（20分）【三叶草】一根特殊的弹簧，原长为0，当长度0x R <<时，弹力为6F kx =−，当长度2R x R <<时，弹力F kx =−。
将弹簧一端连在在光滑水平桌面上的固定点上，可自由转动，另一端系着质量为m 的小球。
现在将小球拉至2R 位置，并以垂直于弹簧的初速0v =释放。
（1）求出小球最靠近原点的时候的速度大小，以及和原点的距离。
（2）求出从释放小球到小球第一次最靠近原点的过程中，弹簧的方向转过了多少角度。
（3）定性描绘小球的轨迹。
第五题（20分）【某科学的超电磁炮】御坂美琴的绝招之一是高速射出硬币以打击目标，现在我们建立简单模型对其进行分析。
高中物理教学论文 巧用“质心”概念解决中学物理问题
图8
S1 A C S2 A
图9
专心
S2 B
S1 C B
4
参考文献
⑴、大学物理教程 / 程国均编著 北京：科学出版社， 2002 、 8 ， 82 页。
用心
爱心
专心
5
图1
用心
爱心
专心
1
二、优化解题方法 例 2、如图 2 所示，光滑的木板AB水平放置，左端用一铰链固定在墙上，右 端用一轻绳悬挂在天花板上．板上静放着木块m 1 和m 2 ，m 1 和m 2 之间用轻质弹簧相 连接，并用细线拉着，使弹簧处于被压缩状态．现剪断细线，m 1 和m 2 在弹簧的作 用下在板上来回振动，试问细线OB的拉力将如何变化?
O
A B 分析：由机械能守恒定律易判断 BD 正 确，但是对于 C 选项，则不易直接判断，可 以用质心概念来解题，AB 两球的质心位于 C 点，则原图可以等效为一个摆，摆 球处于 C 点，如图 5 所示。质心摆到左侧与 C 点等高位置时，B 球到达位置应 高于 A 球开始运动的高度则 C 项正确。
如果不借用质心概念，用机械能守恒定律来研究 A、B 的运动过程，则过程 复杂且需要较高的数学运算能力才能判断 C 项正确。
巧用“质心”解决中学物理问题
质量中心或称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。与重 心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是 均匀的， 否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。 对于密度均匀、 形状对称分布的物体， 其质心位于其几何中心处。 在一个一维空间中的质量中心， 坐标系计算公式为：
4l ，由圆周运动条 3
即
F=3m r 2
F= 4ml 2 。
物理竞赛-力学_舒幼生_第五章质心刚体
茹可夫斯基凳
41
例 质量 m、长 l 的匀质细杆绕水平轴在竖直平面内自由摆动。
将杆水平静止释放后，当摆角为θ时，求
15
质心系中质点系角动量定理
质心系中质点系角动量定理
M外
M惯
dL dt
M惯 ri (miac ) miri (ac ) rc (mac )
i
i
选质心为参考点 rc 0 M惯 0
质心系中质点系角动量定理
M外
dL dt
与惯性系完全相同
16
小结
质点系的运动 = 质心的运动 + 相对质心的运动 质点系的动能、角动量可分解成质心的与相对质心的两部分之和
m 2
a
2
b2 4
2
mab 22
应用平行轴定理
a
O1 O O2
IO
2 IO1
m 2
b 4
2
1ma 2
1
4
1 16
mb 2
1 2
2
mab
比较系数
1
4
1 16
1
1 2
2
2
1
1 12
2 0
37
例 质量 m、半径为 R的匀质薄球壳，
求其以直径为转轴的转动惯量。
I x mi ( yi2 zi2 )
其中一个转轴通过刚体质心C
Ri Ri (C) d
M
Ri
d
P mi
Ri (C) C
N Q
IMN mi Ri Ri mi Ri (C) Ri (C) 2 mi Ri (C) d mid d
i
i
i
i
i
mi Ri2 (C) 2 i
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
外力之和
Fi fi
内力之和
二、 质心
Y 质点系的质量分布中 心，简称质心。
C
O
X
抛手榴弹的过程
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
对于N个质点组成的质点系：
m1,m2, ,mi ,mN M mi r1, r2, , ri , rN
rc miri / M
y mN
c
ri
直角坐标系中
m1 rN
rc
xc mixi / M yc mi yi / M
r1
r2 O
zc mi zi / M
z
mi
m2 x
对于质量连续分布的物体
r rc
rrdm dm
rrdm m
直角坐标系下
xc x d m / M yc y d m / M zc z d m / M
线分布 d m dl 面分布 d m d S 体分布 d m dV
为零。
r acx
0
即人在走动的过程中系统质心始终静止
xc 0
设人走之前，相对湖岸人的位置坐标
为 x1 ，船的质心坐标为 x2 。这时人船系
统质心的坐标为
x m1x1 m2 x2
c
mx
1
m2
xc
m1x1 m2x2 m1 m2
0
x1 x2
l
动量守恒定律
x2
m1 m1 m2
l
0.8(m)
动量守恒定律
如果系统所受的外力之和为零（即 Fi 0 ），则 系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒定律.
å 条件
定律
r
Fi
P=
mi
r vi
=常量
直角坐标系下的分i 量形式
Fix 0 时
px mivix
Fiy 0时 Fiz 0时
py miviy =常量 pz miviz
动量守恒定律
质心运
动定理
Fi Mac
r
If Fi 0,
r ac
0
r
vrc
mivi 常矢量 m
质心保持匀速直线运动状态或静止状态
系统的总动量保持不变
Figure . Multiflash photograph showing an overhead view of a wrench moving on a horizontal surface. The white dots are located at the center of mass of the wrench and show that the center of mass moves in a straight line as the wrench rotates.
y
rC
r rC dm r
O
x
z
三、 质心运动定理
设有一个质点系，由 n 个质点组成，它的质
心的位矢是：
rc
mi ri mi
m1r1 m2r2 mnrn
m1 m2 mn
质心的速度为
vc
d rc dt
mi
d rri dt
m i
r
mi vi
m i
质心的加速度为
ac
d vc
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
一、 质点系的内力和外力
N个质点组成的系统-- 研究对象称为质点系。
内力：系统内部各质点间的相互作用力
f'
特点：成对出现；大小相等方向相反
f
结论：质点系的内力之和为零 fi 0
i
质点系 F
外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力
约定：系统内任一质点受力之和写成
dt
mi
d vi dt
mi
mi ai mi
由牛顿第二定律得
m1a1 r
m2a2
m1 m2
d v1 d tr d v2 dt
F1 f12 f13
rr r F2 f21 f23 L
f1n
r f2
n
r
r mn an
mn
d vn dt
r Fn
r fn1
r fn2 L
例 一质量 m1 5的0k人g 站在一条质量为 m2，长20度0kg
l 4m 的船的船头上。开始时船静止，试求当人走到
船尾时船移动的距离。（假定水的阻力不计。）
解：
y
选人和船组成
x1
x1
的质点系为研
究对象，如图 o x2 x2
cb cb d
x
所示。
动量守恒定律
解: 由于在水平方向上系统不受外力。因此，根据质心 运动定理，质点系质心的加速度沿水平方向的分量
r f nn 1
对于内力 f12 f21 0, , fin fni 0,
mi
ai
Fi
ac
miai mi
ac
Fi mi
Fi
M
Fi Mac
质心运 动定理
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作
用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质 量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作用其上 的一个质点的运动一样。内力不改变质心运动。