矩阵理论(科学出版社)习题详细解答
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习题 一
1.(1)因 cos sin sin cos nx nx nx nx ⎡⎤
⎢⎥
-⎣⎦
cos sin sin cos x x x x ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++⎡⎤
⎢⎥-++⎣⎦
,故由归纳法知
cos sin sin cos n nx nx A nx nx ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
。 (2)直接计算得4
A E =-,故设4(0,1,2,3)n k r r =+=,则4(1)n k r k r A A A A ==-,即只需算出23,A A 即可。
(3)记J=0 1 0 1 1 0 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,则 ,
112211111 () n n n n
n n n n n n n n
n
n
i i n i
n
n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+==⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
n
∑。 2.设11
22 (1,0),0 a A P P a A E λλ-⎡⎤===⎢
⎥⎣⎦
则由得
2
1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1时,不可能。
而由2
112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1
i PB P -, 其中P 为任意满秩矩阵,而
1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
。
注:2A E =-无实解,n
A E =的讨论雷同。
3.设A 为已给矩阵,由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ,即把X 看作2
n 个未知数时线
性方程AX -XA=0有2
n 个线性无关的解,由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵, 通过直接检验即发现A 为纯量矩阵。110n n a a a -+++=
4.分别对(A B )和A C ⎛⎫
⎪⎝⎭
作行(列)初等变换即可。
5.先证A 或B 是初等到阵时有()*
**AB B A =,从而当A 或B 为可逆阵时有()*
**
AB B A =。
考虑到初等变换A 对B 的1n -阶子行列式的影响及*1
A A -=即可得前面提到的结果。
下设 00 0r E PAQ ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
,
(这里P ,Q 满秩),则由前讨论只需证下式成立即可:
**
* 0 00 00 0r r E E B B ⎛⎫⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎝⎭, (1) r (2) r=n-1时,* 00 00 10 0r E ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,n1 2 * *nn 0 0 0 0 B 0 n B B r E B ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥ ⎣⎦ ,但 1112111121212222122212 00 0 0 0 0n n n r n n n nn b b b b b b b b b E b b b b b b ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥ =⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣ ⎦ ,故 * 00 0r E B ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥ ⎣⎦⎝⎭n1 2 nn 0 B 0 n B B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ * * 00 0r E B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。 6.由()()0()0r A r A AX AX AX ⊥⊥==⇔=及,即0AX =与0A AX ⊥ =同解,此即所 求证。 7.设其逆为() ij a ,则当I 固定时由可逆阵的定义得n 个方程 ()()() 1 2 1 111123n j j j i i i in ij a a w a w a w δ----++++= ,1,2,j n = , 其中ij δ为Kronecker 符号。对这里的第l 个方程乘以()() 1j n l w --然后全加起来得 ()()()()111j n j n i ij nw a w ----=,即得()()111j n i ij a w n -+-=。 注:同一方程式的全部本原根之和为0,且m w 也是本原根(可能其满足的方程次数小于n )。 习题 二 1. 因11x x x ⊕==⊕,所以V 中零元素为1,x 的负元素为 1 x ,再证结合律、交换律和分配律。 2. 归纳法:设121s W W W V -≠ ,则下面三者之一必成立: (1)121s s W W W W -⊂ ; (2)121s s W W W W -⊃ 。 (3) 存在121\s s W W W W α-∈ 及121\()s s W W W W β-∈ 。 如果是(1)(2)则归纳成立,如果是(3)则选s 个不同的数12,,,s k k k ,则必有某一个12i s k W W W αβ+∉ 。 3. U 是满足方程tr(A)=0解向量空间,其维数为2 1n -,故其补空间为一维的,可由任一迹 非0的矩阵生成。 4. 易证线性封闭。又设V 中元素为1211n n n n f a x a x a ---=+++ ,则U 是满足方程 110n n a a a -+++= 的子空间。故U 的维数为n-1,其补空间为一维的,故任取一系 数非0且不满足此方程式的元即可生成此补空间。 5. 记U=()123,,u u u ,()12,W w w =,把U,W 放在一起成4行5列的矩阵,其Hermite 标 准形为