高中数学函数解题技巧方法总结(高考)
高中函数题型方法全归纳
高中函数题型方法全归纳高中函数题型方法全归纳函数是高中数学的重要分支之一,在高考数学中占有重要的地位。
函数的题型种类多样,每种题型都有其独特的解决方法。
本文将全面介绍高中函数的题型,并提供相应的解决方法。
一、函数的基本题型1.函数的定义域与值域问题定义域是指函数的输入范围,值域是指函数的输出范围。
对于函数的定义域和值域问题,我们需要明确以下几点:(1)函数的定义域必须包含输入值,值域必须包含输出值;(2)函数的定义域可以是任何实数,但值域必须是非负实数;(3)函数的定义域和值域之间的关系是:定义域决定了函数的输入范围,值域决定了函数的输出范围;(4)对于函数的复合函数,其定义域和值域必须满足复合函数的条件。
2.函数的定义域、值域和图像问题(1)函数的定义域和值域可以通过函数图像来确定;(2)函数图像必须满足函数的定义域和值域的限制条件;(3)通过函数图像,我们可以找到函数的对称轴、开口方向、最大值、最小值等特征。
3.函数的取值范围问题函数的取值范围是指函数在输入变量范围内的取值范围。
对于函数的取值范围问题,我们需要明确以下几点:(1)函数的输入变量必须大于等于零;(2)函数的取值范围可以是任何实数,但非负实数必须大于等于零;(3)函数的取值范围与定义域和值域有关。
4.函数的图像和性质问题(1)函数的图像必须满足函数的定义域和值域的限制条件;(2)通过函数图像,我们可以找到函数的对称轴、最大值、最小值等特征;(3)函数的性质可以通过函数图像和定义域、值域的关系来确定。
二、函数的应用函数在数学中有着广泛的应用,在解决实际问题中发挥着重要的作用。
下面我们将介绍一些常见的函数应用:1.函数在几何中的应用(1)函数在平面直角坐标系中的应用,如函数的取值范围、定义域、值域问题;(2)函数的图像和性质问题;(3)函数在图形上的变换和坐标系的变换。
2.函数在代数中的应用(1)函数在一元一次方程中的应用,如函数的定义域、值域问题;(2)函数的取值范围问题;(3)函数在一元二次方程中的应用。
高中数学解题技巧方法总结(必备19篇)
高中数学解题技巧方法总结第1篇(1)利用y＝sin x和y＝cos x的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成y＝A sin(ωx＋φ)＋b(或y＝A cos(ωx＋φ)＋b)的形式求值域．(3)把sin x或cos x看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域．(4)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系将原函数转换成二次函数求值域．高中数学解题技巧方法总结第2篇(1)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(4)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．(5)并项法一个数列的前n项和中，可两两结合求和，称为并项法求和，形如：(－1)nf(n)类型，可考虑利用并项法求和．高中数学解题技巧方法总结第3篇先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．推断数列的通项公式解答此类问题的具体步骤：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．高中数学解题技巧方法总结第4篇以退求进，立足特殊发散一般对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊(如用特殊法解选择题)，化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件，等等。
高中函数解题技巧
高中函数解题技巧高中函数解题技巧引言在高中数学中，函数是一个重要的内容，解题时需要运用合适的技巧来解决各种函数问题。
本文将详细说明高中函数解题的各种技巧，帮助学生更好地应对考试。
技巧一：函数定义的掌握1.理解函数的定义：函数是一个映射关系，将自变量映射到因变量。
2.弄清楚定义域和值域：定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
3.利用定义域和值域求解问题：在解题过程中，需要根据函数的定义域和值域来确定自变量和因变量的取值范围，进而解决相关问题。
技巧二：函数的性质应用1.利用奇偶性判断函数的对称性：奇函数以原点对称，偶函数以y轴对称。
通过判断函数的奇偶性，可以简化一些计算和问题的分析。
2.利用导数判断函数的增减性：函数的导数代表其斜率，通过求导可以判断函数在某一区间内的增减情况，有助于解决最值和特殊点问题等。
3.利用周期性解决重复性问题：某些函数具有周期性特征，通过寻找周期性解决问题，可以简化计算和分析过程。
技巧三：函数图像的应用1.利用函数图像解读问题：观察函数的图像，可以帮助理解函数的性质和规律，进而解决相关问题。
2.利用函数图像求解交点和切点：通过观察函数图像的交点和切点，可以求解函数的零点、最大最小值和特殊点等问题。
技巧四：函数图像的变换1.利用平移变换函数图像：平移函数图像可以改变函数图像的位置，通过平移变换可以简化计算和分析过程。
2.利用伸缩变换函数图像：伸缩函数图像可以改变函数图像的尺寸，通过伸缩变换可以观察到函数的变化规律。
技巧五：函数组合和复合1.利用函数组合化简问题：将多个函数组合起来，可以简化计算和分析过程，有助于解决复杂的问题。
2.利用函数复合求解复合函数值：通过将自变量代入复合函数，可以求解复合函数的值，解决相关问题。
技巧六：方程和不等式的解法1.利用函数解方程：将方程转化为函数等式，通过解函数等式来求解方程，可以简化计算和分析过程。
2.利用函数解不等式：将不等式转化为函数不等式，通过解函数不等式来求解不等式，解决相关问题。
高中函数题型及解题方法
高中函数题型及解题方法高中数学中，函数是一个非常重要的概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。
函数题型在高考中占据了相当大的比重，因此掌握函数的相关知识和解题方法对于学生来说是非常重要的。
本文将针对高中函数题型及解题方法进行详细介绍，希望能够帮助学生们更好地理解和掌握函数的相关知识。
一、基本概念。
在学习函数的题型和解题方法之前，首先需要对函数的基本概念有一个清晰的认识。
函数是一个特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素上。
函数通常用f(x)来表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等概念也是学习函数题型的重点内容。
二、常见题型及解题方法。
1. 函数的性质题。
这类题型主要考察对函数的性质的理解和掌握程度，包括奇偶性、单调性、最值等。
解题方法主要是通过对函数图像的分析和导数的运算来确定函数的性质。
2. 函数的运算题。
函数的运算题主要考察对函数的基本运算和复合函数的理解，包括函数的加减乘除、复合函数等。
解题方法主要是根据函数的定义进行运算，注意化简和合并同类项。
3. 函数方程题。
函数方程题主要考察对函数方程的解法和函数图像的性质分析。
解题方法主要是根据方程的特点进行分类讨论，通过代数和图像的方法解题。
4. 函数的应用题。
函数的应用题是高中数学中比较常见的题型，主要考察对函数的应用和解决实际问题的能力。
解题方法主要是通过建立函数模型，利用函数的性质解决实际问题。
三、解题技巧。
1. 熟练掌握函数的基本性质和运算法则，对于函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等要有清晰的认识。
2. 多画函数的图像，通过观察函数的图像来理解函数的性质和解题方法。
3. 多做函数题的练习，掌握不同类型函数题的解题技巧和方法。
4. 注意函数题与实际问题的结合，理解函数在实际问题中的应用。
总结。
通过对高中函数题型及解题方法的介绍，希望能够帮助学生们更好地掌握函数的相关知识和解题方法。
高中函数题型及解题方法
高中函数题型及解题方法高中数学中，函数是一个非常重要的概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。
函数题型在高考中占据着相当大的比重，因此熟练掌握函数的相关知识和解题方法对于高中生来说至关重要。
下面我们就来系统地总结一下高中函数题型及解题方法。
一、基本函数题型。
1. 一次函数。
一次函数是高中阶段最基础的函数之一，其函数表达式为y=kx+b，其中k和b分别代表斜率和截距。
一次函数的图像是一条直线，因此在解题时需要掌握直线的性质和相关的解题技巧，如求斜率、求截距、求交点等。
2. 二次函数。
二次函数是高中阶段比较常见的函数之一，其函数表达式为y=ax^2+bx+c，其中a不等于0。
二次函数的图像是抛物线，因此在解题时需要掌握抛物线的性质和相关的解题技巧，如求顶点、求零点、求对称轴等。
3. 指数函数。
指数函数是以a（a大于0且不等于1）为底的幂函数，其函数表达式为y=a^x。
指数函数的图像是一条逐渐增长或逐渐减小的曲线，因此在解题时需要掌握指数函数的增减性、奇偶性和相关的解题技巧，如求定义域、值域、解不等式等。
4. 对数函数。
对数函数是指数函数的反函数，其函数表达式为y=loga(x)。
对数函数的图像是一条渐进于x轴的曲线，因此在解题时需要掌握对数函数的性质和相关的解题技巧，如求定义域、值域、解不等式等。
二、解题方法。
1. 分析题目。
在解函数题型的题目时，首先要仔细阅读题目，分析题目中所给的条件和要求，理清思路，确定解题的方法和步骤。
2. 列出方程。
根据题目所给的条件，可以列出相应的函数方程，如一次函数的斜率截距形式、二次函数的标准形式、指数函数的幂函数形式、对数函数的指数形式等。
3. 运用函数性质。
根据函数的性质和特点，运用相关的定理和公式，解决问题。
比如利用一次函数的斜率求交点坐标，利用二次函数的顶点求最值，利用指数函数的增减性解不等式，利用对数函数的性质求解方程等。
4. 综合运用。
有些函数题目可能需要综合运用多种函数的性质和解题方法，因此在解题时需要综合考虑，灵活运用各种方法，找到最优解。
高中数学第四章指数函数与对数函数解题方法技巧(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数解题方法技巧单选题1、已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )=2x +x 2，则f (2)+f (−1)=（ ） A ．11B ．5C ．−8D ．−5 答案：B分析：利用奇函数的定义直接计算作答. 奇函数f (x )，当x >0时，f (x )=2x +x 2，所以f (2)+f (−1)=f(2)−f(1)=22+22−(21+12)=5. 故选：B2、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K 1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69 答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解. ∵I (t )=K1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t ∗−53)=19，所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.3、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[,2)答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．3434∵f(x)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，∴f(x)在R上是减函数，∴{0<a<1 a−2<0(a−2)×0+3a≤a0，解得0<a≤13，∴a的取值范围是(0,13]．故选：C．4、中国茶文化博大精深，某同学在茶艺选修课中了解到，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某种绿茶用80℃左右的水泡制可使茶汤清澈明亮，营养也较少破坏.为了方便控制水温，该同学联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是θ1℃，环境温度是θ0℃，则经过t分钟后物体的温度θ℃将满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.该同学通过多次测量平均值的方法得到初始温度为100℃的水在20℃的室温中，12分钟以后温度下降到50℃.则在上述条件下，100℃的水应大约冷却( )分钟冲泡该绿茶(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)A．3B．3.6C．4D．4.8答案：B分析：根据题意求出k的值，再将θ＝80℃，θ1＝100℃，θ0＝20℃代入θ=θ0+(θ1−θ0)e−kt即可求得t的值.由题可知：50=20+(100−20)e−12k⇒(e−k)12=38⇒e−k=(38)112，冲泡绿茶时水温为80℃，故80=20+(100−20)⋅e−kt⇒(e−k)t=34⇒t⋅lne−k=ln34⇒t=ln 3 4ln(38)112=12(ln3−2ln2)ln3−3ln2≈12(1.1−2×0.7)1.1−3×0.7=3.6.故选：B.5、已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（）A．a>0>b B．a>b>0C．b>a>0D．b>0>a 答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出． ［方法一］：（指对数函数性质） 由9m=10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0. 又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b . ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则fʹ(x)=mx m−1−1， 令fʹ(x)=0，解得x 0=m11−m，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ， 又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b . 故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、已知2a =5b =10，则1a+1b =（ ）A ．1B ．2C ．12D ．15答案：A分析：运用对数的定义和换底公式、以及运算性质，计算即可得到所求值． 解：若2a =5b =10， 可得a =log 210，b =log 510， 则1a +1b =1log510+1log 210=lg5+lg2=lg10=1，故选：A．7、设4a=3b=36，则1a +2b=（）A．3B．1C．−1D．−3答案：B分析：先求出a=log436,b=log336，再利用换底公式和对数的运算法则计算求解. 因为4a=3b=36，所以a=log436,b=log336，则1a =log364,2b=log369，所以则1a +2b=log364+log369=log3636=1.故选：B.8、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B多选题9、函数f(x)=2x−2x−a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的可能取值是（）A．0B．1C．2D．3答案：BC分析：根据初等函数的单调性判断函数f(x)=2x−2x−a的单调性，根据零点存在定理可得f(1)f(2)<0，从而可得结果.因为函数y=2x、y=−2x在定义域{x|x≠0}上单调递增，所以函数f (x )=2x −2x−a 在{x |x ≠0}上单调递增，由函数f (x )=2x −2x−a 的一个零点在区间(1,2)内，得f (1)×f (2)=(2−2−a)(4−1−a)=(−a )×(3−a )<0， 解得0<a <3, 故选：BC10、已知a =log 3e,b =log 23，c =ln3，则（ ） A ．a <b <c B ．a <c <b C ．D ．a +c <b 答案：BC分析：由对数函数的单调性结合换底公式比较a,b,c 的大小，计算出a +c ，利用基本不等式得a +c >2，而b <2，从而可比较大小．由题意可知，对于选项AB ，因为b =log 23=ln3ln2>ln3lne=ln3=c ，所以b >c ，又因为a =log 3e <log 33=1，且c =ln3>lne =1，所以，则b >c >a ，所以选项A 错误，选项B 正确；对于选项CD ，a +c =log 3e +ln3=lne ln3+ln3=1ln3+ln3>2√1ln3⋅ln3=2，且b =log 23<b =log 24=2，所以，故选项C 正确，选项D 错误； 故选：BC.小提示：关键点点睛：本题考查对数函数的单调性，利用单调性比较对数的大小，对于不同底的对数，可利用换底公式化为同底，再由用函数的单调性及不等式的性质比较大小，也可结合中间值如0或1或2等比较后得出结论．11、设函数f (x )={|x 2+3x |,x ≤1log 2x,x >1，若函数f (x )+m =0有五个零点，则实数m 可取（ ）A ．−3B ．1C ．−12D ．−2 答案：CD分析：函数f (x )+m =0有五个零点等价于y =f (x )与y =−m 有五个不同的交点，作出f (x )图像，利用图像求解即可a cb +>c a >a c b +>函数f (x )+m =0有五个零点等价于y =f (x )与y =−m 有五个不同的交点，作出f (x )图像可知，当x =−32时，f (−32)=|(−32)2+3×(−32)|=94 若y =f (x )与y =−m 有五个不同的交点， 则−m ∈(0,94)， ∴m ∈(−94,0)，故选：CD ．12、已知函数f(x)=2x −12x +1，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f(x)的定义域为RB ．函数f(x)的值域为(−1,1)C ．函数f(x)的图象关于y 轴对称D ．函数f(x)在R 上为增函数 答案：ABD分析：根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可. A ：因为2x >0，所以函数f(x)的定义域为R ，因此本选项结论正确； B ：f(x)=2x −12x +1=1−22x +1，由2x >0⇒2x +1>1⇒0<12x +1<1⇒−2<−22x +1<0⇒−1<−22x +1<1，所以函数f(x)的值域为(−1,1)，因此本选项结论正确；C：因为f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，因此本选项说法不正确；D：因为函数y=2x+1是增函数，因为y=2x+1>1，所以函数y=22x+1是减函数，因此函数f(x)=1−22x+1是增函数，所以本选项结论正确，故选：ABD13、已知函数f(x)=a x(a>1)，g(x)=f(x)−f(−x)，若x1≠x2，则（）A．f(x1)f(x2)=f(x1+x2)B．f(x1)+f(x2)=f(x1x2)C．x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+x2g(x1)D．g(x1+x22)⩽g(x1)+g(x2)2答案：AC分析：对选项A、B，利用指数幂的运算性质即可判断选项A正确，选项B错误；对选项C、利用g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x(a>1)在R上单调递增即可判断，选项C正确；对选项D、根据f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1 a )x(a>1)，由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]即可判断选项D错误；解：对选项A：因为a x1⋅a x2=a x1+x2，所以f(x1)f(x2)=f(x1+x2)，故选项A正确；对选项B：因为a x1+a x2≠a x1x2，所以f(x1)+f(x2)≠f(x1x2)，故选项B错误；对选项C：由题意，因为a>1，所以g(x)=f(x)−f(−x)=a x−a−x在R上单调递增，不妨设x1>x2，则g(x1)>g(x2)，所以(x1−x2)g(x1)>(x1−x2)g(x2)，即x1g(x1)+x2g(x2)>x1g(x2)+ x2g(x1)，故选项C正确；对选项D：因为f(x)=a x(a>1)，且x1≠x2，所以由凹凸性有f(x1+x22)<12[f(x1)+f(x2)]，又f(−x)=(1a )x(a>1)，所以由凹凸性有f(−x1−x22)>12[f(−x1)+f(−x2)]，所以有f(x1+x22)+12[f(−x1)+f(−x2)]<f(−x1−x22)+12[f(x1)+f(x2)]，即f(x1+x22)−f(−x1−x22)<12[f(x1)+f(x2)]−12[f(−x1)+f(−x2)]，即g (x 1+x 22)<g (x 1)+g (x 2)2，故选项D 错误；故选：AC. 填空题14、已知实数a >0且a ≠1，不论a 取何值，函数y =a x−4+2的图像恒过一个定点，这个定点的坐标为______． 答案：(4,3)分析：根据指数函数过定点问题求解. 令x −4=0，得 x =4，此时 y =3，所以函数y =a x−4+2的图像恒过的定点坐标为(4,3)， 所以答案是：(4,3)15、若√4a 2−4a +1=√(1−2a )33，则实数a 的取值范围_________ ． 答案：(−∞，12]分析：由二次根式的化简求解由题设得√4a 2−4a +1=√(2a −1)2=|2a −1|，√(1−2a )33=1−2a ，所以|2a −1|=1−2a 所以1−2a ≥0，a ≤12．所以答案是：(−∞，12]16、函数y =log a (kx −5)+b （a >0且a ≠1）恒过定点(2,2)，则k +b =______． 答案：5分析：根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解. 由题意，函数y =log a (kx −5)+b 恒过定点(2,2)， 可得{2k −5=1b =2，解得k =3,b =2，所以k +b =3+2=5.所以答案是：5. 解答题17、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )=x 2+mx ，函数f (x )在y 轴左侧的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )−a =0有4个不相等的实数根，求实数a 的取值范围． 答案：(1)f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0(2)(−1,0)分析：（1）利用f (−2)=0可求x ≤0时f (x )的解析式，当x >0时，利用奇偶性f (x )=f (−x )可求得x >0时的f (x )的解析式，由此可得结果；（2）作出f (x )图象，将问题转化为f (x )与y =a 有4个交点，数形结合可得结果.（1）由图象知：f (−2)=0，即4−2m =0，解得：m =2，∴当x ≤0时，f (x )=x 2+2x ； 当x >0时，−x <0，∴f (−x )=(−x )2−2x =x 2−2x ， ∵f (x )为R 上的偶函数，∴当x >0时，f (x )=f (−x )=x 2−2x ； 综上所述：f (x )={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0；（2）∵f (x )为偶函数，∴f (x )图象关于y 轴对称，可得f (x )图象如下图所示，f(x)−a=0有4个不相等的实数根，等价于f(x)与y=a有4个不同的交点，由图象可知：−1<a<0，即实数a的取值范围为(−1,0).18、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本ℎ(x)万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x)=180x+100；当产量大于50万盒时ℎ(x)=x2+60x+3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？答案：(1)y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N(2)70万盒分析：（1）根据题意分0≤x≤50和x>50两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，y=200x−200−180x−100=20x−300，当产量大于50万盒时，y=200x−200−x2−60x−3500=−x2+140x−3700，故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N （2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；当x>50时，y=−x2+140x−3700，当x=140=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．2因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．。
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结在高中数学中，根据导数求函数的最值是一个常见的考点。
这类问题要求我们通过求函数的导数，找到函数的极大值或极小值点，从而确定函数的最值。
下面我将总结一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这类问题。
一、寻找函数的极值点在解决根据导数求函数最值问题时，首先需要找到函数的极值点。
一般来说，函数的极值点就是函数的导数等于零的点，即函数的驻点。
我们可以通过以下步骤来找到函数的极值点：1. 求函数的导数。
根据问题给出的函数，我们可以先对其求导数。
例如，对于函数f(x)，我们可以求得它的导函数f'(x)。
2. 解方程f'(x) = 0。
将求得的导函数f'(x)置零，解方程求得函数的驻点。
这些驻点就是函数的极值点。
需要注意的是，有时候函数的极值点可能还存在于函数的定义域的边界处，所以我们还需要将边界处的点也考虑进去。
二、判断极值点的性质找到函数的极值点后，我们需要进一步判断这些点的性质，即确定它们是极大值点还是极小值点。
这里有两种常见的方法：1. 使用导数的符号表。
我们可以通过绘制导数的符号表来判断极值点的性质。
具体做法是，在函数的定义域上选择几个代表性的点，代入导数f'(x)的值，然后根据导数的正负确定函数在这些点附近的增减性。
如果导数从正变负，那么这个点就是极大值点；如果导数从负变正，那么这个点就是极小值点。
2. 使用二阶导数。
二阶导数可以帮助我们更准确地判断极值点的性质。
具体做法是，求得函数的二阶导数f''(x)，然后将极值点代入二阶导数。
如果二阶导数大于零，那么这个点就是极小值点；如果二阶导数小于零，那么这个点就是极大值点。
三、举一反三根据导数求函数的最值问题不仅仅局限于求解极值点，还可以应用到其他类型的函数中。
下面举一个例子来说明。
例题：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的最大值和最小值。
高中数学函数解题技巧方法总结学生版
高中数学函数解题技巧方法总结学生版函数解题是高中数学中的重要内容之一，学生掌握了函数解题技巧方法，不仅可以有效提升数学成绩，还能帮助他们培养逻辑思维和问题解决的能力。
本文将总结一些高中数学函数解题的技巧和方法，以供学生参考。
一、函数的定义和基本性质在解题过程中，首先要明确函数的定义和基本性质，也就是函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等。
只有了解函数的基本性质，才能更好地理解和应用相关的定理和公式。
二、函数的图像与解析式的转化对于给定的函数解析式，可以通过对其进行分析和变化，得到函数的图像。
同样地，对于已知函数的图像，也可以通过观察和推理得到函数的解析式。
函数的图像与解析式的转化关系密切，学生们在解题过程中需要善于将两者相互转化。
三、函数的性质和特点的运用函数的性质和特点是解题中的重要依据之一。
例如，对于奇函数和偶函数，可以利用其对称性质简化计算；对于周期函数，可以利用其周期性简化讨论；对于反函数，可以利用其互为逆运算的关系求解问题。
四、函数的复合和逆函数的运用函数的复合和逆函数是解题中常用的技巧之一。
通过将多个函数进行复合，可以得到新的函数并简化问题的处理；通过求解函数的逆函数，可以将原问题转化为等价的简单问题。
五、函数的求导和极值问题在函数解题中，求导和极值问题是常见的考察点。
通过对函数进行求导，可以求解其导函数，并进一步分析函数的单调性、极值等问题。
这对于解决最优化问题非常有用。
六、函数与几何图形的关系函数与几何图形之间有着密切的联系，学生们在解题过程中应该善于将函数的性质与几何图形相结合。
例如，通过分析函数的变化趋势，可以确定函数与坐标轴的交点、极值点等，从而得到几何图形的特点和性质。
七、函数与实际问题的应用函数解题不仅仅是理论的推导和计算，还需要将其应用于实际问题中。
例如，利用函数理论可以解决人口增长、物质变化、运动轨迹等实际问题，帮助学生将数学知识应用于生活中。
总结：高中数学函数解题技巧方法的总结如上所述，对于学生来说，掌握这些技巧和方法，对于提高问题解决能力和数学思维非常有帮助。
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高中数学函数知识点总结1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？()()例：函数的定义域是y x x x =--432lg ()()()（答：，，，）022334Y Y函数定义域求法：● 分式中的分母不为零；● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ●指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。
● 正切函数x y tan = ⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈Zππk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ●反三角函数的定义域函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是[0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。
3. 如何求复合函数的定义域？[]的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(x f x f x F a b b a x f -+=>-> 义域是_____________。
[]（答：，）a a -出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。
例 若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。
分析：由函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21可知：221≤≤x ；所以)(log 2x f y =中有2log 212≤≤x 。
解：依题意知： 2log 212≤≤x 解之，得 42≤≤x∴)(log 2x f 的定义域为{}42|≤≤x x4、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例 求函数y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂.112..22222222ba y 型：直接用不等式性质k+xbxb. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx n x mx nd. y 型x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例 求函数y=6543++x x 值域。
5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。
我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例 求函数y=11+-x x e e ，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 11cos y θθ-=+的值域。
110112sin 11|sin |||1,1sin 22sin 12sin 1(1cos )1cos 2sin cos 1)1,sin()sin()11即又由解不等式，求出，就是要求的答案x x x e y y e y e y y y y y y yx y x x y θθθθθθθθθθθθ-+=⇒=>-+-+=⇒=≤+--=⇒-=++-=++=++=+≤≤6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y=+-25x log31-x （2≤x ≤10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。
例 求函数y=x+1-x 的值域。
8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例：已知点P （x.y ）在圆x 2+y 2=1上，2,(2),2(,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线. d 为圆心到直线的距离,R 为半径)(2)令y-2即也是直线d d yx x yk y k x x R d x b y x b R +==+-≤=--=≤例求函数y=)2(2-x +)8(2+x 的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），B （-8）间的距离之和。
由上图可知：当点P 在线段AB 上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB ∣=10当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB ∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞） 例求函数y=1362+-x x+542++x x的值域解：原函数可变形为：y=)20()3(22--+x +)10()2(22+++x上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2，-1）的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时， y m in =∣AB ∣=)12()23(22+++=43，故所求函数的值域为[43，+∞）。
注：求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法利用基本不等式a+b ≥2ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈R +），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例：33()13()32x (3-2x)(0<x<1.5)x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时，应注意使3者之和变成常数）a b c +⋅⋅≤=++≤ 10.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=32++x x 的值域320112022012时，时，=00y x x y y x y y =++≠==≥⇒<≤+=∴≤≤多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
2(0)113322x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）x xx x +>++≥=≥5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂()如：，求fx e x f x x +=+1().令，则t x t =+≥10 ∴x t =-21 ∴f t et t ()=+--2121 ()∴f x e x x x()=+-≥-212106. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ；②互换x 、y ；③注明定义域）()()如：求函数的反函数f x xx xx ()=+≥-<⎧⎨⎪⎩⎪1002()()（答：）f x x x x x -=->--<⎧⎨⎪⎩⎪1110()在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。
请看这个例题：(2004.全国理)函数)1(11≥+-=x x y 的反函数是（ B ） A ．y=x 2－2x +2(x <1) B ．y=x 2－2x +2(x ≥1) C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1)当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。
可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。
下面请看一下我的原函数定义域为 x 〉=1，那反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。
原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。
思路能不能明白呢？ 7. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质： 1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y ） 2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x ）3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y ）和点（y ，x ）关于直线y=x 对称①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性；③设的定义域为，值域为，，，则y f(x)A C a A b C f(a)=b f 1=∈∈⇔=-()b a [][]∴====---f f a f b a f f b f a b 111()()()()，由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04. 上海春季高考）已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 8 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：根据定义，设任意得x 1,x 2，找出f(x 1),f(x 2)之间的大小关系 可以变形为求1212()()f x f x x x --的正负号或者12()()f x f x 与1的关系(2)参照图象：①若函数f(x)的图象关于点(a ，b)对称，函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：②若函数f(x)的图象关于直线x ＝a 对称，则函数f(x)在关于点(a ，0)的对称区间里具有相反的单调性。
（特例：偶函数） (3)利用单调函数的性质：①函数f(x)与f(x)＋c(c 是常数)是同向变化的②函数f(x)与cf(x)(c 是常数)，当c ＞0时，它们是同向变化的；当c ＜0时，它们是反向变化的。
③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） ⑤函数f(x)与1()f x 在f(x)的同号区间里反向变化。