用绳拉船靠岸的船速问题

还有一个“速度佯谬”的问题 .如图 7,两人 用绳拉船靠岸 ,拉绳速度为 v1= v2 ( = 2m /s) , 两条绳在同一水平面上 ,夹角为 j. 求船速 V.
用“速度合成与分解”的方法 ,可得船速
V=
v21 +
v
2 2
+
2v1 v2 cosj
当 j= π /2时 , V= 2. 83m /s; 当 j= 2π /3时 , V
F - T cosθ= 0
( 7)
T = F /cosθ
( 8)
人所作的功率为 Fv0 ,绳的张力对雪橇所作
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的功率为 T V′,这两个功率应该相等 ,于是有
Fv0 = ( F /cosθ) V′
( 9)
故
V′= v0 cosθ
( 10)
我们也可以象第一个例子那样 ,从功能
原理来思考这个 例子 . 人以速度 v0拉绳 , 随 着时间的推移 ,人作的功越来越多 ,而 θ则越
图1
合速度、什么是分速度这一难点 . 若学生 用速度合成与 分解的方法 求解
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图2
时 ,回答往往是 (见图 2)
V = v cosθ
( 1)
当教师向他们指出 ,这是错误的 ,正确答案应
为
V = v /cosθ
( 2)
后 ,他们是否真正弄懂了呢?
我们来看类似的另一个例子 : [1, 4 ] 一人用
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用绳拉船靠岸的船速问题
钱树高 (云南工业大学物理教研室 ,昆明 650051)
夏英齐 (云南教育学院物理系 ,昆明 650223)
(收稿日期: 1998-05-20)
摘 要 讨论了用绳拉船靠岸的速度 ,介绍和比较了两种求解方法: 微分求导数和速 度合成与分解法 ,提供并较详细分析了第三种求解方法: 作功和能量方法 ,阐述了第 四种求解方法: 几何学方法 ,提出了两个值得认真思考和讨论的问题 . 关键词 船速 ; 微分计算 ;速度合成与分解 ; 功和能 ; 几何学
[ 2] 张三慧 ,王虎珠 .大学物理学 第一册 力学 . 北京: 清华大学出版社 , 1990. 31.
[ 3 ] 复旦大学《物理 学》编写组 .物理 学 上册 .第 二版 .北京: 高等教育出 版社 , 1985. 64.
[ 4 ] M eng Z. Difficulties in teaching a nd lear ning mechanics: A Considera tion of three pro blems. Physics Education, 1993, 28 ( 6): 371.
( 12)
即
V = v /cosθ
( 13)
这个几何学的方法 ,可以认为是该题的
第四种解法 ,它清楚地表明了船速 V 和收绳
速度 v 之间的几何关系 .
很显然 ,这个几何学的方法对于雪橇一
例也是适合的 .
3 两个问题
我们要进一步问: 上面两个例子是否属 于速度合成和分解的问题? 它们能不能用速 度分解的概念来解答呢?
题的认识 .
假定人以力 f 拉绳 ,所作功的功率为 p = f v , 这 时 绳 对 船 所 作 功 率 则 为 p′= f V cosθ,这两个功率应相等 ,即
f v = f V co sθ
( 5)
于是
V = v /cosθ
( 6)
可见 ,求解过程十分简单、分自然的 .
= 2m /s.
然而 ,有人认为 ,后向一个答案 (即 V=
2m / s)是错误的 ,正确 答案应为: V = 4m /s.
这是为什么?他说得究竟对不对?
对于这些问题 ,我们将在下一篇文章中
讨论 .
参考 文献
[ 1 ] 马 文蔚 ,柯景凤 .物 理学 上 册 . 北京: 高等教 育出版社 , 1981. 36.
SPEED OF BOAT DRAWN TOWARDS THE SHORE WITH A ROPE
Qian Shugao
( Depart ment of Ph ysics , Y unnan Pol ytech ni c U niversit y, K unming 650051, Chi na)
Xia Yingqi
绳拉雪橇奔跑 ,雪橇位于高出地面 H 的光滑
平台上 ,如图 3.若人向前奔跑的速度为 v0 ,雪 橇的速度 V′为多少?
图3
用速度的合成与分解 ,学生 (特别是接受
了上例教训后 )的答案大多是 (见图 4)
V′= v0 /cosθ
( 3)
图4
又错了 . 这次正确答案为
V′= v0 cosθ
( 4)
于是 ,教师们为了回避向学生讲清这是
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为什么? 分清哪个是合速度、哪个是分速度? 便采用微分求导数的方法 .
按文 [ 4 ]的意见 ,在第一个例子中 ,船的 速度 V是合速度 ,拉绳的速度 v 是分速度 ,另 一分速度是 u,与绳垂直 (见图 1) ; 在第二个 例子中 ,合速度是 v0 ,分速度是 V′和 u′(见图 3) .
这种解答 ,运用速度合成与分解的观点 , 显得直观、直接 ,干净利落 ,值得我们注意和 重视 .
来越小 ,因而雪橇的速度 V′越来越大 , 人作
的功转化为雪橇动能的增加 .
此外 ,我们还可以从几何角度来考察这
个问题 .如图 5,设在 dt 时间内 ,绳收短|dl|, 船运动了|dx|. 从图上可见 ,|dl|与|dx|之
图5
间有如下关系
|dl|= |dx|co sθ
( 11)
故
|ddxt|= |ddlt|/cosθ
1 导数法和分解法
大学物理教材 [1, 2, 3 ]上有这样一个题: 湖 中有一小船 ,岸上有人用绳跨定滑轮拉船靠 岸 ,如图 1,当人以速度 v 拉绳时 ,船运动的速 度 V 为多少?设滑轮距水面高度为 h ,滑轮至 船原位置的绳长为 l0 .
对于这类题 ,通常是用微分求导数的方 法去求解 .
然而近年有文 [4 ]指出 ,这种做法回避了 向学生讲解速度的合成与分解 ,弄清什么是
有人提出 ,假如人以不变的加速度 a 拉 着绳子向前奔跑 (如图 6所示 ) ,船的加速度是 多少?
用类似于速度合成和分解那样的考虑 ,
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图6
图7
船的加速度应是合加速度 ,而绳的加速度则 是分加速度 . 因此 ,有
a′船 = a /co sθ 但是 ,有人认为 ,这个结果是错误的 ,船 的加速度既不是 a co sθ,也不是 a /co sθ. 因为 这个例子不属于速度合成与分解的问题 ,不 能用速度、加速度合成与分解的概念去求解 , 哪怕它在速度问题上成功了 ,那只是一种“巧 合” .这种看法究竟对不对呢?
然而 ,要分清哪个是合速度、哪个是分速 度 ,有时候是很不容易的 ;有些问题用速度合 成与分解来求解 ,是比较困难的 ,或者容易出 错的 .
2 作功法和几何法
这里 ,我们提供第三种解法—— 用作功
和能量的观点求解 .我们认为 ,多用几种方法
求解一个问题是很有好处的 ,借此可以互相
检验、比较、启发和补充 ,从而深化我们对问
( Depart ment of Ph ysics , Y unan Ed ucation Col leg e, K unming 650223, Chi na)
Abstract The speed of boa t draw n t ow ards the sho re wi th a ro pe i s di scussed in detail. T wo metho ds of so lution, one by the di ff erential calculus and the other by the resolutio n of v elocit y, are i nt roduced a nd com pared; t he thi rd method, st arti ng f rom the co ncept o f w ork and energy , is provided and a nalysed; fi nally , the fourt h m ethod, w hich is a m et hod of geom et ry , is described. Last ly, tw o questions are put f o rw ard, w hich need t o be consi dered carefully. Key Words speed of boa t; di ff erential calculus; com posi tio n and resolutio n of v elocit y; w o rk and energ y; g eo met ry
人以速度 v 拉绳 ,随着时间的推移 ,人作的功 将越来 越多 ,同时 ,船也越来越 靠近岸边 ,θ
越来越大 ,因而船速 V 也越来越大 ,人作的
功转化为船的动能的增加 ,这正是式 ( 6)的一
个物理含义 .
在第二个例子中 ,设人在 x 方向拉绳之
力为 F ,绳中张力为 T .由于绳的质量可以略
去不计 ,有