一道2010年清华大学自主招生题的探究
关于一道清华自主招生试题想法
关于一道清华自主招生试题想法摘要：自主招生考试数学题目一般比较新颖，综合要求较高，当然，这也切合高中数学课程改革的重点：发展学生的思维能力！笔者根据多年教学经验，选取2009年清华大学自主招生考试中的一道不等式试题，试图从中找到在高考、自主招生、竞赛教学中的结合点。
标签：自主招生，伯努利不等式、函数凹凸性，数学归纳法【原题】设，且，求证：对任意正整数【解题过程】分析一：根据对称性，当时，条件和结论同时取等号，故解决问题可以同时从出发，利用参数思想进行放缩求证。
解法一：令，则反思一：数学无时无刻不向人们展示她的美，对称性则是其中之一，从中间突破构造对称关系实质上也起到了消元的目的。
分析二：从条件中的一次，到结论中的次的过渡有些困难，可以利用结论左边的次来构造解法二：由伯努利不等式：故反思二：伯努利不等式是一个由一次到次放缩转化的一个很好的工具，题目中先构造出，然后通过伯努利不等式进行调整。
分析三：结论也可以视为，这样从结构上更为和谐，此时的左边就可以当做了，右边向着去证就可以了。
解法三：由函数的凹凸性：在上是下凸函数，即故有，所以有分析四：利用权方和不等式将与结合在一起。
解法四：设，则当实数时，或时，有不等式中的等号当且仅当时取得由权方和不等式分析五：含有关的命题在教科书上大部分可以用数学归纳法进行证明。
解法五：当时，，故不等式成立当时假设不等式成立，即不妨设，则且，可设所以从而可得即，的时候也符合综上所述，【解后反思】综合问题解决主要体现中学数学知识的灵活运用，我在平时的教学中有意灌输学生在课外多涉及这方面的知识，目的是健全学生的知识体系，使学生获得思维的整理发展，通过这种结论的使用也能提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
当然，回到解决问题的一般套路上，在课堂上学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想方法，以及它们在后续学习中的作用，通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数學发现和创造的历程。
谈绳、杆牵连模型中的加速度
v 相对 = v Q sinθ+ v P cosθ= cvoPsθ.
由于轻杆不可伸长 , 则两环间的相对运动为圆 周运动 .
解法一
vQ = vP tanθ,
a
=
d vQ dt
= v P sec2 θddθt ,
而
ddθt =
ω=
v
相对
l
= v P cl osθ= lcvoPsθ,
所以
a
=
l
v
2 P
解法二 如图 8 所示 , 环的 第一个 分运动 有两个 加速
度 , 即切向加速度 at 和向心加速度 an , 环的第二个 分运动有 径 向加速度 ar ;设某时刻环的加速度为 a , AB 杆与竖直方向
的 夹角为 θ, 如图 8 所示 , a 可沿着 AB 杆方向 和垂直于 AB 杆
方向 分解 , 沿着 A B 杆 方向的分量为asinθ, 垂直于 A B 杆方向
第一 个分运动是绕滑轮的圆周运动 ;第 二个分运动 是沿绳方
向的运动 .设某时刻拖车速度为 v 0 , 绳 子与水 平方向 的夹角 为 θ, 则拖车速度垂直于 绳方向的速度 分量 v 1 = v 0 sinθ, 沿 绳方 向的速度分量 v 2 = v 0 cosθ.由于绳子不可伸 长 , 则小车
的速 度 v = v 2 = v0 cosθ.
传送带模型中的能量与划痕问题湖北省武钢三中湖北武汉430080传送带以物理过程复杂条件隐蔽涉及知识点多力运动特别是相对运动牛顿运动定律功能关系图象等且相互关联成为高中物理一种重要模型它既能联系科学和生活实际又能训练学生的科学思维具有很好的开放性很好的知识和能力考查模型下面以其中关联到相对运动的做功与能量及划痕类典型问题为例谈谈这类问题的解析思路和处理方法
一道自主招生试题的解法探究
论荟萃]www 2021年第3期中学数学教学参考（下旬>■且sin■时等号成立，即当a=夸，6=v^"，c=亨时等号成立。
在解题过程中，如果出现，W+V等形式，i与^可以用正切函数或余切函数代换；含有V/IZT?的表达式中的x可以用正弦函数或余弦函数代换；含有的表达式中的X可以用正割函数或余割函数代换。
在此基础上通过三角函数相关计算法则来证明不等式。
2.3解析几何问题例3已知P点坐标为(：r，j)且为椭圆義+盖= 1上的一点，试求解A=5x—的最值。
分析：本题采用解析几何的常用方法求解，需要在椭圆上确定两个点，使得直线y=—|的纵截距取到最大值和最小值。
由于纵截距表示为_|，因此纵截距最大时4取得最小值；纵截距最小时4取 得最大值。
除了这种常规的解析几何思路，还可以采 用三角代换的方法进行求解，可以有效避免上述易错 点。
由于椭圆方程的形式类似于Sin2a+c〇S2a=l，因此可以对椭圆表达式进行整理。
解：令：c=4cos a，：y=5sin a，々= 5 X4cos a—4 X 一道自主招生试题的苏代辉（湖北省襄阳市第四中学)摘要：以一道自主招生试题为栽体，从三个方面详细剖析了联想解题法在解题中的应用，旨在为一线师生提供参考。
关键词：北大自主招生试题；不等式；一题多解；背景探究文章编号=1002-2171 (2021)3-0077.-02例1(2019年北大自主招生试题）若a，66R+，求满足不等式\!x z—\f2a x-\-a2 +\!x2~4?.bx+b2^的:c的取值范围。
方法1:根号求和似椭圆，平方两次探本质。
题目的左侧是两个对称的根式求和，从形式上容 易联想到橢圆标准方程的化简过程。
于是采取平方、移项、再平方的方法。
\!x2—\f2a x-\~az+\!x1—\f2bx~\~b1《\/a2~\~b2肖 x2一42ax+a2+x2—\f2 bx~\~b2-\-5sin a=20 W cos(a+子）。
清华自主招生面试题目(3篇)
第1篇一、引言随着全球化的深入发展，世界正经历着前所未有的变革。
在这个充满机遇与挑战的时代，中国作为世界第二大经济体，正面临着前所未有的发展机遇。
清华大学作为中国顶尖的高等学府，始终关注着国家的发展大局，致力于培养具有国际视野和创新精神的人才。
本次自主招生面试题目以“创新与挑战：未来世界中的中国角色”为主题，旨在考察考生对当前国际形势的理解、对国家发展战略的思考以及对个人未来发展的规划。
二、面试题目1. 题目一：请结合当前国际形势，谈谈你对未来世界发展趋势的看法，以及中国在这一趋势中的角色定位。
2. 题目二：在全球化进程中，中国如何应对来自其他国家的竞争和挑战？请举例说明。
3. 题目三：你认为我国在科技创新方面有哪些优势？同时，在哪些领域还存在短板？请结合实际案例进行分析。
4. 题目四：面对气候变化、资源短缺等全球性问题，中国应如何发挥自身优势，为全球治理贡献力量？5. 题目五：请谈谈你对“一带一路”倡议的理解，以及该倡议对中国和世界带来的影响。
6. 题目六：在当前国际环境下，中国如何加强与其他国家的文化交流与合作？7. 题目七：请你结合自身专业背景，谈谈你对未来职业发展的规划，以及如何为实现国家战略目标贡献力量。
8. 题目八：请以“创新与挑战：未来世界中的中国角色”为主题，撰写一篇短文，字数不超过1000字。
三、面试流程1. 考生自我介绍：考生在面试开始前进行自我介绍，包括姓名、年龄、籍贯、兴趣爱好等。
2. 面试官提问：面试官根据题目要求，对考生进行提问。
考生需在规定时间内完成回答。
3. 考官点评：面试官对考生的回答进行点评，包括优点和不足。
4. 考生提问：考生可以向面试官提问，了解清华大学的相关情况。
5. 结束语：面试官对考生表示感谢，面试结束。
四、评分标准1. 知识储备：考生对国际形势、国家发展战略、专业领域的了解程度。
2. 思维能力：考生对问题的分析、判断和推理能力。
3. 语言表达能力：考生在面试过程中的语言表达流畅、准确、有逻辑性。
一道自主招生试题的解法探究与变式
数理化解题研究2021年第13期总第506期=」〉1,且/(」)<1,从而得到差式/(%1)-/(%2)= %2%2%/(%2)•[/(~1)-1]•%2又/(%)H0,所以当%>0时,f(%)=/(厶•厶)=2%[/(G)]>0,故/(%2)>0•结合/(~1)<1,可得/(%1)一%2/(%2)<0,故/(%)在(0,+¥)上是减函数.评注上述两种解法分别对条件“/(%・-)=/(%)・/(%)”进行移项得到“=/(-)”与添项得到J(%)“/(%-%)-/(%)=/(%)・/(%)-/(%)”,这样处理后，就能让学生一目了然地知道了接下来的解题过程，思维过程自然而然、合情合理.上述五种类型的抽象函数单调性问题，在使用拆分构造策略进行求解时，技巧性较强,学生常有神来之笔的感觉,故而难以理解，解题极易犯迷糊.这种不自然、不合理的思路也常让教师犯难,难以讲得清楚明白，因为教师不仅要讲清楚怎样变形,更要讲清楚为什么要这样变形.移项赋值构造与添项赋值构造策略很好地解决了这个问题，直截了当地通过移项赋值与添项赋值得到差式或商式,其求解思路与学生的思维方式相符，学生易学易懂.基于这样的认识,笔者认为，无论是教师的教,还是学生的学,都要领悟方法的本质，研究透彻，从而淡化解题技巧，践行大道至简的初心.参考文献：[1]朱贤良.自然地思考,合理地解题——两道模拟题的另解与启示[J].新高考(高三数学),2015(04): 4-6.[2]朱贤良，汪玉生.例谈自然思考与合理解题之道[J].中国数学教育,2015(06)：39-43.[责任编辑:李璟]一道自主招生试题的解法探究与变式贺凤梅(新疆伊犁巩留县高级中学835400)摘要：一道经典的小题，看似简单，却有丰富的内涵.重视对一些经典小题解法的研究,厘清其内在的本质，做到一题多解，能让学生在学习与思考的过程中弄通悟透，从而达到举一反三，触类旁通的教学效果.关键词：能力测试题；解法探究；变式中图分类号：G632文献标识码:A文章编号：1008-0333(2021)13-0026-03近期,在咼三复习课过程中，笔者多次见到与2017年清华大学能力测试第12题同类型的试题,呈现形式多以选择题或填空题为主•我尝试着用此题训练所教的学生,效果极不理想，很多同学几乎没有任何头绪•这种现象引起了笔者的关注，并由此展开了对此题解法的探究，以期达到抛砖引玉的效果.一、题目呈现题目(2017年清华大学能力测试第12题)已知实数%,-满足5%2--2-4%%=5,则2%2+-2的最小值收稿日期：2021-02-05作者简介:贺凤梅(1979-)，女,湖北省随州人，本科，中学-—26—为().A.5B.5C.5D.2369二、总体分析这道题条件看似简单，在二元二次的条件下求二次目标函数的最值，但从学生实际解答来看,想要得出正确的结果并不容易•很多同学由于不得要领，一头雾水,不知从何处着手解答此题.事实上，此题解答的方法有很多种•例如采用配方法,借助三角换元来解决，这是最常规，从事中学数学教学研究.2021年第13期总第506期数理化解题研究的方法；仔细分析此题,发现等式的左边可以进行因式分解,而且可以分解成两个一次因式的积的形式，也可以以此作为解题的突破口；对于这类题,判别式法也是一个常见方法.下面我们从不同的视角来探究此题.5°+一/，④三、解法探究25°-—y-6°•⑤将④⑤代入2%2+y2中，化简整理，得视角1依托配方法和三角换元作答.22解法1由5%2-y2-4%y-5,有(%-5y)-y—-1.21sin a5+2sin a22令％一二y-——,y-——,贝0%-------------.所以2%2+y2 5cos a cos a5cos a5+2sin a、2(sin a、2—(5cos a)+(cos a)50+40sin a+33sin2a25-25sin2a下同解法2.视角3利用导数作答.解法4结合解法2,化简整理，得.对于目标函数z-2%2+y2,令t-sin a,则50+401+331225-2512•令g(°)°2755--+---一—124°26，则g'(°)-°卷整理，得(25z+33)t2+401+50-25z-0.由A M0及z>0,解得z M3.故选A.评注通过以上求解过程不难看出,运算过程相当繁琐，计算量大.分析此题发现，将已知条件左边进行配方可得平方差关系，这种形式对于一般学生,三角换元不易实现(超出了课程标准，本质是不作要求的同角三角函数平方关系)，而且计算过程相当繁琐.因此,我们需要另辟蹊径，以期达到简便运算，快速正确求解的效果.视角2通过普通换元，借助基本不等式作答.解法2将52-y2-4y-5的左边进行因式分解,得(5+y)(-y)-5.设5%+y-°,%-y-b，贝V有°-5(°H0,6H0).①解得％-°十b，②6°-5by-6.③将①②③代入2%2+y2中，化简，得2%2+y2-°+吴-¥124°6由基本不等式，得°2+4>2，二-；.于是2%2+y2M5-5-5.故选A.263评注解法2通过因式分解后换元，将整理好的式子代入目标函数,消元得到关于°的分式函数，借助于均值不等式得出结果,本解法消元很巧妙.针对解法2中°,b的关系，可以进一步作消元处理：解法3设5%+y-°,%-y-，则由g'(°)-0,解得°2-15.当°2e(0,15)时，g'(°)<0,当°—e(15,+¥)时,g'(°)>0,所以°—-15时,g(°)min-3.故选A.评注利用导数求函数的最值问题是非常实用和重要的方法.大家在平常的教学中,遇到求最值的问题,不妨利用导数求解试试看,一般都能得解.充分展现导数求解最值问题的魅力.视角4利用三角换元，借助基本不等式作答.解法5设5%+y-°cos a,%-y-b sin a,由已知,得°cos a+b sin a°cos a-5b s in a°b sin a cos a-5,且%-----------------,y-------------------.66代入2%2+y2,整理并求解，得由基本不等式,得°2cos2a+75M；/°—cos2a75-5 124°2cos2a y124°2cos2a2于是2%2+y—M5-5-5.故选A.263评注本解法中定值°b sin a cos a-5,提示我们向基本不等式方向寻找突破口，这是一种解题能力.解法6设5%+y-厂cos a,%-y-厂sin a,则有2厂(cos a+sin a)r(cos a-5sin a)r sin a cos a-5,且%---------------------,y-----------------------.66代入2%2+y2中，整理并求解，得22r2cos2a7552%+y二+―--肓124r cos a6下同解法5.—27—数理化解题研究2021年第13期总第506期解法7设5% + - = pcos a ,% -- = psin a ,贝V 有p 2sin a cos a=5, % = P (cosa+sina),y = P (cosa -5sina).代入 2%2 + %266中，整理并求解，得2%2 + %2 =啤竺+ ^ 275 2 - 5•12 4p cos a 6下同解法5•评注 解法5,6,7本质上是相通的，我们期望这些训练让学生的知识融会贯通,在比较中发现知识间的联系•视角5巧用三角换元，借助辅助角公式作答.解法8设2%2 + %2 =厂2,再令2% =r cos a , - = r sin a , 代入5%2 - %2 -4%% = 5中，整理，得5522 cos a -22 sin a cos a -sin 2 a=__________________20__________________5(1 + cos2a )-42sin2a -2(1- cos2a )=_________20_________7 cos2 a - 4 2 sin2a + 3= 9cos(20+ 0)+3(其中 tan 0 =竽)•显然，当cos (2a + 0)=1时，厂m 】n = 3 •故选A .评注 辅助角公式在三角函数求最值时也经常出现，当然更多的时候是以配凑特殊的角的形式呈现•教学 中，我们一定要给学生讲清其本质•只要学生理解了公式 的内涵，才能达到灵活应用的目的.视角 6 直接用极坐标换元, 借助于判别式作答.解法 9 设 % = pcos 0，- = psin 0,代入 5%2 - %2 -4%% =5,整理，得p 2 =——2 .5 cos 0 - sin 0 - 4sin 0cos 0因此 2%2 + %2 =—5 cos 0 - sin 0 - 4sin 0cos 0=10+5 tan 2 05 - tan 20 -4tan 0进一步换元,令2%2 + %2 = z , tan 0 = t ,化简,得(5 + z ) t + 4z t + (10 — 5 z )=0.由 A = (4z )2 -4(5 + z )(10-5z ) M0,得 9z 2 + 15 z -50M0,(3 z -5)(3 z + 10) M0.又z >0,所以z M 3 •故选A .评注 此解法以所要求解的结论为出发点,借助三角换元和二次函数的判别式来解决,解法相对比较新颖, 可以在教学中适当展示，拓宽学生的视野和解题思路.四、追根溯源(2011 年全国 n 卷,理 16)在△ ABC 中，B =60°,AC=3 ,AB +2BC 的最大值为 •求解展示从略，有兴趣的读者可以自行查阅•本题无论从一般换元法,还是从三角换元法入手,甚或导数法、极坐标换元法等，均可以顺利解答，只是求解 过程或简单或繁琐•当然本文所研究试题的一个显著特 点在于已知条件的左边可以进行因式分解，所以解决起来更加便捷.五、 变式训练变式1若正数a ,b ,c 满足(a + c ) (b + c )=2,则a +2b +3c 的最小值是•(答案：4)说明 本道题的已知条件呈现的是两个一次因式的 乘积，并且是定值，明显降低了难度,利用三角换元或极坐标换元均可以顺利解决.变式2正数%，-满足%% +2% + - =4 ,求% + -的最小值.(答案：2 6 -3)说明 此题可以尝试直接利用极坐标换元法；如果 大家可以进行适当配凑(% + 1)( - +2) =6,就可以利用变 式1的解法求解得出结果.变式3正数%，-满足%2 + 2%% + 4%2 = 6,求%2 + 4%2的 取值范围.(答案：[4,12])说明本题不能进行因式分解,因此要考虑采用配凑 法,利用三角换元解决;或直接利用极坐标换元来求解.六、 教学反思对于一道典型题,哪怕是一道小题,我们也不能小 觑•这道题可以说是小题虽小,却能以小见大,内涵丰富•因此我们一定要弄清题目本质,还要根据不同的形 式进行适当地变式训练,通过分析选择合适的解题方法•以期达到做一题,通一类,会一片的目的•同时,高 中数学课程要以发展学生为本,启发学生思考,引导学生把握数学知识的本质.因此,我们不能就题讲题,停 留在浅层次,而是要深入探讨,而且还要善于总结同类 问题的共性,找到此类问题的解决策略，将所学知识进 行系统化.参考文献：[1 ]任志鸿.十年高考(2020数学)[M ].北京:知识出版社,2019.[2]王朝银.步步高大一轮复习讲义数学(理)[M ].哈尔滨：黑龙江教育出版社,2018.[责任编辑:李璟]此题与2011年全国n 卷理科第16题有很大的相关性.— 28—。
清华大学等名校自主招生作文试题解析
1、小作文：把纳兰性德的《长相思》改写成一篇抒散文。
长相思
纳兰性德
山一程，水一程，身向榆关那畔行，夜深千帐灯。风一更，雪一更，聒碎乡心梦不成，故园无此声。
【写作导引】东华大学的小作文是改写。同学们对抒情散文应不陌生，至少《荷塘月色》其中的名句大家都背过。同学们在做这道题的时候一定要认真回忆抒情散文的特点。简言之就是“侧重抒情，行文有我”。写景状物，抒发情感；托物咏志，有所寄托。
新闻材料大意：陈国芳和张大有是重庆市的农民工夫妻。近日，在从广西乘大巴的回乡路上，由于车辆空调发生故障，两人均出现嗓子沙哑还伴轻微咳嗽症状。他们向其他乘客解释，两人在同一家工厂打工，提前回家过年。不说还没关系，一讲车厢内就炸开锅，他们被疑作甲流患者。全车近30名乘客都在激烈讨论，随后乘客叫司机把大巴停在服务区，然后进行了“民意表决”，方式是同意让陈国芳和张大有下车“隔离”的举手。让两人心寒的是，所有乘客举手同意让两人马上下车到服务区去“隔离”。最终，两人被撵下了大巴。两人只有凭感觉，顶着寒风往重庆主城方向走。凌晨4时许，高速公路的执法队员，发现他们二人，并将他们送往綦江县人民医院发热门诊。经检查，两人患的只是普通感冒。
【写作导引】这道小作文题实际上考的是微型文学评论，此类体裁在高中教材中也出现过，如高二(上)资中筠的《无韵之离骚》就是一篇典型的文学评论。同学们对龙应台的《十七岁》的鉴赏评价仍可从主旨和艺术特点两个角度切入。其“后喻时代中年父母如何应对信任危机”的主旨很有时代性和针对性；而艺术特点则是秉承了龙应台散文的一贯风格：在叙述照见自我，在朴素细腻的语言里让人深有感悟。
当然，同学们也可以把文章写得更深刻一些。桂树皮芳香可以食用，因而遭到砍伐；树漆因为可以派上用场，所以遭受刀斧割裂。这些所谓有用的东西最后都沦为被宰割被使用的下场，真正“无用”的东西反而乐得清闲，逍遥自得。这其中深刻反映了庄子的无为思想。
一道自主招生试题的探究与推广
新 颖 试 题 学 谋 一、提 出问 题
对 值零 点 处 取 得 ．
２ １年 北 大 等 十 三 校 联 考 （ 约 ） ０ １ 北 自主 招 生 考 试 数 学 试 卷 的
压轴题是 ： 求Ｉ １ ｘ 一
（） 为偶数 ） ２若ｎ 的最小值点为 。 Ⅱ ＋ ， ＝，Ｅ【 ÷－ 即在 ｔ ÷’ ！
中 间 的 两 个 绝 对 值零 点之 间任 意值 取 得 ．
一 １１ 一 ・ １ １ ｘ １ 最小 值． 何 求 ？ １ ３ １ ・ ２ ｌ一 １ ＋ ｘ ＋ ０ 的 如
证 明 ：１ 当 ｒ ２ 一 （ ∈Ｎ ） ， ＝ ⅡＩｌ ａｌｌ ａ１… （ ） ｔ ｋ １ ＝ ＋时 （ 一 １ ｘ ￣ ｘ ３ ） ＋— ＋— ＋ ＋ 一 ｛＋ｘ 一Ⅱ＜ ＜ … ＜ ＿ 由绝 对 值 不 等 式 的 性 质 ， ｉ ％ Ｉｌ ｘ 一 １ １啦 啦＜ ％ Ｉ ｌ ’ 可
ｏｏ１ ， －。
．
所 以 ） 的最／ 值 为 １ ） ９ ８ ７ …＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ９ ９ ． Ｊ 、 Ｏ ＝ ＋ ＋ ＋ ２ ｌ １ ２ …＋ ＝ ０
选 Ｃ ．
］ 取 等 号． 时 Ｉ 一 Ｉｌ ～ 】≥ｌ ｏ） （４ １ ）＝ １ 当 且 仅 当 ∈ ｘ ＋ｘ ＋ｌ （ ４ ＋ ｏ＋一 ｌ吼＋一 — ， ，
解法二 ： 当 ∈（ ∞， ］ 一 １ 时
１ ＋３＋… ＋１ —１ ． ＋２ ９
） （ － ） （ ） …＋ １ ） ＝ １ｘ ＋ ２ 十 （９ ＝
当 ∈（ ， １ ２ 时 ３
＋１ ９－１ ． ７ｘ
） （ 一 ） （ — ） … ＋ １— ） 一 ＋ ＋ 十 ： １ ＋ ２ ＋ （ ９ － ＝ １ ２ ３ …
2010-2019最新大学自主招生物理真题(华约、卓越、北大博雅、清华领军)(PDF版 无答案)
守恒或者不守恒），当以地面为参考系时，动量
，机械能
；当以小车为参考系时，
动量
，机械能
。
3．如图所示，光滑导轨上垂直放置两根质量为 m 、且有电阻的金属棒，导轨宽处与窄轨间距比为 2:1 ，平面
内有垂直纸面向内的磁场。现给左边的杆一个初速度 v0 ，在系统稳定时，左杆仍在宽轨上右杆仍在窄轨上
运动。则这个过程产生热量 Q
放射源，在塔顶测的伽马射线频率为 v （具体数据忘了给没给了），在低端测的射线频率与之相差 v ，
已知 h 6.632× 1034 ，求 v 的数量级（ ） v
A．108
B．1010
C．1017
D．1019
25．已知空气分子的平均动能为 kT ，则在常温下，质量为 m 4.7× 1023 kg 的空气德布罗意波波长的数量级
清华自主招生试题
清华自主招生试题一、数学题1. 某校有3000名学生，其中男生占总人数的60%，女生占总人数的40%。
男女生中，有20%的人精通数学。
问：该校男女生中，精通数学的人数分别是多少？解析：根据题意得知男生占总人数的60%，女生占总人数的40%。
所以男生总数为3000 * 60% = 1800，女生总数为3000 * 40% = 1200。
由于精通数学的人占男女生总数的20%，所以男生中精通数学的人数为1800 * 20% = 360，女生中精通数学的人数为1200 * 20% = 240。
答案：男生中精通数学的人数为360人，女生中精通数学的人数为240人。
2. 已知正方形ABCD的边长为2，点E是AD的中点，F是BC的中点。
连接AE、BF，交于点G。
问：三角形AEG的面积为多少？解析：根据题意，AE的长度为1，EG的长度为√2（正方形相邻两边长的一半），所以三角形AEG的面积为1/2 * 1 * √2 = √2/2。
答案：三角形AEG的面积为√2/2。
二、物理题1. 一辆汽车在匀速行驶时，刹车后停下需要的时间是20秒。
若汽车的质量为1000kg，刹车时产生的加速度为5m/s²，求：汽车刹车时作用在车体上的力大小为多少？解析：根据牛顿第二定律，力的大小等于质量乘以产生的加速度。
所以汽车刹车时作用在车体上的力大小为1000kg * 5m/s² = 5000N（牛顿）。
答案：汽车刹车时作用在车体上的力大小为5000N。
2. 物体A和物体B质量相同，在水平面上相互作用力F = 20N。
已知物体A的重力为30N，物体B的摩擦力为8N。
问：物体A和物体B 的加速度分别是多少？解析：根据牛顿第二定律，力的大小等于质量乘以产生的加速度。
所以物体A的加速度为(20N - 8N)/30kg = 12/30 = 0.4m/s²，物体B的加速度同样为0.4m/s²。
答案：物体A和物体B的加速度分别是0.4m/s²。
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严格小 于最 短者 长度 的 ２倍． 问 ： 试 长度为 ３ ０的木棒 至多可 以锯成多少段 ？
１
解法 １ 只 需 罗列 出满足条 件 的所 有锯木棒 方法 ， 程如下 ： 过
３ Ｏ叶 １ １ ５． ５
， ，
７， ８ ８，
丙
丙 具
锯 捧
・
４ ・ ２
中学教 研 （ 学 ） 数
２１ ０ １年
一
道 ２ ０年 清 华 大 学 自 主 招 生 题 的 探 究 １ ０
●龚新 平 （ 育才中学 上海 ２１０ ） ０８１
２１ ００年五 校 自主招生联 考清华大学 特色考 试试题 中 出现 了如下 的离散 最值 问题 （ 见文献 ［ ］ ． 文 １ ）本 一 一 的 将对该 问题 提供 ３种解 答 ， 并在此 基础上应 用逆推法 与逐步 调整法深入 地加 以探 究 ， ｌ ｌ ｌ 木 构造 提出一个近似估 ¨ ¨ ｎ —
・ ３・ ４
若最 小长 度 等于 １ 由最 大长度 小于 ２知 ， ， 所有 长度 均 为 ｌ 而 ｆ ２ 故 至少 有 ３个 １ 矛 盾 ！ ， ＞ ， ， 探 究 ３ 非最 小长度 至多 ３段． 若某 长度 至少 ４段 ， 则一 段 和 比其小 的长度 由其 和长 度锯 成 ， 下该长 度 的 ３段 中必 有 ２段 由其 和长 剩 度锯 成 ， 而此 和为 第 ３段 的 ２倍 ， 盾 ！ 矛 探 究 ４ 某 长 度出现 ２段后 ， 长度 不能再 锯． 该
戮
３ １ １ １ ８ ，８ ０ ４ ６ ４ ， ８ ， — ，— ，８ ７ ，８ 【
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３ 一１ ，８ ， ，， ２ ８ｌ ，，，，－ ４５５ ６６ Ｏ ２ １７ ７９９ 一Ｊ ，，０ ６ ８５５ ４，，，，，
【 ２ ． ｌ ８０ ．１
３ ０—｝ ｌ１． ９ １
由此 可知 ， 长度 为 ３ ０
３ ０一 ｌ ｌ 一 ｌ ８， ０ ２， ８ ２， １ ， ８， ０ ６， １ ， ８， ５ ６， ５， ， ５， ６， ． ４， ５， ６
法锯 成 ７段． 而 ７段 以上也 不能锯 出１ 从
２ 初步 探究 探 究 １ 最小 长度 至多 ２段． 若最小 长度 至少 ３段 ， 任两段 之和不小 于最小 长度 的 ２倍 ， 则 矛盾 ！ 探究 ２ 当 Ｚ ２时 ， 小长度 大于 １ ＞ 最 ．
第 ５期
龚新 平 ： 道 ２ １ 一 ０ ０年 清华 大 学 自主 招 生题 的探 究
２ ２ ＋ ２， ， 一２ 居， … ４ ＋２ ， ， …
易 见 以上 各步 中任 何 时刻所 有木棒 最长 者 均小 于 最 短者长 度 的 ２倍． 同理 可得 ， 对 ， ＋１ ， ＋ｌ … ， 一 ， ２
２ ２ 一 ２ —ｌ ２ ，ｋ ２，ｋ ，ｋ一１ ２ ，ｋ一１ 由探 究 ５将 整个 锯棒 过 程逆推 可得 ： ，
若该 长度 某段 再被 锯成 ２段 ， 其短 者 之 ２倍 必 不大 于该 长度 的另一段 ， 盾 ！ 则 矛
探 究 ５ 木棒 每 次被锯 时 ， 长 度 ｎ锯 成 ｂ ｃ ｂ ） 则 将 ，（ ≥Ｃ ，
（） １ 口是 被 锯前 的最 大者 ；
（ ） 是 被锯后 的最短 者． ２ｃ 若存 在 Ⅱ ≥０＝ｂ＋ ≥２ ， ｃ ｃ 矛盾 ； 存 在 Ｃ≤ｃ ， ２ ＋ｂ ， 若 ≤６ 则 ｃ≤ｃ ＝口 矛盾．
计 的求 解方 案 ， 同时将 原问题进行 一些变式 推广． 现笔者将 过程整理 出来 ， 与读 者共 同探 讨
， ， ，
媾１ ｔ
问题
Ｏ 多 长度 为 ｆ Ｚ （ 为整数 ） 的木棒 可 以锯 成长 为整数 的 ２ ， 段 要求任何 时刻 所有 木棒 中 的最 长者长度
３ 构造 探究
由前 面的探 究 ， 可知 欲使定 长 Ｚ 锯成最 多 段数 ， 小段 长度应 尽量 多 。 由此得 如 下构造 ： 则
构 造 １ 长度 为 后 ， ， ＋１ ＋１ … ，ｋ一１ ２ ， ， ２ ，ｋ一１或 ， ＋１ 后＋ｌ … ，七一２ ２ ． ， ｊ ｝ ， ２ ，ｋ一２ ２ ，尼一１ ２ ，ｋ一１ ，
解 法 ２ 最 多能锯成 ６段 ， 构造 如下 ：
３ Ｏ一 １ １ — １ ８， ０ ２， ８ ２， ｌ ． ８， ０ ６， ｌ ， ８， ５ ６， ５， ， ５， ６， ４， ５， ６．
若 能锯 成 ７段 ， 为 ，２ … ，７ （ ≤ ２ ≤ ７ ， 显然 ７ ４ 若 ７ ， １ ， ４× ７＝ １ ０ 设 ｌ ， ， １ … ） 则 ＞． ≥７ 则 ≥４ 而 ６＋ ３ ／ ， ＞３ 产 生矛 盾 ， 故 ， ５或 ＝ ． ＝ ６ 当 ＝ ６时， 能是 ６４， ４ ４ ４ ４ 逆推得 ６ ８ ４ ４ ４ ４ 矛盾 ； 只 ， ４， ， ， ， ， ，，，，， ， 当 ＝ ， ５时， 能是 ５ ５４， ， ， ， 只 ， ， ４ ４ ４ ４或 ５ ５ ５ ４ ４， ， ５ ５ ５ ５４， ， ， ， ， ， ， ４ ３或 ， ， ， ， ３ ３ 以上逆推 均得 出矛 盾， 无 故
２ ｋ一１ ２ 的 段 木棒 逆 推可合 成一 根木棒 ， 满 足条件 ． 且 证 明 对 『 ， ｆ 后＋１ 后 ， ，ｋ一１ ２ ， ， ＋１ … ２ ，ｋ一１ 由探 究 ５将 整个 锯棒 过程逆 推 可得 ： ，
，
后， ＋ １， ＋ １， ， 后 后 … ２后一 １， ｋ 一 １ ２ ， ＋ １， ＋ １， ， 一 】， 一 ｌ … ２ 卜 后 … ２ ２ 卜