4一次函数与反比例函数的综合运用
8． 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函 数 y＝ax－a(a 为常数)的图象与 y 轴相交于点 A， 2 与函数 y＝ (x>0)的图象相交于点 B(m，1)． x (1)求点 B 的坐标及一次函数的解析式； (2)若点 P 在 y 轴上，且△PAB 为直角三角 形，写出点 P 的坐标．
m ＋1 11．反比例函数 y＝ 在第二象限的图象如图所示． x (1)直接写出 m 的取值范围； 1 (2)若一次函数 y＝－ x＋1 的图象与上述反比例函数 2 3 图象交于点 A，与 x 轴交于点 B，△AOB 的面积为 ，求 2 m 的值．
12．在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝3x 的图象 k 与反比例函数 y＝ 的图象的一个交点为 A(1，n)． x k (1)求反比例函数 y＝ 的解析式； x (2)若 P 是坐标轴上一点(P 不与 O 重合)， 且满足 PA ＝OA，写出点 P 的坐标．
k 5． 如图，在方格纸中(小正方形的边长为 1)，反比例函数 y＝ 的图象与 x 直线的交点 A，B 均在格点上，根据所给的直角坐标系(O 是坐标原点)， 解答下列问题： (1)①分别写出点 A，B 的坐标； ②把直线 AB 向右平移 5 个单位，再向上平移 5 个单位，求出平移后 的直线 A′B′的函数解析式． k (2)若点 C 在函数 y＝ 的图象上， △ABC 是以 AB 为底的等腰三角形， x 请写出点 C 的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝－2x 的图象与 k 反比例函数 y＝ 的图象的一个交点为 A(－1，n). x k (1)求反比例函数 y＝ 的解析式； x (2)若 P 是坐标轴上一点，且满足 PA＝OA，写出点 P 的坐标．
ห้องสมุดไป่ตู้
4．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与直线 y＝－2x 关于 y 轴对 k 称，直线 l 与反比例函数 y＝ 的图象的一个交点为 A(2，m)． x (1)试确定反比例函数的解析式； (2)若过点 A 的直线与 x 轴交于点 B，且∠ABO＝ 45°，写出 点 B 的坐标．
m 6．一次函数 y＝kx＋b 与反比例函数 y＝ 的图象交于 x A(1，4)，B(－2，n)两点． (1)求 m 的值； (2)求 k 和 b 的值； m (3)结合图象直接写出不等式 －kx－b>0 的解集． x
7．如图，一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函 m 数 y＝ (m≠0)的图象交于 A(－3，1)，B(1，n)两点． x (1)求反比例函数和一次函数解析式； (2)设直线 AB 与 y 轴交于点 C， 若点 P 在 x 轴上， 使 BP＝AC，写出点 P 的坐标．
9．平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝x＋n 和 6 反比例函数 y＝－ 的图象都经过点 A(3，m)． x (1)求 m 的值和一次函数的解析式； 6 (2)点 B 在双曲线 y＝－x上，且位于直线 y＝x ＋n 的下方，若点 B 的横、纵坐标都是整数，写出 点 B 的坐标．
10． 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AD＝6，A(1，0)，B(9，0)，直线 y＝kx＋b 经过 B，D 两点． (1)求直线 y＝kx＋b 的解析式； (2)将直线 y＝kx＋b 平移， 当它与矩形没有公共点 时，写出 b 的取值范围．
一次函数与反比例函数的综合运用
1．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝kx＋b(k≠0) 8 与双曲线 y＝x的一个交点为 P(2，m)，与 x 轴、y 轴 分别交于点 A，B. (1)求 m 的值； (2)若 PA＝2AB，求 k 的值．
4 2． 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y＝x(x＞0)的图象与 一次函数 y＝kx－k 的图象的交点为点 A(m，2)． (1)求一次函数的解析式； (2)设一次函数 y＝kx－k 的图象与 y 轴交于点 B，若 P 是 x 轴上一点，且满足△PAB 的面积是 4，写出点 P 的坐标．
反比例函数与一次函数的综合应用 参考答案与试题解析
反比例函数与一次函数的综合应用1．已知一次函数y1＝kx﹣b与反比例函数y2＝，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当kx＜+b时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜3B．﹣1＜x＜0或x＞3C．﹣3＜x＜0或x＞1D．x＞32．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是（3，6），且AB＝BC．（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出当x取何值时，k1x+b＜．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于A（2，m）和B（6，2）．（1）求直线AB的表达式；（2）△AOB的面积是；（3）点A到OB的距离AH的长度是．4．如图，一次函数y1＝﹣2x+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，交反比例函数y2＝图象于A（﹣1，6），B（m，﹣2）两点．（1）求k，b的值；（2）点E是y轴上点C下方一点，若S＝，求E点的坐标；△AEB（3）当y1＞y2时，x的取值范围是．5．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；（3）若点P在线段AB上，且S：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．△AOP参考答案与试题解析1．已知一次函数y1＝kx﹣b与反比例函数y2＝，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则当kx＜+b时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜3B．﹣1＜x＜0或x＞3C．﹣3＜x＜0或x＞1D．x＞3【解答】解：根据题意得：当y1＜y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞3，∴当kx＜+b时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞3．故选：B．2．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是（3，6），且AB＝BC．（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；（2）求△COD的面积；（3）直接写出当x取何值时，k1x+b＜．【解答】解：（1）∵点C（3，6）在反比例函数y＝的图象上，∴k2＝3×6＝18，∴反比例函数的解析式为y＝；如图，作CE⊥x轴于E，∵C（3，6），AB＝BC，∴B（0，3），∵B、C在y＝k1x+b的图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+3；（2）由，解得或，∴D（﹣6，﹣3），＝S△BOC+S△BOD＝×3×3+×3×6＝；∴S△COD（3）由图象可得，当0＜x＜3或x＜﹣6时，k1x+b＜．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数相交于A（2，m）和B（6，2）．（1）求直线AB的表达式；（2）△AOB的面积是16；（3）点A到OB的距离AH的长度是．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，由题意可知：k＝6×2＝12，∴y＝，∵A（2，m）在反比例函数y＝的图象上，∴m＝＝6，∴A（2，6），∵A（2，6）、B（6，2）在一次函数y＝ax+b的图象上，∴，解得，∴直线AB的表达式为y＝﹣x+8；（2）设直线AB与x轴的交点为C，令y＝0，则﹣x+8＝0，解得x＝8，∴C（8，0），＝S△AOC﹣S△BOC＝﹣＝16，∴S△AOB故答案为：16；（3）∵B（6，2），∴OB＝＝2，∵S＝OB•AH＝16，△AOB∴AH＝＝，故答案为：．4．如图，一次函数y1＝﹣2x+b的图象分别交x轴，y轴于D，C两点，交反比例函数y2＝图象于A（﹣1，6），B（m，﹣2）两点．（1）求k，b的值；＝，求E点的坐标；（2）点E是y轴上点C下方一点，若S△AEB（3）当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3．【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代入一次函数y＝﹣2x+b，得b＝4；将A（﹣1，6）代入，得k＝﹣6．（2）设E（a，0），将B（m，﹣2）代入，得m＝3，∴B（3，﹣2）∴）＝2CE＝2（4﹣a）＝，∴E（0，）；（3）观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜3，故答案为：x＜﹣1或0＜x＜3．5．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2）、B（﹣2，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；：S△BOP＝1：4，求点P的坐标．（3）若点P在线段AB上，且S△AOP【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过A（1，2），∴k2＝1×2＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵B（﹣2，n）在比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1，∴B（﹣2，﹣1），∵直线y＝k1x+b经过A（1，2），B（﹣2，﹣1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+1；（2）观察图象，k1x+b＞的x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1；（3）设P（x，x+1），：S△BOP＝1：4，∵S△AOP∴AP：PB＝1：4，即PB＝4PA，∴（x+2）2+（x+1+1）2＝16[（x﹣1）2+（x+1﹣2）2]，解得x1＝，x2＝2（舍去），∴P点坐标为（，）．。
一次函数与反比例函数的综合运用ppt课件
A
D
EO
x
C
B
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小结4：看到求函数的关系式，想到利用待定系数法 ； 看到交点坐标，想到是两个函数关系式组成 方程组的解； 看到面积，想到 三角形面积公式，不规则图形 的面积要转化为和它有关的规 则图形的面积来求解.
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点 ③k>0时，y随的x增大 ③k>0时，y随的x增大
而_减__小（在每个象限
而_增__大_
内）
k<0时，y随的x增 大而增__大_ （在每个
k<0时，y随的x增 大而_减__小_
象限内）
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知识考点•对应精练
【知识考点】 （1）正比例函数与反比例函数图象交点的对称性 （2）一次函数与反比例函数图象的特点 （3）一次函数与反比例函数图像交点问题及不等式 （4）一次函数、反比例函数的图象与几何综合题
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4．如图所示，函数 y＝－x 与函数 y＝－4x的图象相交于 A，B 两
点，过 A，B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别为点 C，D.则
四边形 ACBD 的面积为
( D)
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题组二 函数图象的共存
【例 2】当 a≠0 时，函数 y＝-ax＋1 与函数 y＝ax在同一坐
标系中的图象可能是图中的
(B )
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一次函数与反比例函数综合应用教案
一次函数与反比例函数综合应用教案一、教学目标1. 让学生掌握一次函数和反比例函数的基本概念和性质。
2. 培养学生运用一次函数和反比例函数解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过合作交流，提高解决问题的策略和思维能力。
二、教学内容1. 一次函数的基本概念和性质。
2. 反比例函数的基本概念和性质。
3. 一次函数和反比例函数的综合应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数和反比例函数的基本概念、性质和综合应用。
2. 教学难点：一次函数和反比例函数的综合应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数和反比例函数的性质。
2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题体会一次函数和反比例函数的应用价值。
3. 采用合作交流法，培养学生团队协作和沟通能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活实例引入一次函数和反比例函数的概念。
2. 自主学习：让学生自主探究一次函数和反比例函数的性质。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用一次函数和反比例函数解决问题。
4. 合作交流：分组讨论，让学生分享解题策略和心得。
5. 总结提升：总结一次函数和反比例函数的性质及应用，提高学生解决问题的能力。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学活动设计1. 活动一：引入概念通过展示实际生活中的线性关系图片，如直线轨道上列车的运动，引导学生思考线性关系的表现形式。
引导学生提出一次函数的表达式，并解释其含义。
2. 活动二：探索性质学生通过绘制一次函数图像，观察并总结其在坐标系中的性质。
通过实际例子，让学生理解一次函数的斜率和截距对图像的影响。
3. 活动三：反比例函数的引入引导学生从比例关系出发，思考反比例函数的概念。
通过实际问题，如在固定面积内，距离与面积的关系，引入反比例函数。
七、教学评价设计1. 评价目标：学生能理解并应用一次函数和反比例函数解决实际问题。
通过设计具有挑战性的问题，如购物预算问题，让学生应用所学的函数知识。
反比例函数与一次函数的综合应用
反比例函数与一次函数的综合应用反比例函数和一次函数是数学中最常用的函数之一，它们常被用于实际工作中，可以用来模拟、分析和解决实际问题。
本文旨在探讨反比例函数和一次函数在实践中的运用。
详细探讨了反比例函数和一次函数的定义、特点、性质及其综合应用。
反比例函数的定义反比例函数是一种可以求解反比例关系的函数，它是以x和y两个变量组成的一对变量。
反比例函数也可以表示为y与x的倒数的乘积，也就是y=k/x，其中k为常数。
这种变量使得反比例函数有其独特的特征，使得反比例函数与其他函数不同。
反比例函数的特点反比例函数具有以下几个明显的特点：（1）反比例函数的图像为抛物线；（2）反比例函数的导数为负数；（3）反比例函数的函数值与变量值的乘积不变，即yx=k；（4）以反比例函数表示的关系为反比例关系。
一次函数的定义一次函数是一种最为普遍的函数，它由x和y两个变量组成。
一次函数的表达式可以以y=ax+b的形式来表示，其中a为常数，b为常数。
一次函数的特点一次函数具有以下几个明显的特点：（1）一次函数的图像为直线；（2）一次函数的导数为一恒定的常数；（3）一次函数的函数值与变量值的差值不变，即y-b=a(x-0)；（4）以一次函数表示的关系为线性关系。
反比例函数与一次函数的综合应用反比例函数和一次函数能够结合起来运用，用于模拟、分析和解决实际问题。
具体应用如下：1.于具有反比例关系的实际现象，可以用反比例函数建立模型，以研究关系性。
例如，用反比例函数可以研究不同工资水平与物价的变化关系；2.于涉及递减的实际现象，可以用一次函数建立模型，以研究关系性。
例如，用一次函数可以研究不同时间段内物价的变化关系；3.于反比例函数和一次函数具有相似关系的实际现象，可以将它们结合起来建立模型，以研究关系性。
例如，用反比例函数和一次函数可以很好地研究不同金额投资与年利润的变化关系。
结论以上，本文概述了反比例函数和一次函数的定义、特点以及综合应用情况，并且将它们在实践中的运用进行总结，提出了综合应用的建议。
一次函数和反比例函数的综合运用
一次函数和反比例函数的综合运用1. 一次函数y=x+2与反比例函数y=k都过点A(2,a)。
x(1)求k值．(2)若函数y=mx+b(m>0)也过点A，且与x轴交于B点，且SΔAOB>8，求b的取值范围．2. 如图，已知直线y1=x+m与x轴，y轴分别交于点A，B，与双曲线y2=k分别交于点C，xD，且点C坐标为(−1,2)．(1)分别求直线AB与双曲线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)连接OC，OD，求△COD的面积．3. 如图，反比例函数y1=k(k≠0)的图象与矩形OABC的边AB，BC分别交于点E，D，点E与x点G关于原点成中心对称，过点D，G的直线y2=mx+n交x轴于点F，S▵CDF=3．(1)求反比例函数的表达式；(2)若BD=2CD=2，当y1>y2时，直接写出x的取值范围；(3)连接DE，AC，求证：DE//AC．4. 如图，直线y=−1x+m与x轴，y轴分别交于点B、A两点，与双曲线相交于C、D两点，3过C作CE⊥x轴于点E，已知OB=3，OE=1．(1)求直线AB和双曲线的表达式；(2)设点F是x轴上一点，使得S△CEF=2S△COB，求点F的坐标．5. 已知：一次函数y1=−x−1与反比例函数y2=−2相交于A、B两点，求A、B两点的坐标；x6. 如图，点A(m,m+1)，B(m+3,m−1)是反比例函数y=k(x>0)与一次函数y=ax+bx的交点，求：(1)一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出不等式k>ax+b的解集．x7. 如图，直线y=x2与双曲线y=mx(m>0)交于A，B两点，且点A的横坐标是2，点C是y轴上一点．(1)求点A、B的坐标及m的值；(2)联结BC、AC，如果△ABC是直角三角形，且∠C=90°，那么求点C的坐标．(3)联结AC，如果线段AC的垂直平分线恰好经过点B，那么求点C的坐标．8. 如图，正比例函数y1=2x与反比例函数y2=kx的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)点P是x轴上一点，连接PA，PB，若S△PAB=20，求点P的坐标；(3)请根据图象直接写出不等式2x≥kx的解集．9. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A(2,5)在反比例函数y=k的图象x上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．(1)求k和b的值．(2)求△OAB的面积．10. 如图，一次函数y=x+1与反比例函数y=k的图象相交于点A(2,3)和点B．x(1)求反比例函数的解析式；(2)过点B作BC⊥x轴于C，求S△ABC；(3)是否在y轴上存在一点D，使得BD+CD的值最小，并求出D坐标．(x>0)的图象11. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=kx+b与函数y=nx交于点A(1,5)和点B(m,1)．(1)求m，n的值．(2)根据图象判断，当不等式kx+b≥n成立时，x的取值x范围是什么?(3)连结OA，OB，求△OAB的面积．12. 如图，已知一次函数y=x+k的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=mx 的图象交于点C，D，已知S▵BOD=S▵AOB=S▵AOC=2．(1)求k和m的值；(2)直接写出x+k>m时，x的取值范围．x13. 如图，直线y=kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y=m交于点A、D，x过D作DE⊥x轴于E.连接OA，OD，若A(−2,n)，S△OAB：S△ODE=1：2．(1)求点B的坐标，并求出反比例函数的表达式；(2)求点D的坐标；>kx+3的解．(3)直接写出关于x不等式：mx14. 如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2的图象相交于点A(3,1)，B(−1,n)x两点．(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式；(2)根据图象，直接写出满足k1x+b≥k2的x的取值范围；x(3)连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求△ABC的面积．15.如图，反比例函数y=k的图象与一次函数y=mx+n的图象相交于A(a,−1)，B(−1,3)两x点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设直线AB交y轴于点C，点N(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例的图象于点M，连接CN，OM.若S四边形COMN>3，求t的取值范围．函数y=kx16. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=m的图像交于A(1,6)，B(3,n)两点．x(1)求反比例函数和一次函数的表达式；>0的解集；(2)根据图像写出不等式kx+b−mx(3)若点M在x轴上、点N在y轴上，且以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出点M、N的坐标．17. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=m的图象经过点xA(2,2)．(1)分别求这两个函数的表达式；(2)将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于B，与反比例函数图象在第一象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．18. 如图，反比例函数y1=kx(k≠0)的图象与矩形OABC的边AB，BC分别交于点E，D，点E 与点G关于原点成中心对称，过点D，G的直线y2=mx+n交x轴于点F，S△CDF=3．(1)求反比例函数的表达式；(2)若BD=2CD=2，当y1>y2时，直接写出x的取值范围；(3)连接DE，AC，求证：DE//AC．19. 如图，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A(2,m)和B两点．(1)求反比例函数的解析式；(2)求点B的坐标．20. 如图，在平面直角坐标系中，直线y1=ax+b与双曲线y2=kx,(k≠0)分别相交于第二、四象限内的A(m，4)，B(6,n)两点，直线AB与x轴交于点C.已知OC=3，tan∠ACO=23．(1)求直线y1，双曲线y2对应的函数解析式；(2)求△AOB的面积；(3)直接写出ax+b≥kx的解集．21. 如图所示，已知直线y=√33x与双曲线y=kx交于A、B两点，且点A的横坐标为√3．(1)求k的值；(2)若双曲线y=kx上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；(3)在y轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y=kx上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标．22. 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=6(x>0)的图象，交于A、B两点xA(m,6)，B(3,n)．(1)求一次函数的解析式;(2)求△OAB的面积;(3)根据图象直接写出不等式kx+b<6的解集．x23. 如图，直线y1=−x+4与双曲线y=k(k≠0)交于A、B两点，点A的坐标为(1,m)，经x过点A直线y2=x+b与x轴交于点C．(1)求反比例函数的表达式以及点C的坐标；(2)点P是x轴上一动点，连接AP，若△ACP是△AOB的面积的一半，求此时点P的坐标．24. 如图，一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=mx的图象交于点B(2,3)和点C．(1)分别求出反比例函数和一次函数的解析式；(2)过点B作BD⊥x轴，垂足为D，求△BCD的面积；(3)观察图象，当kx+2>mx时，直接写出x的取值范围．25. 如图，反比例函数y=kx (k>0)的图象与正比例函数y=34x的图象交于A、B两点(点A在第一象限)．(1)当点A的横坐标为2时，求k的值；(2)若k=12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB=90∘，①求点C的坐标及ΔACB的面积；②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，请求出第四个顶点D的坐标．答案1.【答案】解：(1)把点A ( 2,a )代入y =x +2得，a =2+2=4，∴点A 的坐标为( 2,4 )，把点A( 2,4 )代入y =k x 得，k2=4，解得k =8．(2)如图所示：当S ΔAOB =8时，12·OB ·4=8，解得OB =4，∴点B 的坐标为(−4,0)，把点B(−4,0)，点A(2,4)代入y =mx +b 得，{−4m +b =02m +b =4 ， 解得{m =23b =83， ∵S ΔAOB >8，∴b >83 ，当b =4时，直线y =mx +b 与x 轴平行，与x 轴没有交点，不符合题意，当b >4时，m <0，不符合题意，∴83<b <4．2.【答案】解：(1)∵y1=x+m与y2=kx过点C(−1,2)，∴m=2−(−1)=3，k=−1×2=−2．∴直线AB及双曲线的解析式分别为y1=x+3，y2=−2x．(2)联立方程组得{y=x+3,y=−2x.解得{x=−1,y=2,或{x=−2,y=1.∴点D的坐标为(−2,1)．(3)如图所示：∵y1=x+3与x轴、y轴分别交于点A，B，∴当x=0时，y1=3；当y1=0时，x=−3．∴A(−3,0)，B(0,3)．∴S△COD=S△AOB−S△AOD−S△BOC==12×3×3−12×3×1−12×3×1=32．3.【答案】解：(1)∵四边形OABC是矩形，∴BC//AO，．∵点D在反比例函数y1=kx(k≠0)的图象上，∴设D(a,ka)，∴DC=a，CO=ka，∴S△DCO=12DC·CO=12a·ka=k2，∴k2=3，∴k=6．∴反比例函数的表达式为y1=6．x(2)如图：由BD=2CD=2，可得BD=2，CD=1，∴BC=BD+CD=2+1=3，∴点B的横坐标为3，∴点E的横坐标为3，中，得y1=2，把x=3代入到y1=6x∴点E的坐标为(3,2)，∵CD=1，∴点D的横坐标为1，中，得y1=6，把x=1代入到y1=6x∴点D的坐标为(1,6)，∵点E与G关于原点成中心对称，∴点G的坐标为(−3,−2)，∴当y1>y2时，结合图象，直接写出x的取值范围是x<−3或0<x<1；(3)如图：∵点D，点E在反比例函数y1=kx(k≠0)的图象上，∴设D(m,6m )，E(n,6n)，n>m>0，∴B(n,6m)，A(n,0)，∴CD=m，BD=n−m，BE=6m −6n=6(n−m)mn，AE=6n，∴BD CD =n−mm，BEAE=6(n−m)mn6n=n−mm，∴BD CD =BEAE，∵∠B=∠B=90∘，∴△ABC∽△EBD，∴∠BAC=∠BED，∴DE//AC．4.【答案】解：(1)∵OB=3，OE=1，∴B(3,0)，C点的横坐标为−1，∵直线y=−13x+m经过点B，∴0=−13×3+m，解得m=1，∴直线为：y=−13x+1，把x=−1代入y=−13x+1得，y=−13×(−1)+1=43，∴C(−1,43)，∵点C在双曲线y=kx(k≠0)上，∴k=−1×43=−43，∴双曲线的表达式为：y=−43x；(2)∵B(3,0)，C(−1,43)，∴OB=3，CE=43，∴S△COB=12×3×43=2，∵S△CEF=2S△COB，∴S△CEF=12×EF×43=4，∴EF=6，∵E(−1,0)，∴F(−7,0)或(5,0)．5.【答案】解：依题意，联立{y=−x−1 y=−2x,消去y得：x2+x−2=0，解得：x1=1，x2=−2，故当x=1时，y=−2；当x=−2时，y=1，故A(1,−2)，B(−2,1)或A(−2,1)，B(1,−2)6.【答案】解：(1)由题意可知，m(m+1)=(m+3)(m−1)．解，得m=3.(2分)∴A(3,4)，B(6,2)；∴k=4×3=12，∴y=12x．∵A点坐标为(3,4)，B点坐标为(6,2)，∴{3a+b=46a+b=2，∴{a=−2 3b=6，∴y=−23x+6．(2)根据图象得x的取值范围：0<x<3或x>6．7.【答案】解：(1)把x=2代入函数解析式y=x2，得y=1，∴A(2,1)，由对称性可得B(−2,−1)，把x=2，y=1代入函数解析式y=mx，得m=2．(2)∵A(2,1)，B(−2,−1)，∴AB=√(2+2)2+(1+1)2=2√5，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∵点O是AB的中点，∴OC=12AB=√5，∴C(0,√5)或(0,−√5).(3)∵点B在线段AC的垂直平分线上，∴AB=BC=2√5，设点C(0,y)，得(0+2)2+(y+1)2=(2√5)2，解得y1=3，y2=−5，∴C(0,3)或(0,−5)．8.【答案】解：(1)由题意得y1=2×2=4，即A(2,4)，∴4=k2，即k=8，∴y2=8x．∵正比例函数y1=2x与反比例函数y2=kx的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点对称，即B(−2,−4)；(2)点P是x轴上一点，设P(m,0)，∵A (2,4)，B (−2,−4)，∴S ▵PAB =S ▵PAO +S ▵PBO =|m |×42+|m |×42=20，解得m =±5，∴P (5,0)或(−5,0) ；(3)由函数图象分析可知，不等式2x ≥k x 的解集为：x ≥2或−2≤x <0． 9.【答案】解：(1)把A(2,5)分别代入y =k x 和y =x +b ，得{5=k2,5=2+b. 解得k =10，b =3． (2)由(1)得直线AB 的解析式为y =x +3，∴B 点坐标为(−3,0)，∴OB =3．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ．∵点A 的坐标为(2,5)，∴AC =5．∴S △OAB =12OB ·AC =12×3×5=152． 10.【答案】解：(1)∵反比例函数y =kx 过点A(2,3)，∴k =2×3=6，∴反比例函数的解析式为y =6x； (2)方程组{y =x +1y =6x 的解为{x 1=−3y 1=−2，{x 2=2y 2=3， 又∵A(2,3)，∴B(−3,−2)，又∵BC ⊥x 轴，∴C(−3,0)，BC =2，∴S △ABC =12×2×(2+3)=5；(3)存在，理由为：作点C 关于y 轴的对称点C′，连接BC′交y 轴于点D ，连接CD ，此时BD +CD 的值最小，∵C(−3,0)，∴C′(3,0)，设直线BC′的关系式为y =mx +n(m ≠0)，将B(−3,−2)，C′(3,0)代入得，{−3m +n =−23m +n =0， 解得m =13，n =−1，∴直线BC′的关系式为y =13x −1， 当x =0时，y =−1，∴D(0,−1)． 11.【答案】略12.【答案】解：(1)∵直线y=x+k可以由直线y=x平移得到的，且直线y=x与x，y轴的夹角为45∘，∴直线AB与x，y轴的夹角为45∘，∴△AOB是等腰直角三角形．又∵S△AOB=2，∴OA=OB=2，则点A(2,0)，点B(0,−2)，∴k=−2．∵S△BOC=4，S△AOC=2，∴点C到y轴的距离为4，点C到x轴的距离为2，即点C(4,2)，∴m=xy=4×2=8．(2)同理可得点D的坐标为(−2,−4)，由函数图象可知当−2<x<0或x>4时，直线位于曲线的上方，即x+k>mx．13.【答案】解：(1)把x=0代入y=kx+3得，y=3，∴B(0，3)，∵A(−2，n)，∴△OAB的面积=12×2×3=3，∵S△OAB：S△ODE=1：2，∴S△ODE=6，∵DE⊥x轴，点D在反比例函数y=mx的图象上，∴12|m|=6，∴m=±12，∵m<0，∴m=−12，∴反比例函数关系式为：y=−12x；(2)把A(−2，n)代入y=−12x得：n =−12−2=6， ∴A(−2，6)，把A(−2，6)代入y =kx +3得：6=−2k +3，∴k =−32，∴一次函数关系式为：y =−32x +3，∵一次函数和反比例函数相交，∴−32x +3=−12x ， ∴x1=4，x2=−2，∴y1=−3，y2=6，∴一次函数和反比例函数的交点A(−2，6)，D(4，−3)；(3)∵一次函数和反比例函数的交点A(−2，6)，D(4，−3)，由图可知−12x >−32x +3时，0>x >−2或x >4． 14.【答案】解：(1)∵把A(3,1)代入y =k 2x ，得：k 2=3×1=3，∴反比例函数的解析式是y =3x， ∵B(−1,n)代入反比例函数y =3x 得：n =−3，∴B 的坐标是(−1,−3)，把A 、B 的坐标代入一次函数y =k 1x +b ，得：{3k 1+b =1−k 1+b =−3， 解得：k 1=1，b =−2，∴一次函数的解析式是y =x −2；(2)从图象可知：k 1x +b ≥k 2x 的x 的取值范围是当−1≤x <0或x ≥3．(3)过C 点作CD//y 轴，交直线AB 于D ，∵B(−1,−3)，B 、C 关于原点对称，∴C(1,3)，把x =1代入y =x −2得，y =−1，∴D(1,−1)，∴CD =4，∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12×4×(3+1)=8． 15.【答案】解：(1)∵反比例函数y =k x 的图象与一次函数y =mx +n 的图象相交于A(a,−1)，B(−1,3)两点，∴k =−1×3=a ×(−1)，∴k =−3，a =3，∴点A(3,−1)，反比例函数的解析式为y =−3 x ， 由题意可得：{3=−m +n −1=3m +n ，解得：{ m =−1n =2， ∴一次函数解析式为y =−x +2；(2)∵直线AB 交y 轴于点C ，∴点C(0,2)，∴S 四边形COMN =S △OMN +S △OCN =32+12×2×t ，∵S 四边形COMN >3，∴32+12×2×t >3，∴t >32． 16.【答案】解：(1)反比例函数y =m x 的图像过A(1,6)，∴m =1×6=6，∴反比例函数表达式为y =6x ．把x =3代入可得n =2，∴B(3,2)，设直线AB 的表达式为y =kx +b ，把A 、B 坐标代入可得{k +b =63k +b =2， 解得{k =−2b =8， ∴一次函数表达式为y =−2x +8．(2)不等式kx +b −m x >0可化为不等式kx +b >mx ．即直线在反比例函数图像上方时所对应的自变量x 的取值范围．∵A(1,6)，B(3,2)，∴不等式kx +b −m x >0的解集为1<x <3或x <0． (3)当AB 为平行四边形的边时，①当M 在x 轴正半轴，N 在y 轴正半轴时，如图，过A 作AC//y 轴，过B 作BC//x 轴．∵A(1,6)，B(3,2)，∴BC =3−1=2，AC =6−2=4．∵MN//AB ，且MN =AB ，∴∠ONM =∠CAB ．在△NOM 和△ACB 中，{∠MON =∠ACB∠ONM =∠CAB MN =AB∴△NOM≌△ACB(AAS)，∴OM =BC =2，ON =AC =4，∴M(2,0)，N(0,4)．②当M 在x 轴的负半轴，N 在y 轴的负半轴时，同理可求得M(−2,0)，N(0,−4)．当AB 为对角线时，设M(x,0)，N(0,y)，∵A(1,6)，B(3,2)，∴平行四边形的对称中心为(2,4)，∴x +0=4，y +0=8，解得x =4，y =8，此时M(4,0)，N(0,8)，在y=−2x+8中，令y=0可得x=4，令x=0可得y=8，∴A、B、M、N四点共线，不合题意，舍去．综上可知，以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形时，M(−2,0)，N(0,−4)或M(2,0)，N(0,4)．17.【答案】.解：(1)将A(2,2)代入y=kx，∴2k=2，∴k=1，∴正比例函数的解析式为：y=x将A(2,2)代入y=mx，∴m=2×2=4，∴反比例函数的解析式为：y=4x(2)连接OC，∵直线BC由直线OA向上平移3个单位所得，∴B(0,3)∴直线BC的解析式为：y=x+3，联立{y=x+3y=4x解得：{x=1y=4或{x=−4y=−1，∵点C在第一象限，∴点C的坐标为(1,4)∵OA//BC，∴S△ABC=S△BOC=12×3×1=32．18.【答案】解：(1)如图，连接OD，∵四边形OABC是矩形，∴BC//AO，．∵点D在反比例函数y1=kx(k≠0)的图象上，∴设D(a,ka)，∴DC=a，CO=ka，∴S△DCO=12DC·CO=12a·ka=k2，∴k2=3，∴k=6．∴反比例函数的表达式为y1=6x．(2)如图：由BD=2CD=2，可得BD=2，CD=1，∴BC=BD+CD=2+1=3，∴点B的横坐标为3，∴点E的横坐标为3，把x=3代入到y1=6x中，得y1=2，∴点E的坐标为(3,2)，∵CD=1，∴点D的横坐标为1，把x=1代入到y1=6x中，得y1=6，∴点D的坐标为(1,6)，∵点E与G关于原点成中心对称，∴点G的坐标为(−3,−2)，∴当y1>y2时，结合图象，直接写出x的取值范围是x<−3或0<x<1；(3)如图：∵点D，点E在反比例函数y1=kx(k≠0)的图象上，∴设D(m,6m )，E(n,6n)，n>m>0，∴B(n,6m)，A(n,0)，∴CD=m，BD=n−m，BE=6m −6n=6(n−m)mn，AE=6n，∴BD CD =n−mm，BEAE=6(n−m)mn6n=n−mm，∴BD CD =BEAE，∵∠B=∠B=90∘，∴△ABC∽△EBD ，∴∠BAC =∠BED ，∴DE//AC ．19.【答案】解：(1)∵一次函数y =12x +1的图象过点A(2,m)， ∴m =12×2+1=2，∴点A(2,2)，∵反比例函数y =kx 的图象经过点A(2,2)，∴k =2×2=4，∴反比例函数的解析式为：y =4x ；(2)联立方程组可得：{y =12x +1y =4x，解得：{x1=−4y 1=−1或{x2=2y 2=2，∵B 点在第三象限，∴点B(−4,−1)．20.【答案】解：(1)设直线y 1=ax +b 与y 轴交于点D ，在Rt △OCD 中，OC =3，tan ∠ACO =23．∴OD =2，即点D(0,2)，把点D(0,2)，C(3,0)代入直线y 1=ax +b 得，b =2，3a +b =0，解得，a =−23，∴直线的关系式为y 1=−23x +2；把A(m,4)，B(6,n)代入y 1=−23x +2得，m =−3，n =−2，∴A(−3,4)，B(6,−2)，∴k =−3×4=−12，∴反比例函数的关系式为y 2=−12x ，因此y 1=−23x +2，y 2=−12x； (2)由S △AOB =S △AOC +S △BOC ，=12×3×4+12×3×2，=9．(3)由图象可知，不等式ax +b >k x 的解集为x ≤−3或0<x ≤6． 21.【答案】解：(1)把点A 的横坐标为√3代入y =√33x ， ∴其纵坐标为1，把点(√3,1)代入y =k x，解得：k =√3．(2)∵双曲线y =√3x 上点C 的纵坐标为3， ∴横坐标为√33， ∴过A ，C 两点的直线方程为：y =kx +b ，把点(√3,1)，(√33,3)， 代入得：{1 =√3k +b3=√33k +b ，解得：{k =−√3b =4， ∴y =−√3x +4，设y =−√3x +4与x 轴交点为D ，则D 点坐标为(4√33,0)， ∴△AOC 的面积=S △COD −S △AOD =12×4√33×3−12×4√33×1=4√33．(3)设P 点坐标(a,√33a)，由直线AB 解析式可知，直线AB 与y 轴正半轴夹角为60°， ∵以O 、M 、P 、N 为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，P 在直线y =√33x 上， 当点M 在y 轴上时，∴N 点的横坐标为a ，代入y =√3x ，解得纵坐标为：√3a， 根据OP =NP ，即得：|2√33a|=|√3a −√33a|，解得：a =±1．故P 点坐标为：(1,√33)或(−1,−√33). 22.【答案】解：(1)∵点A(m,6)，B(3,n)两点在反比例函数y =6x (x >0)的图象上， ∴m =1，n =2，即A(1,6)，B(3,2)．又∵点A(m,6)，B(3,n)两点在一次函数y =kx +b 的图象上，∴{6=k +b 2=3k +b ． 解得{k =−2b =8， 则该一次函数的解析式为：y =−2x +8；(2)分别过点A 、B 作AE ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别是E 、C 点．直线AB 交x 轴于D 点．令−2x +8=0，得x =4，即D(4,0)．∵A(1,6)，B(3,2)，∴AE =6，BC =2，∴S △AOB =S △AOD −S △BOD=12×4×6−12×4×2 =8；(3)根据图象可知使kx +b <6x成立的x 的取值范围是0<x <1或x >3． 23.【答案】解：(1)把A(1,m)代入y 1=−x +4得，m =−1+4=3，∴A(1,3)，∵点A 在双曲线y =k x (k ≠0)上， ∴k =1×3=3，∴反比例函数的表达式为y =3x ，∵直线y 2=x +b 经过点A ，∴b =2，∴直线y 2=x +2，令y 2=0，求得x =−2，∴C(−2,0)；(2)连接OA 、OB ，分别作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，由题意得{y =−x +4y =3x ， 解得{x =1y =3或{x =3y =1， ∴A(1,3)，B(3,1)，∴AM =3，BN =1，MN =2，∴S △AOB =S △AOM +S 梯形AMNB −S △BON =S 梯形AMNB =(3+1)×22=4， 设P(x,0)，∴CP =|x +2|，∴S △ACP =|x+2|×32=12S △AOB ， ∴|x +2|=43，则x =±43−2，∴x =−23或−103 ∴P 点为(−23,0)或(−103,0)． 24.【答案】解：(1)将B(2,3)代入y =kx +2， 3=2k +2，解得：k =12， ∴一次函数解析式为y =12x +2； 将B(2,3)代入y =m x ，3=m 2，解得：m =6， ∴反比例函数解析式为y =6x ．(2)联立两函数解析式成方程组，{y =12x +2y =6x，解得：{x 1=−6y 1=−1，{x 2=2y 2=3， ∴点C 的坐标为(−6,−1)，∴S △BCD =12BD ⋅(x B −x C )=12×3×[2−(−6)]=12．(3)当kx +2>m x 时，x 的取值范围：−6<x <0或x >2． 25.【答案】解：(1)当x =2时，y =34×2=32， ∴点A 坐标为(2,32)， ∵点A 在反比例函数y =k x (k >0)的图象上， ∴k =2×32=3；(2)①∵k =12，∴反比例函数解析式为y =12x， 联立方程组可得：{y =12x y =34x ， 解得：{x 1=4y 1=3或{x 2=−4y 2=−3， ∴点A(4,3)，点B(−4,−3)，∴AO =BO =5，又∵∠ACB =90°，∴CO =AO =BO =5，∴点C(0,5)，∴△ACB 的面积=12×5×4+12×5×4=20; ②设点D 坐标为(x,y)，若AB 为对角线，则四边形ACBD 是平行四边形， ∴AB 与CD 互相平分，∴5+y2=−3+32，−4+42=x+02，∴x=0，y=−5，∴点D(0,−5)；若AC为对角线，则四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分，∴4+02=−4+x2，5+32=−3+y2，∴x=8，y=11，∴点D(8,11)；若BC为对角线，则四边形ACDB是平行四边形，∴BC与AD互相平分，∴−4+02=x+42，−3+52=3+y2，∴x=−8，y=−1，∴点D(−8,−1)，综上所述：点D坐标为(0,−5)或(8,11)或(−8,−1)．。
反比例函数与一次函数的综合运用(优质课教案)
反比例函数与一次函数的综合运用蒲岐中学章青海一、教学目标、重点、难点的确定结合本节课的教学内容和学生现有的学习水平，我确定本节课的教学目标如下：1．知识与技能：通过本节学习，巩固反比例函数和一次函数的图像和性质，并能用它解决相关问题．2．过程与方法：通过观察简单图象入手，步步引入，逐渐掌握解决本节例题的方法，通过动手操作，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想．3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛的应用价值．教学重点：利用反比例函数和一次函数的图像和性质解决有关问题教学难点：1、综合运用反比例函数和一次函数的图像和性质知识解决创新型问题2、对数形结合思想的理解与深入应用二、教学流程(一) 简单图象导入，温故知新教师：同学们好，请同学们看屏幕．如图，问题1.如图在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2、BC=1，你可以得出哪些结论？设计意图：让学生复习解直角三角形的知识及一般情况三角形会求哪些结论？引出面积为反比例函数的引入作铺垫。
问(2)将Rt△ABC如图放入直角坐标系中；还可以得出什么结论？设计意图：让学生体会当直角坐标系与简单几何图形结合，点线都可以用代数知识来表示，充分理解直角坐标系是数形结合很好的工具。
．借助哪个函数工具可以画出和它面积一样的直角三角形？设计意图：引入反比例函数，复习反比例函数解析式的求法，充分理解掌握k=xy 面积不变性，认识应用的基本图形，为等积法解决原题作铺垫。
问(3) .在平面直角坐标系中找到点D,使得以A 、B 、C 、 D 为顶点的四边形是平行四边形。
设计意图：比较自然的引出（0，-1）；（4，1）又可以得出直线y=21x －1,从数学思想看也复习了分类讨论思想。
问（4）.如图反比例函数y=x 4 与一次函数y=21x －1交于C,D 两点 你能提出一个新问题吗?并尝试解决.设计意图：预设3副图解决三类常见问题求交点，求三角形面积及大小比较 让学生总结方法技巧问（5）. 直线y=21x-1与x 轴交于点B,过点B 作x 轴的垂线交反比例函数y=x4于点C,连接AC 你能判断三角形ABC 的形状吗?（创新型综合问题）设计意图：还是让学生观察图形特征，总结点规律，为解决原题作基础。
中考数学复习 查补重难点 反比例函数与一次函数的综合运用(原卷版)
查补重难点03反比例函数与一次函数的综合运用考点一：反比例函数与一次函数综合反比例函数与一次函数进行综合考查的题型是江苏历年中考数学对于函数考查的重点内容，那么关于反比例函数与一次函数的综合专题当中，我们主要涉及到函数共存问题，交点和不等式（比大小）问题、最值问题以及与几何综合压轴类的题型。
无论是哪一类型的题型，在综合的考察过程当中都是对于反比例函数与一次函数的图像和性质有充分的了解，借助数形结合思想、方程思想、化归思想等。
通过函数的图像来得到我们所需要的求解问题。
在这过程当中，如果对于这两类函数没有全面的了解，那么在解题过程当中就要花费大家很多的时间而导致其解题效率的降低，那么在解决这三大类型的提醒过程当中，该如何利用这些函数的性质来进行解题，该专题可供大家在备考阶段能够进行专项的突破。
题型1.反比例函数和一次函数图像共存问题函数图象共存问题是一次函数和反比例函数当中含有共同的参数，根据分类讨论的形式，由函数的图像特点来判定符合两个函数参数的图形。
解决这类型的题不仅是反比例函数和一次函数进行综合考查，连同二次函数在内的题型进行考查也是比较常见的，所以解决这类型的问题时，我们先要根据一次函数或反比例函数中参数的共性，通过分别进行讨论的形式逐一进行排除，最终确定满足要求的函数图像。
．B ．．．变式1.（2023年湖北省襄阳市中考数学真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y kx =k x的图象可能是（）．B ．C ．D ．变式2.（2022·广西·中考真题）已知反比例函数(0)b y b x=≠的图象如图所示，则一次函数()0y cx a c =-≠和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．题型2.反比例函数和一次函数的交点问题一次函数图像与反比例函数相关问题，牵扯到的知识点比较多，如求它们的函数解析式，或是通过两者的图像相交，需要考生结合两个函数解析式转化成一元二次方程，从而求得交点坐标等。
《一次函数与反比例函数的综合应用》教学设计
（一）、知识与技能：
1、理解和掌握一次函数与反比例函数的表达式，图象及其性质。
2、能熟练运用待定系数法求函数的表达式；利用联立方程组思想求交点坐标；数形结合的思想求变量取值范围，转化思想等方法解决函数综合应用题。
（二）、过程与方法：
1、通过对零散知识点运用思维导图进行系统梳理，让学生对一次函数、反比例函数的知识体系结构化。
2、广东省近几年数学中考中一次函数与反比例函数综合题的考查情况表：
年份2012年2013年2014年
题号第17题第10题第23题
1、学生听
1、教师在此 活 动中，要重点关注的是：
（1）问题的提出是否引起了学生的兴趣；
（2）学生
是否高度重视，有主动积极参与到活动中来， 有种跃跃欲试的感觉。
教师对本
节课内容
1、（2011年湖南怀化中考题）正比例函数
y2x与反比例函数y1在同一坐标系中的
x
大致图像是（ B）
2、（2017湖南张家界中考题）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m（m≠0）与ym
x
m≠0）的图象可能是（D）
针对引例题 2 类型的变式训练题：
3、（2011年浙江杭州中考题）函数y1x1和
引例 2：(2011 年贵州贵阳中考题)如图，反
k1
比例函数y1=x和正比例函数y2=k2x的图象
k1
交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若x＞k2x，
则x的取值范围是（C）A、-1＜x＜0
B、-1＜x＜1
C、x＜-1或0＜x＜1D、-1＜x＜0或x＞1
k1
解析：根据题意，若x＞k2x，则只须y1＞y2，
（2）并且无论P怎样移动，△OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。
微专题4 反比例函数的综合应用++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
①当AC,BO为对角线时,AC,BO的中点重合,∴
,
+4=0+0
=
解得
,
= −
经检验,t=4,k=-16符合题意,
此时点C的坐标为(4,-4);
25
②当CB,AO为对角线时,CB,AO的中点重合,
+=+
∴
,
+0=4+0
= −
解得
,
= −
经检验,t=-4,k=-16符合题意,
所以S△AOB=S△AOM+S△BOM= ×2×3+ ×2×1=4.
因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形,且坐标原点是对称中
心,
所以点B和点C关于点O成中心对称,所以BO=CO,所以S△ABC=2S△AOB=8.
17
类型2
求特殊三角形或特殊四边形
【思维切入】
1.动点三角形的形状问题:
∵点A(m,4)在y=2x+2上,
∴2m+2=4,∴m=1,
∴点A的坐标为(1,4),
∵点A(1,4)在y= 上,∴4= ,∴k2=4,∴y= .
8
(2)如图,连接DE,过点B作BF垂直于y轴,垂足为F,
联立
= +
=
= 1 = −2
,解得
,
,
= 4 = −2
3.动点四边形的问题转化为动点三角形问题:
动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题;
动点矩形问题转化为动点直角三角形问题.
《一次函数和反比例函数的综合运用》教学设计
《一次函数和反比例函数的综合运用》教学设计一、教学内容分析教学内容：一次函数和反比例函数的综合运用内容分析：一次函数和反比例函数是在初中阶段比较重要的两个函数问题,是二次函数的基础，学生不仅要掌握函数知识，还应该掌握解决问题的常规方法，利用“方程思想”“数形结合”思想及“转化”的数学思想解决问题。
在教学中要注重类比教学和启发式教学，通过对知识的传授与运用，让学生达到举一反三，触类旁通的目的。
同时也要注重“数形结合”思想的运用，数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，而“数形结合”就是通过数与形之间的对应和转化来解决问题，以形助数和以数解行两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
本节课主要是让学生掌握一次函数和反比例函数的综合运用，近几年的中考也有涉及一次函数和反比例函数的综合运用等相关问题，解决一次函数和反比例函数的综合运用主要是一次函数和反比例函数的相交问题和围成图像的面积计算问题，解决此类问题，主要要熟练一次函数和反比例函数的解析式和性质，借助图像，运用知识，利用“方程思想”“数形结合”思想及“转化”的数学思想解决问题。
二、教学目标：1、知识与技能：理解和掌握一次函数与反比例函数的概念、图像、性质，会运用知识分析解决一次函数与反比例的综合题，培养学生的发散思维能力。
2、过程与方法：让学生经历一次函数与反比例函数的复习过程，进一步领会“方程思想”“数形结合”思想及“转化”的数学思想，遵循“优化”原则。
3、情感、态度、价值观：通过全班互动，小组探究合作学习，培养学生的合作意识，增进学生的感情，培养沟通能力，通过方法探索，培养学生的探索钻研精神。
三、教学重难点重点：熟练应用一次函数与反比例函数的图像和性质进行解题。
难点：利用“数形结合”以及转化思想解决问题。
三、工具、教法和学法1、教学工具：多媒体2、教学方法：本节课根据学生的认识水平采用启发式，练习法等教学方法，讲练结合，在学生和教师共同分析，合作探究，小组讨论，展示交流，互相启发的过程中，教师适时适当地点拨、肯定、表扬学生，给学生提供展示的机会，激发学生的学习积极性，使学生主动参与学习的全过程。