分式方程(公开课)
《分式方程 第一课时》公开课教学PPT课件(终稿)
90 60 30 v 30 v
因为我是分式方程，我分母里含有字母，
0 万一我分母为 ，我岂不是没意义啦！所以，
你们解分式方程时别忘了 检验，检验有两 种方法，今天我们先用以前的方法，在下 节课，老师会重点讲如何检验。
【跟踪训练】
A. 3y-6 C. 3y(3y-6)
B. 3y
DD
火眼金睛
也可称是原分式 方程的根
3. (德化·中考)如图,点A,B在数轴上,它们所对应的数分别
是-3和
且点A,B到原点的距离相等,则x的值为
.
【解析】依题意可知,
①去分母：分式方程两边同乘2-X 得：1-X=3(2-X)
②解整式方程得:
③检验,将
代入原分式方程，左边=右边=3,所以原方程的解是 x=
则x
1、分式方程：分母中 含有未知数的方程叫做分式方 程. 2、解分式方程的一般步骤：
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它沿江以最大航速顺流
航行90 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江
水的流速为多少?
解:设江水的流速为 v km/h，根据题意，得
分析： v+ 轮船顺流速度为 轮船30逆流速度为千米/千时米/时
轮船逆流速度为 30-v 千米/时
轮船顺流时间为 3900+v 时
得 ②解整式方程得
90（30-v）=60（30+v）
v=6
③检验：将v=6代入分式方程左边= 5 ,右边= 5 ，左边=右边，
所以v=6是原分式方程的解. 2
2
在解分式方程的过程中（将分式方程“去分母”后转化为整式方程） 体现了一个非常重要的数学思想方法： 转化的数学思想（化归思想）.
分式方程及其解法公开课PPT课件
2021/7/24
12
【分式方程的解】
上面两个分式方程中，为什么
120 20+x
=
80 20-x
x1-去5 分= 母x1后20-2得5 到去的分整母式后方得程到的的解整就式是方它程的的解解，却而不
18
【例题】
解分式方程
x x-1
-1 =
3 (x-1)(x+2)
解 ：方程两边同乘以最简公分母(x－1) (x＋2),得
X(x+2)-(x-1)(x+2)=3
解整式方程,得 x = 1
检验：当x = 1 时，(x－1) (x＋2)＝０，x=１不
是原分式方程的解，原分式方程无解．
解分式方程
(1)
2 x-1
如何去掉分母，化 为整式方程还保持
等式成立?
16
解方程 100 30 x x7
解 方程两边同乘以x(x-7),约去分母,得 100(x-7)=30x
解这个整式方程, 得 X=10
检验:把x=10代入x(x-7), 得
10×(10-7)≠0
所以, 2021/7/24 x=10是原方程的解.
17
(2) xx22x2164xx22
x+5=10
分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使
分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解
2021/7/24
13
【分式方程解的检验】
= 120
20+x
2800-x当两x边=4同时乘,((2200++xx))((2200--xx))≠1020(20-x)=80(20+x)
分式方程及其解法 公开课教案
9．3 分式方程第1课时 分式方程及其解法1．了解分式方程的概念；(重点)2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用；(重点)3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．(难点)一、情境导入1．什么是方程？2．什么是一元一次方程？3．解一元一次方程的一般步骤是什么？我们今天将学习另外一种方程——分式方程．二、合作探究探究点一：分式方程的概念下列方程是分式方程的是( )A.2x ＋1＝3x －1B.23x －1＝32x ＋2 C.12x 2－x ＝1 D.2x －3解析：根据分式方程的定义，分母含有未知数的方程是分式方程，B ，C 选项是整式方程，D 选项是分式，只有A 选项分母含有未知数，并且是方程．故选A.方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，如果分母中含有未知数就是分式方程，分母中不含未知数就不是分式方程．探究点二：分式方程的解法【类型一】 解分式方程解方程：(1)5x ＝7x －2； (2)1x －2＝1－x 2－x－3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根． 解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－5.检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解；(2)方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2.检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解．方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．【类型二】 由分式方程的解确定字母的取值范围关于x 的方程2x ＋ax －1＝1的解是正数，则a 的取值范围是____________． 解析：去分母得2x ＋a ＝x －1，解得x ＝－a －1，∵关于x 的方程2x ＋a x －1＝1的解是正数，∴x ＞0且x ≠1，∴－a －1＞0且－a －1≠1，解得a ＜－1且a ≠－2，∴a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－2.方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.探究点三：分式方程的增根【类型一】 求分式方程的增根若方程3x －2＝a x ＋4x （x －2）有增根，则增根可能为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1解析：∵最简公分母是x (x －2)，方程有增根，则x (x －2)＝0，∴x ＝0或x ＝2.去分母得3x ＝a (x －2)＋4，当x ＝0时，2a ＝4，a ＝2；当x ＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x ＝0.故选A.方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．【类型二】 分式方程有增根，求字母的值如果关于x 的分式方程2x －3＝1－m x －3有增根，则m 的值为( ) A ．－3 B ．－2C ．－1D ．3解析：方程两边同乘以x －3，得2＝x －3－m ①.∵原方程有增根，∴x －3＝0，即x ＝3.把x ＝3代入①，得m ＝－2.故选B.方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【类型三】 分式方程无解，求字母的值若关于x 的分式方程2x －2＋mx x 2－4＝3x ＋2无解，求m 的值． 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．解：方程两边都乘以(x ＋2)(x －2)得2(x ＋2)＋mx ＝3(x －2)，即(m －1)x ＝－10.①当m －1＝0时，此方程无解，此时m ＝1；②方程有增根，则x ＝2或x ＝－2，当x ＝2时，代入(m －1)x ＝－10得(m －1)×2＝－10，m ＝－4；当x ＝－2时，代入(m －1)x ＝－10得(m －1)×(－2)＝－10，解得m ＝6，∴m 的值是1，－4或6.方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．三、板书设计1.分式方程的概念2.分式方程的解法3.分式方程的增根这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳出分式方程的基本解题步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错。
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解题思路
设原利润率是x，进价为a，则售价为a(1+x)。 根据题意列分式方程求解。
分式方程的解法技巧与注意
05
事项
解法技巧
去分母法
通过两边同时乘以最简公 分母，将分式方程化为整 式方程进行求解。
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目录
• 分式方程概述 • 分式方程的基本解法 • 分式方程的特殊解法 • 分式方程的应用举例 • 分式方程的解法技巧与注意事项 • 分式方程与其他数学内容的联系
01
分式方程概述
定义与特点
01
02
定义：分式方程是未知 特点 数在分母中的有理方程。 其一般形式为 $frac{a_1x+b_1}{c_1x+ d_1} = frac{a_2x+b_2}{c_2x+d _2}$，其中 $a_i, b_i, c_i, d_i$ 是常数，且 $c_1$ 和 $c_2$ 不同时 为0。
克分别放入甲、乙两个容器内，才能使两容器内盐水的浓度相等？
03
解题思路
设从含盐20%的盐水中取出x千克放入甲容器，则从含盐40%的盐水中
取出(100-x)千克放入乙容器，根据题意列出分式方程求解。
经济问题
商品利润、进价、售价之 间的关系
利润=售价-进价。在给定两个量的情况下， 可以求解第三个量。
典型例题
区别
分式方程的未知数在分母中，而整式方程的未知数在分 子中。因此，分式方程的解法通常比整式方程更复杂， 需要更多的步骤和技巧。
与分式的联系与区别
联系
分式方程是分式的一种应用，分式是分式方程的 基础。分式方程中的未知数通常表示为一个或多 个分式的形式。
分式方程市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案大班
分式方程教案大班一、教学目标1. 了解分式方程的概念和基本性质；2. 掌握解分式方程的基本方法与技巧；3. 能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学内容1. 分式方程的定义与基本性质；2. 解一元一次分式方程；3. 解一元二次分式方程；4. 实际问题中的应用。
三、教学步骤步骤一：引入教师可以通过提问或举例的方式引入分式方程的概念，引导学生思考为什么需要引入分式方程，并与线性方程进行对比，激发学生的兴趣。
步骤二：讲解与示范1. 首先讲解分式方程的定义，即含有一个或多个未知数的分式等式；2. 接着介绍一元一次分式方程的解法，重点讲解如何消去分母，使方程化为简单的线性方程，再求解得出结果；3. 然后讲解一元二次分式方程的解法，重点讲解如何将其化为一元二次方程，并运用二次方程求根公式或配方法求解；4. 最后通过一些实际问题的示例，展示分式方程在实际生活中的应用。
步骤三：练习与巩固安排一定数量的练习题，分别涵盖一元一次和一元二次分式方程的解法，让学生通过练习来巩固所学知识，并培养他们解题的能力和思维逻辑。
步骤四：拓展与应用安排一些拓展题，使学生能够将所学知识应用到更复杂的问题中，培养他们的问题分析和解决能力。
四、教学重点与难点教学重点：分式方程的定义与基本性质，一元一次和一元二次分式方程的解法。
教学难点：一元二次分式方程的解法。
五、教学方法与手段1. 讲授法：通过讲解、示范和解题示例等方式，向学生传递知识；2. 实践与体验法：通过实际问题的应用，引导学生参与探究，培养问题解决能力；3. 练习与巩固法：通过大量的练习题目巩固学生的知识，并培养解题的技巧与思维能力。
六、教学资源黑板、粉笔、教辅资料等。
七、教学评价与反馈1. 在课堂上进行教学评价，分别针对基础知识、能力素养和实际应用进行评价；2. 提供针对性的反馈，帮助学生发现和解决问题。
八、教学延伸分式方程是解决实际问题中常见的数学工具，教师可引导学生继续探究其他类型的分式方程，如含有多个分式项的方程，或含有复杂系数的方程等，提升学生的数学建模能力。
分式方程增根专题省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
有无增解根,则m旳值为多少.
解：x 2(x 2) m2
x 4- m2 x 2时原方程的增根
2 4- m2 m 2
3.当m为何值时,方程
2 mx 3 x 1 x2 1 x 1
产生无增解根.
解：2x 2 mx 3x 3
(m 1)x 5
x x1, 1x，x1,m1产生1会增无根解
2.有关x旳方程
有增根,则a＝_7_ 。
3.解有关x旳方程
m x
5
1下列说法正确旳是（c
）
A.方程旳解为 x m 5 B.当 m 5时，方程旳解为正数
C.当 m 5 时，方程旳解为负数 D.无法拟定
c 4.若分式方程 x a a无解，则a旳值是 （ ） x 1
A.－１
B. 1 C. ±1 D.-2
学习目旳:(1分钟)
1.有关分式方程增根求字母系数问题；
2.有关分式方程无解求字母系数问题；
3.有关分式方程根旳符号求字母系数取 值范围旳问题。
自学指导1:(3分钟)
解方程： x
x
1
1
（x
3 1)(
x
2)
解：xx 2 x 1x 2 3
x2 2x x2 x 2 3 整式方
x 1
程旳根
把x 2分别代入上式得2m 1 10或 2m 1 10
m 4或m 6
综上：当 m 1或m 4或m 6时原分式方程无解
措施总结：1.化为整式方程. 2.把整式方程分两种情 况讨论，整式方程无解和整式方程旳解为增根.
自学检测2（3+3分钟）
x
m2
1.已知有关x旳方程 x 2 2 x 2
5.若方程
(
x
15.3-分式方程的应用-公开课
两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.
哪个队的施工速度快?
分析: 甲队1个月完成总工程的
1 ,3设乙队如果
1
单独施工1个月完成总工程的
1
,x那么甲队
半个月完成总工程的____6_,乙队半个月完 1
成总工程的____2_x,两队半个月完成总工程
的_(_16___2_1x_.)
3
第5页，共5页。
巩固练习
一台甲型拖拉机4天耕完一块耕地的一半，一台乙 型拖拉机加入合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型 拖拉机单独耕这块地需要几天？
分析：一块耕地是工作总量，可设为 .1
1、若设乙型拖拉机单1 独耕块这地需要x天完成，那么它1天 耕地量是这块地 x.
2、一台甲型拖拉机1 4天耕完这块地的一半。那么1天耕地量是
x
x6
请审题分析题意 设元
90 x 6 60x
90x 60x 540 30x 540
x 18
我们所列的是一个 分式方程，这是分
式方程的应用
经检验x=18是原分式方程的根,且符合题意。
由x＝18得x－6=12
答：甲每小时做18个，乙每小时12个 第2页，共15页。
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系. 2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整. 3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4.解:认真仔细解这个分式方程.
5.验:检验.（是否是分式方程的根， 是否符合题意）
6.答:注意单位和语言完整.
第3页，共15页。
例题分析:
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工
第13页，共15页。
分式方程课件(公开课)
4
课堂作业课本：第29页练习（2）（4）
家庭作业：练习册上相应的练习
(3) x x 5
2
(2) x 2 y 5
x x 1 ( 4) 1 2 3
4. 请解3中的第(4)个方程.
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,
它以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最
大航速逆流航行60千米所用时间相等,海水的流
速为多少?
解:设海水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数
x x 1 1 2 3
思考：
分式方程的特征是什么？
100 60 20 v 20 v
像这样，分母里含有未知数的方程 叫做分式方程。 以前学过的分母里不含有未知数的 方程叫做整式方程。
答：八（1）班每位平均每位同学捐了3本，（2）班每位同学捐 了6本儿童读物。
150( x 3) 300x x 解得： 3 经检验 x 3 是原分式方程的解， 则x 3 6
下列说法中错误的是（ A ） （A）分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解 （B）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式 方程 （C）检验是解分式方程必不可少的步骤 （D）能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值 不是原分式方程的解．
v5 v 5 代入分式方程，左边=4=右 v 5 是原分式方程的解。
在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数 学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。
1 10 解分式方程： 2 x 5 x 25
方程两边同乘以最简公分母 ( x 5)(x 5) ，得：
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(4)下结论，说明根的情况。（写结论）
（3）、解一元一次方程和分式方程 的不同之处在哪里？
(2) x 1 x 1 1 23
解 : 分式两边各项都乘以
6
例1 解方程
3 4 x 1 x
解 : 分式两边各项都乘以最简公分母
x(x 1)
去分母得: 3( x 1) 2( x 1) 6 去括号得: 3x 3 2x 2 6 移项得: 3x 2x 6 3- 2 合并同类项得: 5x 7 系数化为1得 : x 7
写出下列分式方程的根的检验过程：
3 x 1
5 x3
(x=2)；
x 5 (x=5).
x5 5x
成果展示
1、把下列分式方程去分母：
2 5 2； x 3x
x x
1 1
4 x2 1
1；
x 5 4; 2x 3 3 2x
④ 1 2. x 1 x
2、写出下列分式方程的根的检验过程：
3 x 1
5 x3
有增根，求m的值.
(2) x 1 x 1 1
2
3
解 : 方程两边各项都乘以6
去分母得: 3( x 1) 2( x 1) 6
去括号得: 3x 3 2x 2 6
移项得: 3x 2x 6 3- 2
合并同类项得: 5x 7
系数化为1得 : x 7 5
检验：将x 4代入原方程，得 左边 1 右边
所以，x 4是原方程的根。
去分母 解整式方程 验根 ④ 写结论
解分式方程的一般步骤：
(1)方程两边各项都乘以各分母的最简公分母，化分式 方程为整式方程；（去分母）
(2)解这个整式方程得未知数的值；（解整式方程） (3)将未知数的值代入分式方程的左右两边，检验是否为原方程的
小亮解方程 1 x 1 2 的解法如下：
x2 2x
方程两边都乘以x–2，得
解这个方程，得
1 x 1 2(x 2)
x2
你认为 x 2是原方程的根吗？
合作探究
把下列分式方程去分母：
2 5 2； x 3x
x x
1 1
4 x2 1
1；
x 5 4; 2x 3 3 2x
④ 1 2. x 1 x
(3)把解代入分式的最简公分母，看最简公分母的值是否等于零，若等于零， 即为增根。
3 4 x 1 x
解 : 分式两边各项都乘以最简公分母x(x 1) 去分母得: 3x 4(x 1) 去括号得: 3x 4x 4 移项得: 3x 4x 4 合并同类项得: x 4 系数化为1得 : x 4 检验：将x 4代入原方程，得 左边 1 右边 所以，x 4是原方程的根。
5
去分母得: 3x 4(x 1) 去括号得: 3x 4x 4 移项得: 3x 4x 4 合并同类项得: x 4
系数化为1得 : x 4
检验：将x 4代入原方程，得 左边 1 右边 所以，x 4是原方程的根。
小组讨论
（1）、你认为解分式方程最关键的一步是什么？ （2）、解分式方程有哪几个步骤？ （3）、解一元一次方程和分式方程
研究 总结
在这里，x =2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，
我们称它为原方程的增根。
产生增根的原因是，我们在方程两边同乘了一个可能使分母为零的整 式。
注意：因此解分式方程可能产生增根，所以 解分式方程必须检验。
验根的三种方法： (1)把解直接代入原方程进行检验；
（2）把解代入每个分式的分母，看分母的值是否等于零，若有等于零的分 母，即为增根。
(x=2)；
x 5 (x=5).
x5 5x
能力测评
《课堂精炼 》P.34
基础验收 1、3 能力测评 1、2
课堂小结：
1、解分式方程的解题思路是？
2、解分式方程有哪几个步骤？
3、什么是方程的增根？
4、如何验根？
作业：
5/1/2020
P.90 习题3.7
1、 2。
若方程
有增根,则增根为
.
若关于x的分式方程
5
去分母得: 3x 4(x 1) 去括号得: 3x 4x 4 移项得: 3x 4x 4 合并同类项得: x 4
系数化为1得 : x 4
检验：将x 4代入原方程，得 左边 1 右边 所以，x 4是原方程的根。
解一元一次方程和分式方程的不同之处在于验根。
小亮解方程 1 x 1 2 的解法如下：
如何解下列一元一次方程
x 1 x 1 1 23
x 1 x 1 1 23
3 4 x 1 x
预习
课本P.88_89 例 1 、例 2
x 1 x 1 1
2
3
解 : 分式两边各项都乘以
6
3 4 x 1 x
解 : 分式两边各项都乘以最简公分母 x(x 1)
去分母得: 3( x 1) 2( x 1) 6 去括号得: 3x 3 2x 2 6 移项得: 3x 2x 6 3- 2 合并同类项得: 5x 7 系数化为1得 : x 7
解分式方程的解题思路：
分式方程两边各项都乘以最简公分
分式方程 母
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
整式方程
（2）、解分式方程有哪几个步骤？
例1 解方程
3 4 x 1 x
解 : 分式两边各项都乘以最简公分母
x( x 1)
去分母得: 3x 4( x 1)
去括号得: 3x 4x 4 移项得 : 3x 4x 4 合并同类项得: x 4 系数化为1得 : x 4
x2 2x
方程两边都乘以x–2，得
解这个方程，得
1 x 1 2(x 2)
x2
你认为 x 2是原方程的根吗？
3 4 x 1 x
解 : 分式两边各项都乘以最简公分母x(x 1) 去分母得: 3x 4(x 1) 去括号得: 3x 4x 4 移项得: 3x 4x 4 合并同类项得: x 4 系数化为1得 : x 4 检验：将x 4代入原方程，得 左边 1 右边 所以，x 4是原方程的根。
的不同之处在哪里？
（1）、你认为解分式方程最关键的一步是什么？
3 4 x 1 x
解 : 分式两边各项都乘以最简公分母x(x 1) 去分母得: 3x 4(x 1) 去括号得: 3x 4x 4 移项得: 3x 4x 4 合并同类项得: x 4 系数化为1得 : x 4 检验：将x 4代入原方程，得 左边 1 右边 所以，x 4是原方程的根。