算法的概念 (10)

4．判断5是否为质数的算法步骤如下： 第一步：用2除5，得余数为1.因为余数不为0，所以2不能整除5； 第二步：________； 第三步：用4除5，得余数为1.因为余数不为0，所以4不能整除5.因此，5 是质数． 【答案】用3除5，得余数为2.因为余数不为0，所以3不能整除5.
5．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.求他 的总分和平均分的一个算法为： 第一步，令A＝89，B＝96，C＝99. 第二步，计算总分S＝____________①. 第三步，计算平均分M＝____________②. 第四步，输出S和M.
打分中的最低分．
课堂总结 1．正确理解算法的概念，一个程序的算法要本着方便简捷的原则，还要讲 求科学性，算法的步骤是按照一定顺序进行的，不具有可逆性． 2．在设计算法的过程当中要牢固把握住它的五个特性：概括性、逻辑性、 有穷性、不唯一性、普遍性.
当堂检测 1．下面关于算法的描述，不正确的是( ) A．早期，算法指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程 B．从数学发展的历史看，算法只是一个“新生儿”，最近几年才有的 C．解决任何问题都有算法 D．算法是计算科学的基础，算法通常可以编成计算机程序，让计算机 执行并解决 【答案】B
变式训练 2．求 1×3×5×7×9×11 的值，写出其算法． 解：算法如下： 第一步，先求 1×3，得到结果 3. 第二步，将第一步所得结果 3 再乘以 5，得到结果 15. 第三步，再将 15 乘以 7，得到结果 105. 第四步，再将 105 乘以 9，得到 945. 第五步，再将 945 乘以 11，得到 10 395. 第六步，输出运算结果．
典例剖析 题型一 对算法概念的理解 【例 1】 下列关于算法的说法，正确的个数有( ) ①求解某一类问题的算法是唯一的； ②算法必须在有限步操作之后停止； ③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊； ④算法执行后一定产生确定的结果． A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由于算法具有有穷性、确定性、输出性等特点，因而②③④正确， 而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错． 【答案】C
题型三 算法的应用 【例 3】 写出解方程 x2－2x－3＝0 的一个算法．
解：解法一：第一步，将方程左边因式分解， 得(x－3)(x＋1)＝0.① 第二步，由①得 x－3＝0，② 或 x＋1＝0.③ 第三步，解②得 x＝3，解③得 x＝－1.
变式训练 3．写出能找出 a，b，c 三个数中最小值的一个算法． 解：第一步，输入 a、b、c，并且假定 min＝a. 第二步，若 b<min 成立，则用 b 的值替换 min；否则直接执行下一步． 第三步，若 c<min 成立，则用 c 的值替换 min，否则直接执行下一步． 第四步，输出 min 的值，结束．
【答案】S1 先计算出 495 g 硫黄如果平均分成三份每一份应该是 165 g.
S2 165 g 中有 3 个 5 g 和 3 个 50 g.
S3 用 5 g 砝码称出 5 g 硫黄．
S4 用 5 g 砝码和 5 g 硫黄共同称出 10 g 硫黄．
S5 再用 50 g 砝码称出 50 g 硫黄．
2．下面的结论正确的是( ) A．算法步骤是可逆的 B．一个算法可以无止境地运算下去 C．完成一件事情的算法有且只有一种 D．设计算法要本着简单方便的原则 【解析】A错，不一定可逆；B错，算法必须在有限步之内完成；C错， 可以有多种；D正确． 【答案】D
3．下列可以看成算法的是( ) A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再 做作业，之后做适当的练习题 B．今天餐厅的饭真好吃 C．这道数学题难做 D．方程2x2－x＋1＝0无实数根 【答案】 A
方法二：用加减消元法 第一步，方程 2x＋y＝7 两边都乘以 5 得，10x＋5y＝35. 第二步，将第一步所得的方程与方程 4x＋5y＝11 作差，消去 y 得， 6x＝24，解得 x＝4. 第三步，将 x＝4 代入方程 2x＋y＝7，解得 y＝－1.
x＝4 第四步，输出方程组的解为y＝－1 .
变式训练 1．下列对算法的理解不正确的是( )
A．一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的 B．算法中的每一步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的 C．算法中的每一步骤都应当有效地执行，并得到确定的结果 D．一个问题只能设计出一种算法
【答案】D
题型二 计算问题的算法设计 【例 2】 给出求 计算法的要求 (1)写出的算法必须能解决一类问题(如，判断一个整数 n(n>2)是否为质
数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用． (2)要使算法尽量简单，步骤尽量少． (3)要保证算法正确，且计算机能够执行，如让计算机计算 1＋2＋3＋4
＋5 是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”、“替我理发”等则是做不 到的．
解：解法一：第一步，计算 1＋2，得 3. 第二步，将第一步中运算结果 3 与 3 相加，得 6. 第三步，将第二步中运算结果 6 与 4 相加，得 10. 第四步，将第三步的运算结果 10 与 5 相加，得 15. 第五步，输出运算结果． 解法二：第一步，取 n＝5.第二步，计算n（n2＋1）. 第三步，输出运算结果．
自主探究 1．解决某一类问题的算法是否唯一？ 【答案】不唯一．如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元 法两种，但不同的算法有优劣之分． 2．在解放战争中，有一名战士接到命令，要求在最短的时间内配制三 副炸药，但是由于条件艰苦，称量物品的天平只剩下 50 g 和 5 g 两个砝码． 现有 495 g 硫黄，如何设计算法使称量的次数最少？需称量多少次？
【答案】①A＋B＋C ②S3
6．给出求解方程组24xx＋ ＋y5＝y＝711 的一个算法． 解：方法一：用代入消元法 第一步，由 2x＋y＝7 得 y＝7－2x. 第二步，将 y＝7－2x 代入 4x＋5y＝11，得 4x＋5(7－2x)＝11，解得 x＝4. 第三步，将 x＝4 代入方程 y＝7－2x，解得 y＝－1. 第四步，输出方程组的解为xy＝ ＝4－1 .
2．算法的特征 (1)概括性：写出的算法必须能够解决某一类问题，并且能够重复使用． (2)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步 的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的， 从而组成具有很强逻辑性的步骤序列． (3)有穷性：一个算法必须保证在执行了有限步之后结束． (4)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同 的算法，这些算法有繁简、优劣之分． (5)普遍性：很多具体问题，都可以设计合理的算法去解决．
变式训练 4．若本例中已知条件不变，试设计一个找出最低分的算法． 解：算法如下： 第一步，先假定其中一个为“最低分”． 第二步，将第二个分数与“最低分”比较，如果它比“最低分”还低，就
用该分数替代原假定的“最低分”而得出新的“最低分”；否则“最低分”不变． 第三步，如果还有其他分数，重复第二步． 第四步，一直到没有可比的分数为止，这时的“最低分”就是所有评委
题型四 非数值性问题的算法设计 【例 4】 各种比赛在计算选手最后得分时，要去掉所有评委对该选手所
打分数中的最高分和最低分，试设计一个找出最高分的算法．
解：算法如下： 第一步，先假定其中一个为“最高分”． 第二步，将第二个分数与“最高分”比较，如果它比“最高分”还高，就用 该分数替代原假定的“最高分”而得出新的“最高分”；否则“最高分”不变． 第三步，如果还有其他分数，重复第二步． 第四步，一直到没有可比的分数为止，这时的“最高分”就是所有评委打 分中的最高分．
1.1.1 算法的概念
自学导引 1．在数学中，“算法”通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有 限的__步__骤____． 2．计算机解决任何问题都要依赖于__算__法____，只有将解决问题的过程 分解为若干个明确的__步__骤____，即__算__法____，并用计算机能够接受的“语言” 准确地描述出来，计算机才能够解决问题．
S6 用 50 g 砝码和 50 g 硫黄共同称出 100 g 硫黄．
S7 把 5 g、10 g、50 g、100 g 硫黄混合，构成 165 g 硫黄，也就是一份的质量．
S8 用这一份硫黄再称出 165 g.
此时全部硫黄被平均分成三份，按照以上算法共需要称量 5 次．
要点阐释 1．算法概念的理解 (1)算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．这些步骤必须是 明确和有效的，而且能够在有限步之内完成． (2)算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别．它们之间是一般和特 殊的关系，也是抽象与具体的关系． (3)算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、 概括性、精确性，所以算法在解决问题时更具有条理性、逻辑性等特点．