课题一：随机试验、随机事件

课题：随机试验随机事件

一、随机试验的特点

1 在相同的条件下可重复进行；

2 每次试验的结果具有多种可能性；

3 进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现，但是所有结果明确可知．

我们把具有上述3个特点的试验称为随机试验

．．．．，记为E．

二、样本空间、随机事件

1 样本空间

（1）定义随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的

样本空间

．．．，记．．．．，记为S或Ω．样本空间的元素，称为样本点

为e，S

e∈．

（2）举例分析

例如抛一颗骰子，观察出现的点数，样本空间{}

=

S．它有六个样本点，这个样本空间只有有限个1

,2,3,4,5,6

样本点．

又如讨论某地区的气温时，样本空间取为()∞

S，或[]b a

=，

+

∞

-

=。这个样本空间包含有无穷多个样

S,

本点，它充满一个区间，不是可列集．

2 随机事件

（1）定义试验E的样本空间S中满足某些条件的子集为E

的随机事件．．．．

，记为 ,,,C B A ． 理解

（Ⅰ）随机事件与样本空间的关系为

S A ?；

（Ⅱ）由一个样本点组成的单点集，称为基本事件； （Ⅲ）如果S A =，那么A 称为必然事件，记为Ω； （Ⅳ）如果?=A ，那么A 称为不可能事件，记为?； （Ⅴ）在每次试验中，当且仅当随机事件中的一个样本点出现时，称随机事件发生． （2）举例分析

E ：在一批灯泡中任意抽取一只，测它的寿命．

样本空间{}0|≥=t t S ；

在E 中，如果事件{}10000|<≤=t t A ，那么A 是随机事件．

3 事件间的关系与事件的运算 （1）关系及运算

设试验E 的样本空间为S ，而k A B A ,,（k =1，2，…）是

S 的子集．

（Ⅰ）若B A ?，则称事件B 包含事件A ，表示事件A 发生必然导致事件B 发生．

特别地，若B A ?且A B ?，即B A =，则称事件A 与事件B 相等．

（Ⅱ）和事件：B A 称为事件A 与B 的和事件，表示当且仅当事件A 与B 中至少有一个发生时，事件B A 发生．

运算：AB B A B A -+= ．

类似地， n 个事件n A A A ,,,21 的和事件记为 n

k k A 1=；可列

个事件 ,,21A A 的和事件记为 ∞

=1

k k A ．

（Ⅲ）积事件：B A 称为事件A 与B 的积事件，表示当且仅当事件A 与B 同时发生时，事件B A 发生，记为AB ．

类似地， n 个事件n A A A ,,,21 的积事件记为 n

k k A 1=；可列

个事件 ,,21A A 的积事件记为==∞

→ n k k n A 1

lim ∞

=1

k k A ． 运算：B A B A AB -+=．

（Ⅳ）差事件：B A -称为事件A 与B 的差事件，表示当且仅当事件A 发生、B 不发生时，事件B A -发生，记为B A ．

运算：B A B A -=或AB A B A -=．

（Ⅴ）互斥事件（互不相容的事件）：若A ?=B ，则 事件A 与B 为互斥事件，表示A 与B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的．

运算：B A B A += ．

（Ⅵ）对立事件（逆事件）：每次试验中，事件A 不发生的事件称为事件A 的对立事件，记为A ．

运算：?=A A 且Ω=A A ．

注：对立事件?互斥事件，但是反过来不成立． （2）运算定律 （Ⅰ）交换律

A B B A =；A B B A =．

（Ⅱ）结合律

C B A C B A )()(=； C B A C B A )()(=．

（Ⅲ）分配律

)()()(C A B A C B A =；

)()()(C A B A C B A =．

（Ⅳ）德莫根（De Morgan ）定理

①2121A A A A =；②2121A A A A =. （3）举例分析

例1 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而)4()3()2()1(T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于【 】

（A ）{}01t T ≥ （B ）{}02t T ≥ （C ）{}03t T ≥ （D ）{}04t T ≥

解：{}01t T ≥表示4个温控器显示温度均不低于0t ； {}02t T ≥表示至少3个温控器显示温度均不低于0t ； {}03t T ≥表示至少2个温控器显示温度均不低于0t ；

{}04t T ≥表示至多1个温控器显示温度均不低于0t ． 所以应选（C ） □

例 2 设C B A ,,为三个事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件．

（1）A 发生而B 与C 都不发生； （2）A 与B 都发生而C 不发生； （3）C B A ,,之间恰好有一个发生； （4）C B A ,,中至多发生一个． 解：（1）C B A 或)(C B A -； （2）C AB 或C AB -或ABC AB -；

（3）C B A C B A C B A 或B A ++； （4）C A C B B A 或C B A C B A C B A C B A +++．□ 例3把12

n A A A 表为n 个两两互不相容事件的和． 解：1

2

n A A A

=12131212

1n n A A A A A A A A A A -++++

=12131212

1()()()n n A A A A A A A A A A - □

三、频率与概率

1 频率 要求自学（P 5—P 7）．

2 概率

（1）定义 设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对E 的每一个事件A ，将对应于一个实数，记为()P A 称为事件A 的概．率．

，如果集合函数()P 满足如下三个条件：

1 非负性：()0P A ≥ A S ?； 2

规范性：()1P S =；

3

可列可加性：对于i j A A =?，i j ≠，,1,2,i j =，有

1

1

()()k k k k P A P A ∞∞

===∑．

（2）重要性质

（Ⅰ）不可能事件的概率等0，即()0P ?=．

（Ⅱ）有限可加性 对于i j A A =?，i j ≠，,1,2,,i j n =，有

1

1

()()n n

k k k k P A P A ===∑．

（Ⅲ）单调性 设,A B 是两个事件，若A B ?，则有 （1） ()()()P B A P B P A -=-； （2） ()()P A P B ≤． （Ⅳ）规范性 0()1P A ≤≤．

（Ⅴ）对立事件的概率 ()1()P A P A =-．

（Ⅵ）加法公式 对于任意n ，两个事件12,,,n A A A 有

（1） 121212()()()()P A A P A P A P A A =+-； （2） 1

2

3()P A A A

123122()()()()()

P A P A P A P A A P A A =++-- 31123()()P A A P A A A -+ （3） 1

2()n P A A A

1

11()()()

n i i j i j k i i j n

i j k n

P A P A A P A A A =≤<≤≤<<≤=-+

∑∑

∑

112

(1)()n n P A A A -+

+-

推论1 1212()()()P A A P A P A ≤+；

推论2 1212()()()1P A A P A P A ≥+-．