概率论综合测试题a卷
综合测试题A 卷
一、填空题（每小题4分，共20分）
1、设A,B,C 为随机事件，1()()(),()()0,4
P A P B P C P AB P BC ===== 1(),8
P AC =则A,B,C 至少出现一个的概率为 . 2、袋中有7 只红球，5只白球，不放回地陆续取3只，则顺序为红、白、红的概率
p = .
3、在n 阶行列式的展开式中任取一项，此项不含第一行、第一列元素11a 的概率为8,9则
此行列式的阶数n = .
4、设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,现从中任取一件，结果不是三
等品，则取到的是一等品的概率为 .
5、设两个相互独立的事件A B 和都不发生的概率为1,9
A 发生
B 不发生的概率与B 发
生A 不发生的概率相等，则()P A = .
二、选择题（每小题4分，共20分）
1、设,A B 是样本空间S 中的随机事件，则()()A B A B 表示 [ ]. (A) 不可能事件 (B) ,A B 恰有一个发生
(C) 必然事件 (D) ,A B 不同时发生
2、对于任意二事件A 和B ，与A B B =不等价的是[ ] . (A) A B ⊂ (B) B A ⊂ (C) AB =∅ (D) AB =∅
3、设,A B 为任意两个事件，且,()0,A B P B ⊂>，则下列选项必然成立的是 [ ].
(A) ()()P A P A B < (B) ()()P A P A B ≤
(C) ()()P A P A B > (D) ()()P A P A B ≥
4、设n 张奖券中含m 张有奖奖券，k 个人购买，每人一张，其中至少有1个人中奖的
概率是[ ].
(A) k n m C (B) 1k n m k n C C -- (C) 11k m n m k n C C C -- (D) 1i k m k i n
C C =∑ 5、设,,A B C 三个事件两两相互独立，则,,A B C 相互独立的充要条件是 [ ].
(A) A BC 与独立 (B) AB A C 与独立 (C) AC BC 与独立 (D) A
B A
C 与独立 三、解答题（60分）
1、（6分）有n 个人，每个人都以同样的概率1N
被分配在N （n N ≤）个房间，试求“某个指定房间中恰有()m m N ≤个人”这一事件A 的概率.
2、(12分)某国经济可能面临三个问题：1A =“高通胀”， 2A =“高失业”， 2A =“低
增长”，假设123P()0.12,P()0.07,P()0.05A A A ===12P()0.13,A A =
13P()A A =0.14,23P()0.10A A =，123()0.01,P A A A =求：
（1）该国不出现高通胀的概率；
（2）该国同时面临高通胀、高失业的概率；
（3）该国出现滞涨（即低增长且高通胀）的概率；
（4）该国出现高通胀、高失业但却高增长的概率；
（5）该国至少出现两个问题的概率；
（6）该国最多出现两个问题的概率.
3、（8分）一个家庭中有两个小孩，
（1）已知其中有一个是女孩，求另一个也是女孩的概率；
（2）已知第一胎是女孩，求第二胎也是女孩的概率.
4、（12分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1
和0.1，一顾客欲买一箱玻璃杯，而顾客开箱随机地查看4只；若无次品则买下，否则退回.
试求：
（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的这箱玻璃杯中，确实没有次品的概率.
5、(14分) 设有来自三个地区的各10名，15名，和25名考生的报名表，其中女生的
报名表分别为3份，7份，5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率；
(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率.
四、（8分）设,A B 使任意二事件，其中A 的概率不等于0和1，证明：
()()P B A P B A =
是事件,A B 独立的充分必要条件.
综合测试题B 卷
一、填空题（20分）
1、设事件,,A B C 都是某个随机试验中的随机事件，事件E 表示,,A B C 至少有一个发
生，则对E 的构造正确的有 个.
(A) A
B C (B) ABC Ω- (C) ()[()]A B C C A B -- (D) ABC ABC ABC
2、设A,B 为随机事件， ()0.7,()0.3,P A P A B =-=则P()=AB .
3、一间宿舍内住有6位同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一月份的概率为
.
4、在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于
21的概率为__________. 5、事件,A B 相互独立，已知()0.4,()0.7,P A P A B ==则()P B A = .
二、选择题（20分） 1、以A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为[ ] .
(A) “甲种产品滞销，乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”
(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”
2、假设,B A ⊂则下列命题正确的是 [ ].
（A ）()1()P AB P A =- （B ） ()()()P A B P A P B -=-
（C ） ()()P B A P B = （D ）()()P A B P A =
3、设,A B 为随机事件，且()0,()1,P B P A B >=则必有 [ ].
(A) ()()P A
B P A > (B) ()()P A B P B > (C) ()()P A B P A = (D) ()()P A B P B =
4、从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,
,X 中任取一个数，记为Y ，则 {2}P Y == [ ].
（A ）14 （B ）1348 （C ）38 （D ）3548
5、将一枚硬币独立地掷两次：1{}A =掷第一次出现正面，
2{A =掷第二次出现 }正面，
3{}A =正、反面各出现一次，4{}A =正面出现两次，则事件 [ ]. (A) 123A A A ，，相互独立 (B) 234A A A ，，相互独立
(C) 123A A A ，，两两独立 (D) 234A A A ，，两两独立
三、计算题（60分）
1、（10分）设,A B 是两个事件，且()()0.9,()0.5,P A P B P A B +=+=求：
()().P AB P AB +
2、（10分）口袋中有两个5角，三个2角，五个1角的硬币共10枚，从中任取5枚，求总值超过1元的概率.
3、（10分）甲、乙两人独自地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.60.5和，现已知目标被击中，求它是甲射中的概率.
4、（10分）无线电通讯中，由于随机干扰，当发出信号“A ”时，收到“A ”、“不清”和“B ”的概率分别是0.7,0.20.1和；当发出信号“B ”时，收到“B ”、“不清”和“A ”的概率分别是0.9,0.10.和 假设发报台发出信号A 与B 的频繁程度是3:2,问收到“不清”时，求原发信号是“A ”的概率
5、（12分）在n 只袋中有4个白球，6个黑球，而另一袋中有5个白球5个黑球，今从这1n +只袋中任选一袋，从中随即取出两球，都是白球，在这种情况下，有5个黑球和3
个白球留在选出的袋中的概率是17
，求.n 四、（8分）设,,A B C 三事件相互独立，证明：,,A
B AB A B 分别与
C 相互独立.。
概率论 期末考试试卷A
（×
）
求 (1) ( X , Y ) 的联合概率分布律；
③设 n 次独立重复试验中，事件 A 出现的次数为 X，则 5 n 次独立重复试验中，事件 A 出 现的次数未必为 5X. （ √ ） ④如果 P( A B) P( A) P( B), ，则事件 A 与 B 互不相容. ⑤如果 P( A) P( B) 1 ，则事件 A 与 B 必定相容. （× （ √ ） （√） ）
1 , y - 2 x 0, f ( x, y) 4、 （本题 18 分）设 X , Y 在由直线 y x 2, x y 2 及 y 轴所围成的区域内服从均 （4）当 2 y 0 时 ， f X |Y ( x y ) 2 y fY ( y ) 其它， 0, 2 匀分布． （1）求 X , Y 的联合概率密度函数 f ( x, y ) ， P{Y X } ； 1 , y-2 x 0, f ( x, y) （2）求 X 、 Y 的边缘概率密度函数 f X ( x) ， fY ( y) ； 当 0 y 2 时 ， f X |Y ( x y) 2 y f Y ( y) 其它， 0, X Y （3）判断 与 是否相互独立，为什么？
解： （1）由题知平面区域 G 的面积为 SG dx
2
0
x+2
x 2
dy 4,
1 , x-2 y x-2, 2 x<0, 所以 f ( x, y) 4 其它. 0,
P{Y X 2 } dx 2
1 x 0 x2 0 1 1 13 dy ( x 2 x 2 )dx 1 4 4 24
Ae x , x ( >0,A 为常数)，则概率 P{ X< +a }（a>0） 0, x
概率论综合练习题1及参考答案
概率论综合练习题1一、选择题（每小题3分，共15分）【得分： 】1．已知()()0.4,0.6,(|)0.7P A P B P B A ===，则()P A B =__________.2．将2个球等可能地放入甲、乙、丙、丁 4个盒子，则甲盒子没有球的概率为__________. 3. 已知(1,1),~(1,4)X N Y N -，且X Y 与相互独立，则3X Y -服从分布 ( )A. (4,37)NB. (2,11)N -C. (4,11)N -D. (2,37)N - 4. 设总体2123~(,),,,X N X X X μσ是来自总体的样本，则当______a =时，1231348X aX X μ=++是未知参数μ的无偏估计.5. 设总体21216~(2,5),,,,X N X X X 是来自总体的样本，则下列正确的是 ( )A.2~(0,1)4/5X N - B. 2~(0,1)X N - C. 2~(0,1)16X N - D. 2~(0,1)5/4X N - 二、计算题（36%）1. 某人赶去某个城市参加会议，乘火车、汽车、轮船、飞机的概率分别是0.2，0.3，0.4，0.1. 乘火车、汽车、轮船迟到的概率分别是1/5,2/3和3/5而乘飞机不会迟到，已知此人参加会议迟到了，求他是乘坐汽车来的概率.2. 设随机变量X 的分布律为X-2 1 2 P0.1 0.7 α （1）求常数α；（2）求()E X ;（3）求 ()D X ; (4)求X 的分布函数()F x .3. 设连续型随机变量X 的概率密度为,01,()0,.kx x f x <<⎧=⎨⎩其他（1）求常数k 的值; (2) 求()E X ;(3) 求{0.5 1.5}P X <≤;(4) 求X 的分布函数()F x . 三、解答题、证明题（40%）1. 设()0.3,P A =()0.4,P B =()0.1P AB =,求(),(),().P A B P B A P A B -2. 设随机变量(,)X Y 的密度函数为,0,,(,)0,y e x y x f x y -⎧>>⎪=⎨⎪⎩ 其他. (1)分别求X 和Y 的边缘概率密度函数()()X Y f x f y 和;(2)随机变量X 和Y 是否独立，说明理由; (3)求()E XY . .3. 设总体X 具有概率密度22(),0(,),.0,.x x f x ααααα⎧-<<⎪=⎨⎪⎩是未知参数其他12,,,n X X X 是来自总体X 的一个简单随机样本. 求α的矩估计量.4. 在区间(0,1)中随机取两个数，求两数之差小于25的概率.四、计算题（9%）1. 某工厂生产化肥，某日抽取9包化肥测得平均重量为98.3公斤，已知打包重量服正态分布2(,1)N μ,问在显著性水平0.05α=下，是否可以认为每包平均重量是100公斤? 【0010:100,:H H μμμμ==≠原假设备择假设；0.0250.050.0250.051.96, 1.645,(8)2.3060,(8) 1.8595z z t t ====】2. 若2~(2,)X N σ且(24)0.3,P X <<=求(0)P X <.概率论综合练习题1参考解答一、选择题（每小题3分，共15分）【得分： 】1．已知()()0.4,0.6,(|)0.7P A P B P B A ===，则()P A B =__________. 【解析】()()(|)0.40.70.28P AB P A P B A ==⨯=, ()()()()0.40.60.280.72P A B P A P B P AB =+-=+-=.2．将2个球等可能地放入甲、乙、丙、丁 4个盒子，则甲盒子没有球的概率为__________.【解析】(P 甲盒中无球）(P =球2个球放在了乙、丙、丁三盒中）22390.5625416===.3. 已知(1,1),~(1,4)X N Y N -，且X Y 与相互独立，则3X Y -服从分布 ( )A. (4,37)NB. (2,11)N -C. (4,11)N -D. (2,37)N -【解析】(3)134E X Y -=+=,(3)913637D X Y DX DY -=+=+=,即3~(4,37)X Y N -,选A. 4. 设总体2123~(,),,,X N X X X μσ是来自总体的样本，则当______a =时，1231348X aX X μ=++是未知参数μ的无偏估计.【解析】358()488a E a μμμμμμ+=++==，即38a =.5. 设总体21216~(2,5),,,,X N X X X 是来自总体的样本，则下列正确的是 ( )A. 2~(0,1)4/5X N -B. 2~(0,1)X N -C. 2~(0,1)16X N -D. 2~(0,1)5/4X N - 【解析】25~(2,)16X N ,则252~(0,)16X N -，2~(0,1)5/4X N -，应选D .二、计算题（36%）1. 某人赶去某个城市参加会议，乘火车、汽车、轮船、飞机的概率分别是0.2，0.3，0.4，0.1. 乘火车、汽车、轮船迟到的概率分别是1/5,2/3和3/5而乘飞机不会迟到，已知此人参加会议迟到了，求他是乘坐汽车来的概率.【解】分别记乘火车、汽车、轮船、飞机为,,,A B C D ,记迟到为E ,则()()P E P AE BE CE DE =()(|)()(|)()(|)()(|)P A P E A P B P E B P C P E C P D P E D =+++1230.20.30.40.10535=⨯+⨯+⨯+⨯36120.487525===;()0.25(|)()0.4812P BE P B E P E ===.2.【解】(1)由0.10.71α++=得0.2α=； (2)20.110.720.20.9EX =-⨯+⨯+⨯=; (3)240.110.740.2 1.9EX =⨯+⨯+⨯=, 21.90.9 1.09DX =-=;(4)分布函数：0,20.1,21()0.8,121,2x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤⎩.3. 设连续型随机变量X 的概率密度为,01,()0,.kx x f x <<⎧=⎨⎩其他（1）求常数k 的值; (2) 求()E X ;(3) 求{0.5 1.5}P X <≤;(4) 求X 的分布函数()F x .【解】(1)由1012k kxdx ==⎰得，2k =； (2)120223EX x dx ==⎰;(3) 11.50.51{0.5 1.5}22010.250.75P X xdx dx <≤=+=-=⎰⎰；(4) 02010100,0()()()02,010201,1xxx xdt x F x P X x f t dt dt tdt x x dt tdt dt x -∞-∞-∞-∞⎧=<⎪⎪=≤==+=≤<⎨⎪⎪++=≤⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.三、解答题、证明题（40%）1. 设()0.3,P A =()0.4,P B =()0.1P AB =,求(),(),().P A B P B A P A B - 【解】()()()()0.30.40.10.6P A B P A P B P AB =+-=+-=;()()()()0.40.10.3P B A P B AB P B P AB -=-=-=-=; ()1()10.60.42(|)1()10.40.63()P AB P A B P A B P B P B --=====--.2. 设随机变量(,)X Y 的密度函数为,0,,(,)0,y e x y x f x y -⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他. (1)分别求X 和Y 的边缘概率密度函数()()X Y f x f y 和;(2)随机变量X 和Y 是否独立，说明理由; (3)求()E XY .【解】(1)00,0()(,)0,0X x y xxdy x f x f x y dy dy e dy e x +∞+∞-∞+∞-∞---∞⎧=<⎪==⎨⎪+=≥⎩⎰⎰⎰⎰； 0000,0()(,)00,0Y y y yy dx y f y f x y dx dx e dx dx ye y +∞+∞-∞+∞-∞---∞⎧=<⎪==⎨⎪++=≥⎩⎰⎰⎰⎰⎰； (2) ,X Y 不相互独立，因为在{(,)|0,}x y x y x >>内(,)()()X Y f x y f y f x ≠；(3)3000013!()(,)322y y y y x x y y xE XY xy f x y dxdy xye dxdy ye dy xdx y e dy +∞+∞----∞<<+∞>-∞<<+∞>=⨯=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3. 设总体X 具有概率密度22(),0(,),.0,.x x f x ααααα⎧-<<⎪=⎨⎪⎩是未知参数其他12,,,n X X X 是来自总体X 的一个简单随机样本. 求α的矩估计量.【解】23220022()233x x EX x x dx ααααααα⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰，令EX X =得α的矩估计量3X α=.4. 在区间(0,1)中随机取两个数，求两数之差小于25的概率. 【解】分别记所取两数为x 和y ，则“两数之差小于25”=“||0.4x y -<”，（图中深色部分）(P 两数之差小于25)(||0.4)P x y =-<21120.60.642=-⨯⨯=.四、计算题（9%）1. 某工厂生产化肥，某日抽取9包化肥测得平均重量为98.3公斤，已知打包重量服正态分布2(,1)N μ,问在显著性水平0.05α=下，是否可以认为每包平均重量是100公斤? 【0010:100,:H H μμμμ==≠原假设备择假设；0.0250.050.0250.051.96, 1.645,(8) 2.3060,(8) 1.8595z z t t ====】【解】00:100H μμ==; 10:H μμ≠. 检验统计量X Z =，当0H 成立时，100~(0,1)1/3X Z N -=,拒绝域 190.025100{(,,)|1.96}1/3x W x x z -=>=,而1005.11/3x W -=-∈,即在显著性水平0.05α=下，认为每包平均重量与100公斤有显著差异(不足100公斤).2. 若2~(2,)X N σ且(24)0.3,P X <<=求(0)P X <.【解】由42222(24)(0)0.3P X σσσ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ=Φ-Φ=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得20.8σ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭， 2222(0)10.2X P X P σσσσ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<=Φ-=-Φ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
《概率论与数理统计》考试试题A(答案)
期末考试《概率论与数理统计》A 卷参考答案及评分标准一、判断题（你认为正确的请在括号内打√，错误的打×。
每小题2分，共10分）（）1．设0}{==a X P ，则事件}{a X =为不可能事件. （×）2．设A 、B 为两事件，则)()()(B P A P B A P -=-.（√）3．设⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它202)(x xx f , 则其一定是某连续型随机变量的概率密度.（√）4．设随机变量X ～N （1，4），则21-X ～N （0,1）.（×）5．设3)(=X D ，1)(=Y D ，X 与Y 相互独立，则2)(=-Y X D . 二、填空题（请将正确答案填写在括号内。
每空3分,共30分）6红球的概率为（ 271 ）。
7．设事件B A ,相互独立，4.0)(,6.0)(==A P B A P ,则=)(B P ( 1 ).8.设B A ,为随机事件，且25.0)(,4.0)(,8.0)(===A B P B P A P ，则=)(B A P ( 0.5 ). 9．设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则=+)13(X E ( 2 ),=+)13(X D ( 1 ). 10．若在3次独立重复试验中，事件A 至少发生1次的概率为2726，则事件A 在一次试验中发生的概率为（32 ）.11. 设随机变量X 服从区间[0，5]上的均匀分布，则{}=≤3X P ( 0.6 ). 12．已知随机变量X ～)2,3(2N ，8413.0)1(0=Φ,6915.0)5.0(0=Φ,则=>}3{X P ( 0.5 ),=≤<}52{X P ( 0.5328 ).13. 设随机变量X 的概率分布为,}{NaK X P ==K=1,2, …,N ，则a =( 1 ). 三、选择题（每小题的四个选项中只有一个是正确的，请将其代码写在题后的括号内。
每小题3分，共18分） 14．设B A ,互为对立事件，且0)(,0)(>>B P A P ，则下列各式中错误．．的是（ B ）. A ．)(1)(B P A P -= B ．)()()(B P A P AB P = C ．1)(=AB P D ．1)(=B A P15.以A 表示“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A ( D ) A ．“甲种产品滞销,乙种产品畅销” B ．“甲、乙两种产品滞销” C ．“甲种产品滞销” D ．“甲中产品滞销或乙种产品畅销”16.设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,00,)(rx x x ϕ,则常数=r ( C )A ．0.5B ．1C ．2D ．217.某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为)10(<<p p ,则此人第4次射击后,恰好是第2次命中目标的概率为( A )A ．22)1(3p p -B ．2)1(3p p -C ．22)1(6p p -D ．2)1(6p p - 18.人的体重X ～)(x ϕ,b X D a XE ==)(,)(,10个人的平均体重记作Y ,则( B )成立.A ．a Y E =)(,b Y D =)(B ．a Y E =)(,b Y D 1.0)(=C ．a Y E 10)(=,b YD =)( D ．a YE =)(,b Y D 10)(=19.设随机变量X 服从泊松分布，且P(X =1)= P(X =2)，则P(X =4)=（ B ）.A ．232eB ．232-e C ．32 D ．132-e四、计算题（每小题8分,共32分）20,1.0)(,7.0)(,5.0)(=-==B A P B P A P ,试求 (1))(B A P +；(2))(B A P .解 (1))(5.0)()()(1.0AB P AB P A P B A P -=-=-= (2分) 所以 4.0)(=AB P (3分) 8.0)()()()(=-+=+AB P B P A P B A P (5分)(2)2.0)(1)()(=+-=+=B A P B A P B A P (8分)21.设连续型随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧<<=其他,010,)(x kx x aϕ)0,>a k （,已知75.0)(=X E ,求（1）a k ,；（2）)(X D .解 （1）因为11)(1=+==⎰⎰∞+∞-a kdx kx dx x a ϕ (2分) 75.02)(10=+==⎰a kdx xkx X E a (4分) 解得 3,2==k a (5分)所以 ⎩⎨⎧<<=其他,010,3)(2x x x ϕ533)(10222=⋅=⎰dx x x X E (6分)所以0375.0803)75.0(6.0))(()()(222≈=-=-=X E X E X D (8分)22．保险公司认为人可以分为两类:第一类是易出事故的人,第二类是比较谨慎,不易出事故的人,统计资料表明,第一类人在一年内某一时刻出一次事故的概率为0.4,第二类人在一年内某一时刻出一次事故的概率为0.2,若第一类人占30%,问 (1)一个新客户在购买保险后一年内需要理赔的概率是多少?(2)如果该客户在购买保险后一年内出了一次事故,他是第一类人的概率是多少?解 设A 表示”该客户在购买保险后一年内出了一次事故”,B 表示”他是第一类人”,则3.0)(=B P ,7.0)(=B P ,4.0)(=B A P ,2.0)(=B A P (2分) (1)由全概率公式有26.0)()()()()(=+=B A P B P B A P B P A P . (5分) (2)由贝叶斯公式有46.026.012.0)()()()(===A PB A P B P A B P . (8分)23．已知电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.6，而假定开、关时间彼此独立，试用切贝谢夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在5800与6200之间的概率。
概率论期末考试试卷试题A卷包括答案
07 级?概率论?期末考试试题 A 卷及答案一、填空题〔总分值 15 分〕：1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，那么“第一卷及第五卷出现在旁边〞的概率为1。
1023!1解答： p15!102.设 P( A) p, P( B)q, P( A B)r , 那么 P( AB )r q。
解答： P( AB )P( A B)P[( A B) B)] P( A B) P(B)r q3.设随机变量的分布列为P( X k )a k, k0,1,2,...3则a =2. 3解答： 1a a113 a a2k 03k12334. 设随机变量为与， D=25,D=36,,0.4 ,那么 D( -)= 37.解答：D ()D D 2 cov(, ),cov(,) D DD () D D 2 D D,25 36 2 5 6 0.4 375. 设随机变量服从几何分布 P(k )q k 1 p,k 1,2,... 。
那么的特征函数f (t )。
解 : f t E(e it)e itk q k1 p pe it qe it itk 1pe it .k1k 11qe二、单项选择题〔总分值15 分〕：1.设 .A 、 B、 C 为三个事件 , 用 A、 B、 C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生〞为(④).① A B C .②AB C A BC AB C③ABC .④ A BC ABC ABC A BC2. 以下函数中， ()可以作为连续型随机变量的分布函数.①. F x e xx0②G xe x x01x01x0③ x0x0④ H x0x01e x x0 1 e x x03. 下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为〔②〕。
① P(k )n p k (1p) n k ,0 p 1, k 0,1,..., n .k② P((1) k 3k)1, k 1,2,... .k3kk③ P(k )e,0, k0,1,2.. .k!④ . P(k )(1p)k 1 p, 0p 1, k1,2,...4. 设( ,) 服从二维正态分布 N ( a1 , a2 ; 1 2 ,22 ; r ) ，r0是,独立的〔③ 〕。
概率论试卷A 附答案详解
山东建筑大学试卷 共 3 页 第1 页班级 ______________ 姓名 ______________学号 ______________山东建筑大学试卷共3 页第 2 页·线··········································································································装订山东建筑大学试卷共 3 页第 3 页·线··········································································································装订2008~2009-1学期《概率论与数理统计》期末考试试题A参考答案及评分标准一、填空题（每题3分，共15分） 1、2 2、0.4 3．21,99αβ== 4、2.6 5、2()n χ二、选择题（每题3分，共15分） 1、C ；2、D ；3、B ；4、B ；5、C 三、（本题满分8分）解：设Bi =“取出的零件由第 i 台加工”)2,1(=i()A P ()()11B A P B P =()()22B A P B P +…………5分97.032⋅=98.031⋅+973.0=…………3分 四、（本题满分10分）解：由题意知，X 的可能取值为：0，1，2，3；Y 的可能取值为：1，3. 且{}81213,03=⎪⎭⎫⎝⎛===Y X P ，…………2分{}8321211,1213=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===CY X P ，…………2分{}8321211,2223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===CY X P ，…………2分 {}81213,33=⎪⎭⎫⎝⎛===Y X P .…………2分于是，（1）（X ，Y ）的联合分布为（2）{}{}813,0====>Y X P X Y P .…………2分 五、（本题满分12分） 解：随机变量X 的密度函数为()2221x ex f -=π()+∞<<∞-x …………2分设随机变量Y 的分布函数为()y F Y ，则有(){}{}{}1122-≤=≤+=≤=y X P y X P y Y P y F Y …………2分 ①. 如果01≤-y ，即1≤y ，则有()0=y F Y ； ②. 如果1>y ，则有 (){}{}1112-≤≤--=-≤=y X y P y X P y F Y⎰⎰------==12112222221y x y y x dx edx eππ即()22101xY dx y F y y -⎧>=≤⎩…………4分所以， ()()12101yY Y y f y F y y --⎧>'==≤⎩…………4分即()12101y Y y f y y --⎧>=≤⎩．六、（本题满分10分） 解： ① )(X E 021==-∞+∞-⎰dx e x x2分)(X D 22)]([)(X E X E -=2212021022==-=⎰⎰∞+-∞+∞--dx e x dx e xx x 2分 ②)()()(),(X E X E X X E X X Cov -=0021=-=-∞+∞-⎰dx e xx x2分 0)()(),(==X D X D X X Cov XXρ， 2分所以X 与X 不相关. 2分 七、（本题满分10分）解：（1）由⎰⎰⎰⎰∞+∞++-∞+∞-∞+∞-==0)2(),(1dxdy Ae dxdy y x f y xA dy e dx e A y x 21002==⎰⎰∞+∞+-- 所以2=A .…………2分（2）X 的边缘密度函数：⎰∞+∞-=dy y x f x f X ),()(⎩⎨⎧>=-其他,00x e x .…………4分 Y 的边缘密度函数：⎰∞+∞-=dx y x f y f Y ),()(⎩⎨⎧>=-其他,0022y e y .…………2分 （3）因)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X ，Y 是独立的. …………2分 八、（本题满分12分）解：⑴. 当02>σ为未知，而+∞<<∞-μ为已知参数时，似然函数为()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=-ni i n x L 12222221exp 2μσπσσ()02>σ…………2分 因而 ()()()∑=---=ni ixn L 12222212ln 2ln μσπσσ()02>σ…………2分所以，由似然方程()()()01212ln 412222=⋅-+-=∂∂∑=σμσσσn i i x nL ，…………2分解得()∑=-=n i i x n 1221μσ，…………2分因此，2σ的极大似然估计量为()∑=-=ni i X n 1221ˆμσ． ⑵. 因为()2~σμ，NX i ()n i ，，， 21=，所以()10~，N X i σμ- ()n i ，，， 21=，所以 []0=-μi X E ，[]2σμ=-i X D ()n i ，，， 21=，所以()[]()[][]222σμμμ=-+-=-i i i X D X E X E ()n i ，，， 21=，因此，()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∑=n i i X n E E 1221ˆμσ()()∑=-=n i i X E n 121μ221σσ=⋅=n n所以，()∑=-=ni i X n 1221ˆμσ是未知参数2σ的无偏估计．…………4分 九、（本题满分8分） 解：由于正态总体()2,σμN中期望μ与方差2σ都未知，所以所求置信区间为()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--1,122n t n SX n t n S X αα．…………4分 由05.0=α，16=n ，得025.02=α．查表，得()1315.215025.0=t ．由样本观测值，得75.503161161==∑=i i x x ， ()2022.61511612=-=∑=i ix x s ． 所以， ()445.5001315.2162022.675.50312=⨯-=--n t n s x α， ()055.5071315.2162022.675.50312=⨯+=-+n t n s x α， 因此所求置信区间为()055.507,445.500 …………4分。
16-17《概率论》试卷A
河北科技大学理工学院2016--2017学年第一学期《概率论》期末考试试卷（A ）学院 班级 姓名 学号一. 填空题（每小题3分，共30分）1. 设A 与B 相互独立,()0.5,()0.9P A P A B ==U ,则()P B = .2. 三人独立地破译一密码，他们能单独破译出的概率分别为13,14,15，则此密码被破译出的概率为 ．3. 设随机变量X 的分布律为()3{},1,2,4kP X k c k ===L ，则c = .4. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则{()}P X E X == ．5. 设随机变量~(1,6)K U ,则关于x 的方程240x x K ++=有实根的概率是 .6. 已知随机变量X 与Y 独立同分布，且1{0}{1}2P X P X ====，设Z X Y =+，则{0}P Z == .7. 设()1,()2E X D X =-=,则2(32)E X -= .8. 设随机变量X 与Y 的方差分别为1和4，相关系数为0.25，则=+)(Y X D . 9. 设随机变量X 的方差为1，则由切比雪夫不等式可知{|()|2}P X E X -≥≤ . 10. 设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>，有lim n n P p n με→∞⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭.二. 单项选择题（每小题3分，共18分）1. 设随机事件A 与B 互不相容，则 【 】 (A)()0P AB =(B)()()()P AB P A P B =⋅ (C)()1()P A P B =- (D)()1P A B =U2. 设某连续型随机变量X 的分布函数是(1),0()0,0x k x e x F x x -⎧-+≥=⎨<⎩则常数k 的值是 【 】(A)1k = (B) 0k = (C) 1k =- (D) k 为任意常数 3. 设2~(,4)X N μ,2~(,5)Y N μ,记1{4}p P X μ=≤-,2{5}p P X μ=>+，则 【 】(A) 对任何实数μ ,都有12p p = (B) 对任何实数μ ,都有12p p < (C) 对任何实数μ ,都有12p p > (D) 只对个别的μ ,才有12p p =4. 设随机变量X 的密度函数为()f x ，则23Y X =-的密度函数()Y f y 为 【 】(A) 13()22y f +-(B) 13()22y f -- (C) 13()22y f + (D) 13()22y f - 5. 若随机变量X 与Y 满足)()()(Y E X E XY E =，则 【 】(A)X 与Y 相互独立 (B) ()()()D X Y D X D Y -=+ (C)1XY ρ= (D) ()()()D X Y D X D Y -=-6. 设随机变量Y X ,分别服从(0,1)N 和(1,1)N ,且X 与Y 相互独立，则 【 】(A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤= (D)1{1}2P X Y -≤=三．计算题（共52分）1.（10分）现有一批零件是由甲、乙两人共同加工而成的，其中甲加工了60%，乙加工了40%，甲加工的零件的次品率为10%，乙加工的零件的次品率为15%， (1) 从这批零件中任取一只，求取到次品的概率； (2) 若已知取到的是次品，求它是甲生产的概率.101111424X P -011122Y P 2. （10分）设连续型随机变量X 的概率密度函数为23(1),118()0,x x f x ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩其他求（1）X 的分布函数F (x );（2）概率{02}P X <≤；(3)()E X .3. (10分)设X 与Y 为相互独立的离散随机变量，概率分布律分别为求 (1)(,)X Y 的联合分布律；(2){}P X Y =.分）设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数4,01,01(,)0,xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他求 (1)X 的边缘概率密度函数()X f x ；(2){}P X Y ≤； (3)()E XY .5. (10分) 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户中占20%．现随意抽查100个索赔户，设X 表示这100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数． (1) 写出X 的概率分布律；(2) 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户的概率的近似值． 注：(1.5)0.933Φ=。
《概率论》期末考试试题A卷和答案
07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案一、 填空题（满分15分）：1.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上，则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为101。
解答：101!5!321=⨯=p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =⋃==则=)(B A P q r - 。
解答：q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-⋃=-⋃=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3)(===k ak X P k则a =32. 解答：32233111310=⇒=-⋅==∑∞=a a a a kk 4.设随机变量为ξ与η，已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答：374.065236252)(),cov(),cov(2)(,,=⨯⨯⨯-+=-+=-=-+=-ηξηξρηξηξηξηξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1===-k p qk P k ξ。
则ξ的特征函数=)(t f ξ 。
()().1)(:1111it it k k it itk k itk it qepe qe pep qe e E tf -====∑∑∞=--∞=ξξ解 二、 单项选择题（满分15分）：1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ).① C B A ⋃⋃. ② C B A C B A C B A ++③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++ 2.下列函数中，( )可以作为连续型随机变量的分布函数.①.()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=010x x e x F x②()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-010x x e x G x③()⎩⎨⎧≥-<=Φ0100x e x x x④()⎩⎨⎧≥+<=-0100x e x x H x3.下面是几个随机变量的概率分布，其中期望不存在的为（② ）。
概率论试题(A卷)答案
《概率论》A 卷参考答案一、填空题（15分，每小题3分） 1、已知11()()(),()(),()0,46P A P B P C P AB P BC P AC ====== 则事件,,A B C 全不发生的概率为________。
2、设11()(),(|)26P A P B P A B ===，则(|)P A B =________。
3、设随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N m s s >，且二次方程240y y X ++=无实根的概率为12，则m = ________。
4、随机变量X 在[1,4]上服从均匀分布，则概率2{3}P X ≤=________。
5、设随机变量X 和Y 的数学期望相同，方差分别为1和4，X 与Y 的相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式，有{||6}P X Y -≥≤ 。
1、712； 2、16； 3、4； 4、13； 5、112。
二、选择题（15分，每小题3分）1、设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 .(A) r n r r n p p C ----)1(11； (B) rn r r n p p C --)1(； (C) 1111)1(+-----r n r r n p p C ； (D) rn r p p --)1(. 2、设随机变量X 与Y 相互独立且同分布，1{1}{1}2P X P Y =-==-=，1{1}{1}2P X P Y ====，则下列各式成立的是（ ）。
（A ）1{1}4P XY ==。
（B ）{}1P X Y ==；（C ）1{0}4P X Y +==； （D ）1{}2P X Y ==；3、设随机变量X 的密度函数为()x ϕ，且()()x x ϕϕ=-，()F x 是X 的分布函数，则对任意实数a ，有（ ）。
（A ）()2()1F a F a -=-； （B ）()()F a F a -=；（C ）01()()2a F a x dx ϕ-=-⎰； （D ）0()1()a F a x dx ϕ-=-⎰。
12-13第二学期《概率论》试卷A卷
院、系 班级 姓名 学号 课头号 座号密 封河南农业大学2012-2013学年第二学期《概率论》考试试卷（A 卷）题号 一 二 三 总分 分数得分 评卷人一．判断题（每小题2分，共计20分）（ ）1．概率为0的事件一定是不可能事件.（ ）2．若事件A 与B 互不相容，则A 与B 也互不相容. （ ）3．随机变量ξ的分布函数()()F x P x ζ=≤在(,)−∞+∞上处处右连续. （ ）4．联合发布可以唯一确定边沿发布，边沿发布也可以唯一确定联合发布. （ ）5．设,A B 为随机事件，则()()()P A B P A P AB −=−． （ ）6．C B A U U 表示事件不多于一个发生． C B A ,,（ ）7．随机变量，则)43(~2，N ξ(3)0.P 5ξ<=． （ ）8．二维正态分布的边沿分布仍是正态分布．（ ）9．若)()()(ηξξηE E E =，则随机变量ξ与η相互独立． （ ）10．随机变量ξ与η相互独立，则ξ与η必不相关．得分 评卷人二．填空题（每空2分，共计20分）1.用事件,,A B C 表示“不多于两个事件发生” .2.设事件A 与B 满足，P B ()0.5P A =()0.6=，()0.8A P B =，则()P A B ∪= ． 3.2封信随机向个邮筒投递，第二个邮筒恰有一封信的概率为4 ． 4.从一批发芽率为910的种子中任取5粒种下，最有可能 粒种子发芽． 5.若随机变量~()P ζλ，且(1)(2P P )ζζ===,则λ= ．6.若随机变量ζ的分布列为2()(3k P k A ζ==)，(1,2,3k =，则A = ． 7.若随机变量~(3,4)N ζ，则 ~(0,1)N ． 8.若随机变量~[0,2]U ζ，则1(3P ζ<= ． 9.若随机变量1~()3E ζ，则(21)E ζ−+= .10. 若二维随机变量(,)ζη的方差分别为25和36，相关系数为0.4，则(,)COV ζη= ．得分 评卷人三．计算题（每题10分，共计60分）1．设甲袋中有三个红球和一个白球，乙袋中有四个红球和两个白球。
概率论试卷A参考答案(武)
试卷(A 卷)参考答案及评分标准考试方式：闭卷 学分: 3学分 考试时间：110 分钟一、填空题(每题 3 分，共 30分)1、率为85%．若某人今年已50岁，则他的寿命大于60岁 的概率为 0.88 ． 2、在假设检验问题中，当减小显著性水平α时，拒绝域将变 小 ． 3、设X 服从泊松分布，若26EX =，则(1)P X ==22e -．4、设二维随机变量(,)X Y 的联合分布函数为(,)F x y ，则{},P a X b Y d <≤≤=(,)(,)F b d F a d -．5、设随机变量,X Y 相互独立，且均服正态分布(0,1)N ，则{min(,)0}P X Y ≤= 34． 6、设随机变量X 和Y 不相关，则(2)D X Y -=()4()D X D Y + ．7、设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布，今对X 进行4次独立观测，以Y 表示观测值大于0.5的观测次数，则{}1P Y ≥=1516． 8、设1(,)~(1,1;4,9;)2X Y N , 则(,)Cov X Y =__3___．9、在区间估计理论中，当样本容量给定时，置信度与置信区间长度的关系是：置信度1α-越大，置信区间长度越__长__． 10、 随机变量()X t n ,则2~X (1,)F n 分布．二、概率论试题(45分) 1、(9分) 某卡车运送防“禽流感”用品，装了10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花。
到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱。
现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率。
（记A ：从剩下9箱中任取2箱都是民用口罩；k B ：丢失的一箱为k ，3,2,1=k 分别表示民用口罩，医用口罩，消毒棉花）解：222355422219991318()()()210536k k k C C C P A P B P A B C C C ===⋅+⋅+⋅=∑ (5分).83368363)(/21)(/)()()(2924111=÷=⋅==A P C C A P B A P B P A B P (4分)2、（9分)设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布，2ln Y X =-，求Y 的概率密度． (9分) 解: 由于()2ln y g x x ==-在（0,1）上严格单调，可以使用公式 (2分)(0,1)x ∈时 ，2()yx h y e-==，(0,)y ∈+∞，'21()2y h y e -=-， (4分)由密度转换公式，得210()200yY ey f y y -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(3分)3、(9分)一生产线生产的产品是成箱包装的，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。