数学建模：保险产品的设计方案

保险产品的设计方案摘要随着人们的生活水平不断提高，社保、养老等问题已引起人们的普遍关注。

针对这一现象，保险公司计划设计一种新产品推向市场。

本文为解决保险产品的设计问题，建立了相应的模型。

针对模型一、二、三：首先根据题目中已知信息，结合当投保人恰好满m 岁死亡（n ，m 为整数），保险公司不盈不亏，可以得出每月交纳费用()a 、交纳年限()n 、固定工资()b 、月利率()c 与死亡年龄()m 之间的一个关系式：1212()(1)(1)()0m m n a c c a b b -+-+++=， 其次运用matlab 软件，可以求得问题2中的983.7302b =元，问题3中,m n 的关系式为：0.0299633.37log(0.333)0.667m n m e =-+最后绘制出m 与n 的图形。

针对模型四： 首先列出完成本产品的最终设计所需要的数据种类，再结合这些数据以及全国第五次人口大普查的死亡概率分布图得出的信息，综合模型三中建立的关系式计算出n 年后的缴费年限，再来确定每月工资发放的额度。

针对模型五、六：解决保险公司不盈不亏的概率。

首先，对于问题5，上面已经求出在保险公司不盈不亏情况下的关系式，并且已知投保人恰好k 岁死亡的概率是k p ，所以保险公司不盈不亏的概率即为m p 。

其次，在问题6中，考虑的是投保人都是恰好满整数岁死亡，对此分为两种方案进行计算。

由已知条件列出关系式，先求出投保人在两种方案下的平均死亡概率分别为：12312323nx n p p p np p p p p p ++++=++++………… ， (1)(2)(1)(2)(1)(2)n n m x n n m n p n p mp p p p p ++'++++++⋯⋯+=++⋯⋯+投保人平均死亡概率即为保险公司不盈不亏的概率。

针对模型七：首先，已知投保人大于1k -岁，小于等于k 岁的死亡概率为k p ，且交费和领取工资是按月进行的，投保人不一定恰好满整数岁死亡。

其次，需对模型六出现的两种情况进行分析求解，运用水平法求出每个月的平均死亡概率，以此得出月平均增长率。

根据月平均增长率，累加算出每个月的死亡概率，对其求出期望值，由期望值确定出保险公司不盈不亏的概率。

最后，第二种方案是在投保人的死亡年龄大于交费年龄下进行计算，方法同第一种方案相同。

两种情况下分别求得保险公司不盈不亏的概率为：121122rrp p rp x p p p p p ++++++=…… ，1211221121122(121)(122)n n r n rn p n p rp x p p p p p +++++++++'++=+?…针对模型八：首先，第一种情况：分别取a 、b ，a 、n ，a 、m 进行比较；第二种情况：选取d 、m 进行比较。

其次，根据从上面获取的已知信息，结合模型一得到的关系式，在选择时把不考虑的因素看作常数，求出它们之间存在的关系式，最后从关系式可以看出各因素间的相互影响程度，以此求出,,,a b d n 合适的值。

最后对模型进行了灵敏度分析，并对模型作了进一步的评价与推广。

关键词: matlab 软件 死亡概率 水平法 不盈不亏 期望值1 问题重述某保险公司要设计一个新的产品。

1.1已知信息1、投保人从一出生开始，每月交纳固定费用a 元，交满n 年（n 是正整数）停止缴费，并从下个月开始按月领取固定额度的工资b 元，直到其死亡。

2、只考虑一种例外情况：投保人交费未满n 年死亡，保险公司全额退还其所有交费（不付利息），并按交费月数进行赔付。

3、为简单起见，这里不需要考虑其他例外情况。

银行的月利率为c 一直不变。

保险公司只将投保人的交费即使存入银行，不进行其他投资。

1.2 提出问题1、投保人恰好满m 岁死亡（n m >，m 为整数），保险公司不盈不亏，建立关于常数n m c b a ,,,,的关系式，并尽量简化。

2、根据问题1中的关系式，假设年1000=a ，年20=n ，0.25%=c ，岁80=m ，求b 的具体值。

并写出所用计算工具及操作步骤。

3、根据问题1中的关系式，假设1000=a 元，2000=b 元，0.25%=c ，求m ，n 的关系式，并用图形或表格形象描述n m ,的关系。

4、要完成本产品的最终设计，需要那些数据？并探讨获取和加工数据的有效方案。

5、假设投保人都是恰好满m 岁死亡（n m >，m 为整数）。

已知投保人恰好k 岁死亡的概率是k p （200,,2,1⋯⋯++=n n k ），且20011k k n p =+=∑。

建立数学模型，求保险公司不盈不亏的概率。

6、假设投保人都是恰好满整数岁死亡。

已知投保人恰好k 岁死亡的概率为k p （200,,2,1⋯⋯++=n n k ），且20011k k n p =+=∑。

投保人m 岁死亡（n m >，m 为整数）时，保险公司全额退还投保人所有交费（不付利息），并在按所有交费的d 倍赔付。

建立数学模型，求保险公司不盈不亏的概率。

7、保险公司通过某种方法获知，投保人大于1k -岁，小于等于k 岁得死亡概率为k p （200,,2,1⋯⋯++=n n k ），且20011k k n p =+=∑。

因为交费和领取工资是按月进行的，投保人不一定恰好满整数岁死亡，问题6中退款和赔付也要按月计算。

根据已知按岁死亡的概率，估算按月死亡的概率?并建立数学模型，求保险公司不盈不亏的概率。

8、从直觉上知道，n a ,越小，d b ,越大，投保者越多。

但也可能是公司的风险增大。

根据以上模型，探讨如何确定合适的,,,a b d n （可以引入以上没有提及的影响因素）。

2 问题假设与符号说明2.1 问题假设1 假设投保人的不会自行退订2 假设每个月的第一天缴费3 假设每个月的第一天领取固定工资 2.2 符号说明a :每月交纳的固定费用b :每月领取的固定费用c :银行的月利率 m :投保人死亡时岁数 n :投保人缴费的年数d :保险公司赔付的倍数S :总的投保人数 x :平均死亡年龄x p :保险公司不盈不亏的概率 1f :前1k -年一共死亡的概率2f :前k 年一共死亡的概率 x :第k 年的第一个月死亡的概率 r :死亡时的月数 1x :第r 月内死亡的平均月数K :死亡概率最高的年龄段 A :前n 年交的本息和 k p :（k =n +1，n +2，……，200）不同年龄对应的死亡概率 i p ':（1,2,3i n =……）前n 年投保人在i 岁的死亡概率 k l :（2,3,4,200k =……，）平均每月增长速度r p :（1,2,3,,2400r =⋯⋯）第1个月到2400个月的死亡概率3 问题分析已知投保人从一出生开始，每月交纳固定费用a 元，交满n 年（n 是正整数）停止缴费，并从下一个月开始按月领取固定额度的工资b 元，直到投保人死亡。

在此期间，假设银行月利率c 不变，并且保险公司只将投保人的交费及时存入银行，不进行其他投资。

如果投保人交费未满n 年死亡，保险公司全额退还投保人所有交费（不付利息），并按交费月数进行赔付。

本文针对题目中给出的各个问题进行如下分析： 问题1、2、3的分析首先，假设投保人在恰好满m 岁死亡时（m n >，m 为整数），保险公司不盈不亏，根据上面的已知条件，可以建立常数a ，b ，c ，m ，n 的关系式。

然后，假设a =1000元，n =20年，c =0.25%，在问题2中，当80m =岁时，根据问题1得到的关系式，运用matlab 软件求解出b 的具体值。

在问题3中，n 未知、2000b =元，把已知的a ，b ，c 代入问题1中建立的关系式，得出m 与n 的关系。

最后，通过matlab 软件绘制出投保人死亡的年龄m 与缴费总年数n 的图形，直观地描述m 、n 的关系。

问题4的分析首先，列出完成本产品的最终设计所需要的数据，再画出全国第五次人口大普查的死亡概率分布图，并根据图中得到的信息结合前面的数据，综合问题3中建立的关系式计算出n 年后的缴费年限，再来来确定每月工资发放的额度。

问题5、6的分析首先，在问题5中，假设投保人都是恰好满m 岁死亡，并且已知投保人恰好k 岁死亡的概率是k p （k =n +1，n +2，……，200），且20011k k n p =+=∑，综合上面得到的关系式可求出保险公司不盈不亏的概率1m p 。

其次，假设投保人都是恰好满整数岁死亡，此时，分为两种方案进行计算。

第一种是死亡年龄不大于规定的缴费年限，保险公司将全额退还投保人所有交费（不付利息），并再按所有交费的d 倍进行赔付。

为了使保险公司不盈不亏，其赔付的费用需等于投保人交费获取的利息，由此列出关系式，求得投保人在此年龄的平均死亡概率，即为保险公司不盈不亏的概率x p ；另一种是死亡年龄超过规定的缴费年限，在这种情况下可知，投保人已经开始领取固定工资，只有当投保人领取的工资总额，与其在m 年中的交费以及所产生的利息之和相等时，保险公司就会不盈不亏，其不盈不亏的概率就是投保人在此年龄的平均死亡概率x p '。

问题7的分析首先，已知投保人大于1k -岁，小于等于k 岁的死亡概率为k p （k =n +1，n +2，……，200），且20011k k n p =+=∑。

因为交费和领取工资是按月进行的，投保人不一定恰好满整数岁死亡，所以依然对问题6出现两种情况进行分析。

其次对于第一种，已知岁的平均死亡概率，运用水平法，根据月初和月末的死亡概率，得出每个月的平均死亡概率，由此可知每个月的平均增长速度，然后算出每个月的死亡概率，即可求出此时保险公司不盈不亏的概率。

最后，对于第二种情况，算法同第一种相同。

问题8的分析首先，从以上分析可知，a ，n 越小，b ，d 越大，投保者就越多，但也可能使公司的风险增大。

为降低风险，需确定出合适的,,,a b d n 。

，其次在问题分析1中，已经可以确定出a ，b ，c ，m ，n 之间的关系式，结合关系式，先选择其中的两个因素，把其余的看作常数进行比较，可以看出两个因素间存在怎样的关系。

最后以此类推，来确定出,,,a b d n 合适的取值。

4 模型的建立与求解4.1 模型一的建立与求解由题目中的已知信息可知，投保人恰好满m 岁死亡，在保证保险公司不盈不亏前提下，建立,,,,a b c m n 的关系式。

要得出,,,,a b c m n 之间的关系式，需先求出投保人在保险公司投了n 年一共有多少钱，即本金和利息第1个月 a第2个月 (1)a c a ++ 第3个月 2(1)(1)a c a c a ++++…… ……第12n 个月 2122(1)(1)(1)n n a c a c a c a --+++++++……由于本文采用的是这个月初算上月的本息的方法，所以到第12n 个月末第(12n+1)个月初本息为2212(1)(1)(1)(1)n n a c a c a c a c -++++++++……12(1)[(1)1]n a c c c++-在第(121)n +个月时，投保人就开始领取固定额度的工资b ，直到第12m 个月，根据保险公司不盈不亏这个条件，设12(1)[(1)1]n a c c A c++-=，可知12()112()112()(1)(1)(1)m n m n m n A c b c b c -----+-+-+-1……-b(1+c)-b=0化简得1212()(1)(1)()0m m n a c c a b b -+-+++=4.2 模型二的建立与求解把已知的1000a =、20n =、0.25%c =、80m =代人模型1中，即12*8012(8020)1000(10.25%)(10.25%)(1000)0b b -+-+++=用matlab 求解得983.7302b =4.3 模型三的建立与求解已知1000a =、2000b =、0.25%c =，由模型1可知,m n 之间的关系式为1212()1.00253(1.0025)20m m n --+=根据关系式求出 0.0299633.37log(0.333)0.667m n m e =-+用matlab 画出投保人活的岁数m 与投保人投保年数n 的关系图，如下510152025303540mn图4-1投保人活的岁数m 与投保人投保年数n 的关系m 与n 之间的关系用表格表示见附录A 。