第三讲：交流电路中的复数功率

交流电路中的复数功率一 节点与支路的功率平衡1 节点功率平衡－复数形式的基尔霍夫电流定律（KCL ）通过节点i 的电流为1I 、2I ……nI . 其正方向如图一所示（离开节点i 为正），应满足基尔霍夫电流定律：0n21＝＋＋＋I I I (1) 对应的共轭电流也必须是0ˆˆˆn 21＝＋＋＋I I I (2) (2)式两端同乘以节点i 的电压iU 得到 0ˆU ˆU ˆU n i 2i 1i ＝＋＋＋I I I 这就是节点i 的复数功率i S 的平衡方程。

0S S S n 21=+++ (3)根据复数功率的定义1S = P 1 + j Q 12S = P 2 + j Q 2……n S = P n + j Q nP i 为各支路的有功功率。

Q i 为各支路的无功功率最后得到各支路的有功功率和无功功率平衡方程为 P 1+P 2+……P n = 0Q 1+Q 2+……Q n = 0 (4)这里的有功功率无功功率方向与对应的电流方向一致，均定义成离开节点i 为正，反之为负。

如果屏幕上规定的功率方向不一致，应该在前面加一负号才能满足（4）式给出的平衡方程。

2 支路功率平衡—复数形式的欧姆定律与电功率电力系统中联络线的模型通常用π 型等值电路表示，如图2所示。

ZI j i U U -＝ Z ＝R +j X 线路的电阻与电抗，j B = 1/j X c 为线间电容对应的电纳，分别挂在线路的两侧各为j B /2。

支路功率方向的规定如图2所示。

支路功率平衡的意义是建立在能量守恒的基础上的，即输入线路的视在功率S i =P i +j Q i .应等于节点j 侧输出的视在功率S j =P j ＋j Q j 加上线路的损耗与充电无功功率： P i = P j + ΔP ij (5) Q i = Q j + ΔQ ij 其中： ΔP ij = I 2RΔQ ij = I 2X – U 2B (6)I 为通过R +j X 阻抗的电流，U 为联络线路的平均电压，X I 2为联络线路电抗的无功损耗，BU 2为线间电容的充电无功，二者差一负号，它与支路传送功率的大小无关，只与电压有关，而运行中电压变化不大，这一批无功损失近似不变。

近似由公式(5)可看出，支路有功功率的平衡关系为: R I P P j i 2+=输入支路的有功功率P i 必然大于支路末端流出去的有功功率P j , 二者差值为线路电阻损失I 2R ，而且高压线路的电阻很小，ΔP ij = I 2R 也很小，与P i 与P j , 近似相等，P i 略大于P j 。

支路的无功功率平衡关系为： Q i = Q j + I 2X – U 2B （7）因为线路充电无功B U 2的存在，使得支路无功功率的平衡关系变得复杂起来，输入支路的无功Q i 不一定大于支路末端流出去得无功功率Q j ；当线路送得功率不多，使得电抗造成得无功损失I 2X 与充电无功U 2B 抵消时，Q i 与Q j 相等，这时线路不增加新的无功损耗。

而I 2X < U 2B 时，Q i 会小于Q j ，在支路不输送功率，I = 0的情况下支路会变成一个无功补偿源，详细说明如下：Q i = Q j – U 2B 即 U 2B = Q j – Q i , 由支路ij 发出的无功功率等于从支路两侧送入系统的无功，Q i 方向为从I 到J 因此差一负号。

特殊情况下，当i 侧开关断开。

Q i =0则得到Q j = U 2B ，相当于在母线j 节点上接一个补偿电容器，它发的无功从节点j 流入系统。

二 电力系统分析中的功率－复数功率如果电路中的某节点（母线）电压为U，与节点相连的支路电流为I ，其共轭电流为I ˆ，并假定负载为感性负载，电流落后与电压的角度为φ。

如图3.1所示。

那么，该支路的复数功率为：jQ P jUI UI j UI I US +=+=+==ϕϕϕϕsin cos )sin (cos ˆ 其中：S=UI 该支路的视在功率，它是复数功率的模（幅值） P=UIcos φ 为该支路的有功功率，它是复数功率的实部 Q=UIsin φ 为该支路的无功功率，它是复数功率的虚部有功功率与无功功率的计算也可以理解为， 将电流分解成有功分量与有功分量：I p 与 I Q ，如图3a 所示，再与电压相乘得到。

QP jI I I += 或（Im Re jI I I += ） I p ＝Icos φ I Q ＝Isin φP ＝U I p ＝UIcos φQ ＝U I Q ＝UIsin φ 结果同上。

视在功率与有功功率、无功功率都是代数量（标量），不是向量，没有方向，因此也没有相角。

视在功率S 这一代数量，它是复数功率的模（幅值）；视在功率永远是正值，因为复数电流、电压的模（幅值）均为正值，他们的乘积必然是正值。

而有功功P 率与无功功率Q 却有正、有负，由cos φ与sin φ确定。

因为φ可能在00－3600之间变化， cos φ与sin φ有正、有负。

有些公司的电器产品，将有功功率的正、负当作视在功率的正、负是不严格的。

复数功率S 是复数，是向量；它与电流、电压向量类似，可以是复平面上的任意角度，不能简单地用“正、负”关系来表示。

又与电流、电压向量不同，电流、电压是时间的正弦函数，是旋转向量。

三相复数功率S 却不是时间的正弦函数，不是旋转向量，因此S 的上方不是用点（.）而是用横线（－）作标识。

复数功率是一个交流电路中有关功率的辅助计算量，它将视在功率、有功功率、无功功率与功率因数统一为一个公式表示，由复数电压与共轭复数电流相乘得到。

总之，复数功率S 是复数、是向量，但不是旋转向量，它的大、小为电压与电流有效值的乘积UI （即视在功率），相角为电压U与共轭电流I ˆ的相角差φ, 而且相角的基准永远是复平面的实轴，与电压的初相位无关, 如图3.2所示。

通常电网中节点（母线）电压变化不大，可以认为复数功率与电流成正比，但是相位与电流不一定相同。

在上例中如图3.4所示，电压的相位为零（00），视在功率恰好与电流同相位。

如果电压的相位为不是零，而是δ， 如图3c 所示，那么电流的相位将不是φ，而是(φ-δ), 但是复数功率的相位还是φ。

于是可以得出结论：复数功率S 的相位与电压的相位无关，只与电压U与共流I 的相角差φ有关。

计算复数功率时取共轭电流Iˆ，也不是以复平面的实轴（1）为基准，而是以电压向量为基准，但是复数功率S 的基准却是是复平面的实轴（1）, 如图3.3所示。

需要特别说明的是：在直流系统中由电压、电流计算功率的公式是：P=UI而在交流系统中由电压、电流计算复数功率的公式就变1ˆI U S i =成而不是1I U S i =，即复数功率为电压U与共轭电流I ˆ的乘积，而不是与复数电流I 的乘积。

这时为了使得复数功率的表达式能得到按定义得出的形式，即复数功率只与电压、电流之间的相角φ有关，而与节点电压在复平面上的初相位Iˆ无关，如图3.3所示，因为是感性负荷，电流滞后电压φ。

j δUe U= ϕδ-=j Ie I（1）如果：将复数功率定义为复数电压U与复数电流I ˆ的乘积： 1I U S i =那么，展开后)]}(δ)()(δ)(j )(δ)()(δ)(UI{)]δ(j )δ(UI[UIe IeUe I U S δj j δj δi ϕϕϕϕϕϕϕϕsin 2cos cos 2sin sin 2sin cos 2cos 2sin 2cos 21-++=-+-====--这不是一个按定义得出的功率方程式，它与节点电压在复平面上的初相位2δ有关。

只有当点压在初相位δ=00时，在潮流计算中只有一个节点，即平衡节点电压的初相位δ=00，其它节点电压的初相位均不为零。

才有jQP ]j UI[)](j )(UI[)]}()()()(j[)()()()(UI{)]}(δ)()(δ)(j )(δ)()(δ)(UI{S -=-=-=-++=-++=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕsin cos sin cos sin 0cos cos 0sin sin 0sin cos 0cos sin 2cos cos 2sin sin 2sin cos 2cos这才是按定义得出的功率方程式，但是感性负荷的无功变成负值。

（2）还有的文献上，将复数功率定义为共轭电压U与复数电流I ˆ的乘积 1ˆI U S i = 这时，功率方程式变为：jQ P UIe Ie Ue I U S j j δj δi -====---ϕϕ1ˆ 由此可见，这仍然是一个按定义得出的功率方程式，但是感性负荷的无功变成负值，这种复数功率的定义在我国已经很少采用。

（3）如果：将复数功率定义为即复数功率为复数电压U与共轭电流I ˆ的乘积 1ˆI U S i =那么，展开后jQ P UIe Ie Ue I U S j j j δi +====--ϕϕδ)(1ˆ 这就是一个按定义得出的功率方程式，它与节点电压在复平面上的初相位δ无关，正是我们需要的，它的特点是感性负荷的无功为正值，现在，复数功率的定义均采用这种形式。

3 母线功的率平衡一条母线上有多条进出线时，如图5所示，又规定了支路上有功功率与无功功率正、负方向： 流出母线的有功功率或无功功率为正，流入母线的有功功率或无功功率为负；同一条支路的有功、无功方向可以不一致。

但是，同一条母线上所有支路上的有功功率或无功功率的代数和必然为零，也就是说所有支路上复数功率S 的代数和为零，但是视在功率代数和不一定为零，因为各条支路的功率因数角不一定相同。

这是由电路基尔霍夫电流定律所决定的。

例1已知某电厂的潮流分布如图4所示，计算各支路的复数功率与电流如下： 复数功率1S =P 1+jQ 1 =－160－j70 =174.642e j203.629 2S =P 2+jQ 2 =－140－j50 =148.661 e j199.654 3S =P 3+jQ 3 =120+j80 =144.222 e j33.69 4S =P 4+jQ 4=100+j70 =122.065 e j33.9925S =P5+jQ5 =80－j3 0 =85.44 e－j20.556母线的相电压为：3220=127.021kV复数电流计算公式如下liph phii U S U S I ˆ3ˆˆˆ== 其中：iS ˆ、phi S ˆ 分别代表三相功率与单相功率 l Uˆ、ph U ˆ分别代表线电压与相线电压 由此求得各支路的复数电流如下：==US I ˆˆ11 174.642e －j203.629／3220=463.626e －j203.629 A ==U SI ˆˆ22 148.661e－j199.654／3220=390.3 e －j199.654 A ==U SI ˆˆ33144.222e －j33.69／3220=378.75e －j33.69A ==US I ˆˆ44 122.065e －j 33.992 ／3220=320.4e －j33.992 A ==USI ˆˆ5585.44e j20.556／3220=224e j20.556 A图4 各支路的复数功率与电流向量图如图4.1与图4.2所示。