到两个定点距离积为定值的轨迹 卡西尼卵形线的几何画板作法 常州

到两个定点距离积为定值的轨迹
----卡西尼卵形线的几何画板作法
常州市第二中学 季传军
1.问题的提出
一次在《圆锥曲线》的高三复习课上，小结了与到两定点距离有关的点的轨迹问题：
①动点P 到两定点12,F F 距离和．为定值2a ，即12122(2)PF PF a a F F +=>的轨迹是椭圆；
②动点P 到两定点12,F F 距离差．的绝对值为定值2a ，即12
12
||2(2)P F P F a a F F -=<的轨迹是双曲线；
③动点P 到两定点12,F F 距离商．
为定值k ，即1
2
(1)PF k k PF =≠的轨迹是圆。

课堂上很快就有学生提出：到两定点距离积．为定值的点的轨迹是什么呢？课前我对这个问题没有思考过，再加上高三复习课时间紧迫，就以“这个问题在中
学阶段不作要求”敷衍过去，哪知课后两个学生追着我问：这个轨迹到底是什么？这下我只有“被迫”去研究一下了。

2.问题学习研究过程
我先在网上查阅了相关资料，了解到到两点距离积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线，如图，可以分成几类图形，其中一个特殊情形（图3）是伯努利双纽线（微分几何一个重要研究图形），就把这些告诉学生，同样会带来很多的“为什么”，那么怎样将这些图形动态直观的展示给学生呢？我想到了几何画板。

（1） （2） （3） （4） 问题：动点P 到两定点12,F F 的距离积为定值k ，即12PF PF k ⋅=，122F F c =，试讨论点P 的轨迹。

r 2=k
r 1
=c = 1.40 2.25厘米k = 5.19r 1 = 2.30厘米
1
r k c
r 2=k r 1
=c = 2.20 2.30厘米k = 5.29r 1 = 2.30厘米
r 2=r 1
=3.48厘米r 1 = 2.78厘米作图思路：
①首先作可变线段用来控制两焦点12,F F 的距离（如图通过拖动C 来改变12,F F 的距离，下同）；
②作可变线段用K 来控制k 的值
③作可变线段1r 用，以1F 为圆心1r 为半径作圆1F ，计算
1
k
r 并记为2r ，以2F 为圆心2r 为半径作圆2F ，设圆1F ，圆2F 的交点为P ，显然1212PF PF r r k ⋅=⋅=
④选中点1,R P 构造轨迹曲线。

这样通过拖动点1R ，可直观地看到点P 在轨迹曲线上运动，而拖动K 或C 则可以看到曲线形状的改变：
做出以上动态图形，应该可以给学生以交待了，但上述图中依然有“为什么”，如上图右图中的两圆是相离的没有交点，哪里来的交点的轨迹呢？实际上两圆是“虚交”的（可简单理解为两圆方程联立方程组的解是虚数），而这对学生来说又是不可想象的，还应再作进一步的思考。

上述作图过程是在无坐标系的情况下完成，也就是作图过程没有考虑卡西尼卵形线的代数形式，直觉上此问题涉及诸多的长度问题，应该可以在极坐标下作
出其动态图形，恰如圆锥曲线在极坐标下的统一方程：1cos ep
e ρθ
=-是如此的和
谐美妙，于是：
先以12,F F 所在直线为x 轴，12F F 的中垂线为轴建立直角坐标系，设
(,)P x y ，再以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，(,)
P ρθ，则有
cos ,
sin x y ρθρθ==，进而ρ=卡西尼卵形线的直角坐标方程为：
22 ()a a k ==
此方程的对应曲线无法在几何画板中直接作出，（几何画板只能直接作出方
程形如()y f x =或()x f y =的曲线），化为极坐标方程：
()()22224x c y x c y a ⎡⎤⎡⎤++⋅-+=⎣⎦⎣⎦
即 ()()222242c o s 2c o s c c c c a ρρθρρθ++⋅+-= 所以极坐标方程为：
422442c o s 2c a c ρρθ
-=- 在极坐标系下依然无法直接作对应的曲线（几何画板在极坐标系下只能直接作出方程形如()f ρθ=或()f θρ=的曲线），研究方程发现可以用ρ来表示θ：
44422
cos 22a c c ρθρ-+=，
如果限定[0,]2
π
θ∈则：
444221arccos 22a c c ρθρ-+= [0,]
2
πθ∈ 这样就可以作出对应曲线了：
4 44
O
①作可变线段OC ，通过点C 控制c 值； ②作可变线段OA ，通过点A 控制a 值；
③作方程44
4
22
1arccos 22a c c ρθρ-+=对应的曲线，如上图。

问题依然存在，由于限定了[0,]2π
θ∈，所以只能作出在直角坐标下第一象限
2 a =的用x -换x 方程不变、用
y -换y 方程不变的特点，知道曲线既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，因此根据对称性即可作出该曲线在第二、三、四象限的图形：
通过改变,a c的值可以得到卡西尼卵形线的各种情形：
乔凡尼卡西尼一位不愿接受哥白尼理论的著名天文学家，是他发现土星的卫星，他反对开普勒定律，认为行星运行的轨道不是椭圆，而是一种卵形线-----曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数，卡西尼卵形线因此而得名。

3.几点反思
几何画板作为一款多媒体教学辅助软件，不仅是一种课件制作工具，更是一种数学实验研究的平台（叶中豪语），是教师与学生进行创新性思维活动的平台，这也是中学教师存在大量“板迷”的原因；随着教改进一步深入，学生的自主学习意识逐步加强，具有强烈质疑精神的学生开始增多，一线教师越来越发现学生中越来越多的“为什么”，而且教师很难用简单的方法加以应付，这就要求我们必须进一步的学习研究，“被迫”成长，必须进步。

希望通过自己简单的工作能够引发学生对数学学习研究的兴趣，也是本文目的所在。

参考文献：
①《椭圆——卡西尼卵形线》李仲来,宋煜《数学的实践与认识》2003年第02期
②《新型三曲线机构与卡西尼卵形线》王国玉《陕西工学院学报》1993年02期。