2011届高考数学第一轮复习 7.5数列的前n项和学案(学生用) 新人教版.doc

7.5数列的前n 项和
一、学习目标：1．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；
2．能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3．熟记一些常用的数列的和的公式． 二、自主学习：
【课前检测】1.（09年东城一模理15）已知递增的等比数列{}n a 满足28432=++a a a ,且23+a 是42,a a 的等差中项.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若12log +=n n a b ,n S 是数列{}n b 的前n 项和,求使424n S n >+成立的n 的最小值.
2.在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2
a n ·a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项的和．
3．已知在各项不为零的数列}{n a 中，),2(0,1*
111N n n a a a a a n n n n ∈≥=-+=--。

（1）求数列}{n a 的通项；
（2）若数列}{n b 满足1+=n n n a a b ，数列}{n b 的前n 项的和为n S ，求.n S
【考点梳理】
（一）前n 项和公式S n 的定义：S n =a 1+a 2+…a n 。

（二）数列求和的方法（共8种）
1.公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的 数列；4）常用公式:
（1）1
n
k k ==∑1
2
123(1)n n n ++++=+L ；（2）21
n
k k ==∑22221
6
123(1)(21)n n n n ++++=++L ； （3）3
1
n
k k ==∑3333
2
(1)2
123[
]n n n +++++=L ；（4）1
(21)n
k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++。

2.分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或
等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。

3.倒序相加法：如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的。

4.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

适用于⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧
+1n n a a c 其中{n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

如：1）11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭
和⎧⎫（其中{}n a 等差）可裂项为：111111()n n n n a a d a a ++=-⋅；2
1
d
=。

（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消 求和）
常见裂项公式：
（1）111(1)1
n n n
n ++=-
；
（2）111
1
()
()n n k k n
n k
++=-
；
（3）11
1
1(1)(1)
2(1)
(1)(2)
[
]n n n n n n n -++++=-
；
（4）
11
(1)!
!
(1)!
n n n n ++=
-
（5）常见放缩公式：212
=<
=.
5.错位相减法：适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b 叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。

如：等比数列的前n 项和就是用此法推导的.
6.累加（乘）法
7.并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.
形如a n ＝(－1)n
f(n)类型，可采用两项合并求。

8.其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和等等。

三、合作探究： 题型1 公式法
例1 （2005年春季北京17改编）数列{b n }的通项公式为b n =3n －1. （1）求数列{b n }的前n 项和S n 的公式；
（2）设P n =b 1+b 4+b 7+…+b 3n －2，Q n =b 10+b 12+b 14+…+b 2n+8，其中n=1，2，…，试比较P n 与Q n 的大小，并证明你的结论.
变式训练1 等比数列{}n a 的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ
－p ，则2232221n a a a a ++++Λ＝________.
题型2 分组求和法
例2 在数列{}
n a 中，已知a 1=2，a n+1=4a n －3n ＋1，n ∈*
N .
（1）设n a b n n -=，求数列{}
n b 的通项公式; （2）设数列{}
n a 的前n 项和为S n ，求S n 。

变式训练2 （2010年丰台期末18）数列{}n a 中，11a =，且点1(, )n n a a +()n *
∈N 在函
数()2f x x =+的图象上.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列}{n a 中，依次抽取第3，4，6，…，1
2
2n -+，…项，组成新数列{}n b ，试求数列{}n b 的通项n b 及前n 项和n S .
题型3 裂项相消法
例3 (武汉市2008届高三调研测试文科)设数列{}n a 的前n 项和
)N (n 1,-1)4n (2n (-1)S 2
n
n *
∈++=。

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)记(1)n
n n
b a -=，
求数列{}n b 前n 项和n T
变式训练 3 （2010年东城二模19改编）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，
141n n S a +=+，设12n n n b a a +=-．（Ⅰ）证明数列{}n b 是等比数列；
（Ⅱ）数列{}n c 满足21
log 3
n n c b =+*()n ∈N ，求1223341n n n T c c c c c c c c +=++++L 。

题型4 错位相减法 例4 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和.
变式训练4 (2010·昌平模拟)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32
a 3＋…＋3
n －1
a n ＝n 3
，n∈N *
.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝n
a n
，求数列{b n }的前n 项和S n .
题型5 并项求和法
例5 求100S ＝1002
－992
＋982
－972
＋…＋22
－12
题型5 累加（乘）法及其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和等等 例6 （1）求3
211
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. （2）已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项的乘积等于T n =261()4
n n - (n∈N *)，
2log n n b a =，则数列{b n }的前n 项和S n 中最大的一项是（ ）
A ．S 6
B ．S 5
C ．S 4
D ．S 3
变式训练6 （1）（2009福州八中）已知数列1,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数
则1100a a += ,
123499100a a a a a a ++++++=L 。

（2）数列}{n a 中，111-=⋅++n n n a a a ，且22010=a ，则前2010项的和等于（ ）
A ．1005
B ．2010
C ．1
D ．0
小结与拓展：
四、课堂总结：
以上一个8种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使 其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

五、检测巩固：
1．求下列数列的前n 项和n S ：
（1）5，55，555，5555，…，5(101)9
n
-，…； （2）
1111,,,,,132435(2)
n n ⨯⨯⨯+L L ； （3
）n a =
（4）2
3
,2,3,,,n
a a a na L L ；
（5）13,24,35,,(2),n n ⨯⨯⨯+L L ；（6）2222sin 1sin 2sin 3sin 89++++o o o o
L L ．
2．已知数列{}n a 的通项65()
2
()n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求其前n 项和n S ．
3．数列{}n a 前n 项和2()n
n S p p R =+∈，数列{}n b 满足2log n n b a =，若{}n a 是等比数列，
（1） 求p 的值及通项n a ；
（2）求和222123()()()n T b b b =-+…12*
(1)()()n n b n N -+-∈．
4．设数列1
1,(12),,(122
),n -++++L L L 的前n 项和为n S ，则n S 等于（ ）
()A 2n ()B 2n n - ()C 12n n +- ()D 122n n +--
六、学习反思：。