第 5 节 两个重要极限
两个重要极限
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
第五部分两个重要极限教学课件
三．初等函数的连续性
定理： 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
(g( x0 ) 0)
在点 x0处也连续.
即由连续函数经过四则运算所得到的函数仍然是连续 的（分母为零的点除外）。
例如, x2 , e x ,sin x,cos x在(, )内连续,
22
(5) lim
x2
5x
6
lim
(x
2)( x
3)
lim
( x 2)
( x 3)
x2 sin( x 2) x2 sin( x 2) x2 sin( x 2)
1(1) 1
(6)lim x sin x
2 x
sin 2 lim x x 1
sin 2 lim x
x 2
2
2
x
x
二．第二个重要极限 lim(1 1 )x e " 1 "
f
x
f
x0 ，则称f ( x)在点x0处左连续
如果 lim x x0
f
x
f
x0 ，则称f ( x)在点x0处右连续
1
x
1
例如：函数 y 1 x2 在点x 1右连续，在点 x 1 左连续．
例4: 当a取何值时,
函数
f (x)
cos x, a x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
4
2x
x 2
这里u x 4 ,v x 2x lim u x v x lim 4 2x 8
x2
x
x x 2
lim
x
第五节 两个重要极限
类型5： 幂指式的极限，先利用幂的有关运 算把式子变换成含有标准式，再用公式
求.
练习
3 x 2x 求 lim( ) . x 2 x
极限的常用计算方法
1.代入法
x 4 3x 8 lim 2 x 2 x x 3
0 2.多项式的 型，分子分母同时分解， 0 约掉同为无穷小的公因
第5节 两个重要极限
sin x 1. lim 1. x 0 x
sin x 观察函数 当 x 0时的变化趋势 . x
y sin x x
sin x 重要极限lim 1的使用要求: x 0 x
1、式中含有三角函数的分式； 2、分母与正玄函数的角变量相同； 3、角变量趋近于0. sin x 重要极限lim 1的推广(类型四) : x 0 x 公式 要求
x
1 2
例5
计算li m 1 x .
x 0 2 x
解 方法1 令 u = -x,因为 x 0 时 u 0，
( 所以 l i m 1 x l i m 1 u)
x 0 2 x u0
2 u
lim
u0
1
(1 u)
1 . 2 2 1 e u
x 0
2 5 x
答案： e
6
有时，所给函数在自变量的某个趋向 下，底的极限为1，指数的极限为无穷，
人们称这类极限为1 ”型未定式. “
1 重要极限lim 1 e的使用要求: x x
(1)幂指式的底是由1与一个接近于0的变量和 (2)底中的变量与指数间互为倒数.
sin x x 0 lim lim 1 ( 型) x 0 x 0 sin x x 0 sin 推广： lim lim 1(上下一致) 0 0 sin
第二章 5 两个重要极限和利用等价无穷小求极限
1
例2. 求 解
e ⋅1 ⋅ e ⋅1 = 1
−1
第二章
利用等价无穷小量 §2.7 利用等价无穷小量 代换求极限
lim lim 定理1 定理 设 x → x α ( x) = x → x α1 ( x) = 0, 且 α ( x) ~ α1 ( x),
0 0
则 lim α ( x) f ( x) = lim α1 ( x) f ( x)
x4
解: 因为当 x → 0 时， e − 1 ~
x4
x4 ,
x ϕ x 若当 → x0时， (x) →0, 则当 → x0时 sin ϕ ( x) ~ ϕ ( x), tan ϕ ( x) ~ ϕ ( x),
tan ϕ ( x) ~ sin ϕ ( x), arcsin ϕ ( x) ~ ϕ ( x) ϕ 2 ( x) (1 − cos ϕ ( x)) ~ ,
1 sin x 1 − cos x = lim ⋅ ⋅ 2 x →0 cos x x x
1 sin x 1 − cos x = lim ⋅ lim ⋅ lim x →0 cos x x →0 x x →0 x 2
由上面几个例题可知下面几个等价的无穷小量 由上面几个例题可知下面几个等价的无穷小量. 等价的无穷小量 趋于0时 当x 趋于 时
1 x
2 + e sin x 2 + e sin x = lim = 1 lim− 4 + 4 − x→0 1+ e x x x→0− 1+ ex x
1 x 1 x
原式 = 1
e −1 3. 求 lim x→0 1− cos( x 1− cos x )
(x →∞)
第5节夹逼准则与两个重要极限
x x 1 x x 1
lim 1
2
x12
2
lim 1
2
x x 1
x x 1
e2 1 e2
例14 求
1
解: 原式 =
lim 2n2
e n n
e2
例知 解: 原式 =
x0 x
证 因为 sin(x) sin x , 故只讨论x0+的情形.
x
x
如图, 在单位圆中,AOB = x, BD = sinx, AC=tanx,
因为
SAOB < S扇形AOB < SAOC ,
所以
1 sin x 2
1x
2
1 tan x, 2
1 x 1 , sin x cos x
（1） g(x) f(x) h(x) (2) g (x) A, h(x) A (xx0或x),
则有 f(x) A (xx0或x) 准则I和准则I称为夹逼准则。
lim
x0
sin x x
sin 0 0
0 0
?
二、两个重要极限
(1) lim sin x 1.
第五节 夹逼准则与两个重要极限
利用极限的定义及运算法则虽可以求得很多函数的 极限，但是对于一些特殊函数的极限却无能为力，如
lim tan x , lim ( 3 x )2x
x0 x
x 2 x
极限值各是多少？如何求解？
一、夹逼准则
二、两个重要极限
一、夹逼准则
准则I 如果数列{xn}, {yn}, {zn}满足 (1) yn xn zn, (n =1,2,3…)；
cos x sin x 1, x
第5节 两个重要极限
sin( x 2 − 1) 例6 lim = 1. 2 x →1 x −1
二.极限存在准则II及重要极限II 极限存在准则II及重要极限II II及重要极限 准则II 单调有界准则) 准则 (单调有界准则)
单调有界, 存在. 若数列 {a n } 单调有界,则 lim a n 存在.
n→ ∞
几何解释: 几何解释:
BD = sin x , 弧 AB = x ,
AC = tan x , 证 当 x ∈ ( 0 , π ) 时, 2 的面积＜ 圆扇形AOB的面积 ＜△AOD的面积 △AOB 的面积＜ 圆扇形 的面积 的面积 C 1 sin x < 1 tan x , < 即 2 2 B 故有 sin x < x < tan x ,
第五节 两个重要极限
一.极限存在准则I及重要极限I 极限存在准则I及重要极限I 准则I 夹逼准则) 准则 (夹逼准则)
如果函数 f ( x ) , g ( x ) , h( x ) 在同一变化过程中满足 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) , 且
lim g ( x ) = lim h( x ) = A , 那么 lim f ( x ) 的极限存在且等于 A .
当 x → 0 时, t → 0, t t = lim ln a ⋅ = ln a . 原式 = lim t →0 t → 0 log (1 + t ) ln(1 + t ) a
特殊地, 特殊地,
ex − 1 lim = 1. x→0 x
2
π
4
π
8
π
16
π
32
π
64
π
128
⋯
⋯
两个重要极限、无穷小的比较
例如
0 4.无穷小的比较是 型极限的另外一种说法； 0 （）和 lim lim 5.有两个重要的符号 0 0
x2 2 2 2 (1) lim 0， 当 x 0 时 , 3 x x 是比 3 x x 低 高阶的无穷小; 即 x o (3 x ) ( x 0). x 0 3 x sin x (2) lim 1， 当 x 0x 时， sin 与 x 是等价无穷小． 即 sin x~ (x x0). x0 x 1 2 1 cos x 1 2 ( 3) lim 1 ， 当 x 0 时， 1 cos x 与 x (3) ， 0 时， 1 cos x 是 x 是同阶无穷小． 的二阶无穷小． 即 1 cos x ~ x ( x 0). 2 x 0 1x 2 2 2 x 2 19
形状一致.
1 sin sin 2 x x 1 如： lim 1 u 2 x （令 ） lim x0 2x x 1 x 即 lim x sin 1 1 sin(sin x ) sin( x 1) lim 1 lim 1 x + x x 1 x 0 x 1 sin x 0 可以解决含有三角函数的 型的极限问题. 0 2) 作用： 0 , 0 都适用
又 x1 3 3,假定 xk 3, x k 1 3 x k
x n 存在. xn 是有界的; lim n
3 3 3,
xn1 3 xn , x
2 n1
3 x n , lim x
n
2 n1
lim( 3 x n ),
（1 ）
11
3 x 2x m n mn 补例.1.求 lim( ) . (a ) a 1 x 2 x 2x 1 2( x 2) 4 （1+ 3 ） 解: 原式 lim(1 ) x x x 原式 2 lim 2 2x 1 2( x 2 1 x lim(1 ) ) (1 )4 (1 x ) x x2 x 2 3 x *6 3 1 x 2 2 2 （1+ ） 2 lim[(1 ) ]e . x e . lim x x2 x x 2 2 *4 1 (1 ) x 1 x 2.求 lim x 1
两个重要极限
s x in lim =, 1 x 0 x →
lim o x= . cs 1
x 0 →
13
例2.21 求下列极限:
( )liminx 1 s ;
x 0 →
(2 )lim nx ta
x 0 →
a c nx r ta (4 )lim x 0 → x π 解 (1) 0 s x<x <x< < in ,0 2 s 于是 lim inx=0 +
：
链 接
in x x in x x 解 (1)x→0时, s a ~a ,s b ~b s a in x a a x ∴ lim =lim = x 0s b → in x x 0b → x b
(2)x→0时, ta x~3 n3 x
ta x n3 3 x ∴ lim =lim =3 x 0 → x 0 x → x
22
] ] 1 当x≥ 时 有[x ≤x≤[x + , 1 ,
1 [x] 1 1[ 1 (+ 1 ) ≤( + )x ≤( + ) x]+ , 1 1 [x + ] 1 x [x ]
1 [x]+ 1 [x] 1 1 而 lim1 ( + ) = lim1 ( + ) ⋅ lim1 (+ ) x + →∞ x + →∞ + [x ] [x ] x→∞ [x ]
7
例2.20 设 u = au = a+u− (n≥2 ,其中a>0,求 , n ) 1 n1
lim n. u
n ∞ →
解 首先 u = a+u > a=u;设 u >u− ,则 n n1 2 1 1
1-5 极限存在准则 两个重要极限
π
（3）求极限
sin x Q cos x < < 1, x
又 lim cos x = 1,
x→0
(0 <| x |<
π
2
)
lim 1 = 1,
x →0
由夹逼法则
sin x lim = 1. x →0 x
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例5
tan x sin x 1 (1) lim = lim ⋅ =1 x →0 x →0 x x cos x
x = 弧 AB ,
tan x = AC ,
1 1 1 ∴ sin x < x < tan x , 2 2 2
∴ sin x < x < tan x ,
(0 < x <
π
2
)
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sin x < x < tan x ,
(0 < x < (0 < x <
π π
2 2
) )
n
证 Q x1 = 3 < 3, 假定 xk < 3, x k + 1 = 3 + x k < 3 + 3 < 3,
∴
{xn } 有上界 ;
假定 xk > xk −1 ,
又 Q x2 = 3 + 3 > 3 = x1 ,
x k + 1 = 3 + x k > 3 + x k −1 = x k
∴ {xn } 是单调递增的 ; ∴ lim xn 存在 . n→ ∞
显然 xn+1 > xn ,
ch1-5两个重要极限
重要极限1： 重要极限 ：lim
sin x =1 x→0 x
sin x , 对一切 x ≠ 0 都有定义，并 都有定义， 证 首先注意到函数 x 且函数为偶函数， 时极限成立即可. 且函数为偶函数，故仅需证明对x > 0时极限成立即可
如图所示，在单位圆中， 如图所示，在单位圆中，记圆心角
π ∠AOB = x 0 < x < , 2
x→x0 x→x0
⑵ lim g(x) = lim h(x) = A lim g(x) = limh(x) = A , 则： f (x) = A lim f (x) = A . lim
x→x0 x→∞
(
(
x→∞
)
x→∞
)
该准则的数列形式为 准则 如果数列 ( xn ) ,( yn ) ,( zn ) 满足下列条件： 满足下列条件： n=1 n=1 n=1
进一步有
x −t t
x
k lim1+ = ek . x→∞ x
x
1 例7 求 lim1+ . x→∞ x
解
x+1
1 lim1+ x→∞ x
进一步有: 进一步有
x+1
1 = lim1+ x→∞ x
x
1 ⋅ 1+ . = e ⋅1 = e. x
xn < xn+1,
由此说明数列 是单调增加上升的. xn 是单调增加上升的 又因
1 1 1 1 1 1 xn < 1+1+ + +L+ < 1+1+ + 2 +L+ n−1 2! 3! n! 2 2 2
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两个重要极限、无穷小的比较两个重要极限极限存在的两个准则：准则1 如果数列{}{}n n y x 、及{}n z 满足下列条件： （1）()...321，，=≤≤n z x y nn n ，（2），，a z a y n n n n ==∞→∞→lim lim 那么数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 。
例 1 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 22212111lim 解：11112222+<++++<+n n nn n nn n而11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n . 所以原式极限为1.例2.设2221212n n a n n n n n n n =+++++++++ ，证明lim n n a →∞存在，并求lim n n a →∞证明：22222121212121n n n n n nn n n n n n n n n ++++++≤+++≤++++++++++而由于(1)122n n n ++++=，所以2212121limlim12n n n n n n nn n →∞→∞++++++==++++例3.()1lim ,(,,nnnnn a b ca b c →∞++非负）解：不妨设()max ,,a b c a =，则()()()111nnnnnnnn nnaa b ca a a≤++≤++()()111lim lim 3lim nnnnnnnn n n aa a a a a→∞→∞→∞===++，所以()1lim nnnnn a b ca →∞++=第一个重要极限：1sin lim=→xx x （()()1sin lim)(=→x x x μμμ）例如，32323sin3lim 23sin2lim =⋅=∞→∞→n nn nnn .例（1）0tan limx x x→；（2）tan lim x arc xx→；（3）xx x 3sin 2tan lim 0→；（4）ππ-→x x x sin lim ； （5）xx x sin arctan lim 0→；（6）2cos 1limxxx -→.准则2 单调有界数列必有极限. 例1.11112,(),1,2,2n n na a a n a +==+=证明：lim n n a →∞存在，并求此极限值.证明：显然0n a >，所以()111()1,1,2,2n n na a n a +=+≥= ，所以{}n a 有界.()111()0,1,2,2n n n na a a n a +-=-≤= ，所以1n n a a +≤，所以{}n a 单调减少有下界.所以lim n n a →∞存在.设lim n n a a →∞=，则11()2a a a=+，所以1a =例2.设2101,2n n n n x x x x +<<=-,证明: 数列{}n x 极限存在，并求极限证明:121n n nx x x +=->,所以{}n x 单调递增,又222121121(1)1n n n n n n x x x x x x +=-=-+-=--≤,所以{}n x 单调递增有上界.所以{}n x 极限存在,设lim n n x a →∞=,则22,a a a =-所以, 1a =或0a =(舍去).第二个重要极限：e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim ； ()e x xx =+→11lim ；e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim推广：()()e x x x =+→)(1)(1limμμμ注：该重要极限解决的对象是∞1型未定式. 例()()[]2211112111lim 2lim e x x x x x x =⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=++-→+-→例：（1）()xx x +→1ln lim；（2）()ln 1ln lim x x x x →+∞+-⎡⎤⎣⎦；（3）01lim x x e x →-；（4）321lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x ；（5）()xx x 2cotcos lim →； （6）()xxx ex 20lim +→；（7）1111lim lim 1(1)(1)nnn n n k e n n n -→∞→∞=⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∑无穷小的比较当在给定的趋势下，变量α、β都是无穷小量，那么，它们谁趋近于零的速度更快呢，我们给出如下定义：如果0lim =αβ，就说β是比α高阶的无穷小，记作()αβ0=； 如果∞=αβlim ，就说β是比α低阶的无穷小； 如果0lim ≠=c αβ，就说β是和α同阶无穷小；如果00lim >≠=k c k，αβ，就说β是关于α的k 阶无穷小； 如果1lim=αβ，就说β与α是等价无穷小，记作βα~.注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。
常用的等价无穷小：0x ®时，sin x x :；tan x x :；21cos ;2xx -:arcsin x x :；arctan x x :；1xe x -:；1ln x a x a -:；ln(1)x x +:； (1)1x x aa +-:.例1.121cos 0lim (1sin )x x x -→+解：如果利用等价无穷小：2211sin 221cos sin 1cos 0lim (1sin )lim (1sin )xx xxx x x x --→→+=+222002sin limlim11cos 22sin 20lim (1sin )x x xxxxx x x e e →→-→⎡⎤=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦例2.0limx x→解：2211limlimlimx x x xxx→→→-=-=-()()22211cos 12lim lim 2x x nx nx n nnxx→→-=-=-=例．1.22lim sin1x x x x+；2.011lim 1x x x e x -®骣+÷ç-÷ç÷ç桫-；3. 0lim (1cos )x x x →-4.()limx af x b A x a→-=-,求()limf x bx aeex a→--.5.1121lim x x x x a a +→+∞⎛⎫⎪- ⎪⎝⎭；6. 2()ln(1)()sin lim ,(1,1)lim 1x x a x a f x f x x A a a a x→→+=>≠-求7.0lim(0),xkx e c c x→-=≠求,c k或tan 0lim(0),xkx ec c x→-=≠求,c k解：()(1limlim limlim,x kkkkx x x x x ex x x c xxxx→→→→→----====所以1,12k c ==若5)(cos sin lim=--→b x ae x xx ，求,a b。