解析几何新题型的解题技巧总结
第七讲 解析几何新题型的解题技巧
【命题趋向】解析几何例命题趋势：
1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考
2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现
3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题
分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考点透视】
一．直线和圆的方程
1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
3．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． 二．圆锥曲线方程
1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质． 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用． 【例题解析】 考点1.求参数的值
求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.
例1．（2006年安徽卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4
考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.
解答过程：椭圆22
162
x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D.
考点2. 求线段的长
求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．（2007年四川卷文)已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于
A.3
B.4
C.32
D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.
解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123
301y x x x b x x y x b
?=-+?++-=?+=-?
=+?，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11
(,)22
M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，
∴2
20x x +-=，由弦长公式可求出2
211
14(2)32AB =+-?-=
故选C
例3．（2006年四川卷）如图，把椭圆2
2
12516
x y +=的长轴
AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部
分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆2
2
12516
x y +=的方程知225, 5.a a =∴=
∴1
2345677277535.2
a PF P F P F P F P F P F P F a ?++++++==?=?= 故填35.
考点3. 曲线的离心率
曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e ＝a
c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);
(2) 双曲线的离心率e ＝a
c ∈(1, ＋∞) (e 越大则双曲线开口越大).
结合有关知识来解题. 例4．（2007年全国卷）文（4）理（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(4,0)-，(4,0)，则双曲线方程为
A ．221412x y -=
B ．221124x y -=
C ．221106x y -=
D ．22
1610
x y -=
考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程： 2,4,c e c a
===Q 所以22,12.a b ∴==故选(A).
小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.
例5．（2006年广东卷）已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） A.
2 B.3
32 C. 2 D.4
考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e ＝a c ∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.
解答过程：依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ．
考点4.求最大(小)值
求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.
例6．(2006年山东卷)已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 .
考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P (4,0)的直线为()()224,8164,y k x k x x x =-∴-+=
()()12222222
2
122
284160,
8414416232.k x k x k k y y x x k k ∴-++=+?
?∴+=+=?=+≥ ??
?
故填32.
考点5 圆锥曲线的基本概念和性质
圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例7．（2007年广东卷文）
在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为2
2的圆C 与直线y =x 相切于坐标原点O .椭圆9
22
2
y a
x +
=1与圆C
的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. （1）求圆C 的方程；
（2）试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长.若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
[解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n)
则,222,
m n n =-???
?=?? 解得2,2.
m n =-??
=? 所求的圆的方程为 22(2)(2)8x y ++-= (2) 由已知可得 210a = ， 5a =．
椭圆的方程为 22
1259
x y += , 右焦点为 F( 4, 0) ;
假设存在Q 点()
222cos ,222sin θθ-++使QF OF =,
(
)(
)
22
222cos 4222sin 4θθ
-+-++=．
整理得 sin 3cos 22θθ=+， 代入 22sin cos 1θθ+=．
得:210cos 122cos 70θθ++= , 122812222cos 1θ-±-±==<-．
因此不存在符合题意的Q 点. 例8．（2007年安徽卷理）
如图,曲线G 的方程为)0(22≥=y x y .以原点为圆心，以)0(>t t
为半径的圆分别与曲线G 和y 轴的 正半轴相交于 A 与点B . 直线 AB 与 x 轴相交于点C .
（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c 的关系式；
（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2+a ,求证：直线CD 的斜率为定值.
[考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. [解答过程]（I ）由题意知，).2,(a a A 因为.2,||22t a a t OA =+=所以 由于.2,02a a t t +=>故有 （1）
由点B （0，t ），C （c ，0）的坐标知，直线BC 的方程为.1=+t
y c
x
又因点A 在直线BC 上，故有,12=+t
a c
a
将（1）代入上式，得,1)
2(2=++
a a a c
a 解得 )2(22+++=a a c .
（II ）因为))2(22(++a a D ，所以直线CD 的斜率为
1)
2(2)
2(2))2(22(2)2(22)2(2-=+-+=+++-++=-++=
a a a a a a c a a k CD ，
所以直线CD 的斜率为定值.
例9．已知椭圆22
22x y E :1(a b 0)a b +=>>，AB 是它的一条弦，M(2,1)是弦AB 的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E
的右准线为相应准线的双曲线C 和直线AB 交于点N(4,1)-，若椭圆离心率e 和双曲线离心率1e 之间满足1ee 1=，求：
（1）椭圆E 的离心率；（2）双曲线C 的方程.
解答过程：（1）设A 、B 坐标分别为1122A(x ,y ),B(x ,y )， 则2
2
1122
x y 1a b +=，22
2222x y 1a b
+=，二式相减得：
2
1212AB
2
1212y y (x x )b k
x x (y y )a
-+==-=-+2MN 22b 1(1)k 1a 24---===--， 所以2222a 2b 2(a c )==-，22a 2c =， 则c 2e a
==；
（2）椭圆E 的右准线为22a (2c)x 2c c ===，双曲线的离心率11
e 2e
==
，
设P(x,y)是双曲线上任一点，则：
22
(x 2)(y 1)|PM |2|x 2c |-+-==-，
两端平方且将N(4,1)-代入得：c 1=或c 3=，
当c 1=时，双曲线方程为：22(x 2)(y 1)0---=，不合题意，舍去； 当c 3=时，双曲线方程为：22(x 10)(y 1)32---=，即为所求.
小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；
（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题
利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：
例10．(2006年山东卷）双曲线C 与椭圆22
184
x y +=有相同的焦点，直线y =x 3为C 的一条渐近线.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过点P (0,4)的直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==u u u r
u u u r
u u u r
，且3
8
21-=+λλ时，求Q 点的坐标.
考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.
解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22
22
1x y a b
-=,
由椭圆22
184
x y +=,求得两焦点为(2,0),(2,0)-，
∴对于双曲线:2C c =，又3y x =为双曲线C 的一条渐近线
∴3b a
= 解得 221,3a b ==，
∴双曲线C 的方程为2
213
y x -=
（Ⅱ）解法一：
由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零.
设l 的方程：114,(,)y kx A x y =+，22(,)B x y ,则4(,0)Q k
-.
1PQ QA λ=u u u r u u u r
Q ,11144(,4)(,)x y k
k
λ∴--=+.
1111
111
14444()44x k k x k k y y λλλλ?=--??-=+??∴?????-==-???
Q 11(,)A x y 在双曲线C 上， ∴212
11
11616()10k
λλλ+--=.
∴222211161632160.3
k k λλλ++--=∴2221116(16)32160.3
k k λλ-++-=
同理有：2222216(16)32160.3
k k λλ-++-=
若2160,k -=则直线l 过顶点，不合题意.2160,k ∴-≠
12,λλ∴是二次方程22216(16)32160.3k x x k -++-=的两根.
122
328
163k λλ∴+=
=--,24k ∴=，此时0,2k ?>∴=±. ∴所求Q 的坐标为(2,0)±.
解法二：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程，11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k
-.
1PQ QA
λ=u u u r u u u r Q ， Q ∴分PA u u u r 的比为1λ. 由定比分点坐标公式得
111111
1111144(1)14401x x k k y y λλλλλλλ??-==-+??+??→?
?+??=-
=??+??
下同解法一
解法三：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零 设l 的方程：11224,(,),(,)y kx A x y B x y =+，则4(,0)Q k
-.
12PQ QA QB λλ==u u u r u u u r u u u r
Q ， 111222444(,4)(,)(,)x y x y k
k
k
λλ∴--=+=+.
11224y y λλ∴-==， 114y λ∴=-，22
4y λ=-，
又1283
λλ+=-， 12
1123
y y ∴+=,即12123()2y y y y +=.
将4y kx =+代入2
213
y x -=得222(3)244830k y y k --+-=.
230k -≠Q ，否则l 与渐近线平行.
2121222
24483,33k y y y y k k -∴+==
--.
222
244833233k k k -∴?=?
--.2k ∴=± (2,0)Q ∴±.
解法四：由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：4y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ,则4(,0)Q k
-
1PQ QA λ=u u u v u u u v
Q ,11144(,4)(,)x y k
k
λ∴--=+.
∴
1114
444k kx x k λ-
==-++
.同理 1244kx λ=-+.
1212448
443
kx kx λλ+=--=-++.
即 2121225()80k x x k x x +++=. （*）
又 2
24
13y kx y x =+???-=??
消去y 得22(3)8190k x kx ---=.
当230k -=时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，230k -≠.
由韦达定理有： 12212283193k x x k x x k ?
+=??-?
?=-?-?
代入（*）式得 24,2k k ==±.
∴所求Q 点的坐标为(2,0)±.
例11．（2007年江西卷理）
设动点P 到点A (－l ，0)和B (1，0)的距离分别为d 1和d 2， ∠APB ＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d 1d 2 sin 2θ＝λ． （1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；
（2）过点B 作直线交双曲线C 的右支于M 、N 两点,试确定λ的范围,
使OM ·ON ＝0,其中点O 为坐标原点．
[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合 运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
[解答过程]解法1：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-， 2212124()4sin d d d d θ=-+，即2121244sin 212d d d d θλ-=-=-<（常数）， 点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长221a λ=-的双曲线．
方程为：22
11x y λλ
-=-．
（2）设11()M x y ，，22()N x y ，
①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上． 即211151101λλλλ
λ-±-=?+-=?=-，因为01λ<<，所以51λ-=．
②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．
由22
11(1)x y y k x λλ?-=?
-?
?=-?
得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ??--+---+=??，
C B
A o
y
x
由题意知：2(1)0k λλ??--≠??，所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2
122
(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--．
于是：22
212122
(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=
--．
因为0=?ON OM ，且M N ，在双曲线右支上，所以
2121222
122212(1)0(1)21011310
01x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-?+=?-?=?>???+-+>???<+--???
???>+->>???-?
．
23
λ<．
解法2：（1）同解法1
（2）设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，． ①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=?+-=-， 因为01λ<<
，所以λ=
②当12x x ≠
时，002
2222
12111
11
1y x k y x y x MN ?-=????????=--=--λλλ
λλ
λ． 又001
MN BE y k k x ==-．所以22
000(1)y x x λλλ-=-；
由2MON π=∠得2
22002MN x y ??+= ???，由第二定义得2
212()222MN e x x a ??+-??= ????
???
2
20001(1)21x x λλ
==+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-．
于是由22
000222000(1),(1)2(1)(1),y x x y x x λλλλλλλ?-=-??-=--+-??
得20(1).23x λλ-=- 因为01x >，所以2
(1)123λλ
->-，又01λ<<，
23
λ<<
23
λ<．
考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题
利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.
例12．设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x
C(1,0)-的直线交椭圆E 于A 、B 两点，且CA 2BC =u u u r u u u r
，求当AOB ?的面积达到最大值时直线和椭圆E 的方程.
解答过程：
故可设椭圆方程为222x 3y t(t 0)+=>，直线方程为my x 1=+，
由
2
2
2x 3y t my x 1
?+=?
=+?得：
22(2m 3)y 4my 2t 0+-+-=，设
1122A(x ,y ),B(x ,y )，
则1224m y y 2m 3
+=
+…………① 又CA 2BC =u u u r u u u r
，故1122(x 1,y )2(1x ,y )+=---，即12y 2y =-…………②
由①②得：12
8m y 2m 3
=
+，224m y 2m 3-=+， 则AOB 122
1m
S |y y |6|
|2
2m 3
?=-=+
＝632|m ||m |
≤
+
当23m 2
=
，即m =AOB ?面积取最大值，
此时2122
222t 32m y y 2m 3(2m 3)-==-
++，即t 10=，
所以，直线方程为x 10+=，椭圆方程为222x 3y 10+=.
小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.
例13
．已知PA (x y)=u u u r
，PB (x y)=u u u r ，且|PA ||PB |6+=u u u r u u u r
， 求|2x 3y 12|--的最大值和最小值. 解答过程：设P(x,y)
，A(
，，
因为|PA ||PB |6+=u u u r u u u r
，且|AB |6=<，
所以，动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长为6的椭圆， 椭圆方程为2
2
x y 19
4
+=，令x 3cos ,y 2sin =θ=θ，
则|2x 3y 12|--
＝|)12|4
πθ+-，
当cos()14
πθ+=-时，|2x 3y 12|--
取最大值12+
当cos()14
πθ+=时，|2x 3y 12|--
取最小值12- 小结：利用椭圆的参数方程，可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题
解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题. 例14．（2006年福建卷） 已知椭圆2
212
x y +=的左焦点为F ，
O 为坐标原点.
（I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程； （II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I ）222,1,1,(1,0),: 2.a b c F l x ==∴=-=-Q
Q 圆过点O 、F ，
∴圆心M 在直线12
x =-上.
设1(,),2
M t -则圆半径13()(2).22
r =---=
由
,OM r =3,
2
解得t
=
∴所求圆的方程为2219()(.2
4
x y ++=
（II ）设直线AB 的方程为(1)(0),y k x k =+≠ 代入2
21,2
x y +=整理得2222(12)4220.k x k x k +++-=
Q 直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根.
记1122(,),(,),A x y B x y AB 中点00(,),N x y
则2
122
4,21
k x x k +=-+
AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001().y y x x k
-=--
令0,y =得
222002222211
.
2121212421
0,0,
2
G G k k k x x ky k k k k k x =+=-+=-=-+++++≠∴-< - 例15．已知双曲线C ：2222x y 1(a 0,b 0)a b -=>>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足|OA |,|OB |,|OF | u u u r u u u r u u u r 成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ， （1）求证：PA OP PA FP ?=?u u u r u u u r u u u r u u r ； （2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 解答过程：（1）因|OA |,|OB |,|OF |u u u r u u u r u u u r 成等比数列，故22|OB |a |OA |c |OF |== u u u r u u u r u u u r ，即2 a A(,0)c ， 直线l ：a y (x c)b =--， 由2a y (x c) a a b b P(,)b c c y x a ?=--???? ?=?? ， 故：22ab a ab b ab PA (0,),OP (,),FP (,)c c c c c =-==-u u u r u u u r u u r 则：222a b PA OP PA FP c ?=-=?u u u r u u u r u u u r u u r ，即PA OP PA FP ?=?u u u r u u u r u u u r u u r ； （或PA (OP FP)PA (PF PO)PA OF 0?-=?-=?=u u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r ，即PA OP PA FP ?=?u u u r u u u r u u u r u u r ） （2）由44422 222222222222 a y (x c)a a a c ( b )x 2cx (a b )0b b b b b x a y a b ?=--??-+-+=??-=? ， 由42 222124 22 a c (a b )b x x 0a b b -+=<- 得：4422222b a b c a a e 2e >?=->?>?> （或由DF DO k k >?a b b a ->- ?22222 b c a a e 2e =->?>?> 小结：向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重，而要运用数量积，必须先恰当地求出各个点的坐标. 例16．已知a (x,0)=r ，b (1,y)=r ，(a (a +⊥-r r ， （1）求点P(x,y)的轨迹C 的方程； （2）若直线y kx m(m 0)=+≠与曲线C 交于A 、B 两点，D(0,1)-，且|AD ||BD |=， 试求m 的取值范围. 解答过程：（1 ）a r ＝(x,0)y)(x +=+， a -r ＝(x,0)y)(x =， 因(a (a +⊥-r r ，故(a (a 0?-=r r ， 即22 (x (x x 3y 30?-=--=， 故P 点的轨迹方程为2 2x y 13 -=. （2）由22 y kx m x 3y 3 =+?? -=?得：222 (13k )x 6kmx 3m 30----=， 设1122A(x ,y ),B(x ,y )，A 、B 的中点为00M(x ,y ) 则2 2 2 2 2 (6km)4(13k )(3m 3)12(m 13k )0?=----=+->， 1226km x x 13k += -，1202x x 3km x 213k +==-，002 m y kx m 13k =+=-， 即A 、B 的中点为22 3km m (,)13k 13k --， 则线段AB 的垂直平分线为：22m 13km y ()(x )13k k 13k -=----， 将D(0,1)-的坐标代入，化简得：2 4m 3k 1=-， 则由222 m 13k 04m 3k 1 ?+->??=-??得：2 m 4m 0->，解之得m 0<或m 4>， 又2 4m 3k 11=->-，所以1m 4 >- ， 故m 的取值范围是1(,0)(4,)4 -+∞U . 小结：求变量的范围，要注意式子的隐含条件，否则会产生增根现象. 考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理， P Q C B A x y O 若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立. 例17．已知A,B,C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心O ，且AC BC 0?=u u u r u u u r ， |BC |2|AC |=u u u r u u u r ， （1）求椭圆的方程； （2）如果椭圆上的两点P ,Q 使PCQ ∠的平分线垂直于OA ，是否总存在实数λ，使得PQ λAB =u u u r u u u r ？请说明理由； 解答过程：（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)， 设椭圆方程为22 2 x y 14b +=，不妨设C 在x 轴上方， 由椭圆的对称性，|BC |2|AC |2|OC ||AC ||OC |==?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又AC BC 0?=u u u r u u u r AC OC ?⊥，即ΔOCA 为等腰直角三角形， 由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得：24b 3 = ， 即，椭圆方程为22 x 3y 144 +=； （2）假设总存在实数λ，使得PQ λAB =u u u r u u u r ，即AB//PQ ， 由C(1,1)得B(1,1)--，则AB 0(1)1 k 2(1)3 --= =--， 若设CP ：y k(x 1)1=-+，则CQ ：y k(x 1)1=--+， 由22 222x 3y 1(13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 1044 y k(x 1)1?+ =??+--+--=??=-+? ， 由C(1,1)得x 1=是方程2 2 2 (13k )x 6k(k 1)x 3k 6k 10+--+--=的一个根， 由韦达定理得：2P P 23k 6k 1x x 113k --=?=+，以k -代k 得2Q 2 3k 6k 1 x 13k +-=+， 故P Q P Q PQ P Q P Q y y k(x x )2k 1 k x x x x 3 -+-= = = --，故AB//PQ ， 即总存在实数λ，使得PQ λAB =u u u r u u u r . 评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题 直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中变量的范围. 例18．设G 、M 分别是ABC ?的重心和外心，A(0,a)-，B(0,a)(a 0)>，且GM AB =λu u u u r u u u r ， （1）求点C 的轨迹方程； （2）是否存在直线m ，使m 过点(a,0)并且与点C 的轨迹交于P 、Q 两点，且OP OQ 0?=u u u r u u u r ？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解答过程：（1）设C(x,y)，则x y G(,)33 ， 因为GM AB =λu u u u r u u u r ，所以GM//AB ，则x M(,0)3 ， 由M 为ABC ?的外心，则|MA ||MC |= = 整理得：22 22x y 1(x 0)3a a +=≠； （2）假设直线m 存在，设方程为y k(x a)=-， 由22 22y k(x a)x y 1(x 0) 3a a =-???+=≠??得：22222 (13k )x 6k ax 3a (k 1)0+++-=， 设1122P(x ,y ),Q(x ,y )，则2122 6k a x x 13k +=+，221223a (k 1)x x 13k -=+， 2 2 2 12121212y y k (x a)(x a)k [x x a(x x )a ]=--=-++＝22 2 2k a 13k -+， 由OP OQ 0?=u u u r u u u r 得：1212x x y y 0+=， 即2222 22 3a (k 1)2k a 013k 13k --+=++ ，解之得k = 又点(a,0)在椭圆的内部，直线m 过点(a,0)， 故存在直线m ，其方程为y a)=-. 小结：（1）解答存在性的探索问题，一般思路是先假设命题存在，再推出合理或不合理的结果，然后做出正确的判断； （2）直线和圆锥曲线的关系问题，一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组成的方程组的求解问题. 【专题训练与高考预测】 一、选择题 1 ．如果双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是1y x 3 =±，那么双曲线方程是（） A ．22 x y 1369 -= B ．22x y 1819-= C ．22x y 19-= D ．22x y 1183-= 2．已知椭圆2222x y 13m 5n +=和双曲线22 22x y 12m 3n -=有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（ ） A.x = B. y = C. x = D. y = 3．已知12F ,F 为椭圆2222x y 1(a b 0)a b +=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴， 且12FMF 60∠=?，则椭圆的离心率为（ ） A.12 B.2 4．二次曲线22x y 14m +=，当m [2,1]∈ --时，该曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5．直线m 的方程为y kx 1=-，双曲线C 的方程为22x y 1-=，若直线m 与双曲线C 的右支相交于不重合的两点，则实 数k 的取值范围是（ ） A.( B. C.[ D. 6．已知圆的方程为22x y 4+=，若抛物线过点A(1,0)-，B(1,0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（ ） A. 22 x y 1(y 0)34+=≠ B. 22x y 1(y 0)43 +=≠ C. 22x y 1(x 0)34-=≠ D. 22x y 1(x 0)43 -=≠ 二、填空题 7．已知P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆)0(12 2 22>>=+b a b y a x 上一点，若021=?PF PF 2 1tan 21=∠F PF ，则椭圆的离心率为 ______________ . 8．已知椭圆x 2+2y 2=12，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3 134，点A 的 坐标是______________ . 9．P 是椭圆22 x y 143 +=上的点，12F ,F 是椭圆的左右焦点，设12|PF ||PF |k ?=，则k 的最大值与最小值之差是______________ . 10．给出下列命题： ①圆22(x 2)(y 1)1++-=关于点M(1,2)-对称的圆的方程是22(x 3)(y 3)1++-=； ②双曲线22x y 1169-=右支上一点P 到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为292 ； ③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点(4,3)--的抛物线方程只能是29y x 4 =-； ④P 、Q 是椭圆22x 4y 16+=上的两个动点，O 为原点，直线OP ,OQ 的斜率之积为14-，则22|OP | |OQ |+等于定值20 . 把你认为正确的命题的序号填在横线上_________________ . 三、解答题 11．已知两点，B(0)，动点P 在y 轴上的射影为Q ，2PA PB 2PQ ?=u u u u r u u u r u u u r ， （1）求动点P 的轨迹E 的方程； （2）设直线m 过点A ，斜率为 k ，当0k 1< =是双曲线C 的右准线， 12A ,A 是 F Q o y x 双曲线C 的两个顶点，点P 是双曲线C 右支上异于2A 的一动点，直线1A P 、2A P 交双曲线C 的右准线分别于M,N 两点， （1）求双曲线C 的方程； （2）求证：12FM F N ?u u u u r u u u u r 是定值. 13．已知OFQ ?的面积为S ，且OF FQ 1?=u u u r u u u r ，建立如图所示坐标系， （1）若1S 2 =，|OF |2=u u u r ，求直线FQ 的方程； 当|OQ |u u u r 取得最小值时 （2）设|OF |c(c 2)=≥u u u r ，3S c 4 =，若以O 为中心，F 为焦点的椭圆过点Q ，求 的椭圆方程. 14．已知点H(3,0)-，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足HP PM 0?=u u u r u u u r ，3PM MQ 2 =-u u u r u u u u r ， （1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C ； ABE ?为等边三 （2）过点T(1,0)-作直线m 与轨迹C 交于A 、B 两点，若在x 角形，求0x 的值. 15．已知椭圆)0(12 2 22>>=+b a b y a x 的长、短轴端点分别为A 、B x 轴作垂线，恰好 通过椭圆的左焦点1F ，向量与OM 是共线向量． （1）求椭圆的离心率e ； （2）设Q 是椭圆上任意一点， 1F 、2F 分别是左、右焦点，求∠21QF F 的取值范围； 16．已知两点M （-1，0），N （1，0）且点P 使???,,成公差小于零的等差数列， （Ⅰ）点P 的轨迹是什么曲线？ （Ⅱ）若点P 坐标为),(00y x ，θ为PM 与的夹角，求tan θ． 【参考答案】 一. 1．C .提示，设双曲线方程为11(x y)(x y)3 3 +-=λ ，将点代入求出λ即可. 2．D .因为双曲线的焦点在x 轴上， 故椭圆焦点为， 双曲线焦点为，由2222 3m 5n 2m 3n -=+ 得|m |n |= ，所以，双曲线的渐近线为y == . 3．C .设1|MF |d =，则2|MF |2d = ，12|FF |=， 1212|FF |c 2c e a 2a |MF ||MF |= ===+. 4.C . 1>，故选C ；或用2a 4=，2b m =-来计算. 5．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组. 6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义. 二.7．解：设c 为为椭圆半焦距，∵021=?PF ，∴21PF PF ⊥ . 又21tan 21=∠F PF ∴??? ? ????? ==+=+212)2(122122221PF PF a PF PF c PF PF 解得：2 5()9 3,c c e a a = == ． 选D ． 8． 解：设A （x 0，0）（x 0＞0），则直线l 的方程为y=x-x 0，设直线l 与椭圆相交于P （x 1，y 1），Q （x 2、y 2），由 y=x-x 0 可得3x 2-4x 0x+2x 02 -12=0， x 2+2y 2=12 3 4021x x x =+，31222 021-= ?x x x ，则 2 02 020212 21212363 234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-． ∴||13 144212x x x -?+=，即202363223144x -??=． ∴x 02=4，又x 0＞0，∴x 0=2，∴A （2，0）． 9．1；222 12k |PF ||PF |(a ex)(a ex)a e x =?=+-=- . 10．②④. 三. 11．解（1）设动点P 的坐标为(x,y)，则点Q(0,y)，PQ (x,0)=-u u u r ，PA x,y)=-u u u r ， PB (x,y)=-u u u r ，22PA PB x 2y ?=-+u u u r u u u r ， 因为2PA PB 2PQ ?=u u u u r u u u r u u u r ，所以222 x 2y 2x -+=， 即动点P 的轨迹方程为：2 2 y x 2-=； （2）设直线m ：y k(x k 1)=<<， 依题意，点C 在与直线m 平行，且与m 设此直线为1m :y kx b =+2 b 2+=，……① 把y kx b =+代入22y x 2-=，整理得：222 (k 1)x 2kbx (b 2)0-++-=， 则2222 4k b 4(k 1)(b 2)0?=---=，即22 b 2k 2+=，…………② 由①②得：k =b = 此时，由方程组 22 y y x2 ? = ? ? ?-= ? . 12．解：（1）依题意得：c3 =， 2 a4 c3 =，所以a2 =，2b5 =， 所求双曲线C的方程为 22 x y 1 45 -=； （2）设 00 P(x,y)， 11 M(x,y)， 22 N(x,y)，则 1 A(2,0) -， 2 A(2,0)， 100 A P(x2,y) =+ u u u u r ， 200 A P(x2,y) =- u u u u r ， 11 10 A M(,y) 3 = u u u u r ， 22 2 A N(,y) 3 =- u u u u r ， 因为 1 A P u u u u r 与 1 A M u u u u r 共线，故 010 10 (x2)y y 3 +=，0 1 10y y 3(x2) = + ，同理：0 2 2y y 3(x2) =- - ， 则 11 13 FM(,y) 3 = u u u u r ， 22 5 F N(,y) 3 =- u u u u r ， 所以 12 FM F N ? u u u u r u u u u r ＝ 12 65 y y 9 -+＝20 2 20y 65 99(x4) -- - ＝ 2 2 5(x4) 20 654 10 99(x4) - ? --=- - . 13．解：（1）因为|OF|2 = u u u r ，则F(2,0)，OF(2,0) = u u u r ，设 00 Q(x,y)，则 00 FQ(x2,y) =- u u u r ，0 OF FQ2(x2)1 ?=-= u u u r u u u r ，解得 5 x 2 =， 由 00 11 S|OF||y||y| 22 =?== u u u r ，得 1 y 2 =±，故 51 Q(,) 22 ±， 所以，PQ所在直线方程为y x2 =-或y x2 =-+； （2）设 00 Q(x,y)，因为|OF|c(c2) =≥ u u u r ，则 00 FQ(x c,y) =- u u u r ， 由 OF FQ c(x c)1 ?=-= u u u r u u u r 得： 1 x c c =+， 又 13 S c|y|c 24 ==，则 3 y 2 =±， 13 Q(c,) c2 +±，22 19 |OQ|(c) c4 =++ u u u r ， 易知，当c2 =时，|OQ| u u u r 最小，此时 53 Q(,) 22 ±， 设椭圆方程为 22 22 x y 1,(a b0) a b +=>>，则 22 22 a b4 259 1 4a4b ?-= ? ? += ?? ，解得 2 2 a10 b6 ?= ? ? = ?? ，所以，椭圆方程为 22 x y 1 106 +=. 14．解：（1）设M(x,y)，由 3 PM MQ 2 =- u u u r u u u u r 得： y P(0,) 2 -， x Q(,0) 3 ， 由HP PM0 ?= u u u r u u u r 得： y3y (3,)(x,)0 22 -=，即2y4x =， 由点Q 在x 轴的正半轴上，故x 0>， 即动点M 的轨迹C 是以(0,0)为顶点，以(1,0)为焦点的抛物线，除去原点； （2）设m :y k(x 1)(k 0)=+≠，代入2 y 4x =得： 2222k x 2(k 2)x k 0+-+=…………① 设11A(x ,y )，22B(x ,y )，则12x ,x 是方程①的两个实根， 则21222(k 2)x x k -+=-，12x x 1=，所以线段AB 的中点为22 2k 2 (,)k k -， 线段AB 的垂直平分线方程为2 2212k y (x )k k k --=--， 令y 0=，02 2x 1k =+，得22E(1,0)k +， 因为ABE ?为正三角形，则点E 到直线AB AB |， 又|AB| ， = k =011x 3 = . 15．解：（1）∵a b y c x c F M M 2 1,),0,(=-=-则，∴ac b k OM 2 -= . ∵OM a b k AB 与,-=是共线向量，∴a b ac b -=-2 ，∴b=c,故2 2=e . （2）设1122121212,,,2,2, FQ r F Q r F QF r r a F F c θ==∠=∴+== 22222221212122 12121212 4()24cos 110 22()2 r r c r r r r c a a r r r r r r r r θ+-+--= ==-≥-=+ 当且仅当21r r =时，cos θ=0，∴θ]2 , 0[π ∈ . 16．解：（Ⅰ）记P （x,y ），由M （-1，0）N （1，0）得 (1,),PM MP x y =-=---u u u u r u u u r ),1(y x NP PN ---=-=， )0,2(=-= . 所以 )1(2x +=? . 122-+=?y x PN PM ， )1(2x -=? . 于是， NP NM PN PM MN MP ???,,是公差小于零的等差数列等价于 ???? ?<+---++=-+0 )1(2)1(2)] 1(2)1(2[2112 2x x x x y x 即 ???>=+0322x y x . 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. （Ⅱ）点P 的坐标为),(00y x 。212020=-+=?y x . PM PN =u u u u r u u u r cos PM PN PM PN θ?=?u u u u r u u u r u u u u r u u u r 所以 因为 0 〈 3 0≤x ， 所以 ,30,1cos 21πθθ<≤≤<,411cos 1sin 20 2x --=-=θθ. 341411cos sin tan 02 02 2 y x x x =-=--- ==θ θθ 选校网 https://www.360docs.net/doc/612186923.html, 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开) 高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。 圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义： 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下： （ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。 注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义： 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10< 注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。 （1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设 其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-； （2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称； （3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2； （5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=； （6）准线方程：c a x 2 ± =； （7）焦准距：c b 2 ； （8）离心率： a c e = 且10< 解析几何基本题型 一．直线的斜率和倾斜角： 1．设直线1l ：220x y -+= 的倾斜角为1α，直线2l ：40mx y -+= 的倾斜角为2α，且 2190αα=+ ，则m 的值为 . 2．设直线0=++c by ax 的倾斜为α，且0cos sin =+αα，则a 、b 满足 。 3．已知直线l 经过)1,2(A 、),1(2m B )(R m ∈两点，那么直线l 倾斜角的取值范围是 。 4．直线01cos =++y a x 的倾斜角的取值范围是 。 5．已知点A （2，3），B （－3，－2），若直线l 过点P （1，1），且与线段AB 相交，则直线l 的斜率 k 的取值范围为 。 6．实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则 x y 的取值范围为 ． 7．已知直线210ax y a -++=．（1）若(1,1)x ∈-时，y >0恒成立，求a 的取值范围； （2）若1 [,1]6 a ∈时，恒有y >0，求x 的取值范围． 二．直线的方程： 1．下列四个命题中真命题的序号是 。 ①经过点),(00y x P 的直线都可以用方程)(00x x k y y -=-表示；②经过任意两个不同点),(111y x P 、),(222y x P 的直线都可以用方程))(())((121121y y x x x x y y --=--表示； ③不经过原点的直线都可以用方程1=+ b y a x 表示；④经过定点),0(b A 的直线都可以用方 程b kx y +=表示。 2．无论m 、n 取何实数值，直线0)2()3(=-++-n y n m x n m 都过一定点P ，则P 点坐标是 。 3．经过点)1,2(-P ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 条 4．直线过点)1,2(--，且在两坐标轴上的截距相等，则直线方程为 。 第17－20课时： 解析几何问题的题型与方法 一．复习目标： 1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题. 3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法. 4．掌握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cos sin x r y r θ θ=?? =? （θ为参数），明确各字母 的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法. 5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二．考试要求： (一)直线和圆的方程 1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。 2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。 3．了解二元一次不等式表示平面区域。 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。 6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。 (二)圆锥曲线方程 1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。 4．了解圆锥曲线的初步应用。 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析 高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识．．．．．．．和向量的．．．．基本方法．．．． ，这一点值得强化。 (一)直线的方程 1.点斜式：)(11x x k y y -=-； 2. 截距式：b kx y +=； 3.两点式： 1 21121x x x x y y y y --= --；4. 截距式：1=+b y a x ； 高考中解析几何的常考题型分析 一、高考定位 回顾2008,2012年的江苏高考题，解析几何是重要内容之一，所占分值在25 分左右，在高考中一般有2,3条填空题，一条解答题.填空题有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大;解答题主要是以圆或椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题. 二、应对策略 复习中，一要熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的基础知识、基本方法，在抓住通性通法的同时，要训练利用代数方法解决几何问题的运算技巧. 二要熟悉圆锥曲线的几何性质，重点掌握直线与圆锥曲线相关问题的基本求解方法与策略，提高运用函数与方程思想、向量与导数的方法来解决问题的能力. 三在第二轮复习中要熟练掌握圆锥曲线的通性通法和基本知识. 预测在2013年的高考题中: 1.填空题依然是直线和圆的方程问题以及考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及. 2.在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还 有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定值问题. 三、常见题型 1.直线与圆的位置关系问题 直线与圆的位置关系是高考考查的热点，常常将直线与圆和函数、三角、向量、数列、圆锥曲线等相互交汇，求解参数、函数最值、圆的方程等，主要考查直线与圆的相交、相切、相离的判定与应用，以及弦长、面积的求法等，并常与圆的几何性质交汇，要求学生有较强的运算求解能力. 求解策略:首先，要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系;其次，要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘;再次，要掌握解决问题常常使用的思想方法，如数形结合、化归转化、待定系数、分类讨论等思想方法;最后，要对求解问题的过程清晰书写，准确到位. 点评:(1)直线和圆的位置关系常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d及半弦长l2构成直角三角形关系来处理. (2)要注意分类讨论，即对直线l分为斜率存在和斜率不存在两种情况分别研究，以防漏解或推理不严谨. 2.圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等). 求解策略:主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明. 常用的一些证明方法: 点评:本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲 目录 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线） (1) 一、设点或直线 (1) 二、转化条件 (1) （1）求弦长 (2) （2）求面积 (2) （3）分式取值判断 (2) （4）点差法的使用 (4) 四、能力要求 (6) 五、补充知识 (6) 关于直线 (6) 关于椭圆： (7) 例题 (7) 解析几何大题的解题技巧（只包括椭圆和抛物线）——————————————————一条分割线——————————————— 一、设点或直线 做题一般都需要设点的坐标或直线方程，其中点或直线的设法有很多种。直线与曲线的两个交点一般可以设为等。对于椭圆上的唯一的动点，还可以设为。在 抛物线上的点，也可以设为。◎还要注意的是，很多点的坐标都是设而不求 的。对于一条直线，如果过定点并且不与y轴平行，可以设点斜式,如果不与x轴平行，可以设（m是倾斜角的余切，即斜率的倒数，下同）。如果只是过定点而且需要求与长度或面积有关的式子，可以设参数方程，其中α是直线的倾斜角。一般题目中涉及到唯一动直线时才可以设直线的参数方程。如果直线不过定点，干脆在设直线时直接设为y=kx+m或x=my+n。（注意：y=kx+m不表示平行于y轴的直线，x=my+n不表示平行于x轴的直线）由于抛物线的表达式中不含x的二次 项，所以直线设为或x=my+n联立起来更方便。 二、转化条件 有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。下面列出了一些转化工具所能转化的条件。向量：平行、锐角或点在圆外（向量积大于0）、直角或点在圆上、钝角或点在圆内（向量积小于0），平行四边形斜率：平行（斜率差为0）、垂 直（斜率积为-1）、对称（两直线关于坐标轴对称则斜率和为0，关于y=±x对称则斜率积为1 高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆 （x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为 （ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案 （1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析 （1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0）， 则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝ （2＋3）2＋1＝ 26，所以 （|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为 解析几何种技巧 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 本文节选自《试题调研》数学第2辑的“热点关注”，敬请品读（版权所有，转载请注明出处）。 陕西胡波 从近几年全国各省市新课标高考试题来看，解析几何主要考查直线与圆、直线与圆锥曲线的基本知识等，在选择题、填空题、解答题中都有出现，一般试卷出现3小题1大题.综合类试题多涉及函数、导数、方程、不等式、平面向量、平面几何等知识，所考查的知识点较多，试题难度中等偏上.试题往往会出现计算量较大的情况，怎样在解题中巧妙地降低计算量、减少运算错误是我们广大考生在学习中要体会和感悟的.下面通过一些典型例题的解析，说明解析几何中的解题技巧,以供读者参考学习. 1.活用定义返璞归真 圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性.许多性质和结论都是在其定义的基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简. 2.活用平几 峰回路转 解决解析几何问题时，往往需要求解涉及含多个参数的两个以上方程组成的方程组，运算较为复杂，这对于运算能力稍差的同学，很难准 确迅速求解.若能联想题目所涉及图形的几何性质，并利用相关性质来解决问题，常常可以峰回路转，达到巧妙解题的效果. 【点评】本题重点考查运算能力，这对考生提出了较高的要求.通过对比上述通法与巧法，读者很容易看出：运用平面图形的有关几何性质来解决一些解析几何问题，可以有效地避免复杂的代数运算，达到简捷解题的目的. 3.巧设坐标?水到渠成 【点评】本题如果按常规设点Q(x,y),必将得到一个二元二次方程组,这将加大计算量,使问题复杂化. 4.数形结合一目了然】 … 5.引进参数柳暗花明 … 6.设而不求欲擒故纵 … 7.整体代换绝处逢生 … 8.引入向量轻车熟路 … 更多有关解析几何的解题技巧详见《试题调研》第2辑—三角函数、平面向量、解析几何。本辑定会让你识得了三角、解得了几何、破得了向量，真正做到好题先体验，笑在百花前！ 第14讲 解析几何问题的题型与方法 一、知识整合 高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法．．．．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化。 1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题. 3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法. 4．掌握圆的标准方程：2 2 2 )()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：02 2 =++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程 cos sin x r y r θ θ =?? =?（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关系的判定方法. 5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二、近几年高考试题知识点分析 2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及． 1．选择、填空题 1．1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主 （1）对直线、圆的基本概念及性质的考查 例1 （04江苏）以点(1，2)为圆心，与直线4x +3y -35=0相切的圆的方程是_________． （2）对圆锥曲线的定义、性质的考查 例2（04辽宁）已知点)0,2(1- F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当 高中数学解析几何解题方法总结 老师在讲题的时候，经常如未卜先知一般，就知道已知条件里经常存在着一个自己完全不知道的信息；或者分析着分析着，就突然来句：“这道题可以用反证法/数学归纳法……”解法是很精妙，但换你来做，你就是没有意识到要采用这样的方法。我也曾经问过老师，为什么你们当时会想到用这种方法？得到的也往往是“不知道”、“题目做多了就明白了”。 高中数学解析几何解题方法我们先来分析一下解析几何高考的命题趋势： (1)题型稳定：近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题，一个填空题，一个解答题上，占总分值的20%左右。 (2)整体平衡，重点突出：其中对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏，通过对知识的重新组合，考查时既留意全面，更留意突出重点，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度。近几年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： ① 求曲线方程(类型确定、类型未定); ②直线与圆锥曲线的交点题目(含切线题目); ③与曲线有关的最(极)值题目; ④与曲线有关的几何证实(对称性或求对称曲线、平行、垂直); ⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数目特征; 高中数学解析几何解题方法： (3)能力立意，渗透数学思想：一些虽是常见的基本题型，但假如借助于数形结合的思想，就能快速正确的得到答案。 (4)题型新奇，位置不定：近几年解析几何试题的难度有所下降，选择题、填空题均属易中等题，且解答题未必处于压轴题的位置，计算量减少，思考量增大。加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等)，凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。 在近年高考中，对直线与圆内容的考查主要分两部分： (1)以选择题题型考查本章的基本概念和性质，此类题一般难度不大，但每年必考，考查内容主要有以下几类： ①与本章概念(倾斜角、斜率、夹角、间隔、平行与垂直、线性规划等)有关的题目; ②对痴光目(包括关于点对称，关于直线对称)要熟记解法; ③与圆的位置有关的题目，其常规方法是研究圆心到直线的间隔. 以及其他“标准件”类型的基础题。 (2)以解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系，此类题综合性比较强，难度也较大。 预计在今后一、二年内，高考对本章的考查会保持相对稳定，即在题型、题量、难度、重点考查内容等方面不会有太大的变化。 一、直线与方程基础： 1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈ 2 、直线的斜率k ： 21 21 tan y y k x x α-== -； 注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。 3、直线方程的五种形式： ①点斜式：00()y y k x x -=-； ②斜截式：y kx b =+； ③一般式：0Ax By C ++=； ④截距式：1x y a b +=； ⑤两点式： 121 121 y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。 4、两直线平行与垂直的充要条件： 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=， 1l ∥2l 1221 1221 A B A B C B C B =???≠?； 1212120l l A A B B ⊥?+= . 5、相关公式： ①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ， MN = ②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则线段MN 的中点1122 ( ,)22 x y x y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=， 则点P 到直线l 的距离d = ； ④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 则平行直线1l 与2l 之间的距离d = ⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为 θ，(0,)(,)22 ππ θπ∈U ，则2112 tan 1k k k k θ-=+? .（两倾斜角差的正切） 二、直线与圆，圆与圆基础： 1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=； 确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ； 2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（22 40D E F +->）； 3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 点00(,)P x y 在圆内? 22200()()x a y b r -+-<； 点00(,)P x y 在圆上? 22200()()x a y b r -+-=； 点00(,)P x y 在圆外? 222 00()()x a y b r -+->； 4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 从几何角度看： 令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ， 相离?d r >； 圆锥曲线大题训练1 （求范围）例1、已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：1)3()2(22=-+-y x 交于M 、N 两点。 （1）求k 的取值范围； （2）若12=?ON OM ，其中O 为坐标原点，求|MN | （定值问题）例2、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的离心率为2 2，点（2，2）在C 上。 （1）求C 的方程； （2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值。 例3、已知直线l 的方程为y = k ( x — 1 )（k ＞0），曲线C 的方程为 y 2 = 2x ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，O 为坐标系原点。求证：OB OA ?错误！未找到引用源。是定值 例4、已知双曲线C ：)0(122 22>>=-b a b y a x 的两条渐进线的夹角的正切值为724，点A （5，49）是C 上一点，直线l ：)4(4 5>+-=m m x y 与曲线C 交于M 、N 两点。 （1）求双曲线C 的标准方程； （2）当m 的值变化时，求证：0=+AN AM k k 例5、已知椭圆C ：)0(122 22>>=+b a b y a x 过A （2，0），B （0，1）两点 （1）求椭圆C 的方程及离心率 （2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值。 （轨迹方程）例6、已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2—8y=0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点。 （1）求M 的轨迹方程； （2）当|OP|=|OM|时，求l 的方程及△POM 的面积。 例7、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B （0，-1），离心率为 36 （1）求椭圆的方程； （2）设过点A （0， 2 3）的直线l 与椭圆交于M 、N 两点，且|BM |=|BN |，求直线l 的方程。 备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第五篇解析几何 专题10 解析几何中两类曲线相结合问题 【典例1】【湖南省湖南师范大学附属中学2020届月考】已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的右焦点为F ， 离心率为 2 ，P 是椭圆C 上位于第一象限内的任意一点，O 为坐标原点，P 关于O 的对称点为P '，4P F PF '+=，圆O ：222x y b +=. （1）求椭圆C 和圆O 的标准方程； （2）过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，点T 在OP 的两侧.求四边形OFPT 面积的最大值. 【典例2】【重庆市2019届高三高考全真模拟】已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为直角坐标平面上的动 点，过动点P 作的垂线，垂足为点Q ，且满足()0QF PQ PF ?+=u u u v u u u v u u u v ． （1）求动点P 的轨迹C 的方程； （2）若直线m 与（1）中的轨迹C 相切于点0(N x ，00)(0)y y >，且m 与圆心为M 的圆22 (3)16x y -+=， 相交于A ，B 两点，当AMB ?的面积最大时，求点N 的坐标. 【典例3】【安徽省滁州市民办高中2020届月考】 如图，已知椭圆 22 221(0)x y a b a b +=＞＞，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点12,F F 为顶点 的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B 、A 和C D 、. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12· 1k k =； （Ⅲ）是否存在常数λ，使得· AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由. 【典例4】【2020届湖南省长沙市高三上学期期末】已知椭图1C ：()22 2210x y a b a b +=>>的右顶点与抛物 线2C ：()2 20y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为 1 2 ，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线 截抛物线所得的弦长为（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程； （2）过点()4,0A -的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论. 【典例5】【湖北省黄石市2020届高三模拟】已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 与双曲线22441 3 x y -=的一个焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程； 高三数学解析几何解题技巧 解析几何是现在高考中区分中上层学生数学成绩的一个关键考点。能顺利解答解析几何题是数学分数跃上新台阶的重要条件。在解决此类问题时的要点主要有：用运动观点看待条件；挖掘出其中隐含的几何量之间关系；用代数语言（通常即是方程或不等式）翻译几何量之间关系；注意根据题设条件分类讨论。其中对能力的要求主要体现在如何选择变量和合理的运算路径上。三种运算：坐标、向量和运用几何性质推理，如何选择？依据的不是必然的逻辑推理，而是根据经验获得的合情推理。 解析几何的学科特征是“算”，它的第一步是把几何条件转化为代数语言，转换的桥梁大致有三类：①与线段长度有关，用距离公式；②与线段比有关的用向量、坐标之间关系转换；③与角度有关用斜率或用向量夹角公式处理。一经转化，解析几何问题就转化为方程或函数问题。如讨论一元二次方程根的情况，解方程组，求代数式的最大值或最小值等等。 常见翻译方法： 距离问题：距离公式212212)()(||y y x x AB -+-= 几个特殊转换技巧： ①若一条直线上有若干点，如D C B A ,,,等，它们之间距离存在比例关系，如满足条件,||||||2BC CD AB =?则可根据它们分别在两坐标轴之间距离关系，利用平行直线分线段成比例之关系转换为坐标关系：,)(||||2C B D C B A x x x x x x -=-?-当然也可转化为向量关系再转换为坐标关系等。 ②利用向量求距离。 ③角度问题：若条件表述为所目标角A 是钝角、直角或锐角，则用向量转化为简洁，即AC AB ?的值分别是小于零、等于零或大于零。一般角度问题转化为向量夹角公式即：| |||cos b a ?= θ④面积问题：主要是三角形面积公式：在OAB ?中（O 是原点） )2 ())()((21sin 21c b a p c p b p a p p ah C ab S O ++=---=== ||2 1A B B A y x y x -== ⑤特殊地，若三角形中有某条线段是定值，则可把三角形分解为两个三角形来分别求面积。如椭圆12 2=+b y a x 的左右焦点分别为,,21F F 过左焦点直线交椭圆于),,(11y x A ),,(22y x B 则|||)||(|||2 121212121212y y c y y F F S S S F BF F AF ABF -=+=+=??? ⑥三点共线问题：一般来说，可直接写出过其中两点的直线方程，再把另一点的坐标代入即可，但在具体问题中，用两点之间斜率相等（有时是用向量共线，可不用讨论斜率存在情况）更合适。 最后，针对广东高考命题特点，请同学们记住一句话：心中有数，不如心中有图，心中有图，不如会用图。 【例题训练】 1．（本小题满分14分） 解析几何问题的题型与方法 一、知识整合 高考中解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法．．．．．．．．．．．．．．．，这一点值得强化。 1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程出发推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，知道线性规划的意义，知道线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题. 3． 理解“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的基本思想，掌握求曲线的方程的方法. 4．掌握圆的标准方程：2 2 2 )()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，掌握圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，知道该方程表示圆的充要条件并正确地进行一般方程和标准方程的互化，能根据条件，用待定系数法求出圆的方程，理解圆的参数方程cos sin x r y r θ θ =?? =?（θ为参数），明确各字母的意义，掌握直线与圆的位置关 系的判定方法. 5．正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能根据椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能根据条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；掌握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并掌握它的应用；掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二、近几年高考试题知识点分析 2004年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；2001年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．高考试题中对解析几何内容的考查几乎囊括了该部分的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及． 1．选择、填空题 1．1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主，难度以容易题和中档题为主 （1）对直线、圆的基本概念及性质的考查 例 1 （04江苏）以点(1，2)为圆心，与直线4x +3y -35=0相切的圆的方程是_________． （2）对圆锥曲线的定义、性质的考查 解析几何常规题型及方法 核心考点 1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等） 2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等） 3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等） 4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等） 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221- =，x y 22 22 2 1-=。 两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。 又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。 又k y y x x y x = --=--12121 2 ， 代入得2402 2 x y x y --+=。 当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。 高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.(完整)高中数学解析几何解题方法
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