混沌的复杂度研究方法和Logistic映射分析
第24卷第2期2006年3月北京工商大学学报(自然科学版)Journal of Beijing Techno logy and Business U niversity (N atural Science Editi on )V o l 124N o 12M ar .2006 文章编号:167121513(2006)022*******混沌的复杂度研究方法和L og istic 映射分析王云雄1, 翁贻方1,2, 郑德玲2(11北京工商大学信息工程学院,北京 100037;21北京科技大学信息工程学院,北京 100083)摘 要:研究和评价了混沌复杂度3种定量分析方法——L yap unov 指数、分维、,及其它们之间的内在联系,并研究了一种简单有效的测度熵替代方法——近似熵(app rox i m ate en trop y )方法Λ应用以上方法对L ogistic 映射复杂度进行了分析Λ结果表明L yap unov 指数和测度熵的值与复杂度基本呈线性关系,分维数与复杂度的函数关系尚难确定,且与L yap unov 指数、测度熵之间的关系也不明确Λ关键词:混沌;复杂度;L yap unov 指数;分维;测度熵中图分类号:T P 30115;N 94114 文献标识码:A 收稿日期:20051206基金项目:北京市优秀人才培养专项经费资助项目(20041D 0500309)作者简介:王云雄(1982-),男,四川内江人,硕士研究生,主要研究方向为计算机网络管理与信息安全;翁贻方(1954-),女,上海人,教授,主要从事控制理论及应用,混浊同步保密通信与信息加密研究Ζ 在非线性科学的研究领域中一直存在着大量的复杂现象,而传统的理论和分析方法在这些现象面前却无能为力Ζ随着非线性科学的发展,到了20世纪80年代中期,一些以复杂度本身为研究对象的研究才陆陆续续地展开,相关的论文和书籍开始出现Ζ但应当指出的是,对于复杂度来说,目前既没有达成统一的理解,更没有统一的科学定义,可以说,对于复杂度的研究现在还处于起步阶段Ζ混沌,作为非线性动力系统的一个经典复杂现象,近几十年被广泛地应用于保密通信的研究,提出了大量的混沌加密算法Ζ因此,对混沌的复杂度进行深入的研究有着十分重要的意义Ζ一方面,对混沌系统复杂度的分析可以丰富目前尚未系统化的复杂度理论;另一方面,也为混沌加密算法的强度度量提供了新的思路和方法Ζ旨在用非线性动力学的分析方法对混沌的复杂度进行探索性研究,以L ogistic 映射为对象,研究各种定量分析方法的内在联系Ζ1 混沌的定性特征混沌,作为非线性动力系统中的一个既普遍又复杂的系统,具有通常确定性运动所不具备的几何和统计特性:局部不稳定而整体稳定、连续功率谱、奇异吸引子、正的L yap unov 指数、分维、正的测度熵等等Ζ概括地说,混沌具有以下3个主要的定性特征[1]:1)内随机性:混沌常被称为自发混沌、确定性的随机性等,是指混沌现象产生的根源在系统本身Ζ内随机性的另一个含义是局部不稳定性Ζ一般,产生混沌的系统具有内在不稳定性而整体稳定性Ζ混沌态与有序态的不同之处在于,它同时具有整体稳定性和局部不稳定性Ζ所谓局部不稳定性是指系统运动的某些方面(如某些维度上)的行为强烈地依赖于初始条件Ζ2)分维特性:混沌态具有分维性质,但其非整数维不是用来描述系统的几何外形,而是用来描述系统运动轨道在相空间的行为特征Ζ混沌运动在相空间中的某个区域内无限次的穿越,构成了一个有无穷层次的自相似结构——奇异吸引子Ζ3)普适性和Feigenbaum 常数:混沌是一种无周期的“高级”有序运动Ζ在研究混沌的过程中,可以83发现某种标度的不变性,代替了通常的空间和时间周期性;所谓普适性,是指在趋向混沌时所表现出来的共同特征,它不依具体的系数以及系统的运动方程而变Ζ2 混沌复杂度的分析方法由于到目前为止对复杂度还没有严格的数学定义,在研究混沌的复杂度时,习惯性地将定量描述混沌性质的一些参数(L yap unov 指数、分维、测度熵等)列入复杂度的度量方法Ζ211 L yapunov 指数L yap unov 指数是混沌过程的一个重要参数,它给出了混沌过程对初始状态的依赖程度Ζ在非混沌系统中,相邻轨道一般是收敛的,或者是以小于指数形式的速率发散的;在混沌系统中,相邻轨道是以指数形式发散的Ζ而正的L yap unov 指数对应本征矢方向上的位移初始点,其发展出来的轨道会呈指数化分离趋势;在负的L yap unov 指数对应本征矢方向上,相空间轨道会相互吸引趋近Ζ因此,在非线性动力系统的研究中经常将正的L yap unov 指数作为混沌是否出现的一个判据Ζ对于连续系统d xd t=f (x (t )),x (t )∈R n .(1)n 维空间中的一轨道与相邻轨道的初始条件为x 0和x 0+∃x 0,其切向量为W (x 0,t ),则L yap unov 指数可以定义为两相邻轨道的平均指数发散率Κ(x 0,W )=li m t →∞1t ln ‖W (x 0,t )‖‖W (x 0,0)‖;(2)对于离散系统x n +1=f (x n ),x n ∈R n.(3)令A n =[M (x n )M (x n -1)K ・M (x 1)]1 n,其中M (x n )为f (・)的Jacob i 矩阵,同时A n 设的特征值为∆i (n ),则L yap unov 指数可以定义为Κi =li m n →∞1nln ∆i (n ) Ζ(4)其实,前一种定义主要针对L yap unov 指数的几何意义而言,而后一种定义则是针对计算角度来描述的Ζ一维L ogistic 映射为x n +1=Λx n (1-x n ),0≤x ≤1,0<Λ≤4(5)图1表示了L ogistic 映射的L yap unov 指数随参数Λ的变化趋势,其中迭代次数为2000,初值为013Ζ从图1中可见,L ogistic 映射的L yap unov 指数值Κ随着参数Λ变化而发生复杂变化,同时与之对应的是L ogistic 映射的复杂性态的变化:1)Λ∈(0,1]时,Κ从一个负值趋向于0,x 值收a )全局图;b )局部放大图图1 L ogistic 映射的L yapunov 指数敛到不动点0;2)Λ∈(1,3]时,Κ<0,x 收敛到1-1 Λ,其中当Λ=2时,存在一个超稳定点,此时Κ→-∞(由于迭代次数有限,所以在图1中体现为一个有限大的负值);3)Λ∈(3,31571448]时,系统状态为倍周期分叉,Κ处于0→-∞→0的循环过程;4)Λ∈(31571448,3182842]时,系统状态为阵发混沌,这时Κ>0,在某些窗口处,Κ<0;5)Λ∈(319,4]时,系统处于混沌态,Κ>0Ζ可见L yap unov 指数表征了L ogistic 混沌映射的复杂性态Ζ但现在有观点认为,L yap unov 指数不93 第24卷第2期王云雄等:混沌的复杂度研究方法和L ogistic 映射分析能反映介于有序和随机之间的复杂性,更不能用它的数值作为复杂程度大小的度量[2]Ζ这一观点是建立在符号动力学基础上的Ζ一方面,当Λ=4时,也就是满射的时候,L yap unov指数达到最大值0169,虽然这时L ogistic映射具有正的L yap unov指数,符合关于混沌的许多定义,但从符号动力学的观点来看,由于其完全随机性,可以认为它的符号动力学行为是简单的Ζ另一方面,文献[3]的研究结果表明,当L yap unov指数的值为0时,系统行为有可能是非常复杂的Ζ尽管如此,L yap unov指数能准确反映混沌过程对初始状态的依赖程度,而混沌对初始状态的敏感性使混沌的状态难以预测,这正是混沌复杂度的一个表现Ζ212 分维混沌吸引子具有无穷层次的自相似结构,可以用维数来表征它的离散程度Ζ相轨道的自相似结构使得其相轨线不能填满整个相空间,从而形成了混沌系统所特有的分形结构,具有分数维数的特征,因此分数维数也是判断混沌运动的有效手段Ζ设S为N维空间中的子集,M(Ε)是覆盖S所需的边长为Ε的N维立方体的数量,则可以用下式来表示其容量(H au sdo rff)维数,D(S)=li mΕ→0ln M(Ε)ln(1 Ε).(6)如果一个吸引子的维数D(S)为分数,则可判断其为混沌Ζ但是H au sdo rff分维数的计算十分困难, Grassberg和P rocaccia于1983年提出了GP算法来计算另一种分维数D c(S),也就是关联维数D c(S)=li mΕ→0ln C(Ε)lnΕ;(7)C(Ε)=li mn→01n2∑ni,j=1H(Ε- X i-X j );(8)其中,H(・)是H eaviside阶跃函数Ζ这种方法的局限性在于,虽然可以通过判断计算出的维数是否为分数进而确定该系统是否为混沌,却无法从分维的具体数值来度量混沌系统动力学行为的复杂程度Ζ213 测度熵测度熵又称为K2S熵(ko l m ogo rov2sinai),它描述了混沌轨道随时间演化信息的产生率Ζ其几何意义在于:设区分相空间的轨道只能以固定的精度,则在该精度下,随着轨道向前演化,由于混沌轨道附近的指数分离,原来不能区分的轨道就可以区分离开,也就是“混沌创造信息”Ζ而测度熵正是这种信息的平均产生率Ζ设吸引子为一集合,它被边长为Ε的N 维立方体完全覆盖,对于Ε,设立方体的个数为M(Ε),通过M(Ε)的概率为p i,则测度熵定义为I(Ε)=-∑M(Ε)i=1p i ln P i.(9)基于以上原理,可知信息量与可以区分的不同轨道数目有关,对于混沌运动,其轨道数目N随时间指数增长:N∝e k t,其中常数k为测度熵Ζ在一段时间内可以区分的不同轨道数目N越多,其复杂度越大Ζ而轨道数目N是以测度熵k的指数变化的Ζk越大,随机性越强,被恢复的可能性也越小,复杂度也越高[4]Ζ因此,测度熵可以反映混沌系统的复杂度Ζ但是存在的问题是:测度熵的计算方法K2S熵法需要大量的样本空间,且计算量巨大,实际中较难获得测度熵的具体数值Ζ3 Ap E n复杂度分析算法文献[5]提出了一种以近似熵A p E n来代替测度熵作为判断复杂度大小的方法,其定义和算法如下:1)对于一给定的时间序列Λ(1),Λ(2),…Λ(N),按顺序将其组成一个m维的向量集X(i),即X(i)=[Λ(i),Λ(i+1),…,Λ(i+m-1)],(i=1,2,3,…,N-m+1);(10)2)计算向量X(i)与其余向量X(j)之间的距离d [X(i),X(j)],并将最大值定义为最大反应成分距离d[X(i),X(j)]=m ax[ x(i+k)-x(j+k) ],(k=[0,m-1]).(11)3)定义一个阈值r(r>0),对于每一个i值,记录满足条件d[X(i),X(j)]<r的个数Ζ把这个值N-m与的比值定义为C m i(r),C m i(r)={d[X(i),X(j)]<r的数目} (N-m).(12)4)对每一个可能的i值,计算C m i(r)的自然对数,这些对数的平均值定义为<m(r),<m(r)=1N-m+1∑N-m+1i=1ln C m i(r).(13)A p E n可以表示向量集随着m增大产生新模式04北京工商大学学报(自然科学版)2006年3月 的概率,产生新模式的概率越大,A p E n 值就越大,即时间序列的复杂度越大Ζ实际上,N 不可能取无穷大,所以通常只能在N 足够大的时候对A p E n 进行估计,A p E n (m ,r ,N )=<m (r )-<m +1(r ).(14)根据经验,P incu s 建议m 取2,r 取011～012倍原始数据的标准差Ζ只需用很短时间序列(约1000个数据点)就可以估算出可靠的A p E n 值Ζ对于L ogistic 映射x n +1=4x n (1-x n ),0≤x ≤1,取N =5000,m =2,r =0115,得到其A p E n 值约为0169;同时还发现L yap unov 指数值(Λ=4)也为0169Ζ根据P e sin 公式I (Ε)=∑Κi >0Κi.(15)可知,处于混沌状态的L ogistic 映射,其L yap unov 指数和测度熵在数值应该是近似相等的,而A p E n 值就等于测度熵的值Ζ所以,对于L ogistic 映射,A p E n 算法较为准确地计算出了测度熵的值,但其对于高维连续混沌系统的普遍适用性还有待研究Ζ4 结论混沌复杂度研究的L yap unov 指数、分维和测度熵方法,从不同角度给出混沌复杂度的量化值,其中L yap unov 指数和测度熵的值与复杂度基本呈线性关系,而分维数的值与复杂度的函数关系尚难确定,且分维数与L yap unov 指数、测度熵之间的关系也不明确ΖA p E n (近似熵)方法是测度熵的一种替代算法,简单可靠,值得深入研究Ζ对L ogistic 映射的复杂度分析验证了上述结论Ζ参考文献:[1] 赵耿,方锦清.现代信息安全与混沌保密通信研究的进展[J ].物理学进展,2003,23(2):212252.[2] 谢惠民.动力系统的复杂性刻划[J ].力学进展,1996,26(3):289302.[3] Keller G .L yapunov exponen ts and comp lex ity fo rin terval m ap s [J ].L ectu re N o tes in M ath ,1991,1486:216226.[4] 蔡觉平,李赞,宋文涛.一种混沌伪随机序列复杂度分析法[J ].物理学报,2003,52(8):18711875.[5] P incu s S M .A pp rox i m ate en tropy as a m easu re ofsystem comp lex ity [J ].P roceedings of the N ati onal A cadem y of Sciences ,1991,88(6):22972301.STUDY ON THE CHAOS ’COM PL EX IT Y ANALY SISM ETHODOLOG Y AND APPL I CATI ON T O LOGISTI C M APW AN G Yun 2x i ong 1, W EN G Y i 2fang 1,2, ZH EN G D e 2ling2(11Colleg e of Inf or m a tion E ng ineering ,B eij ing T echnology and B usiness U n iversity ,B eij ing 100037,Ch ina ;21S chool of Inf or m a tion E ng ineering ,U n iversity of S cience andT echnology B eij ing ,B eij ing 100083,Ch ina )Abstract :T h ree k inds of chao s’com p lex ity analysis m ethods ,L yap unov exponen t ,fractal and K 2S en trop y ,as w ell as their relati on sh i p ,are investigated .A pp rox i m ate en trop y (A p En )m ethod is also studied .T hey are app lied to analyze the com p lex ity of L ogistic m ap .T he conclu si on is that L yap unov exponen t and K 2S en trop y have app rox i m ately linear relati on w ith com p lex ity ,w h ile it is difficu lt to determ ine the relati on betw een fractal and com p lex ity .Fu rtherm o re the co rrelati on of fractal and L yap unov exponen t ,K 2S en trop y is no t clear now .F inally ,A p En m ethod offers a si m p le and valid analysis m ean to sub stitu te K 2S en trop y .Key words :chao s ;com p lex ity ;L yap unov exponen t ;fractal ;K 2S en trop y(责任编辑:邓清燕)14 第24卷第2期王云雄等:混沌的复杂度研究方法和L ogistic 映射分析。
Logistic映射论文：Logistic映射与Henon映射的算法实现及其序列分析
Logistic映射论文：Logistic映射与Henon映射的算法实现及其序列分析摘要：混沌是一种复杂的非线性、非平衡的动力学过程。
该文实现了分别用logistic映射与henon映射实现了对txt 文本文件进行加密解密。
通过对混沌映射产生的序列进行matlab仿真实验分析，证明了混沌映射具有对初值极端敏感、便历性、非周期性和类随机性等特点。
混沌序列非常适合用于作为密码算法中的密钥流产生器，用以构成性能良好的密码系统。
关键词：logistic映射；henon映射；matlab仿真algorithm implementation and sequence analysis of logistic map and henon mapwu wei-gao(city college of dongguan university of technology, dongguan 523106, china)abstract: by chaos is a complex non-linear and non-equilibrium dynamics process. this paper realizes the implementation of encryption and decryption on tet text file through using logistic map and henon map respectively. it is proved that chaotic map has the characteristics of extreme sensitivity on initialvalue, convenience, and class aperiodic random and so on through carrying out matlab simulation sequence analysis on sequences generated by chaotic map. chaotic sequence is very suitable for being used as key stream generator in cryptographic algorithm, which constitutes a password system with good performance.key words: henon map; rc4 algorithm; client/server model随着计算机技术和网络通信技术的不断发展和迅速普及，通信保密问题日益突出。
逻辑斯谛(Logistic)映射
§4 从倍周期分定走向混沌4-1 逻辑斯谛（Logistic ）映射我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。
该模型称为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。
若昆虫不加以条件控制，每年增加λ倍，我们将一年作为一代，把第几代的虫日记为，则有：i N o i i i N N N 11++==λλ (4-1)i N ,1>λ增长很快，发生“虫口爆炸”，但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间，以及由于接触传染导致疾病曼延，使虫口数目减少，它正比于，假定虫口环境允许的最大虫口为，并令2i N o N oii N N x =，则该模型由一个迭代方程表示： 21i i i N N N λλ−=+即为：)1(1i i i x x x −=+λ （4-2）其中：]4,0[],1,0[∈∈λi x 。
（4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。
4-2 倍周期分歧走向混沌借助于对这一非线性迭代方程进行迭代计算，我们可以清楚地看到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。
（一）迭代过程迭代过程可以用图解来表示。
图4-1中的水平轴表示，竖直轴表示，抛物线表示（4-2）式右端的迭代函数。
45º线表示n x 1+n x n n x x =+1的关系。
由水平轴上的初始点作竖直线，找到与抛物线的交点，A 的纵坐标就是。
由点)0,(0x R ),(10x x A 1x),(10x x A 作水平直线，求它与45º线的交点，经B 点再作竖直线，求得与抛物线的交点，这样就得到了。
仿此做法可得到所迭代点。
),(11x x B ),(21x x 2x 从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程。
但我们关心的不是暂态过程，而是这所趋向的终态集。
终态集的情况与控制参数λ有很大关系。
增加λ值就意味着增加系统的非线性的程度。
改变λ值，不仅仅改变了终态的量，而且也改变了终态的质。
它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和大小，而且也影响到终态究竟会不会达到稳定。
二维滞后logistic映射的混沌行为、控制和混沌同步
二维滞后logistic映射的混沌行为、控制和混沌同步
王立明
【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2009(045)006
【摘要】利用分岔图、Lyapunov指数、相图等方法研究了二维滞后logistic映射通向混沌的道路,应用逃逸时间算法构造二维滞后logistic映射的彩色广义M-J 集,分析了广义M-J集的对称性问题.以此为基础,基于离散系统稳定性理论和Pecora-Carroll混沌同步定理,设计非线性反馈控制器,分别实现了二维滞后logistic映射的不稳定单周期点的镇定和混沌同步.通过分析受控系统的Jacobi矩阵对应的特征方程和计算响应系统的最大条件Lyapunov指数,分别得到了离散系统的不稳定单周期点的镇定条件和混沌同步条件.基于Matlab软件的数值模拟结果证明了上述方法的有效性.
【总页数】7页(P26-31,53)
【作者】王立明
【作者单位】廊坊师范学院,物理系,河北,廊坊,065000
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.5
【相关文献】
1.二维滞后Logistic系统的分岔与混沌研究 [J], 李险峰
2.二维Arnold映射和改进后的Logistic映射混沌加密算法 [J], 武东;杨立波;车明
阳;朱建东
3.具有外部干扰的二维滞后logistic映射的混沌同步的灰色滑模控制 [J], 王立明;李树峰;刘景旺
4.基于Logistic映射的迭代式的混沌特性及混沌控制 [J], 冯汉;索宇;朱培勇
5.基于二维Logistic混沌映射与DNA序列运算的图像加密算法 [J], 方鹏飞;黄陆光;娄苗苗;蒋昆
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Logistic映射的混沌行为
Logistic 映射的混沌行为摘要：Logistic 映射是非常重要的混沌系统，我们编写了与之相关的计算程序，利用程序的计算结果讨论了非线性系统走向混沌的两种道路，并通过Logistic映射的动力学行为解释了混沌的本质。
关键词：Logistic 映射；混沌；李亚普诺夫指数引言本文将通过对Logistic 映射的分析研究，揭示混沌产生的动力学机制，并揭示混沌现象中普遍成立的规律。
1838年，Verhulst 建立了生物种群的繁衍模型[1]。
即)1()1()1(1n n n n n x ax x x r x -=-+=+ (1)(1)式被称为虫口模型，也称为单参数的Logistic 映射模型。
线性项ax 代表虫口数的平均增长率，而非线性项)0(2>-a ax 体现环境资源对种群繁衍的制约因素。
通过设定初值0x 并研究数值序列12,,,,n x x x 的变化规律，我们就得到了种群繁衍的规律，计算发现，Logistic 映射的渐进行为与a 的取值密切相关。
1、Logistic 映射动力学行为的复杂性如果1<a ，则种群个体总数迅速衰减，最终迭代结果01=+n x 。
从生态意义上来讲，虽然初始物种的数量保持一定的规模，但由于受到外界环境的制约，最终走向了物种灭亡的道路,如图1所示。
n x n当1.2=a 时，虽然种群的起始数量较少，但经过数代的繁衍，种群数量逐渐庞大并趋于稳定,如图2所示。
而当8.2=a 时，迭代出现震荡现象，但振荡起伏逐渐稳定最终导致物种总量达到平衡状态,如图3所示。
图1 ,种群灭绝 8.0=a 图2 ，种群数量稳定 1.2=a图3 8.2=a ，种群数量稳定 图4 ，种群数量出现周期二行为当3>a 时，Logistic 映射开始出现周期振荡现象，当1.3=a 时，迭代结果在两个值之间交替出现，意味着物种繁衍出现了大小年情况，此时，Logistic 映射进入周期二轨道, 如图4所示。
Logistic 混沌映射性能分析与改进
Logistic 混沌映射性能分析与改进陈志刚;梁涤青;邓小鸿;张颖【摘要】Chaotic system is an important research object in the field of data encryption based on the chaos. The logistic chaotic mapping is the simplest and efficient chaotic system and is usually used by many encryption methods based on the chaos, thus the security of Logistic mapping becomes an important research point. To deal with the issue of attractors and blank area of the presence of the Logistic sequence, an improved Logistic mapping based on the relationship between initial value and the fractal control parameters is proposed. The variables interval of chaotic mapping is reasonable subsection by using this relationship, so the chaos control parameter region can be expanded, and the onto mapping range is extended to the entire control parameter interval. The improved Logistic mapping makes the chaotic sequence distribution more uniform, and solves the problem of“stability window”and the blank area etc. Compared with the improved Logistic and piecewise chaotic Logistic, the experimental results show that the chaotic characteristics of sequence generated by the improved mapping is significantly strengthened, has more uniform distribution, and better random performance index. In addition, the improved Logistic mapping has low computational complexity and is prone to implement. The improved Logistic mapping has broad application prospects in the fields of spread spectrum communication and chaotic cipher.%混沌系统是基于混沌的数据加密领域的一个重要研究对象，Logistic 混沌映射是最简单和有效的混沌系统，被广泛应用在大多数混沌加密算法中，Logistic 映射的安全性成为研究的热点。
Logistic满映射混沌序列性能分析
Logistic满映射混沌序列性能分析作者：严三国陈永彬来源：《现代电子技术》2010年第03期摘要:通过建立Logistic满映射混沌模型,产生Logistic满映射混沌模拟序列,再进行二值量化后,利用Matlab 7.0对其性能进行仿真分析。
主要分析其初值敏感性、相关性、平衡性、遍历性、相空间及倍周期分岔特性。
分析结果表明,Logistic满映射混沌序列具有良好的自相关性、互相关性、平衡性,而且其序列数量众多,其性能优于传统的伪随机序列。
该序列可广泛用于数字加密、扩频通信等领域中。
关键词:混沌序列;相关性;平衡性;相空间;Matlab仿真中图分类号:TN914 文献标识码:A文章编号:1004-373X(2010)03-194-03Performance Analysis of Full Mapping Chaotic Sequence about LogisticYAN Sanguo,CHEN Yongbin(Chengdu Electromechanical College,Chengdu,610031,China)Abstract:To produce Logistic full mapping chaos analog sequence,a Logistic full mapping chaos model is built,and then it is guantified two level digital sequence. The performance analysis of this chaotic sequence is carried out by use of Matlab 7.0 simulation. Senstivity of initialvalue,correlation,balance,ergodic,phase dimensional and double-periods forks characteristic are mainly analyzed. The analysis results show that the performance of this chaotic sequence is better than that of traditional pseudo random sequences for more well correlative performance and balance performance,and their number is large. It can be widely used in digital encryption and spread spectrum communcation.Keywords:chaotic sequence;correlation;balance;phase dimensional;Matlab simulation混沌现象是在非线性动态系统中出现的确定性、类似随机的过程,这种过程非周期、不收敛但有界,并且对初始值具有及其敏感的依赖性[1]。
混沌序列 相关序列
混沌序列相关序列混沌序列及相关序列在近年来得到了广泛关注，其在多个领域具有广泛的应用前景。
混沌序列具有高度的随机性、不可预测性和遍历性，因此，在通信、金融和人工智能等领域具有重要应用价值。
一、混沌序列与相关序列的概述混沌序列是一种特殊类型的序列，其具有随机性、不可预测性和遍历性。
相关序列则是一种与混沌序列密切相关的序列，其主要特点是具有较高的相关性和稳定性。
这两者都是在非线性系统中产生的，其中混沌序列是通过Logistic映射、蝴蝶映射等方法生成的。
二、混沌序列的生成方法1.Logistic映射：Logistic映射是一种经典的生成混沌序列的方法，其公式为：x_{n+1} = p * (1 - x_n)^2，其中p为控制参数，x_n为当前状态，通过调整p的值，可以生成不同特性的混沌序列。
2.蝴蝶映射：蝴蝶映射是一种基于Logistic映射的改进方法，其公式为：x_{n+1} = (1 + x_n * y_n)^(1/2) - y_n，其中x_n和y_n分别为当前状态，通过调整参数，可以生成具有更高随机性和不可预测性的混沌序列。
3.随机数生成器：随机数生成器是基于线性同余生成原理的一种方法，其可以生成具有均匀分布的随机数序列。
通过对随机数序列进行非线性变换，可以得到具有混沌特性的序列。
三、相关序列的应用领域1.加密通信：混沌序列和相关序列具有较高的随机性和不可预测性，因此，可以用于加密通信领域，提高通信安全性。
2.金融投资：混沌序列和相关序列在金融投资领域的应用主要体现在预测股票价格、优化投资组合等方面。
3.人工智能：混沌序列和相关序列可以用于优化神经网络参数，提高人工智能系统的性能。
四、混沌序列在实际应用中的优势与局限性1.优势：混沌序列具有较高的随机性、不可预测性和遍历性，使得其在通信、金融和人工智能等领域具有广泛的应用前景。
2.局限性：混沌序列的生成方法较多，但大多数方法依赖于参数调整，因此，在实际应用中，参数的选择和优化成为关键问题。
Logistic映射及其混沌序列特性分析_曹书豪 (1)
１）当μ ∈ （０，１）时，系统稳定于ｘ ＝０； ２）当μ∈［１，３］时，系统有两个稳定点ｘ ＝０ 或ｘ ＝１－ １；
μ ３）当μ ∈ （３，３．４４９）时，系 统 存 在 两 个 周 期
点ｘ
＝ １＋μ±
槡（μ＋１）（μ－３）；
２μ
４）当μ∈（３．４４９，３．５４４）时 ，系 统 存 在４个 周
期点；
［３］ 范九伦，张雪锋．分段 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ混沌映射 及 其 性 能 分 析 ［Ｊ］．电 子 学 报 ，２００９，３７（４）：７２０－７２５．
［４］ 邱跃洪，何晨，诸鸿 文．一 种 无 限 折 叠 混 沌 映 射 及 其 量化序 列 ［Ｊ］．上 海 交 通 大 学 学 报，２００２，３６（１２）：
经过多次分岔后，当参数μ ＞３．５７０时，系统进入 混沌状态．
２ Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 混 沌 序 列
分岔图能从总体上反映系统的倍周期运动过 程．根据倍周期分岔 定 理，以 参 数μ 为 横 坐 标、迭 代函数值 为 纵 坐 标，由 （１）式 可 得 到 处 于 不 同 参 数区间的 Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映射分岔图．
第２期
曹 书 豪 ，等 ：Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 及 其 混 沌 序 列 特 性 分 析
１３５
在给定参 数 μ 以 及 系 统 初 值ｘ０ 的 情 况 下， 通过 对 （１）式 的 迭 代 计 算 可 以 获 得 任 意 长 度 的
Ｌｏｇｉｓｔｉｃ序 列 ．当 参 数μ 取 不 同 值 时 ，Ｌｏｇｉｓｔｉｃ映 射 经过多次迭代以后会出现以下情况：
Ｎ
Ｎ
∑ ∑ ａｋ
＝
１ ｎ
ｉ＝１ｘｉｃｏｓπＮｉｊ，ｂｋ
＝
ｎ１ ｉ＝１ｘｉｓｉｎπＮｉｊ．然 后 ，
Logistic混沌映射
Ｌｏｇｉｓｔｉｃ混沌映射作者：张诣来源：《电脑知识与技术》2008年第35期摘要：混沌理论是研究非线性动力学系统随时间变化的规律。
由于混沌系统具有很多优良特性，便将其逐渐应用到密码学及密码分析等学科中。
在简述混沌的基础上介绍了一维Logistic混沌映射由倍周期分岔达到混沌的过程，并分析了一些复杂动力学行为。
最后将一维Logistic混沌映射应用到图像加密中，并通过仿真实验检验算法的安全性及优越性。
关键词：Logistic映射；混沌；图像加密中图分类号：TP309文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)35-2538-02Logistic Chaotic MapZHANG Yi(Department of Computer Science and Information Engineering,Shijiazhuang Railway Institute,Shijiazhuang 050043,China)Abstract: Chaos Theory is the law to study on nonlinear dynamic systems over the time’s change.As chaotic system with many fine characteristics,gradually put its application to cryptography and cryptanalysis and other disciplines.This paper briefly on the basis of chaos on the one-dimensional mapping by the Logistic chaotic times chaotic period bifurcation to the process and analysis of some complex dynamic behaviors.Finally,the one-dimensional mapping Logistic chaotic encryption applied to the image,and through simulation testing algorithm for the safety and superiority.Key words: logistic map;chaos;image encryption1 引言混沌是指在确定性系统中出现的类似随机的过程，其来自非线性。
logistic映射混沌序列的能量谷优化算法
logistic映射混沌序列的能量谷优化
算法
Logistic映射混沌序列的能量谷优化算法
Logistic映射是一种常见的混沌映射，其数学表达式为：
x_{n+1} = μ * x_n * (1 - x_n)
其中，x_n是序列的第n项，μ是控制参数，通常取值为3.57或4。
当μ取这些值时，Logistic映射会产生混沌序列，即序列的值在0和1之间随机跳动，没有明显的周期性。
能量谷优化算法是一种基于优化理论的搜索算法，它试图找到函数的最小值点，即“能量谷”。
在Logistic映射混沌序列的背景下，能量谷优化算法可以被用来寻找混沌序列中的某种“最优”状态或“规律”。
具体实现上，能量谷优化算法会利用Logistic映射产生的混沌序列来搜索解空间。
首先，生成一个Logistic混沌序列，然后利用这个序列来扰动搜索过程，使得搜索能够在解空间中更加全面地搜索。
在每一步搜索中，算法会计算当前解的能量（即某种评价指标的值），并根据能量的大小来决定下一步的搜索方向。
如果当前解的能量较低，那么算法就会朝着这个方向继续搜索，以期找到更低能量的解。
反之，如果当前解的能量较高，那么算法就会改变搜索方向，以避免陷入局部最优解。
通过这种方式，能量谷优化算法能够在混沌序列的引导下，有效地在解空间中搜索最优解。
这种算法在很多优化问题中都有应用，例如机器学习、图像处理、信号处理等领域。