全国高考理科数学试题分类汇编立体几何含答案

2013

年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何

一、选择题 1 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一

个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为

（ ）

A ．35003cm π

B ．38663cm π

C ．313723cm π

D ．320483

cm π 【答案】A

2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同

的直线,

,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是

（ ）

A ．若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥

B ．若//αβ,m α?,n β?,则//m n

C ．若m n ⊥,m α?,

n β?,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 【答案】D

3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之

比为

（ ）

A ．1:2

B ．1:4

C ．1:8

D ．1:16 【答案】C

4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱

柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于

（ ）

A ．23

B ．33

C ．23

D ．13

【答案】A

5 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

（

）

A ．168π+

B ．88π+

C ．1616π+

D ．816π+ 【答案】A 6 ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体

组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有

（ ）

A ．1

243V V V V <<< B ．1324V V V V <<<

C ．2134V V V V <<<

D ．2314V V V V <<< 【答案】C

7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方

体的正视图的面积不可能．．．

等于

（ ）

A ．1

B 2

C 2-1

D 2+1 【答案】C

8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如

图所示,则该四棱台的体积是

（

） A ．4

B ．143

C ．163

D ．6

【答案】B 9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知n m ,为

异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥??,则

（ ）

A ．βα//,且α//l

B ．βα⊥,且β⊥l

C ．α与β相交,且交线垂直于l

D ．α与β相交,且交线平行于l

【答案】D 10．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知三棱柱111

ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体积为9

4,

.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与

平面ABC 所成角的大小为

（

） A ．512π

B ．3π

C ．4π

D ．6π

正视图 俯视图 侧视图

第5题图

【答案】B

11．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题

()5图所示,则该几何体的体积为

（ ）

A ．5603

B ．5803

C ．200

D ．240

【答案】C

12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知三棱柱111

ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥

,112AA =,则球O 的半径为

（ ）

A ．317

B ．210

C ．132

D ．310

【答案】C

13．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ,

正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=

（

）

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11 【答案】A 14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））一个四面体

的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为

（

）

A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】A 15．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在下列命题中,不是

公理．．

的是

（

）

A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B ．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

C ．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内

D ．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线

【答案】A

16．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在空间中,过点A 作

平面π的垂线,垂足为B ,记)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有21PQ PQ =,则

（ ）

A ．平面α与平面β垂直

B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为0

45 C ．平面α与平面β平行

D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060 【答案】A

17．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是

【答案】D

二、填空题

18．（2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为

48π,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________

【答案】2216ππ+.

19．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___3

π_____.

【答案】3

π 20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知圆O 和

圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,32OK

=,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60,则球O 的表面积等于______.

【答案】16π

21．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线

段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.

【答案】

5

22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））

如图,在三棱柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥

ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.

【答案】1:24

23．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））若某几何体的三视图

(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .

【答案】24

24．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,正方体

1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).

①当102CQ <<时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当34

CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;④当314

CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S

的面积为2 【答案】①②③⑤

25．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））某几何体的三视图如图

所示,则该几何体的体积是____________.

【答案】1616π-

26．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知某一多面体内接

于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________

【答案】12π

27．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直

线1A B 与1B C 所成角的大小为_______

【答案】

3π 三、解答题

28．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））如图,AB 是圆的直径,PA

垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.

(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；

(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值

【答案】

29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD

-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3BC

CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.

(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.

【答案】

D 1

C 1 B 1 A 1

D

C A

B

1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,圆锥顶点为

p .底面圆心为o ,其母线与底面所成的角为°.

AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平

面PCD 所成的角为60°.

(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠.

【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ?=??设面面直线且面面

//AB m ?直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//?? .

所以,ABCD D P PAB 的公共交线平行底面

与面面C . (Ⅱ) r

PO OPF F CD r =??=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ?

-?=?∠==????=?5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )223(3)],1-2(3[2

1cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=??-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.

法二:

1．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图,在四面体BCD

A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.

(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为0

60,求BDC ∠的大小.

【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ?面BDC ,所以//PQ 面BDC ;

A B

C D

P

Q

M

（第20题图）

方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1//2

PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11////42

QH AD MD ,所以////PO QH PQ OH ∴,且OH BCD ?,所以//PQ 面BDC ;

(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以CHG ∠就是C BM D --的二面角;

由已知得到

3BM ==,设BDC α∠=,所以

cos ,sin ,sin ,,CD CG CB CD CG BC BD CD BD

αααααα===?===,

在RT BCG ?中

,2sin BG BCG BG BC

ααα∠=∴=∴=,所以在RT BHG ?中

, 2133HG α=∴=,所以在RT CHG ?中

tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠=;

2．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,16AA =,异面直

线1BC 与1AA 所成角的大小为

6

π,求该三棱柱的体积.

【答案】[解]因为1CC 1AA .

所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=6

π. 在Rt 1BC C ?中

,11tan 6BC CC BC C =?∠==,

从而2ABC S ?==

因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ?=?==

B 1 A 1

C 1 A

C B

3．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））

本小题满分14分.

如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =

,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.

求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.

【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点

∵分别是的中点 ∴EF∥AB

又∵EF ?平面ABC, AB ?平面ABC ∴EF∥平面ABC

同理:FG∥平面ABC

又∵EF FG=F, ?平面ABC∴平面//EFG 平面ABC

(2)∵平面⊥SAB 平面SBC

平面SAB 平面SBC =BC

AF ?平面SAB

AF⊥SB

∴AF⊥平面SBC 又∵BC ?平面SBC ∴AF⊥BC

又∵BC AB ⊥, AB AF=A, ?平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ?平面SAB∴BC⊥SA

4．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于

平面DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.

【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,

故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h

考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得111(12)1323

V

=????=

而1AD C ?中,11AC DC AD ==故132

AD C S ?= 所以,13123233V h h =??=?=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23. 5．（2013年高考湖北卷（理））如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平

面ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.

(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明; (II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12

DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求

证:sin sin sin θαβ=.

【答案】解:(I)

EF AC ,AC ABC ?平面,EF ABC ?平面 又EF BEF ?

平面

(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)

6．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））如图1,在等腰直角三

角形ABC 中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,2CD BE ==,O 为BC 的中点.

将ADE ?沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中3A O '=

. (Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得3,32,22OC AC AD ===

连结,OD OE ,在OCD ?中,由余弦定理可得

由翻折不变性可知22A D '=,

所以222

A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥, C

D

O B E H . C

O B

D E A

C

D O B

E 图1 图2 第19题图

理可证A O OE '⊥, 又OD OE O =,所以A O '⊥平面BCDE .

(Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ',

因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥,

所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角.

结合图

1可知,H 为AC 中点,

故2

OH =,从而2

A H

'== 所以cos 5OH A HO A H '∠==

',所以二面角A CD B '--的平面角的余弦值为. 向量法:以

O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A '

,()0,3,0C -

,()1,2,0D - 所以

(CA '=,(1,DA '=- 设(),,n x y z =为平面A CD '的法向量,则

00n CA n DA ?'?=??

'?=?

?,即3020y x y ?+=?

?-++=??,解得y x z =-???=

??,令1x =,得(1,

1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=为平面CDB 的一个法向量,

所以cos ,3n OA n OA n OA '?'

=

==',即二面角A CD B '--的平面角的余弦值为. 7．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1

中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB

(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;

(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值

.

(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长. 【答案】

8．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=A A 1,∠BA A 1=60°.

(Ⅰ)证明AB ⊥A 1C;

(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA 1B 1B,AB=CB=2,求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)取AB 中点E,连结CE,1A B ,1A E ,

∵AB=1AA ,1BAA ∠=0

60,∴1BAA ?是正三角形,

∴1A E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵1CE A E ?=E,∴AB⊥面1CEA , ∴AB⊥1AC ;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,1EA ⊥AB,

又∵面ABC⊥面11ABB A ,面ABC∩面11ABB A =AB,∴EC⊥面11ABB A ,∴EC⊥1EA ,

∴EA,EC,1EA 两两相互垂直,以E 为坐标原点,EA 的方向为x 轴正方向,|EA |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -,

有题设知A(1,0,0),1A 33),B(-1,0,0),则BC 31BB =1AA 3),1A C 33),

设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量,

则10

0BC BB ??=???=??n n ,即30

30x z x ?=??=??,可取n 3,1,-1), ∴1cos ,A C n =11|A C A C ?n |n ||10∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C 10 9．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥

平面ABCD , 12AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D ;

(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.

【答案】解:(Ⅰ) BD O A ABCD BD ABCD O A ⊥∴?⊥11,,面且面 ;又因为,在正方形AB CD 中,BD C A AC A C A AC A BD A AC O A BD AC ⊥?⊥=?⊥11111,，故面且面所以；且.

在正方形AB CD 中,AO = 1 . .111=?O A OA A RT 中，在

O E C A OCE A E D B 1111111⊥为正方形，所以，则四边形的中点为设.

，所以由以上三点得

且，面面又O O BD D D BB O D D BB BD =???111111E .E ,D D BB C A 111面⊥.(证毕)

(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.

以O 为原点,以OC 为X 轴正方向,以OB 为Y 轴正方向.则

)1,0,1()1,1,1(),100(),001(,0,1,0111-=?C A B A C B ，，，，）（.

由(Ⅰ)知, 平面BB 1D 1D 的一个法向量.0,0,1),1,1,1(),1,0,1(111

）（==-==OB A n 设平面OCB 1的法向量为，

则0,0,2122=?=?n OB n n ).

1-,1,0(法向量2=n 为解得其中一个21221

|,cos |cos 212111=?==><=n n θ. 所以,平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ为3

π 10．（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥P ABCD

-中,PA ,ABCD E BD ⊥平面为的中点,G PD 为的中点，

3,12

DAB DCB EA EB AB PA ???====

，,连接CE 并延长交AD 于F . (1) 求证:AD CFG ⊥平面; (2) 求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.

【答案】解:(1)在ABD ?中,因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ===

=, 故,23

BAD ABE AEB π

π∠=∠=∠=, 因为DAB DCB ???,所以EAB ECB ???,

从而有FED FEA ∠=∠,

故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG ∥PA .

又PA ⊥平面ABCD ,

所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .

1A

(3) 以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则33(0,0,0),(1,0,0),(,,0),(0,3,0)2A B C D , (4)

3(0,0,)2P ,故1333333(0),(,),(2222BC CP CD ==--=-，，， 设平面BCP 的法向量111(1,,)n y z =,则111130223330222

y y z ?+=????--+=?? , 解得113323y z ?=-????=??

,即132(1,)33n =-. 设平面DCP 的法向量222(1,,)n y z =,则2223302233302

22y y z ?-+=????--+=??,解得2232y z ?=??=??, 即2(1,3,2)n =.从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为

1212423cos 1689

n n n n θ?===?. 11．（2013年高考四川卷（理））如图,在三棱柱11ABC A B C -中,侧棱1AA ⊥底面

ABC ,12AB AC AA ==,120BAC ∠=,1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点,P 是线段AD 的中点.

(Ⅰ)在平面ABC 内,试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ,说明理由,并证明直线l ⊥平面11ADD A ;

(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l 交AB 于点M ,交AC 于点N ,求二面角1A A M N --的余弦值.

【答案】解:()I 如图,在平面ABC 内,过点P 做直线l BC l 1A BC BC 1A BC l 1A BC

由已知,AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥,则直线l AD ⊥.

因为1AA ⊥平面ABC ,所以1AA ⊥直线l .又因为1,AD AA 在平面11ADD A 内,且AD 与1AA 相交,所以直线平面11ADD A

()II 解法一:

连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E ,过E 作1EF A M ⊥于F ,连接AF .

由()I 知,MN ⊥平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1A MN .

所以AE ⊥平面1A MN ,则1A M AE ⊥.

所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .

故AFE ∠为二面角1A A M N --的平面角(设为θ).

设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠=,有60BAD ∠=,2,1AB AD ==.

又P 为AD 的中点,所以M 为AB 的中点,且1,12

AP AM ==, 在1Rt AA P 中

, 12

A P =;在1Rt A AM 中

, 1AM 从而

,11AA AP AE A P ?==

11

AA AM AF A M ?==,

所以sin AE AF θ==.

所以cos 5θ===. 故二面角1A A M N --

的余弦值为

5

解法二:

设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,AE AD ,1AA 的方向为

x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点1A 重合).

则()10,0,0A ,()0,0,1A .

因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,

故11,1,,122M N ???? ?? ?????

, 所以131,122A M ??= ? ???,()10,0,1A A =,()

3,0,0NM =. 设平面1AA M 的一个法向量为()1111,,n x y z =,则

1111,,n A M n A A ?⊥??⊥??即11110,0,

n A M n A A ?

?=???=??故有 从而111110,220.x y z z ++

=??=?

取11x =

,则1y =,所以()11,n =.

设平面1A MN 的一个法向量为()2

222,,n x y z =,则 212,,n A M n NM ?⊥??⊥??即2120,0,n A M n NM ?

?=???=?

?故有()())

2222221,,,10,2,,0,x y z x y z ???=??

?????

??=?? 从而222210,220.x y z ++=??=?

取22y =,则21z =-,所以()20,2,1n =-.

设二面角1A A M N --的平面角为θ,又θ为锐角,

则1212cos 5n n n n θ?===?.

故二面角1A A M N --

12．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））

本小题满分10分.

如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的中点

(1)求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值

(2)求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值.

【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力.

解:(1)以{}1

,,为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyz A -, 则)0,0,0(A )0,0,2(B ,)0,2,0(C ,)4,0,0(1A ,)0,1,1(D ,)4,2,0(1C ∴)4,0,2(1-=A ,)4,1,1(1--=A

∴10

103182018

,cos 11==>=

103 (2))0,2,0(= 是平面1ABA 的的一个法向量

设平面1ADC 的法向量为),,(z y x =,∵)0,1,1(=,)4,2,0(1

=AC 由1,AC m AD m ⊥⊥

∴???=+=+0

420z y y x 取1=z ,得2,2=-=x y ,∴平面1ADC 的法向量为)1,2,2(-= 设平面1ADC 与1ABA 所成二面角为θ

∴3

2324,cos cos =?-==><=θ, 得35sin =θ ∴平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值为

35

13．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四棱

锥P ABCD -中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==?，与PAD ?都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小.

【答案】

14．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））

如图所示,在三棱锥P ABQ -中,PB ⊥平面ABQ ,BA BP BQ ==,,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点,

2AQ BD =,PD 与EQ 交于点G ,PC 与FQ 交于点H ,连接GH .

(Ⅰ)求证:AB GH ; (Ⅱ)求二面角D GH E --的余弦值.

【答案】解:(Ⅰ)证明:因为,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点,

所以EF ∥AB ,DC ∥AB ,所以EF ∥DC ,

又EF ?平面PCD ,DC ?平面PCD ,

所以EF ∥平面PCD ,

又EF ?平面EFQ ,平面EFQ 平面PCD GH =,

所以EF ∥GH ,

又EF ∥AB ,

所以AB ∥GH .

(Ⅱ)解法一:在△

ABQ 中, 2AQ BD =,AD DQ =, 所以

=90ABQ ∠,即AB BQ ⊥,因为PB ⊥平面ABQ ,所以AB PB ⊥, 又BP BQ B =,所以AB ⊥平面PBQ ,由(Ⅰ)知AB ∥GH ,

所以GH ⊥平面PBQ ,又FH ?平面PBQ ,所以GH FH ⊥,同理可得GH HC ⊥,

所以FHC ∠为二面角D GH E --的平面角,设

2BA BQ BP ===,连接PC ,

在t R △FBC 中,由勾股定理得,FC =