等比数列前n项和第一课时课件-数学-高一必修5第二章数列2.5人教A版
数列
2.5 等比数列的前n项和
1.理解等比数列前n项和公式的推导方法和过 程. 2.掌握等比数列前n项和公式及其性质的运用. （重点）
3.能够运用错位相减法对数列求和.（难点）
国际象棋盘内麦子数“爆炸” 传说西塔发明了国际象棋而使国 王十分高兴，他决定要重赏西塔， 西塔说：“我不要您的重赏，陛下，
(2)法一 设原等比数列的公比为 q，项数为 2n(n∈N*)．
2n 1 － q 2 ＝85， 1－q 由已知 a1＝1，q≠1，有 2n q 1 － q 2 ＝170. 1－q
① ②
由②÷ ①，得 q＝2， 1－4n ∴ ＝85,4n＝256，∴n＝4. 1－4 故公比为 2，项数为 8.
只要您在我的棋盘上赏一些麦子就
行了.
在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2 粒，在第3个格子里放4粒，依此类推，以后每一 个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒
数的2倍，直到放满第64个格子就行了.”“区区
小事，几粒麦子，这有何难，来人！”，国王令 人如数付给西塔.
计数麦粒的工作开始了，第一格 内放1粒，第二格内放2粒，第三 格内放4粒，„„,还没有到第二
n 1 2 2 ；前n项和Sn=__________.
4. （2013·北京高考）若等比数列{an}满足a2＋a4=20，
a3＋a5=40，则公比q=
2
1.注意等比数列的前n项和公式分 q 1和 q 1
两种情况.
Sn = 当q≠1时， a1 1- q n 1- q
或 Sn =
a1 - a n q 1- q
十格，一袋麦子已经空了.一袋
又一袋的麦子被扛到国王面前来 。但是，麦粒数一格接一格飞快 增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也 兑现不了他对西塔的诺言.如何求呢？请进入本节课
的学习！
探究点 等比数列前n项和公式 我们来研究新课导入中的问题：
思考1
每个格子里的麦粒数依次组成一个
什么样的数列？是等比数列吗？ 提示：每个格子里的麦粒数依次组成
.
【探究提示】分子是首项为1,公差为2的等差数列,分母是首 项为2,公比为2的等比数列.
1 3 5 7 2n 1 S … ， 【解】设 n 2 4 8 16 2n 1 1 3 5 7 2n 1 Sn … n 1 , 2 4 8 16 32 2 两式相减得： 1 1 2 2 2 2 2 2n 1 Sn … n n 1 2 2 4 8 16 32 2 2 1 1 1 1 1 1 2n 1 ( … n 1 ) n 1 2 2 4 8 16 2 2 1 1 n 1 [1 ( ) ] 1 2 2n 1 3 2n 3 2 n 1 n 1 , 1 2 2 2 2 1 2 所以 S 3 2n 3 . n 2n 答案： 3 2n 3 2n
Sn an
当q 1时, 当q 1时,
a1 (1 q n ) Sn . 1 q Sn na1 .
证法二： 设等比数列
a1 , a2 , a3 ,, an ,
它的前n项和是Sn a1 a2 a3 an 由 Sn a1 a2 a3 an及an a1qn1得
由 S64 1 2 2 2 2 2 . ①
2 3 62 63
得 2S64 2 4 8 16 263 264.
②
64 S 2 1 ② － ①，得 64
这种求和方法称为“错位相减法”，“错位相减
法”是研究数列求和的一个重要方法．
思考3
请同学们自由讨论，自己试着推导
1．解决本例有两种思路：用等比数列的前 n 项和公式直接 求解，属通性通法；用性质求解，方法灵活，技巧性强，有时使 计算简便． 2．等比数列前 n 项和的常用性质 (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{an}中，公比为 q. ①若共有 2n 项，则 S 偶∶S 奇＝q； ②若共有 2n＋1 项， a1＋a2n＋1q 则 S 奇－S 偶＝ (q≠1 且 q≠－1)． 1＋q
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1.⑴
错位相减 法
⑴×q,得
qSn a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 a1qn .⑵
n 1 q S a a q n 1 1 , ⑴－⑵，得
Sn 所以当q≠1时，
2.错位相减法进行求和的基本步骤 (1)在等式Sn=a1+a2+a3+„+an两边同乘以等比数列的公比q. (2)两式相减：左边为(1-q)Sn,右边为q的同次式对齐相减. (3)右边去掉最后一项(有时需要去掉第一项)剩下的各项组成 等比数列,可以采用公式求和.
例 6. (1)已知等比数列{an}中，前 10 项和 S10＝10，前 20 项和 S20＝30，求 S30. (2)一个等比数列的首项是 1，项数是偶数，其奇数项的和为 85，偶数项的和为 170，求此数列的公比和项数．
【思路探究】
(1)列出关于 a1，q 的方程组能求解吗？S10，
S20 － S10 ， S30 － S20 是否成等比数列？用这一性质能解决吗？ (2)“奇数项之和”、“偶数项之和”的含义是什么？你能使用 等比数列前 n 项和的性质求解吗？
【解析】 (1)法一 设数列{an}的首项为 a1，公比为 q，显 a11－q10 ＝10， 1－q 然 q≠1，则 20 a 1 － q 1 ＝30. 1－q
的产值组成以a为首项，（1+p）为公比的等比数列，
因此，该厂去年全年的总产值为
12 12 a 1-(1+ p) a (1+ p) -1 . S12 = = 1-(1+ p) p 12 a (1+p) -1 元. 答：该工厂去年全年的总产值为
p
例5.
1 3 5 7 2n 1 ，，， ，…， n 的前n项和为 2 4 8 16 2
【方法技巧】 1.错位相减法的使用范围及注意事项 (1)适用范围：主要适用于{an}是等差数列,{bn}是等比数列, 求数列{anbn}的前n项和. (2)注意事项：①利用“错位相减法”时,在写出Sn与qSn的表 达式时,应注意使两式对齐,以便于作差,正确写出(1-q)Sn的 表达式;②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1.
1,2,22 ,23 ,24， 25 ,…， 263
因为此数列后一项与前一项的比值为2， 所以此数列是等比数列.
思考2
请同学们思考一下，故事中发明家
要求的麦粒总数如何求解？ 提示：发明家要求的麦粒总数就是上述数列的前64
2 3 4 63 1 2 2 2 2 … +2 项的和，即：
天取它的一半，永远也取不完.
如果将每天取出的木棒长度排成一个数列，则得
1 ，公比 q 的等比数列，它的 2 1 1 n 前n项和为 1 ( ) 1 n 2 2 Sn 1 ( ) . 1 2 1 2
1 到一个首项 a1 2
1 n 1 Sn ( ) 总大于0，这说明一尺 不论n为何值， 2
一下等比数列前n项和公式？
an a2 a3 证法一： 由等比数列的定义，a a a q, 1 2 n 1
根据比例的性质， a2 a3 an Sn a1 q,
Sn a1 q (1 q)Sn a1 an q. 即 Sn an
a1 a2 an1
例3
…99 求和：9+99+999+„+ 999 .
n个9
分析：数列9，99，999，„不是等比数列， 不能用公式求和，但将它转化成10-1，100-1， 1 000-1，„就容易解决了. 解：原式=（10-1）+（102-1）+„+（10n-1）
=(10+102+„+10n)-n
所以，64
2 1 超过了1.84 10 ,假定千粒麦子的
19
质量为40g,那么麦粒的总重量超过了7000亿吨， 铺在地球表面厚度可达9毫米厚. 所以国王是不可能满足发明者的要求的.
例1 .“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.怎样 用学过的知识来说明它？
解：这句古话用现代文叙述是：一尺长的木棒，每
10(10n 1) n 10 1
10 (10n 1) n. 9
例4
某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长
率为p（p>0）,求这个工厂去年全年产值的总和. 解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元，3月，4月 „„的产值分别为a(1+p)2,a(1+p)3,„„去年12个月
长的木棒按上述方法永远也取不完.
例2 .等比数列 an 8项的和 S8 .
7
1 ， 的公比q ，a8 1 求前 2
a8 7 解：因为 a8 a1q , 所以 a1 7 2 . q
1 8 2 1 ( ) 8 a (1 q ) 2 8 S8 1 2 1 255. 1 1 q 1 2
a1 1 q n 1 q
或Sn
a1 an q 1 q
显然，当q=1时，
Sn na1
等比数列的前n项和公式
na1
a1 1 q n 1 q
na1
a1 a n q 1 q
思考4
根据前面推导的等比数
列的前n项和公式，计算一下麦粒的 总数是多少呢？
a1 (1 qn ) 1 (1 264 ) 64 解：Sn 2 1 1 q 1 2
1.（2013·新课标全国卷Ⅰ）设首项为1，公比为2 A. Sn 2an 1 C. Sn 4 3an
2020版新学优数学同步人教A必修五课件：2.5 第1课时 等比数列的前n项和
1
a1=2,a6=16,则
.
解析:①由公式可得
②由
.
3×(1-45 )
S5=
=1
1-4
023.
1
a1=2,a6=16,得 q=2,
1
63
2-16×2
故 S6=
1-2
答案:①1 023=2. Nhomakorabea63
②2
第七页，编辑于星期日：一点 二十八分。
课前篇自主预习
二、错位相减法求数列的和
1.思考:推导等比数列前n项和公式的方法称为错位相减法,这种方法还适合
和一个等比数列的各项相乘得到的数列,可以采用错位相减法求和.
第十六页，编辑于星期日：一点 二十八分。
课堂篇探究学习
探究一
1
2
探究二
思维辨析
5
8
2-1
,①
2
2-1
3
4
当堂检测
解:设 Sn= + + +…+
1
1 3
5
则2Sn=4 + 8 + 16+…+ +1 ,②
2
1
1 2 2
2
2
①-②,得2Sn=2 + 4 + 8 + 16+…+
1 (1-1 )
1 -
(n≥2).当 n=1 时,S1=a1=
,也满足上式.于是 Sn=
1-
1-
1-
1 (1- )
(q≠1).
1-
=
第四页，编辑于星期日：一点 二十八分。
课前篇自主预习
4.填空:
等比数列的前n项和公式
《2.5 等比数列的前n项和》 课件 1-优质公开课-人教A版必修5精品
1.19≈2.36 1.110≈2.60 1.111≈2.85
1.00499≈1.04 1.004910≈1.05 1.004911≈1.06
解:(1)今年学生人数为b人,则10年后学生人数为b(1+4.9‰)10≈1.05b, 由题设可知,1年后的设备为 a×(1+10%)-x=1.1a-x, 2年后的设备为 (1.1a-x)×(1+10%)-x=1.12a-1.1x-x=1.12a-x(1+1.1),…, 10年后的设备为
题型三 等比数列的综合应用
【例3】 (12分) (2012年高考陕西卷)设{an}是公比不为1的等比数列,其前 n项和为Sn,且a5,a3,a4成等差数列. (1)求数列{an}的公比; (2)证明:对任意k∈N+,Sk+2,Sk,Sk+1成等差数列.
名师导引: (1)由a5,a3,a4成等差数列,列方程求解; (2)利用求和公式,等差中项证明. (1)解:设数列{an}的公比为q(q≠0,q≠1). 由a5,a3,a4成等差数列, 得2a3=a5+a4,……………………………………………………2分 即2a1q2=a1q4+a1q3.………………………………………………4分 由a1≠0,q≠0得,q2+q-2=0, 解得q1=-2,q2=1(舍去), 所以q=-2.………………………………………………………6分
法二 对任意 k∈N+,2Sk= 2a1(1 qk ) , 1 q
Sk+2+Sk+1= a1(1 qk 2 ) + a1(1 qk 1) = a1(2 qk 2 qk 1) ,
1 q
1 q
1 q
2021_2022学年高中数学第二章数列第4节等比数列第1课时等比数列课件新人教A版必修5
练一练
3．(1)若等比数列的前三项分别为 5，－15，45，则第
5 项是( )
A．405
B．－405
C．135
D．－135
解析：选 A ∴a5＝405.
∵a5＝a1q4，而 a1＝5，q＝aa21＝－3，
(2) 已知数列{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝230，则数列{an} 的通项公式为________________． 解析：设等比数列的公比为 q，则 q≠0，a2＝aq3＝2q，a4＝a3q ＝2q.∴2q＋2q＝230，解得 q＝13或 q＝3. 当 q＝13时，a1＝18，∴an＝18×13n－1＝2×33－n； 当 q＝3 时，a1＝29，∴an＝29×3n－1＝2×3n－3.
于 同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比 数列的 公比，公比通常用字母 q 表示(q≠0)．
(2)等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成 等比数列，
那么 G 叫做 a，b 的等比中项，这三个数满足关系式 G＝± ab. (3)等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q(q≠0)，则通项公式
第1课时 等比数列
[核心必知]
1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P48～P49，回答下列问题： (1)观察下面的各组数据 ①由细胞分裂问题，得到数列：1，2，4，8，…； ②由“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，得到数列：1，12，14，18，…； ③由计算机病毒的传播，得到数列：1，20，202，203，…； ④由银行的一种计息方式“复利”，得到数列：10 000×1.019 8， 10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000× 1.019 85.这些数列有什么共同特点？ 提示：从第 2 项起，每一项与前一项的比都等于一个常数．
等比数列的前n项和公式(第1课时)(教学课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
a1 (1 q n )
当1 q 0,即q 1时,S n
.
1 q
当q 1时,Sn na1 .
a1 (1 q n )
，q 1
∴S n 1 q
na ，
q1
1
等比数列的前n项和公式：
若等比数列{an }的首项为a1 ,公比为q,则{an }的前n项和公式为
1 q
.
na ，
q1
q1
室
1
na1，
an am q n m .
3.等比数列{an}的重要性质：
若m n s t，则am an a s at .
特别地，若m n 2 p，则aman a 2p .
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
a1 (1 q n )
，q 1宋老
Sn 1 q
师数
na ，
q 1学精
1
品工
宋老师
∵an a1q n 1，∴上述公式还可以写成
作室
宋老师数学精品工作室
数学精
品工作
a1 an q
，q 1
室
Sn 1 q
na ，
1
q1
按1000颗麦粒的质量
例7 已知数列{an}是等比数列.
1
1
,q ,求S8 ；
2
2
1
宋老
(2) 若a1 27,a9
,q 0,求S8 ；
师数
243
1
31学精
(3) 若a1 8,q ,S n 品工
新课标人教A版数学必修5全部课件：等比数列前n项和
1、等比数列的定义
2、等比数列的通项公式
☆：已知三个量，可以求出第四个量。 （说“三”道“四”）
问题：如何来求麦子的总量？
即求：1，2，22，··，263的和； ·· ·· 令：S64=1+2+22+······+262+263 得: 2S64=
g
2+22+23+······ +263+264
，
错位相减得： S64= 264 – 1 > 1.8 ×1019
以小麦千粒重为40麦子质量超过7000亿吨！
麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出的。
等比数列的求和公式
一般地，设有等比数列：a1，a2，a3，···，an··· S n= a1+ a2 + a3 + ··· + an 即：S n= a1+ a1q + a1q2 +······+ a1qn-2 + a1qn-1 qSn= a1q + a1q2 + a1q3 +······ + a1qn-1+a1qn （1-q）Sn=a1-a1qn 错位相减得：
等比数列的求和公式(q≠1)
在 a1、q、n、Sn、 an 中 知“三”求“二”பைடு நூலகம்
例2、 某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年 的产量比上一年增加10%，那么第1年起，约几年 内可使总产量达到30万吨（保留到个位）？ 解：根据题意，每年的产量比上一年增加的百 分率相同，所以从第１年起，每年的产量组成 一个等比数列｛an｝。 其中：a1=5， q=1+10%=1.1， Sn=30；
例4、设数列 为 求此数列前n项和。
高中数学必修5课件：第2章2-5-1等比数列的前n项和
数学 必修5
第二章 数列
4．在等比数列{an}中，a3－a1＝8，a6－a4＝216，Sn＝40. 求公比q，a1及n.
解析： 显然公比q≠1，由已知可得：
a1q2－a1＝8， aa11q115－－－qaq1nq＝3＝4201，6，
a1＝1， 解得q＝3，
n＝4.
数学 必修5
第二章 数列
等比数列前n项和的基本运算
第二章 数列
新课引入
一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人会不愿意，哪知富 人一口应承了下来，但提出了如下条件：在 30 天中，每天借给穷 人 10 万元．借钱第一天，穷人还 1 分钱，第二天，还 2 分钱，以 后每天所还的钱数都是前一天的 2 倍，30 天后，互不相欠．穷人 听后觉得很划算，本想一口气定下来，但又想到富人平时是吝啬 出了名的，怕上当受骗，所以很为难．本节课我们来想个办法帮 助这个穷人.
数学 必修5
第二章 数列
(2)由题意知：SS奇 奇＋ －SS偶 偶＝ ＝－ 802，40， ∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106， 0. ∴公比q＝SS偶 奇＝－－18600＝2.
答案： (1)28
数学 必修5
第二章 数列
用错位相减法求数列的和
求和Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn.
[思路点拨]
[规范解答] (1)当x＝0时，Sn＝0.
∴aa111111－ －－ －qqqq36＝ ＝7262， 3.
① ②
②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①中得a1＝12， ∴an＝a1qn－1＝12·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.
数学 必修5
第二章 数列
(3)由Sn＝
a11－qn 1－q
新课标人教A版数学必修5全部课件：等比数列
n 1
x 1 n ( ) 2
n 1
an 5 1
n 1
5
a n ( 1)
n 1
等比数列的图象1
20 18 16 14 12 10 8
6 4 2 0
● ●
（1）数列：1，2，4，8，16，…
●
an 2
n 1
等比数列的有关概念
观察数列，共同特点是： (1) 2，4，8，16，32，64.
(2)
公比 q=2 递增数列
1，3，9，27，81，243，… 公比 q=3 递增数列
公比 d= x 公比 q= 递减数列
(5) (6)
5，5，5，5，5，5，… 1，-1，1，-1，1，…
公比 q=1 非零常数列 公 比q= -1 摆动数列
答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.
等比数列的通项公式练习1
求下列等比数列的第4，5项： （1） 5，-15，45，… （2）1.2，2.4，4.8，…
例3、求下列各等比数列的通项公式： 1、 a1 = 2, a 3 = 8
2、 a1=5, 且 2 an+1 = 3 an
3、 a1=5, 且
例4、已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号， 求证： 证：由题设：b2=ac 得： 也成 GP。
也成GP
答：到第5代大约可以得到这种新品种的种子
粒.
等比数列的通项公式例题2
例2 、 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，
求它的第1项与第2项.
答：这个数列的第1项与第2项分别是
例3 某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单 价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平均每次降价 的百分率大约是多少（精确到1%）？ 解： 设平均每次降价的百分率是x， 由已知条件，有
2019-2020人教A版数学必修5第2章 2.5 第1课时 等比数列的前n项和
2.5 等比数列的前n 项和第1课时 等比数列的前n 项和1．等比数列前n 项和公式思考：类比等差数列前n 项和是关于n 的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n 项和S n ?[提示] 可把等比数列前n 项和S n 理解为关于n 的指数型函数． 2．错位相减法(1)推导等比数列前n 项和的方法一般地，等比数列{a n }的前n 项和可写为： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ① 用公比q 乘①的两边，可得 qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n ，②由①－②，得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， 整理得S n ＝a 1（1－q n ）1－q(q ≠1)．(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{a n ·b n }前n 项和的求解，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且q ≠1.思考：等比数列的前n 项和公式的推导还有其他的方法吗？[提示] 根据等比数列的定义，有：a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q ，再由合比定理，则得a 2＋a 3＋a 4＋…＋a na 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n＝q ，进而可求S n .1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…(x ≠0)的前n 项和S n 为( ) A ．1－x n 1－xB ．1－x n －11－xC ．⎩⎨⎧1－x n1－x （x ≠1），n （x ＝1）D ．⎩⎨⎧1－x n －11－x （x ≠1），n （x ＝1）C [当x ＝1时，数列为常数列，又a 1＝1，所以S n ＝n . 当x ≠1时，q ＝x ，S n ＝a 1（1－x n ）1－x ＝1－x n1－x.]2．等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则S 5＝________． 31 [S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝1－251－2＝31.]3．数列12，24，38，416，…的前10项的和S 10＝________． 509256[S 10＝12＋24＋38＋…＋929＋10210， 则12S 10＝14＋28＋…＋9210＋10211.两式相减得，12S 10＝12＋14＋18＋…＋1210－10211＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12101－12－10211，所以S 10＝509256.]4．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．11(1.15－1)a [去年产值为a ，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1.12a ，1.13a ，1.14a ，1.15a .所以1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝a ·1.1－1.161－1.1＝11(1.15－1)a.]n (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求q . [解] (1)由题意知 ⎩⎨⎧a 1（1＋q ）＝30，a 1（1＋q ＋q 2）＝155， 解得⎩⎨⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－56n 11. (2)法一：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝312. 法二：由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6， 得q 3＝18，从而q ＝12. 又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10，所以a 1＝8，从而S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝312.(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根． 从而⎩⎨⎧a 1＝2，a n ＝64或⎩⎨⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q＝126，所以q 为2或12.1．在等比数列 {a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．1．在等比数列{a n }中．(1)若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ； (2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n .[解] (1)由S n ＝a 1－a n q 1－q 得112＝2－162q1－q ，∴q ＝－2，又由a n ＝a 1q n －1得162＝2(－2)n －1，∴n ＝5.(2)若q ＝1，则S 8＝2S 4，不合题意，∴q ≠1， ∴S 4＝a 1（1－q 4）1－q＝1，S 8＝a 1（1－q 8）1－q＝17，两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4，∴q ＝2或q ＝－2，∴a 1＝115或a 1＝－15，∴a n ＝115·2n －1或－15·(－2)n －1.从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)思路探究：解决等额还贷问题关键要明白以下两点：(1)所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为S ＝P (1＋r )n ，其中P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本利和．(2)从还贷之月起，每月还贷金额是构成等比数列还是等差数列，首项是什么，公比或公差是多少．[解] 法一：设每个月还贷a 元，第1个月后欠款为a 0元，以后第n 个月还贷a 元后，还剩下欠款a n 元(1≤n ≤6)，则a 0＝10 000，a 1＝1.01a 0－a ， a 2＝1.01a 1－a ＝1.012a 0－(1＋1.01)a ， …a 6＝1.01a 5－a ＝…＝1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a . 由题意，可知a 6＝0，即1.016a 0－[1＋1.01＋…＋1.015]a ＝0， a ＝1.016×1021.016－1.∵1.016≈1.061，∴a ＝1.061×1021.061－1≈1 739.故每月应支付1 739元．法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S 1＝104(1＋0.01)6＝104×(1.01)6(元)．另一方面，设每个月还贷a 元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为 S 2＝a (1＋0.01)5＋a (1＋0.01)4＋…＋a＝a [（1＋0.01）6－1]1.01－1＝a [1.016－1]×102(元)．由S 1＝S 2，得a ＝1.016×1021.016－1.以下解法同法一，得a ≈1 739，故每月应支付1 739元．解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求a n ，还是求S n ？特别要注意准确弄清项数是多少．②弄清题目中主要的已知事项．(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达．(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．2．一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%. 这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？[解] 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝25×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45＝125×[1－(45)n]<125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.1．对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?[提示] 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝1－2641－2＝264－1.2．由项数相等的等差数列{n }与等比数列{2n }相应项的积构成新的数列{n ·2n }是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n 项和S n 的表达式是什么？[提示] 由等差数列及等比数列的定义可知数列{n ·2n }既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n 项和S n 的表达式为S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .3．在等式 S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n 两边同乘以数列{2n }的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求S n 的问题转化为等比数列的前n 项和问题吗？[提示] 在等式S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 两边同乘以{2n }的公比可变形为2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，② ②－①得：S n ＝－1·21－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1 ＝－(21＋22＋23＋…＋2n )＋n ·2n ＋1.此时可把求S n 的问题转化为求等比数列{2n }的前n 项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an }和一个等比数列{b n }相应项的积构成的数列{a n b n }前n 项和的方法叫错位相减法．【例3】 已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0，1)，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .思路探究：(1)根据a 1，a 2，a 3－18成等差数列求得公比q ，写出通项公式； (2)由b n ＝na n 可知利用错位相减法求和． [解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝12，因为a 1，a 2，a 3－18成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－18， 即得4q 2－8q ＋3＝0， 解得q ＝12或q ＝32，又因为q ∈(0，1)，所以q ＝12， 所以a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝12n .(2)根据题意得b n ＝na n ＝n2n ， S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， ① 12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1， ②作差得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，S n ＝2－(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.1．本题中设c n ＝na n，求数列{c n }的前n 项和S n ′.[解] 由题意知c n ＝n ·2n ，所以S n ′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －2)×2n －2＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ， 2S n ′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －2)×2n －1＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1， 两式相减得：－S n ′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n －1＋2n －n ·2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )·2n ＋1－2，所以S n ′＝(n －1)·2n ＋1＋2.2．本题中设d n ＝(2n －1)a n ，求数列{d n }的前n 项和T n . [解] 由题意可得：T n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×12n ，12T n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1， 两式相减得12T n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1＝12＋12×1－12n －11－12－(2n －1)×12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1，所以T n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n.错位相减法的适用题目及注意事项(1)适用范围：它主要适用于{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和．(2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式．②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即当q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和.1．判断正误(1)求等比数列{a n }的前n 项和时可直接套用公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q 来求．( )(2)若首项为a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n 项和为S n ＝na .( )(3)若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)，则此数列一定是等比数列．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√[提示] (1)错误．在求等比数列前n 项和时，首先应看公比q 是否为1，若q ≠1，可直接套用，否则应讨论求和．(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n 项和为S n ＝na .(3)正确．根据等比数列前n 项和公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q (q ≠0且q ≠1)变形为S n ＝a 11－q －a 11－q q n (q ≠0且q ≠1)，若令a ＝a 11－q，则和式可变形为S n ＝a －aq n .2．已知等比数列{a n }的首项a 1＝3，公比q ＝2，则S 5等于( ) A ．93 B ．－93 C ．45 D ．－45 A [S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝3（1－25）1－2＝93.]3．在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝________．510 [a 1＋a 4＝a 1(1＋q 3)＝18，a 2＋a 3＝a 1(q ＋q 2)＝12，两式联立解得q ＝2或12，而q 为整数，所以q ＝2，a 1＝2，代入公式求得S 8＝2（1－28）1－2＝510.]4．求和：12＋34＋58＋716＋…＋2n －12n .[解] 设S n ＝12＋34＋58＋716＋…＋2n －12n＝12＋322＋523＋724＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，① 则12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1.② ①－②，得12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝12＋12＋122＋…＋12n －1－2n －12n ＋1 ＝12＋12－12n －1×121－12－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1，∴S n ＝3－2n ＋32n .。
人教a版必修五课件：等比数列的前n项和(47页)
(2)由bn＝nan＝n· 22n 1知
－
Sn＝1· 2＋2· 23＋3· 25＋…＋n· 22n－1. 从而22· Sn＝1· 23＋2· 25＋3· 27＋…＋n· 22n＋1. ①－②得 (1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n 1－n· 22n 1.
－ ＋
① ②
1 即Sn＝9[(3n－1)22n＋1＋2]．
2．当q≠1时，等比数列的前n项和公式有两种形式Sn a11－qn a1－anq ＝ 及Sn＝ ，应用时应如何选择？ 1－q 1－q
a11－qn 提示：已知a1，q，n且q≠1时用Sn＝ ，已知 1－q a1－anq a1，q，an且q≠1时，用公式Sn＝ . 1－q
3．等比数列前n项和的公式是如何推导的？
课 前 自 主 预 习
课 前 预 习 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·明 确 目 标
新知初探
等比数列前n项和公式 知识点 基本 公式 等比数列 前n项和公 式 推导等比 数列前n项 和的方法 基本内容
[点评]
所谓错位相减法是指在求和式子的左右两边
同乘等比数列的公比，然后错位相减，使其转化为等比数 列求和问题．此种方法一般应用于形如数列{anbn}的求和， 其中数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列．
1 2 3 n 变式训练2 求和Sn＝a＋a2＋a3＋…＋an. 解：分a＝1和a≠1两种情况．
(2)设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3 ＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
15 a1[1－－2 ] 解析：(1)S5＝ 1 ＝11⇒a1＝16， 1－－2 1 a5＝a1· q4＝16×(－2)4＝1.
2018版高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和(一) 新人教A版必修5
本课结束
第二章 数 列
§2.5 等比数列的前n项和(一)
学习 目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单 问题.
栏目 索引
知识梳理 题型探究 当堂检测
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 等比数列前n项和公式 1.等比数列前n项和公式
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81. (1)求an及其前n项和Sn； 解 设{an}的公比为q，依题意得
a1q＝3 a1q4＝81
，解得aq1＝＝31
，
因此，an＝3n－1，Sn＝111－－33n＝3n－2 1.
解析答案
1 (2)设 bn＝1＋log3an，求数列bn·bn＋1的前 10 项和 T10.
＋a5＋a6＋a7等于( )
11
19
A. 8
B.16
9
3
C.8
D.4
解析答案
12345
3.设等比数列{an}的公比 q＝3，前 n 项和为 Sn，则Sa42等于___4_30____. 解析 由题意得 S4＝a111－－334＝40a1，又 a2＝3a1， ∴Sa42＝430.
解析答案
12345
4.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和是___1_2_0___. 解析 ∵a5＝a2·q3，∴q3＝2943＝27. ∴公比q＝3，从而a1＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝311－－334＝120.
解析答案
12345
5．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝ ________，S5＝________．