一类变系数抛物型微分方程的自由边界问题
一类p-Laplacian椭圆抛物型偏微分方程解的唯一性
一类p-Laplacian椭圆抛物型偏微分方程解的唯一性袁海君【摘要】主要利用了凸集的有序性,证明了一类p-Laplacian椭圆抛物型偏微分方程即:ρt(u)-▽·(|▽u|p-2▽u) =f(t,x)的解的唯一性,其定义在区域(0,T)×Ω,其中Ω是RN的一个有界区域(N≥1),边界(a)Ω是C2光滑的p≥2,ρ(u(0,x))=ρ0.【期刊名称】《山东商业职业技术学院学报》【年(卷),期】2014(014)005【总页数】3页(P124-126)【关键词】p-Laplacian;凸集;有序性;唯一性【作者】袁海君【作者单位】山东商业职业技术学院,山东济南250103【正文语种】中文【中图分类】O172目前，物理学、生物化学、医学、控制论等学科的实际问题均可以通过偏微分方程来解决。
人们对其的研究日渐深入，并取得了很多重要的成果，使得这方面的理论日趋完善。
本文研究一类具有初边值问题的椭圆抛物型偏微分方ρt(u)-▽·(|▽u|p-2▽u)=f(t,x)其中，(t,x)∈(0,T)×Ω且ρ(u(0,x))=ρ0其中Ω是RN的一个有界区域(N≥1)，ρ:R→R是有界的非减的Lipschitz连续的函数，其中Lipschitz常数Cp>0。
近年来具有上述初值的椭圆抛物型方程解的问题受到越来越多的关注，在工程力学方面应用性越来越广泛。
文献[1]已经证明了该方程解的存在性。
接下来利用解的有序性来证明该方程解的唯一性。
首先结合文献[2]做如下假设(a)如果和▽，那么。
(b)对任意的和,并且有,有).为了去陈述下面的定理，接下来定义在凸集间的有序关系。
定义1对于两凸集⊂H,如果下面的结论成立，即对所有的1,有.我们就认为，并写作。
下面的引理主要是和解的有序性有关，而解的有序性又是由给定的数ρ0，f和K1(t)来决定的。
引理1(解的有序性)若u和分别是(*;ρ0,f,K1(t))和的解，并假设对所有的t∈[0,T]，有。
一类变分问题的欧拉方程和自然边界条件
一类变分问题的欧拉方程和自然边界条件在近代数学中，变分法是一种重要的数学处理的方法。
它的基本原理是通过构造一类尽可能接近实际情况的数学模型，通过对变分问题的求解来得到实际问题的最优解。
一类变分问题具有自然的边界条件，这要求解析问题时必须满足某种边界条件，即欧拉方程，以保证问题的准确性和完整性。
一类变分问题是一类对函数进行最小化处理的问题，通常变分问题由一个最小化函数、一系列积分约束和一系列边界条件组成。
最小化函数表示变分问题的可最优化的目标，积分约束是根据问题的实际情况来计算函数的取值，而边界条件则搭建了数学模型的边界，使得问题可以得到准确的最优解。
对于一类变分问题，其边界条件可以分为硬边界条件和软边界条件。
硬边界条件表示函数在边界处取特定值，而软边界条件则表示函数在边界处取特定的梯度，一类变分问题的边界条件可以是硬边界条件或软边界条件，或两种条件的混合形式，总之，边界条件的作用是确定函数在边界处的表现型式，以保证变分问题的准确性和完整性。
解决一类变分问题常常需要满足一种特殊的边界条件，即欧拉方程。
欧拉方程是一类满足一阶微分方程平衡性质的边界状态方程，欧拉方程对求解变分问题具有重要的作用，它使变分问题的边界和内部完整结合，使得问题有效地求解，从而获得有效的问题解。
此外，自然边界条件也是一类变分问题的重要属性。
自然边界条件是指变量在边界处具有某种梯度，而不是确定的取值，解决变分问题时，首先要明确自然边界条件，然后根据自然边界条件求解问题，以获得有效的解。
综上所述，一类变分问题具有自然的边界条件，即欧拉方程和自然边界条件，它们的作用是确定函数在边界处的表现型式，以保证变分问题的准确性和完整性。
解决变分问题时，应充分考虑欧拉方程和自然边界条件，以获得有效的解。
一类热传导自由边界问题的数值解法
第 ４期
凌
智 等 ：一 类 热 传 导 自由 边 界 问题 的数 值 解 法
１ ３
作拉 直 变换 一． ｆ ，—ｔ并记 “ ，） ，） 则在该 变换 下 问题 （ ） （ ） ｒ （）ｔ ， ／ （ ｔ一 （ ， ． １ ～ ６ 转化 为 如下形 式 ：
， 一
≥ 一
一（，） ＜ ＜． ０ （ｆｏ 拿 １ ＞； ）， ， ，
解 的性 态分 析．ＡＭＡＤ Ｉ ＯＲ 等 研 究 了图像 处理 中的 自由边界 问题 ， Ｉ ＮＥ则 考 虑 了描 述 生态 学 而 Ａ
中具 自由边界的两种群捕食模型．事实上 ， 求解这类 问题， 移动边界的刻画很重要 ， 它将作为解的一 部 分随解 一起 给出． 由于这 些 问题 与应用 紧密联 系 ， 以探讨 自由边 界 问题 的数值 解法 具有 十分 重要 所
ＳＯ （ ）一 １ ，
．） （ ４
（） ５
（） ６
其 中（ ） （ ） ２ 和 ３ 是边 界 条件 ，（ ） 初始条 件．移动 边界 Ｓｆ处 的能 量变化 满足 Ｓｅａ 件 （ ） ４为 （） ｔ ｎ条 ｆ ５ ．ｆ（ ｘ，
ｆ和 ｇ（） 为非 负函数 ， ） ｚ均 且满 足一定 的光 滑性．根据 文献 ［ｏ 中的结论 ， １３ 上述 问题 存 在惟 一 的解 ．
Ｕ 一 ， ： ｆ ｘ ，０＜ ＜ ５ ， ＞ ０ ＝ （ ，） ＝ （） ｔ ；
“ Ｏ￡ （ ， ）一 ０ ，ｔ＞ ０ ；
（） １
（） ２ “ ｆ ，Biblioteka 一 ０ （ （） ｆ ，ｔ＞ ０ ；
（） ３
ｕ ｘ， ）一 ｇ（ ） （ ０ ｚ ，０≤ ｚ≤ １ ；
Ｓ（）： 一 “ （（） ｆ ，ｔ ０ ｆ ，） ＞ ；
两类抛物型外问题的自然边界元方法及非重叠区域分解算法的开题报告
两类抛物型外问题的自然边界元方法及非重叠区域分解算法的开题报告1. 研究背景抛物型偏微分方程是描述许多实际问题的数学模型，如扩散、热传导、流体力学等。
在工程、自然科学等领域中都有广泛应用。
因此研究抛物型偏微分方程解的数值计算方法具有重要的理论和应用价值。
边界元方法作为一种数值计算方法，已广泛应用于解决偏微分方程的边值问题。
然而，在处理抛物型偏微分方程的自然边界问题时，传统的边界元方法通常较为困难。
经典的边界元方法需要将整个区域分离为网格单元，而对于抛物型方程来说，由于时域方向的离散化对网格单元的大小和时间步长的要求较高，这将导致算法的复杂度较高。
因此，针对抛物型外问题的边界元方法面临许多挑战。
本文将尝试探索一种可以处理自然边界的边界元方法，并设计一种非重叠区域分解算法来提高数值计算效率。
2. 研究内容本文主要分为以下两个部分：(1) 抛物型外问题的自然边界元方法针对抛物型外问题的自然边界问题，我们将尝试设计一种新的边界元方法来处理自然边界条件。
传统的边界元方法通常需要将整个区域分离为网格单元，然而，由于抛物型方程要求时间步长精度较高，因此容易导致算法复杂度较高。
因此，我们将尝试设计一种能够适应时间步长要求的新型非重叠边界元方法。
(2) 非重叠区域分解算法的设计我们将通过一种新的非重叠区域分解算法来提高边界元方法的计算效率。
该算法将把整个计算区域划分为若干个互不重叠的小区域，然后在每个小区域中分别计算相应的边界元。
这种算法可以有效减少边界元方法中的计算工作量，从而提高数值计算效率。
3. 研究意义本文将研发能够处理抛物型外问题自然边界的边界元方法和非重叠区域分解算法。
这样的研究结果对于解决抛物型方程的数值计算问题具有重要意义。
一方面，这将有助于设计新型的工程材料和结构；另一方面，这也将有助于加速工业生产和科学研究。
因此，本文将填补国内在该领域的研究空白，并对推进国内高科技产业和科技创新起到积极的促进作用。
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解【原创实用版】目录一、引言二、一维抛物型偏微分方程的基本概念1.抛物型偏微分方程的定义2.一维抛物型偏微分方程的特点三、一维抛物型偏微分方程初边值问题的求解方法1.紧差分法2.追赶法3.有限元算法四、各种方法的适用范围和优缺点比较1.紧差分法的适用范围和优缺点2.追赶法的适用范围和优缺点3.有限元算法的适用范围和优缺点五、结论正文一、引言一维抛物型偏微分方程在物理、化学、生物等领域有着广泛的应用，例如热传导方程、扩散方程等。
求解一维抛物型偏微分方程初边值问题，对于理解现实世界中的各种现象具有重要意义。
本文将介绍一维抛物型偏微分方程初边值问题的求解方法，包括紧差分法、追赶法和有限元算法，并对这些方法的适用范围和优缺点进行比较。
二、一维抛物型偏微分方程的基本概念1.抛物型偏微分方程的定义抛物型偏微分方程是指描述抛物型函数的偏微分方程，其一般形式为：u_t = au_xx + bu_x + cu其中，u 表示函数值，t 表示时间，x 表示空间坐标，a、b、c 为常数。
2.一维抛物型偏微分方程的特点一维抛物型偏微分方程的特点是其系数矩阵 A 为对称矩阵，且其特征值均为实数。
这使得一维抛物型偏微分方程的求解较为简单。
三、一维抛物型偏微分方程初边值问题的求解方法1.紧差分法紧差分法是一种常用的求解一维抛物型偏微分方程初边值问题的数值方法。
该方法通过离散化方程，将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组，然后使用迭代法求解该代数方程组。
紧差分法的精度为O(h^12h^24)，无条件差分稳定。
2.追赶法追赶法是另一种求解一维抛物型偏微分方程初边值问题的数值方法。
该方法通过解线性方程组，得到数值解。
追赶法的优点是稳定性较好，适用于较大时间步长和空间步长的情况。
3.有限元算法有限元算法是一种求解一维抛物型偏微分方程初边值问题的数值方法，其基本思想是将整个计算域进行网格划分，然后在每个网格节点上求解微分方程。
关于一类混合型抛物—半抛物型方程的未知边界问题
及 在 ｒ１ｒ２ ｒ 、 ４ ｒ 上满 足如 下初 边值 条 件 ， 、 、 ３ｒ 、 ５
“ ， ） （ ０ ） （ ， ｔ ∈ｒ ， （ ０ ＝ ， 一 ＝ｒ ） （ ） ２ ， （） ２
ｕ ０ ｔ ＝“ ０ ｔ ， ｏ ， ∈［ ， ］ （ ，） （ ， ）０＜ ＜ｃ ｔ 一 ，
Ｍ （ （ ） ｔ ＝０ （ ｔ ∈ｒ ， Ｓ ｔ，） ， ，） ３
（） ３
（） ４
（ （ ） ｔ ＝０ （ ｔ ∈ Ｉ ， ｈ ｔ，） ， ， ） １ ５
（ ） “ Ｓ ｔ ，） （ ｔ ∈ ｔ ＝ａ （ （ ） ｔ ， ， ） ，
关键 词 ： 混合型抛物一半抛物型方程； 未知边界区域问题 ； 解的唯一性
中 图分类 号 ： １ ． 文 献标 识 码 ： ０７ ２ ５６ Ａ
文章 编 号 ：６４ ８３（ ］） — ３— １ — ７一 ｏｏｏ ０ １ ３ ７３ ２ ４０ ０
１ 问题 的提 出
设 ｕ ，） （ ｔ ∈Ｄ满 足 如方 程 ：
一
关 于 一 类 混 合 型 抛 物 半 抛 物 型 方 程 的 未 知 边 界 问题
刘 冬 梅
（ 疆 师 范大 学 数 学科 学学 院 ， 鲁木 齐 ８０ ５ ） 新 鸟 ３０ ４
摘 要 ： 这篇论文提出了在未知边界区域上的一类混合型抛物一半抛物型方程的初边值问题 ． 利用本文的方法
证 明未知边界 函数 的唯一性 ， 而利用抛 物型方程极值 原理 ， 明解 的唯一 ｌ 证 生．
厂 ＝｛ ｔ ： ＝０ Ｏ ≤ Ｔ｝ｒ ＝｛ ｔ ： ＝０ ０ ≤ｃ ， 】 （ ） ， ， ≤ｔ ， ２ （ ） ｔ ，≤ ， ｝
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解摘要：一、引言二、一维抛物型偏微分方程初边值问题概述三、求解方法四、数值模拟与分析五、结论正文：一、引言一维抛物型偏微分方程在数学和物理等领域有着广泛的应用，比如热传导方程、波动方程等。
对于这种方程的初边值问题，人们进行了大量的研究，提出了多种求解方法。
本文将对这些方法进行综述和分析。
二、一维抛物型偏微分方程初边值问题概述一维抛物型偏微分方程形式为：$$frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 frac{partial^2 u}{partial x^2}$$其中，$u(x,t)$ 是未知函数，$c$ 是常数。
初边值问题要求解该方程，并满足以下条件：1.$u(x,0) = f(x)$，即$t=0$ 时的函数值已知。
2.$frac{partial u}{partial t}(x,0) = g(x)$，即$t=0$ 时的导数值已知。
三、求解方法针对一维抛物型偏微分方程的初边值问题，目前主要有以下几种求解方法：1.分离变量法：适用于$c=1$ 的情况。
该方法将方程分解为两个独立的一阶线性微分方程，可以求得解析解。
2.矩方法：适用于$ceq 1$ 的情况。
该方法将方程转化为关于矩的递推关系式，可以求得数值解。
3.有限差分法：将方程离散化，通过差分方程求解。
该方法可以得到数值解，但可能会出现数值稳定性问题。
4.有限元法：将方程转化为有限个单元的积分方程，通过插值函数求解。
该方法可以得到较高质量的数值解，但计算复杂度较高。
四、数值模拟与分析为了比较不同方法的求解效果，我们取一维抛物型偏微分方程的一个具体例子，采用以上方法进行数值模拟。
通过对比分析，我们可以得出以下结论：1.分离变量法适用于$c=1$ 的情况，可以得到解析解，但求解范围有限。
2.矩方法对于$ceq 1$ 的情况有较好的适用性，可以得到数值解，但计算复杂度较高。
3.有限差分法易出现数值稳定性问题，求解精度较低。
一类变系数抛物型方程的数值解法
一类变系数抛物型方程的数值解法
李娟;王威
【期刊名称】《长春工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(032)004
【摘要】讨论了带有初边值条件的抛物型方程。
该问题需要求解u（x,t）和未知变系数a（t）〉0。
这是一个反问题。
利用有限差分方法给出了该问题的三层线性化差分格式。
收敛阶在L∞范数下为O（h2＋τ2）。
在pc机上利用Matlab软件编程,计算数值算例验证了理论收敛阶。
【总页数】4页(P361-364)
【作者】李娟;王威
【作者单位】应天职业技术学院基础部,江苏南京210046;应天职业技术学院基础部,江苏南京210046
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.求解变系数时滞抛物型方程的高精度数值解法 [J], 刘明鼎;张艳敏
2.一类非线性边界条件的抛物型方程组的周期解的数值解法 [J], 陈玉娟
3.一类抛物型方程反问题的数值解法 [J], 葛美宝;徐定华;王泽文;张文
4.一类时滞非线性抛物型方程的数值解法 [J], 舒阿秀;郝庆一;胡万宝
5.求解一维变系数抛物型方程的高精度数值解法 [J], 刘明鼎;张艳敏;段素芳
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杂性 和非线 性 ， 而使 其 数 值计 算 较 一 般 的偏微 分 方
程组定 解 问题 的求 解要 困难 得 多 。 目前 ， 自由边 对
Ｏ ｘ ，）一 ６ ￡ ， ＞ ０ （０￡ （） ｔ ．
式 中 ：（ ＞ ０ 口 ） ａ ） ， （ 一旦 （ ，、 和 ｋ分别 为密 度 、 ）． ｃ ０
（ ４ １）
ｄｘ
（） ５
它 表示热 流密度 。
３ 解及 热流 量分 析
定义 １ ＿ 矩 阵 Ｍ 一 （ ） 正 的 ， ［ ９ 是 如果 它所有
的元 素 ｍ ， 均是 非负 的 。特别 地 ， 向量 一 （ｉ是 正 Ｖ） 的， 如果每一 个分量 均是 非负 的 。 定 义 ２９ 实矩 阵是 单调 的 ， ｆ ｊ 如果 它是 可 逆 的 ， 且逆矩 阵是 正的 。 定理 ３ 上面定 义 的矩 阵 Ａ 是单 调的 。
一 Ｏ ａｉ， ） （ｃ ｔ ．
Ｉ…
Ｌ ０
…
０
… …
…
一 ｊｚ Ａ—ｒ
０ … 一 卜１ ＋２卜１ Ａ ｒ １ Ａ ｒ
是 一１ 向量 维
＝ ＝＝
令式 （ ） ， １中
一 一 口 ）＿ （ ｄ Ｕ
，
（ ｒ 田 （ ）ｋ ０ … ， ， Ａｊ△ ｆ ／ ， ， ＯＡ卜１ （ ） ｒ ｔ ）． ｂ
出了解 的性态 分析 ， ＡＭＡＤｏ 等研 究 了图像 处 理 ＲＩ 中的 自由边界 问题 ｌ ， Ｌ 则 考 虑 了描 述 生 态 学 ＿ 而 Ｎ ５ ］
中具 自由边 界 的两种 群捕 食模 型 ＿ 。 由于这些 问题 ６ ］
此时 ， 出如下初 边值 问题 ： 给
一
（ｚ 一 ， ｚ ， ０１ ａ） ０ ＜ ＜ 。＞ ． ） （ ） ０ （
分 格 式 。在 方 程 无 相 变 的 情 况 下 ， 应 地 用 隐 式差 分格 式 逼 近 微 分 方 程 ， 到 离 散 点 温 度 值 随 时 间 或 空 间 变 化 的 规 相 得
律。
关键词 ： 系数 ； 变 自由边 界 ； 值 分 析 ； 分 格 式 数 差
中 图 分 类 号 ： ７ ．２ Ｏ１ ５ 文献标志码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ １４ ７ （０ １０ —０ ３０ １７ —６９ ２ １ ）１０ ７—２
（ ｐ ．ｏ ｔ ｅ ｔ ｓ Ｄｅ ｔ ｆ Ｍａｈ ｍａｉ ，Ｈｅ ｏ ｇ ｉ ｇ Ｉ ｓｉ ｔ ｆ ｃ ｎ ｌｇ ，Ｈａ ｂｎ １ ０ ５ ， ｈｎ ） ｃ ｉ ｎ ｊ ｎ ｔ ｕｅｏ ｈ ｏｏ ｙ ｌ ａ ｎ ｔ Ｔｅ ｒ ｉ ５ ０ ０ Ｃ ｉａ Ａｂ ｔａ ｔ Ａ ｒ ｅ ｂ ｕ ｄ ｒ ｒ ｂ ｅ ｏ ａ ａ ｏ ｉ ｑ ａ ｉ ｎ ｗｉｈ ｖ ｒａ ｌ ｏ ｆ ｉｉ ｎ ｓ ｉ ｍ ａｎ ｙ ｉ ｖ ｓ ｉ ａ ｅ ｎ ｓｒ ｃ ： ｆ ｅ ｏ ｎ ａ ｙ ｐ ｏ ｌ ｍ ｆｐ ｒ ｂ ｌ ｅ ｕ ｔｏ ｔ ａ ｉ ｂ ｅ ｃ ｅ ｆｃｅ ｔ ｉ ｌ ｅ ｔｇ ｔ ｄ ｉ ｃ ｓ ｎ ｔ ｉ ｐ ｐ ｒ ｎ ｖ ｅ ｏ ｈ ａ ｉｂ ｅ ｃ ｅ ｆ ｉ ｎ ｓ ｈ ｏ ｓ ｒ ａ ｉ ｎ ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ｆ ｔ ｅ ｅ ｕ ｔ ｎ ｉ ｄ — ｈ ｓ ａ ｅ ，ｉ ｉ ｗ ｆｔ ｅ ｖ ｒａ ｌ ｏ ｆｉ ｅ ｔ ，ｔ ｅ ｃ ｎ ｅ ｖ ｔ ｉｆ ｒ ｎ ｅ ｓ ｈ ｍｅ ｏ ｈ ｑ ａ ｉ Ｓ ｅ ｃ ｏ ｏ ｒｖ ｄ ｔ ｒ ｕ ｈ ｔ ｅ ｉ ｔ ｇ ａ ｎ ｅ ｐ ｌ ｔ ｎ ｍｅ ｈ ｄ Ｕ ｎ ｅ ｈ ｏ ｄ ｔｏ ｆｉ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｈ ｓ － ｈ ｎ ｅ ｈ ｉ ｅ ｈ ｏ ｇ ｈ ｎ ｅ ｒ ｌｉ ｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｔ ｏ ． ｏ ｄ ｒ ｔ ｅ ｃ ｎ ｉ ｎ ｏ ｎ ｘ ｓ ｅ ｃ ｆｐ ａ ｅ ｃ ａ ｇ ，ｔ ｅ ｉ ｉ ｌ ｉ ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ｅ ｔ ｐ ｒ ｘ ｍａ ｅ ｔ ｅ ｄ ｆｅ ｅ ｔａ ｑ ａ ｉ ｎ ｉ ｇ ｖ ｎ，ｔ ｅ ｃ ａ ｇ ｎ ａ ｆ ｔ ｅ ｔ ｒ — ｍｐ ｉ ｔ ｉｆ ｒ ｎ ｅ ｓ ｈ ｍ ｏ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｈ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌ ｕ ｔ ｓ ｉ ｅ ｃ ｅ ｏ ｈ ｈ ｎ ｉ ｇ ｌｗｓ ｏ ｈ ｅ ｎ ｐ ｒ ｔ ｒ ｔ ｄ ｓ ｒ ｔ ｏ ｎ ａ ｙ ｎ ｔ ｈ ｉ ｎ ｐ ｃ ａ ｉ ｂ ｅ ｒ ｂ ａ ｎ ｄ ｅ ａ ｕ ｅ ａ ｉｃ ｅ ｅ ｐ ｉ ｔｖ ｒ ｉ ｇ ｗｉｈ ｔ ｅ ｔｍｅ ａ ｄ ｓ ａ ｅ ｖ ｒａ ｌｓ ａ ｅ ｏ ｔ ｉ ｅ ． Ｋｅ ｒ ｓ ｖ ｒａ ｌ ｏ ｆ ｉｉｎ ；ｆｅ ｏ ｎ ａ ｙ ｙ ｗｏ ｄ ： ａ ｉｂ ｅ ｃ ｅ ｆ ｅ ｔ ｒ ｅ ｂ ｕ ｄ ｒ ；ｎ ｍ ｅ ｉａ ｎ ｌ ｓｓ ｉｆ ｒ ｎ ｅ ｓ ｈ ｍ ｅ ｃ ｕ ｒｃ ｌａ ａ ｙ ｉ ；ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｃ ｅ
形 也不会遇 到新 的困难 。
则离 散 问题 （ ） １ ） 以写成矩 阵形式 ９ ～（ ２ 可
ＡＵ 一 Ｕ ＋ ． （３ １）
其 中 Ａ 是 如下 Ｊ一１阶方 阵
广＋Ａ】 —Ａｌ １ ｒ ｒ ０ … … ０
ｌ Ａ ｒ １ Ａ ｒ —Ａ ｒ —２ ＋２２ ２ ０ Ａ＝ ｆ ０ －３ Ａｒ … …
… …
０ ０
在平 面（ ｔ￣ 分 网格 ＝ｊ ，—Ｏ １ … ， （ ｚ，） ｌ １ ｈＪ ， ， ． Ｊ ， 是 自然 数 ） ｔ一 ， ， ｒ 一０ ｌ … 。用 “ ，， 来 逼 近在 点 （ ｊｔ） （位 ，ａ ） ｘ， 一 ｎ ｔ的温度 （ ，ｔ） ， ｚ ， 值 即
Ｊ ｆ ｎ
，） 硼（ 告 ｆＪ ｔ ， （） ｔ－ 牛 ， ｄ 一０ ） ６
这 个表达式 在物理上 表示 热量的平衡 。
经过积 分推导并 整理得
一
且 Ｐ满足 Ｖ ≤ ， ， ， ， ， ｐ Ｖｉ ２ … 』 ～１的向量 下标 ， 一１ ＼
１Ｅ￣（ ， “（ ， １ ）＋ Ｏ Ａ ｆ￡ ）
第２ ５卷 第 １期
２１年 ３ ０１ 月
黑
龙
江
工
程
学
院
学
报（ 自然科 学 版）
Ｖｏ ＿ ５№ ． ｌ２ １
Ｍ ａ ．， ｒ ２０１ １
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＨｅ ｏ ｇｉｎ ｎ ｔ ｕｅｏ ｃ ｎ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｏ ｉ ｎ ｊ ｇ Ｉｓｉ ｔ ｆ ｌ ａ ｔ Ｔｅｈ ｏｏ ｙ
一
类 变 系数 抛 物 型 微 分 方 程 的 自 由边 界 问题
崔 晓 丽 ， 丽娜 ， 克 林 ， 孟 秦 刘 威
（ 龙 江 工 程 学 院 数 学 系 ，黑龙 江 哈 尔滨 １ Ｏ ５ ） 黑 ５０ Ｏ
摘
要 ： 究 一 类 变 系 数 抛 物 型微 分 方 程 的 自 由边 界 问 题 ， 据 变 系 数 这 一 特 点 ， 积 分 插 值 法 建 立 方 程 的守 恒 差 研 根 用
。
界问题 的求 解 已 有 一 些 方 法 ， 扰 动 法Ｌ 、 ｈ ｂ — 如 ７ Ｃ ｅ ｙ ］
ｓ ｅ 谱 方 法 ［ 等 ， 是对 于具 体 问题 ， 同 的方 法 ｈｖ ８ 但 不
收 稿 日期 ：０ ０１－６ ２ １ —２０ 基金 项 目 ： 龙 江 省 教 育厅 科 学技 术 研 究 项 目（ １４ ２ ６ 黑 １５ １９ ） 作者简介 ： 晓 丽（９４ ） 崔 １ ６ 一 ，女 ，副 教 授 ，硕 士 ，研 究 方 向 ： 变 函 复 数 ， 分方程． 微
比热 和热传 导 系数 Ｃ和 ｋ中至少有 一个 是 变量 ｚ 的 函数 （ 中 ｐ和 Ｃ的变 化较 小 ， 以近 似认 为 只有 其 可 ｋ是 ｚ的 函数） 。初始 温度 ０＝０（ 且 ６ ￡代 表在 ｏ ｏｚ） （） 边界 ｚ ＝ 。 ￡ ０时 的温度 。这是 一个适 定 的 问题 ， ＝ｚ 、 ＝ ＞ 但通 常这类 问题 的解 法 较 复杂 ， 以下 将 讨 论一 种 比
证明： 令 一 （ １ ， ， Ｎ １ ， 么 Ａ ， … Ｖ一 ） 那 ２ ０
记 ＋ 一而＋号， 并于矩形区域 一 ≤ｚ 号 ≤
汁寻， ￡ ＋ 积分式 （ ） 到 ≤ ≤ １ １得
“
Ｉ ［（， １～“ｚ ）ｄ ＋ “ｚ￡ ） （ ， ］ｒ 抖
ｉ
［ （
自由边 界 问题是 指偏微 分方 程 的某些 边界 是未 知的， 它需要 和定 解 问题 的解一 起确 定 ， 知 的边界 未 就称 为 自由边 界［ ］ 自由边 界 问题 存 在 于 自然 科 １。
计算 结果 差异 较大 。 本文 考虑 一维 变 系 数 热传 导 问 题 ， 系数 是 变 其
黑
龙
江
工
程
学
院
学
报（ 自然科学版）
第 ２ 卷 ５
较 实用方便 的数值解 法 。
“ 一 ｕ ＋ ７
（ ， ＞ ０ ￡） ，
（ １ １）
１ 守恒 差分 格 式 的构 造
为 了使 差 分方 程 的解 更 好 地 逼 近 微 分 方 程 的
？： ｂ ｔ）ｔ （ ， ＞ ０ ． 令参数 ｒ 一
往 与数 学物理 方 程 结合 在 一 起 。近年 来 ， 自由边 界 问题 吸 引 了 众 多 学 者 的 关 注 ， Ｒ Ｅ ＭＡＮＥ 和 Ｆ ＩＤ 。 ｊ
左 边 界 ｘ－０有 一热 流 量 ｑ （ 于 Ｏ 以及 在 右 边 － （） 小 ）
界 —ｚ 的温度条 件 。 ｚ 。
ＴＡＯｌ等对 自由边 界Ａ ｒ ｅ ｂ ｕ ａ ｙ ｐ ｏ ｌ ｍ ｆ ｐ ｒ ｂ ｌｃ ｅ ａ ｉ ｎ ｗｉｈ ｖ ｒ ａ ｌ ｏ ｆ ｉ ｉ ｎ ｆ ｅ ｏ ｎｄ ｒ ｒ ｂ ｅ ｏ ａ ａ ｏ ｉ ｑｕ ｔｏ ｔ ａ ｉ ｂ ｅ ｃ ｅ ｆｃ ｅ ｔ
ＣＵＩ ａ —ｉＭ ＥＮＧ — ａ ＱＩ Ｋｅｌ ， Ｕ ｅ ｏ ｌ， Ｘｉ Ｌｉ ， Ｎ —ｉ ＬＩ Ｗ ｉ ｎ ｎ