均值与方差
学案68 离散型随机变量的均值与方差
导学目标：1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
自主梳理
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X 的分布列为
(1)均值
称E (X )＝____________________________________为随机变量X 的均值或___________，它反映了离散型随机变量取值的____________． (2)方差
称D (X )＝__________________________为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的______________，其________________________为随机变量X 的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E (aX ＋b )＝____________.
(2)D (aX ＋b )＝____________.(a ，b 为实数)
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝____，D (X )＝_____________________________.
(2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝______，D (X )＝____________.
自我检测
1．若随机变量X
A.118
B.19
C.209
D.920
2．(2011·菏泽调研)已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )
A ．n ＝4，p ＝0.6
B ．n ＝6，p ＝0.4
C ．n ＝8，p ＝0.3
D ．n ＝24，p ＝0.1
3．(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )
A ．100
B ．200
C ．300
D ．400
4．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假
定该毕业生得到甲公司面试的概率为23
，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112
，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.
5．(2011·杭州月考)其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.
探究点一 离散型随机变量的期望与方差
例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1)求ξ的分布列、期望和方差；
(2)若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值．
变式迁移1 编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X .
(1)求随机变量X 的分布列；
(2)求随机变量X 的数学期望和方差．
探究点二 二项分布的期望与方差
例2 (2011·黄山模拟)A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组．设
每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12
. (1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．
变式迁移2 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独
立的，遇到红灯的概率都是13
，遇到红灯时停留的时间都是2min. (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．
探究点三离散型随机变量期望与方差的应用
例3购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000
0.999.
元的概率为1－410
(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；
(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．
变式迁移3因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi(i ＝1,2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
(1)写出ξ1、ξ2的分布列；
(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？
(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？
1．若η＝aξ＋b，则E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)．
2．若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．
3．求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有：(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的期望、方差，求ξ
的线性函数η＝aξ＋b 的期望、方差和标准差，可直接用ξ的期望、方差的性质求解；
(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为
( )
A.5 B ．6 C ．2．设ξ～B (n ，p )，若有E (ξ)＝12，D (ξ)＝4，则n 、p 的值分别为( )
A ．18，23
B ．16，12
C ．20，16
D ．15，14
3．随机变量X
则E (5X ＋4)等于( )
A ．15
B ．11
C ．2.2
D ．2.3
4．设掷1枚骰子的点数为ξ，则( )
A ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3.52
B ．E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3512
C ．E (ξ)＝3.5，
D (ξ)＝3.5 D ．
E (ξ)＝3.5，D (ξ)＝3516
5．(2011·成都调研)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ为“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( )
A.89
B.35
C.25
D.13
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：
请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝____________.
7．(2011·泰安模拟)设离散型随机变量X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.
8．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数X 的数学期望E (X )＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)(2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X 的分布列；
(2)求此员工月工资的期望．
10．(12分)(2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对
A 、乙对
B 、丙对
C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．
11．(14分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18
万元、1.17万元的概率分别为16、12、13
；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0
(1)求ξ1、ξ2的概率分布和数学期望E (ξ1)、E (ξ2)；
(2)当E (ξ1) 学案68 离散型随机变量的均值与方差 自主梳理 1．(1)x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 数学期望 平均水平 (2)∑n i ＝1 (x i －E (X ))2p i 平均 偏离程度 算术平方根D (X ) 2.(1)aE (X )＋b (2)a 2D (X ) 3．(1)p p (1－p ) (2)np np (1－p ) 自我检测 1．C 2.B 3.B 4.53 解析 由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12 . 随机变量X E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53 . 5.59 课堂活动区 例1 解题导引 要求期望，需先求出分布列，要求分布列，需先求随机变量取每个值的概率，而求概率离不开常见事件概率的计算方法．第(2)小题注意性质E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ，D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)的应用． 解 (1)ξ∴E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15 ＝1.5. D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15 ＝2.75. (2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2. 又E (η)＝aE (ξ)＋b ， 所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4. ∴????? a ＝2，b ＝－2或? ???? a ＝－2， b ＝4 变式迁移1 解 (1)P (X ＝0)＝2A 33＝13； P (X ＝1)＝C 13A 33＝12；P (X ＝3)＝1A 33＝16 . ∴随机变量X 的分布列为 (2)E (X )＝0×13＋1×12＋3×16 ＝1. D (X )＝(1－0)2×13＋(1－1)2×12＋(3－1)2×16 ＝1. 例2 解题导引 (1)准确理解事件“甲类组”的含义，把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示； (2)第(2)小题首先判断随机变量ξ服从二项分布，再求其分布列和均值． 解 (1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2， B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2. 依题意有 P (A 1)＝2×13×23＝49，P (A 2)＝23×23＝49 . P (B 0)＝12×12＝14，P (B 1)＝2×12×12＝12 . 所求的概率为 P ＝P (B 0A 1)＋P (B 0A 2)＋P (B 1A 2) ＝14×49＋14×49＋12×49＝49 . (2)ξ的可能值为0,1,2,3，且ξ～B ??? ?3，49. P (ξ＝0)＝????593＝125729， P (ξ＝1)＝C 13×49×????592＝100243 ， P (ξ＝2)＝C 23×????492×59＝80243， P (ξ＝3)＝????493＝64729. ξ的分布列为 数学期望E (ξ)＝0×125729＋1×100243＋2×80243＋3×64729＝43 . 变式迁移2 解 (1)设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A .因为事件A 等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为 P (A )＝????1－13×????1－13×13＝427 . (2)由题意可得，ξ的可能取值为0,2,4,6,8(单位：min)．事件“ξ＝2k ”等价于事件“该 学生在上学路上遇到k 次红灯”(k ＝0,1,2,3,4)，所以P (ξ＝2k )＝C k 4????13k ??? ?234－k (k ＝0,1,2,3,4)． 即ξ的分布列是 所以ξ的期望是 E (ξ)＝0×1681＋2×3281＋4×827＋6×881＋8×181＝83 . 例3 解题导引 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，投保人中出险人 数ξ～B (104，p )，进而利用二项分布的有关性质求解． 解 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10000人中出险的人数为ξ，则ξ～B (104，p )． (1)记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则A 发生当且仅当ξ＝0， P (A )＝1－P (A )＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )104， 又P (A )＝1－0.999104，故p ＝0.001. (2)该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10000ξ＋50000. 盈利η＝10000a －(10000ξ＋50000)， 盈利的期望为E (η)＝10000a －10000E (ξ)－50000， 由ξ～B (104,10－3)知，E (ξ)＝10000×10－3， E (η)＝104a －104E (ξ)－5×104 ＝104a －104×104×10－3－5×104. E (η)≥0?104a －104×10－5×104≥0 ?a －10－5≥0?a ≥15(元)． 故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 变式迁移3 解 (1)ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25， ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44. ξ1、ξ2 (2)令A 、B P (A )＝0.15＋0.15＝0.3， P (B )＝0.24＋0.08＝0.32. 可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大． (3)令η表示方案i 所以E (η1)＝14.75，E (η2)可见，方案一的预计利润更大． 课后练习区 1．C [由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1， ∴b ＝0.4. ∴E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3. ∴a ＝7.] 2．A [E (ξ)＝np ＝12，D (ξ)＝np (1－p )＝4. ∴1－p ＝412＝13，∴p ＝23 ，∴n ＝18.] 3．A [∵E (X )＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2， ∴E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝11＋4＝15.] 4．B [E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16 ＝3.5， D (ξ)＝16[(1－3.5)2＋(2－3.5)2＋(3－3.5)2＋(4－3.5)2＋(5－3.5)2＋(6－3.5)2]＝3512 .] 5．A [对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有2C 13C 13C 17＝126条， ξ的可取值有0、1、2，P (ξ＝0)＝6×7126＝13，P (ξ＝1)＝8×7126＝49，P (ξ＝2)＝4×7126＝29 ， E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89 .] 6．2 解析 设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则 E (ξ)＝1·x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2. 7.110 解析 离散型随机变量X 的可能取值为1,2,3,4. P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)，所以 (a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1，即10a ＋4b ＝1， 又X 的均值E (X )＝3，则(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3，即30a ＋10b ＝3，∴a ＝110 ，b ＝0， ∴a ＋b ＝110 . 8.23 解析 由题意知X ～B ????2，13，∴E (X )＝2×13＝23 . 9．解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.(2分) P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4C 48 (i ＝0,1,2,3,4)．(4分) 即 (6分) (2)令Y 表示此员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100，2800,3500.(8分) 则P (Y ＝3500)＝P (X ＝4)＝170 ， P (Y ＝2800)＝P (X ＝3)＝835 ， P (Y ＝2100)＝P (X ≤2)＝5370 . E (Y )＝3 500×170＋2 800×835＋2 100×5370 ＝2 280.(10分) 所以此员工月工资的期望为2280元．(12分) 10．解 (1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A ，乙不胜B ，丙不胜C 的事件． 因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5， 由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5， P (F )＝0.5.(2分) 红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，(4分) 因此红队至少两人获胜的概率为 P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF ) ＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(6分) (2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.(8分) 又由(1)知D E F ，D E F ，D E F 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，(9分) 因此P (ξ＝0)＝P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1， P (ξ＝1)＝P (D E F )＋P (D E F )＋P (D E F ) ＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5 ＝0.35， P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15. 由对立事件的概率公式得 P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.(11分) 所以ξ的分布列为： 因此E (ξ)＝0×0.1＋111．解 (1)ξ1E (ξ1)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13 ＝1.18. (3分) 由题设得ξ～B (2， (5分) 故ξ2 所以ξ22×p 2＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2＝－p 2－0.1p ＋1.3.(8分) (2)由E (ξ1) 当E (ξ1) 考点39 均值与方差在生活中运用解析版 1．设1 02 a << ，随机变量X 的分布列是： 则当()D X 最大时的a 的值是（ ） A ． 14 B ． 316 C ． 15 D ． 325 2．随机变量X 的分布列如表所示，若1 ()3 E X = ，则(32)D X -=（ ） A ． 9 B ． 3 C ．5 D ．7 3．已知1 02a << ，102 b <<，随机变量X 的分布列是： 若()3 E X = ，则a =________，()D X =________. 4．如下为简化的计划生育模型：每个家庭允许生男孩最多一个，即某一胎若为男孩，则不能再生下一胎，而女孩可以多个.为方便起见，此处约定每个家庭最多可生育3个小孩，即若第一胎或前两胎为女孩，则继续生，但若第三胎还是女孩，则不能再生了.设每一胎生男生女等可能，且各次生育相互独立.依据每个家庭最多生育一个男孩的政策以及我们对生育女孩的约定，令X 为某一家庭所生的女孩数，Y 为此家庭所生的男孩数. （1）求X ，Y 的分布列，并比较它们数学期望的大小； （2）求概率()() P X D X >，其中()D X 为X 的方差. 5．某投资公司在2020年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利40%，也可能亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为 35和25 ； 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和1 15 ．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 6．某超市计划在九月订购一种时令水果，每天进货量相同，进货成本每个8元，售价每个12元（统一按个销售）．当天未售出的水果，以每个4元的价格当天全部卖给水果罐头厂根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C ）有关.如果最高气温不低于30，需求量为500个；如果最高气温位于区间[)25,30，需求量为350个；如果最高气温低于25，需求量为200个．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求九月份这种水果一天的需求量X （单位：个）的分布列． （2）设九月份一天销售这种水果的利润为Y （单位：元）．当九月份这种水果一天的进货量n （单位：个）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 教学过程 一、课堂导入 “离散型随机变量的分步列，均值和方差”在“排列与组合”知识的延伸，在本讲的学习中，同学们将通过具体实例理解随机变量及其分布列、均值和方差的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性．要求同学们会用随机变量表达简单的随机事件，会用分布列来计算这类事件的概率，计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．在高考中，这部分知识通常有一道解答题，占12─14分左右，主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力，凸显数学的应用价值． 二、 复习预习 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定． ( ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小． ( ) (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差． ( ) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布． ( ) 2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝1 5(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于 ( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．16 3．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 等于 ( ) A ．3 B.5 3 C ．5 D.73 4．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝________. 方差分析公式 （20PP-06-2611:03:09） 转载▼ 标签： 分类：统计方法 杂谈 方差分析 方差分析（analPsisofvarianee ，简写为ANOV或ANOV A可用于两个或两个以 上样本均数的比较。应用时要求各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态 分布总体且各总体方差相等。方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析。常用的设计有完 全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。 一、完全随机设计的多个样本均数的比较 又称单因素方差分析。把总变异分解为组间（处理间）变异和组内变异（误差）两部分。目的是推断k个样本所分别代表的卩1,卩2,……卩k是否相等，以便比较多个处理的差别有无统计学意义。其计算公式见表19-6. 表19-6完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式 GC=（艺G） 2/N=艺ni , k为处理组数 方差分析计算的统计量为F,按表19-7所示关系作判断。 例19.9某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8，问不同季节氯化物含量有 无差别？ 表19-8某湖水不同季节氯化物含量（mg/L） SS 加刖=丄 和 ' 10619.265^ 170 HO:湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等，即 卩仁卩2=卩3=卩4 H1:四个总体均数不等或不全相等 a =0.05 先作表19-8下半部分的基础计算。 C=（艺 G ） 2/N= （588.4） 2/32=10819.205 SS 总=艺 G2-C=11100.84-10819.205=281.635 V 总=N-仁31 （工吋 “ 1 广_ （】6二口尸斗/」期.匸尸千 K .IT N "一 - ? r . —I b K V 组间=k-1=4-1=3 SS 组内=SS 总-SS 组间=281.635-141.107=140.465 V 组内=N-k=32-4=28 MS 组间二SS 组间 /v 组间=141.107/3=47.057 离散型随机变量的均值与方差 【教学引入】复习分布列、三种常见分布列。说明分布列全面刻画了随机变量取值的统计规律。提出问题：如何从分布列中获取随机变量取值的总体水平（平均取值）、离散程度（区分度）等信息？ 【案例探究】销售由a.b.c 三种糖果混合的混合糖，如何进行合理定价？ ① 当a,b,c 价格相同，比例相同时； ② ②当a,b,c 价格不同，比例相同时； ③ ③当a,b,c 价格不同，比例也不同时。 对于①②，只需求三种糖价格的算术平均值即可，对于③，习惯的算术平均显然是不合理的。 设a,b,c 三种糖价格分别为18元/kg, 24元/kg, 36元/kg,混合比例为3：2：1，则易得合理价格为 23366 1 243118212336242183=?+?+?=++?+?+?x x x x x x (元/kg).此价格称为三种价格的 加权平均。 【权的含义】设三种糖每颗质量、外观完全相同，从混合糖中任取一颗，分别求取到a 、b 、c 的概率。 设三种糖的颗数分别为3m,2m,m ，属古典概型，用古典概型概率计算公式计算得概率分别为6 1,31,21。 权是各种糖的质量与总质量之比，其统计意义是随机变量X 等于相应值的概率。 【合理价格的统计意义】用X 表示从总体中任取一颗糖，所抽到的糖的价格，则X 有三种可 能的取值，?? ? ??=c b a X 如果取出的是如果取出的是如果取出的是,36,24,18，其分布列为： =18×P （X=18）+24×P （X=24）+36×P （X=36），是以概率为权重的每种糖果的单位价格的加权平均（即随机变量X 的均值）。 【离散型随机变量的均值（数学期望）】 ∑==n i i i p x EX 1.反映随机变量取值的平均水平。 方差概念及计算公式 一．方差的概念与计算公式 例1两人的5次测验成绩如下： X：50，100，100，60，50 E(X )=72；Y：73，70，75，72，70 E(Y )=72。 平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。 单个偏离是 消除符号影响 方差即偏离平方的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这里是一个数。推导另一种计算公式 得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即 ， 其中 分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动程度。 二．方差的性质 1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）； 证： 特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值） 3．若X、Y相互独立，则 证：记 则 前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为 当X、Y 相互独立时， ， 故第三项为零。 特别地 独立前提的逐项求和，可推广到有限项。 三．常用分布的方差 1．两点分布 2．二项分布 X ~ B( n, p ) 引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布） ， 3．泊松分布（推导略） 4．均匀分布 另一计算过程为 5．指数分布（推导略） 6．正态分布（推导略） ~ 正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。 例2求上节例2的方差。 解根据上节例2给出的分布律，计算得到 求均方差。均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。 S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根 大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。 用matlab或c语言编写求导程序 已知电容电压uc,电容值 求电流i 公式为i=c(duc/dt) 怎样用matlab或c语言求解 SPSS——单因素方差分析 单因素方差分析 单因素方差分析也称作一维方差分析。它检验由单一因素影响的一个(或几个相互独立的)因变量由因素各水平分组的均值之间的差异是否具有统计意义。还可以对该因素的若干水平分组中哪一组与其他各组均值间具有显著性差异进行分析，即进行均值的多重比较。One-Way ANOVA过程要求因变量属于正态分布总体。如果因变量的分布明显的是非正态，不能使用该过程，而应该使用非参数分析过程。如果几个因变量之间彼此不独立，应该用Repeated Measure 过程。 [例子] 调查不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫的数量，数据如表1-1所示。 表1-1 不同水稻品种百丛中稻纵卷叶螟幼虫数 数据保存在“data1.sav”文件中，变量格式如图1-1。 图1-1 分析水稻品种对稻纵卷叶螟幼虫抗虫性是否存在显著性差异。 。 2）启动分析过程 点击主菜单“Analyze”项，在下拉菜单中点击“Compare Means”项，在右拉式菜单中点击“0ne-Way ANOVA”项，系统 打开单因素方差分析设置窗口如图1-2。 图1-2 单因素方差分析窗口 3）设置分析变量 因变量:选择一个或多个因子变量进入“Dependent List”框中。本例选择“幼虫”。 因素变量:选择一个因素变量进入“Factor”框中。本例选择“品种”。 4）设置多项式比较 单击“Contrasts”按钮，将打开如图1-3所示的对话框。该对话框用于设置均值的多项式比较。 图1-3 “Contrasts”对话框 定义多项式的步骤为： 均值的多项式比较是包括两个或更多个均值的比较。例如图1-3中显示的是要求计算“1.1×mean1-1×mean2”的值，检验的假设H0：第一组均值的1. 1倍与第二组的均值相等。单因素方差分析的“0ne-Way ANOVA”过程允许 方差(Variance) [编辑] 什么是方差 方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。 方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数，通常以σ2表示。方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释，所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。 标准差又称均方差，一般用σ表示。方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法，另外，对于总体数据和样本数据，公式略有不同。 [编辑] 方差的计算公式 设总体方差为σ2，对于未经分组整理的原始数据，方差的计算公式为： 对于分组数据，方差的计算公式为： 方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为： 未分组数据： 分组数据： [编辑] 样本方差和标准差 样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和，其中样本数据个数减1即n－1 称为自由度。设样本方差为，根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为： 未分组数据： 分组数据： 未分组数据： 分组数据： 例:考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验生产出来的产品质量，假设搜集的数据如下： 根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。问此时的机器是否必须关闭？ 解：根据已知数据，计算 因此，该机器工作正常。 方差和标准差也是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的离散程度。方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。 ?函数VAR假设其参数是样本总体中的一个样本。如果数据为整个样本总体，则应使用函数VARP来计算方差。 ?参数可以是数字或者是包含数字的名称、数组或引用。 ?逻辑值和直接键入到参数列表中代表数字的文本被计算在内。 ?如果参数是一个数组或引用，则只计算其中的数字。数组或引用中的空白单元格、逻辑值、文本或错误值将被忽略。 ?如果参数为错误值或为不能转换为数字的文本，将会导致错误。 ?如果要使计算包含引用中的逻辑值和代表数字的文本，请使用VARA 函数。 ?函数VAR 的计算公式如下： 其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。 示例 假设有10 件工具在制造过程中是由同一台机器制造出来的，并取样为随机样本进行抗断强度检验。 如果将示例复制到一个空白工作表中，可能会更容易理解该示例。 STDEV(number1,number2,...) Number1,number2,...为对应于总体样本的 1 到255 个参数。也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式，而用单个数组或对数组的引用。 注解 ?函数STDEV 假设其参数是总体中的样本。如果数据代表全部样本总体，则应该使用函数STDEVP来计算标准偏差。 ?此处标准偏差的计算使用“n-1”方法。 第二章均值比较检验与方差分析 在经济社会问题的研究过程中，常常需要比较现象之间的某些指标有无显著差异，特别当考察的样本容量n比较大时，由随机变量的中心极限定理知，样本均值近似地服从正态分布。所以，均值的比较检验主要研究关于正态总体的均值有关的假设是否成立的问题。 ◆本章主要内容： 1、单个总体均值的 t 检验（One-Sample T Test）； 2、两个独立总体样本均值的 t 检验（Independent-Sample T Test）； 3、两个有联系总体均值均值的 t 检验（Paired-Sample T Test）； 4、单因素方差分析（One-Way ANOVA）； 5、双因素方差分析（General Linear Model Univariate）。 ◆假设条件：研究的数据服从正态分布或近似地服从正态分布。 在Analyze菜单中，均值比较检验可以从菜单Compare Means，和General Linear Model得出。如图2.1所示。 图2.1 均值的比较菜单选择项 §2.1 单个总体的t 检验（One-Sample T Test）分析 单个总体的 t 检验分析也称为单一样本的 t 检验分析，也就是检验单个变量的均值是否与假定的均数之间存在差异。如将单个变量的样本均值与假定的常数相比较，通过检验得出预先的假设是否正确的结论。 例1：根据2002年我国不同行业的工资水平（数据库SY-2），检验国有企业的职工平均年工资收入是否等于10000元，假设数据近似地服从正态分布。 首先建立假设：H0：国有企业工资为10000元； H1：国有企业职工工资不等于10000元 打开数据库SY-2，检验过程的操作按照下列步骤： 1、单击Analyze →Compare Means →One-Sample T Test，打开One-Sample T Test 主对话框，如图2.2所示。 图2.2 一个样本的t检验的主对话框 2、从左边框中选中需要检验的变量（国有单位）进入检验框中。 3、在Test Value框中键入原假设的均值数10000。 4、单击Options按钮，得到Options对话框（如图2.3），选项分别是置信度（默认项是95％）和缺失值的处理方式。选择后默认值后返回主对话框。 图2.3 一个样本t检验的Options对话框 5、单击OK，得输出结果。如表2.1所示。 表2.1（a）.数据的基本统计描述 One-Sample Statistics 均值、方差和协方差的定义和基本性质 1 数学期望（均值）的定义和性质 定义：设离散型随机变量X 的分布律为 {}, 1,2,k k P X x p k === 若级数 1k k k x p ∞=∑ 绝对收敛，则称级数1k k k x p ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即 ()1k k k E X x p ∞==∑。 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分 ()xf x dx ∞?∞? 绝对收敛，则称积分 ()xf x dx ∞?∞?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即 ()()E X xf x dx ∞ ?∞=? 数学期望简称期望，又称为均值。 性质：下面给出数学期望的几个重要的性质 （1）设C 是常数，则有()E C C =； （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =； （3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推 广至任意有限个随机变量之和的情况； （4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。 2 方差的定义和性质 定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X ?????存在，则称(){}2E X E X ?????为X 的方差，记为()D X 或()Var X ，即 性质：下面给出方差的几个重要性质 （1）设C 是常数，则有()0D C =； （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有 ()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=； （3）设X 和Y 是两个随机变量，则有 ()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++?? 特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。 3 协方差的定义和性质 定义：量()(){} E X E X Y E Y ??????????称为随机变量X 与Y 的协方差。记为(),Cov X Y ，即 ()()(){},Cov X Y E X E X Y E Y =?????????? 性质：下面给出协方差的几个重要性质 （1）()(),,Cov X Y Cov Y X = （2）()(),Cov X X D X = （3）()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =? （4）()(),,,,Cov aX bY abCov X Y a b =是常数 （5）()()()1212,,,Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ 参考文献 [1]概率论与数理统计（第四版），浙江大学 经常要用到，系统整理了一下。 1、均值 Matlab函数：mean >>X=[1,2,3] >>mean(X)=2 如果X是一个矩阵，则其均值是一个向量组。 mean(X,1)为列向量的均值，mean(X,2)为行向量的均值。>>X=[1 2 3 4 5 6] >>mean(X,1)=[2.5, 3.5, 4.5] >>mean(X,2)=[2 5] 若要求整个矩阵的均值，则为mean(mean(X))。 >>mean(mean(X))=3.5 也可使用mean2函数： >>mean2(X)=3.5 median，求一组数据的中值，用法与mean相同。 >>X=[1,2,9] >>mean(X)=4 >>median(X)=2 2、方差 均方差： Matlab 函数：var 要注意的是var函数所采用公式中，分母不是，而是。这是因为var函数实际上求的并不是方差，而是误差理论中“有限次测量数据的标准偏差的估计值”。 >>X=[1,2,3,4] >>var(X)=1.6667 >> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/length(X)=1.2500 >> sum((X(1,:)-mean(X)).^2)/(length(X)-1)=1.6667 var没有求矩阵的方差功能，可使用std先求均方差，再平方得到方差。 std，均方差，std(X,0,1)求列向量方差，std(X,0,2)求行向量方差。 >>X=[1 2 3 4] >>std(X,0,1)=1.4142 1.4142 >>std(X,0,2)=0.7071 0.7071 若要求整个矩阵所有元素的均方差，则要使用std2函数： >>std2(X)=1.2910 方差计算公式的证明 （1）用新数据法求平均数 当所给的数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：=+a.其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，=-a,=-a,…,=-a ○1 =(+)是新数据的平均数（通常把,,…,,叫做原数据， ,,…,,叫做新数据）。证明： 把○1左边的数据相加，把○1右边的数据相加，得到一个等式： +=-a+-a+…+-a +=++…+-na =—a 即○2 亦即=+a （2）方差的基本公式 方差的基本公式由方差的概念而来。方差的概念是：在一组数据，，，中，各数据与他们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“” 表示，即: =[+] (3) 方差的简化计算公式 =[++…+)-n] 也可写成=[++…+)]- 此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 证明： =[+] =[++++…++] =[++…+)-2++…++n] =[++…+)-2n =[++…+)-2n =[++…+)-n] =++…+)-………………..(I) 根据○1，有=+a,=+a,…=+a,和=+a(详见（1）的证明) 代入简化公式（I）,则有： =[（）+（）+…（）- =[(++…+)+2a(++…+)+n]-(+2a+) =(++…+)+2a+-2a- =(++…+)+ 2a+ =(++…+)…………………….(II) 此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。 由方差的基本公式，经恒等变形后，产生了简化公式（I）;由简化公式（I）进行等 量代替产生了简化公式（II）.因此，基本公式和简化公式（I）（II）所计算出的方 差都相同。基本公式和简化公式（I）按原数据,,…,计算方差；简化公 式（II）按新数据,,…,计算方差，计算出的方差相同。 (4) 用新数据法计算方差 原数据,,…,的方差与新数据=-a,=-a,…,=-a的方差相等。也就 是说，根据方差的基本公式，求得的,,…,的方差就等于原数据 ,,…,的方差。 证明： 把○1式里的每一个式子的两边，减去○2式的两边（左边-左边，右边-右边）有： -=(-a)-(-a)=- -=(-a)-(-a)=- ………… -=(-a)-(-a)=- 再把以上每一个新生成等式左右两边平方，即有左2=右2： （）=（） （）=（） ………… （）=（） 最后把这些式子的左边加左边，右边加右边，其和分别除以n,即有：[（）+（）+…+（）]=[+] 这就是根据方差的基本公式，求得的,,…,的方差就等于原数据 ,,…,的方差。 该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。在发达的证券市场中，马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券，当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。本文讨论的投资组合限于由股票和无风险资产构成的投资组合。人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。当然，股票的收益包括分红派息和资本增值两部分。所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢？这正是投资组合理论研究的中心问题。投资组合理论研究“理性投资者”如何选择优化投资组合。所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。这条曲线上有一个点，其波动率最低，称之为最小方差点（英文缩写是MVP）。这条曲线在最小方差点以上的部分就是著名的（马考维茨）投资组合有效边界，对应的投资组合称为有效投资组合。投资组合有 效边界一条单调递增的凹曲线。如果投资范围中不包含无风险资产（无风险资产的波动率为零），曲线AMB是一条典型的有效边界。A点对应于投资范围中收益率最高的证券。如果在投资范围中加入无风险资产，那么投资组合有效边界是曲线AMC。C点表示无风险资产，线段CM是曲线AMB的切线，M是切点。M点对应的投资组合被称为“市场组合”。如果市场允许卖空，那么AMB 是二次曲线；如果限制卖空，那么AMB是分段二次曲线。在实际应用中，限制卖空的投资组合有效边界要比允许卖空的情形复杂得多，计算量也要大得多。在波动率－收益率二维平面上，任意一个投资组合要么落在有效边界上，要么处于有效边界之下。因此，有效边界包含了全部（帕雷托）最优投资组合，理性投资者只需在有效边界上选择投资组合。 [编辑本段]现代投资理论的产生与发展 现代投资组合理论主要由投资组合理论、资本资产定价模型、APT模型、有效市场理论以及行为金融理论等部分组成。它们的发展极大地改变了过去主要依赖基本分析的传统投资管理实践，使现代投资管理日益朝着系统化、科学化、组合化的方向发展。1952年3月，美国经济学哈里·马考威茨发表了《证券组合选择》的论文，作为现代证券组合管理理论的开端。马克威茨对风险和收益进行了量化，建立的是均值方差模型，提出了确定最佳资产组合的基本模型。由于这一方法要求计算所有资产的协方差矩阵，严重制约了其在实践中的应用。1963年，威廉·夏普提出了可以对协方差矩阵加以 随机变量的均值与方差 一、填空题 1．已知离散型随机变量X 的概率分布为 则其方差V (X )＝解析 由0.5＋m ＋0.2＝1得m ＝0.3，∴E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴V (X )＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44. 答案 2.44 2．(优质试题·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________． 解析 设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B (1 000,0.1)，且X ＝2ξ，∴E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝2×1 000×0.1＝200. 答案 200 3．已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值分别为________． 解析 由二项分布X ～B (n ，p )及E (X )＝np ，V (X )＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4. 答案 6,0.4 4．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1 5，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________. 解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则????? 15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1， 解得????? a ＝3 5，b ＝1 5， 所以V(ξ)＝(0－1)2×1 5＋(1－1) 2× 3 5＋(2－1) 2× 1 5＝ 2 5. 答案2 5 5．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，V(η)分别是________．解析由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，V(η)＝(－1)2V(X)＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 2.4 6．口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是________． 解析由题意知，X可以取3,4,5，P(X＝3)＝1 C35＝ 1 10， P(X＝4)＝C23 C35＝ 3 10，P(X＝5)＝ C24 C35＝ 6 10＝ 3 5， 所以E(X)＝3×1 10＋4× 3 10＋5× 3 5＝4.5. 答案 4.5 7．(优质试题·扬州期末)已知X的概率分布为 设Y＝2X＋1，则 解析由概率分布的性质，a＝1－1 2－ 1 6＝ 1 3， ∴E(X)＝－1×1 2＋0× 1 6＋1× 1 3＝－ 1 6， 因此E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2 3. 答案2 3 8．(优质试题·合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分 方差计算公式的变形及应用 江苏 庄亿农 我们知道，对于一组数据x 1、x 2、…x n ，若其平均数为x ，则其方差可用公式 S 2=21)[(1 x x n -+22)(x x -+…+2)(x x n -]计算出来．我们可以对其作如下变形： 2s =n 1[( x 21+2x －2 x 1x )+( x 22+2x －2 x 2x )+…+( x 2n +2x －2 x n x )]=n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )+n 2x －2x ( x 1+ x 2+…+ x n )]= n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )+ n 2x －2n 2x ]=n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )－n 2x ]=n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )－n 1(x 1+x 2+…+ x n )2]，即2s =n 1[ (x 21+x 22+…+ x 2n )－n 1(x 1+x 2+…+ x n )2]．显然当x 1=x 2=…=x n 时，2s =0． 这个变形公式很有用处，在解决有些问题中，巧妙地利用这个变形公式，可化繁为简，具有事半功倍之效． 一、判断三角形形状 例1 若△ABC 的三边a 、b 、c ，满足b+c=8，bc=a 2－12a+52，试判断△ABC 的形状． 解析：因为b+c=8，所以(b+c)2=64，所以b 2+c 2=64－2bc ．因为bc=a 2－12a+52，所以b 2+c 2=64－2(a 2－12a+52)=－2a 2+24a －40．由方差变形公式知，b 、c 的方差为2s = 21[(b 2+c 2)－21(b+c)2]= 21[(－2a 2+24a －40)－2 1×64]=－a 2+12a －36=－(a －6)2．因为2s ≥0，则－(a －6)2≥0，即 (a －6)2≤0，而(a －6)2≥0，所以(a －6)2=0，所以a －6=0，所以a=6．所以2s =0， 所以b=c ．又b+c=8，所以b=c=4．所以△ABC 是等腰三角形． 二、解方程组 例2 解方程组?? ???+==+22493z xy y x ． 解析：两个方程，三个未知数，一般情况下是求不出具体的未知数的值的．若考虑利用方差变形公式，则能解决问题． 因为x+y=3，所以(x+y)2=9，所以x 2+y 2=9－2xy ．因为xy= 4 9+2z 2，所以x 2+y 2=9－2(49+2z 2)=29－4z 2．由方差变形公式知，x 、y 的方差为2s =21[ (x 2+y 2)－21(x+y)2]=21[2 9－4z 2－21×9]=－2z 2．因为2s ≥0，－2z 2≥0，则2z 2≤0，而z 2≥0，所以z=0．所以2s =0，所以 方差分析中均值比较的方法 最近看文献时，多数实验结果用到方差分析，但选的方法不同，主要有LSD，SNK-q,TukeyHSD法等，从百度广库里找了一篇文章，大概介绍这几种方法，具体公式不列了，软件都可以计算。这几种方法主要用于方差分析后，对均数间进行两两比较。 均数间的两两比较根据研究设计的不同分为两种类型：一种常见于探索性研究，在研究设计阶段并不明确哪些组别之间的对比是更为关注的，也不明确哪些组别问的关系已有定论、无需再探究，经方差分析结果提示“ 概括而言各组均数不相同”后，对每一对样本均数都进行比较，从中寻找有统计学意义的差异：另一种是在设计阶段根据研究目的或专业知识所决定的某些均数问的比较．常见于证实性研究中多个处理组与对照组、施加处理后的不同时间点与处理前比较。最初的设计方案不同．对应选择的检验方法也不同．下面分述两种不同设计均数两两比较的方法选择。 1. 事先计划好的某对或某几对均数间的比较：适用于证实性研究。在设计时就设定了要比较的组别，其他组别间不必作比较。常用的方法有： Dunnett-t 检验、LSD-t 检验(Fisher ’s least significant dif ference t test) 。这两种方法不管方差分析的结果如何——即便对于 P稍大于检验水平α进行所关心组别间的比较。 1.1 LSD-t检验即最小显著法，是Fisher于1935年提出的，多用于检验某一对或某几对在专业上有特殊探索价值的均数间的两两比较,并且在多组均数的方差分析没有推翻无效假设H0时也可以应用。该方法实质上就是 t检验，检验水准无需作任何修正,只是在标准误的计算上充分利用了样本信息，为所有的均数统一估计出一个更为稳健的标准误，因此它一般用于事先就已经明确所要实施对比的具体组别的多重比较。由于该方法本质思想与 t 检验相同，所以只适用于两个相互独立的样本均数的比较。LSD法单次比较的检验水准仍为α ，因此可以认为该方法是最为灵敏的两两比较方法.另一方面,由于LSD法侧重于减少第Ⅱ类错误，势必导致此法在突出组间差异的同时,有增大I类错误的倾向。 1.2 Dunnett-t（新复极差法）检验，Duncan 1955年在Newman及Keuls的复极差法(muhiple range method)基础上提出，该方法与Tukey法相类似。适用于n-1个试验组与一个对照组均数差别的多重比较，多用于证实性研究。Dunnett-t统计量的计算公式与LSD-t检验完全相同。 实验组和对照组的样本均数和样本含量。需特别指出的是Dunnett—t检验有专门的界值表，不同于t检验的界值表。 一般认为，比较组数k≥3时，任何两个样本的平均数比较会牵连到其它平均数的对比关系，而使比较数再也不是两个相互独立的样本均数的比较．这是 学案68 离散型随机变量的均值与方差 导学目标：1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题． 自主梳理 1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为 (1)均值 称E (X )＝____________________________________为随机变量X 的均值或___________，它反映了离散型随机变量取值的____________． (2)方差 称D (X )＝__________________________为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的______________，其________________________为随机变量X 的标准差． 2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝____________. (2)D (aX ＋b )＝____________.(a ，b 为实数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X 服从两点分布，则E (X )＝____，D (X )＝_____________________________. (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝______，D (X )＝____________. 自我检测 1．若随机变量X A.118 B.19 C.209 D.920 2．(2011·菏泽调研)已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( ) A ．n ＝4，p ＝0.6 B ．n ＝6，p ＝0.4 C ．n ＝8，p ＝0.3 D ．n ＝24，p ＝0.1 3．(2010·全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) A ．100 B ．200 C ．300 D ．400 4．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假 定该毕业生得到甲公司面试的概率为23 ，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112 ，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________. 5．(2011·杭州月考)其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________. 方差分析公式 (2012-06-26 11:03:09) 转载▼ 标签： 分类：统计方法 杂谈 方差分析 方差分析（analysis of variance，简写为ANOV或ANOVA）可用于两个或两个以上样本均数的比较。应用时要求各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态分布总体且各总体方差相等。方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析。常用的设计有完全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。 一、完全随机设计的多个样本均数的比较 又称单因素方差分析。把总变异分解为组间（处理间）变异和组内变异（误差）两部分。目的是推断k个样本所分别代表的μ1，μ2，……μk是否相等，以便比较多个处理的差别有无统计学意义。其计算公式见表19-6. 表19-6 完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式变异来源离均差平方和SS 自由度v 均方MS F 总ΣX2-C* N-1 组间（处理组间）k-1 SS组间/v组间MS组间/MS组间 组内（误差）SS总-SS组间N-k SS组内/v组内 *C=（ΣX）2/N=Σni，k为处理组数 表19-7 F值、P值与统计结论 αF值P值统计结论 0.05 ＜F0.05（v1.V2）＞0.05 不拒绝H0，差别无统计学意义 0.05 ≥F0.05（v1.V2）≤0.05 拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义 0.01 ≥F0.01（v1.V2）≤0.01 拒绝H0，接受H1，差别有高度统计学意义 方差分析计算的统计量为F，按表19-7所示关系作判断。 例19.9 某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8，问不同季节氯化物含量有无差别？ 表19-8 某湖水不同季节氯化物含量（mg/L ） X ij 春 夏 秋 冬 22.6 19.1 18.9 19.0 22.8 22.8 13.6 16.9 21.0 24.5 17.2 17.6 16.9 18.0 15.1 14.8 20.0 15.2 16.6 13.1 21.9 18.4 14.2 16.9 21.5 20.1 16.7 16.2 21.2 21.2 19.6 14.8 ΣX ij j 167.9 159.3 131.9 129.3 588.4（ΣX ） n i 8 8 8 8 32（N ） X i 20.99 19.91 16.49 16.16 ΣX 2 ijj 3548.51 3231.95 2206.27 2114.11 11100.84（ΣX 2 ） H0：湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等，即μ1=μ2=μ3=μ4 H1：四个总体均数不等或不全相等 α=0.05 先作表19-8下半部分的基础计算。 C= （Σx ）2/N=（588.4）2/32=10819.205 SS 总=Σx2-C=11100.84-10819.205=281.635 V 总=N-1=31 V 组间=k-1=4-1=3 SS 组内=SS 总-SS 组间=281.635-141.107=140.465 V 组内=N-k=32-4=28考点39 均值与方差在生活中运用(讲解)(原卷版)
随机变量的均值与方差、正态分布(专题复
方差分析公式
均值与方差
方差概念及计算公式
用SPSS进行单因素方差分析和多重比较
方差 — 标准差
spss教程第二章均值比较检验与方差分析要点
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
MATLAB求均值和方差
方差计算公式的证明
均值-方差分析方法和投资组合有效边界模型。
随机变量的均值与方差
方差计算公式的变形及应用
方差分析中均值比较的方法
均值与方差
方差分析公式