高数教案第十章重积分

高等数学教案

第十章 重积分

§10-1 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

（一）引例 1. 曲顶柱体的体积

设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =。

当(,)x y D ∈时,(,)f x y 在D 上连续且(,)0f x y ≥,以后称这种立体为曲顶柱体。 曲顶柱体的体积V 可以这样来计算:

(1) 用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ∆，2σ∆，

，n σ∆，以这些小区域的

边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1∆Ω，2∆Ω，

，n ∆Ω。

（假设i σ∆所对应的小曲顶柱体为i ∆Ω,这里i σ∆既代表第i 个小区域,又表示它的面积值,

i ∆Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)

图10-1-1

从而 1

n

i

i V ==

∆Ω

∑ (将Ω化整为零)

(2) 由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是

∆Ω∆∆i i i i

i i i

f ≈∀∈()()(

)

ξησξησ

(以不变之高代替变高, 求i ∆Ω的近似值)

(3) 整个曲顶柱体的体积近似值为

V f i i i

i n

≈=∑()ξησ∆1

(4) 为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:

一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。

所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n 个小区域直径中的最大者为λ, 则

V f n

i i i

i =→=∑lim (),λξησ01

∆

2.平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xoy 面上的区域D , 它在(),x y 处的面密度为(),x y ρ,这里

(),0x y ρ≥,而且(),x y ρ在D 上连续,现计算该平面薄片的质量M 。

图10-1-2

将D 分成n 个小区域 1σ∆，2σ∆，，n σ∆，用i λ记i σ∆的直径, i σ∆既代表第i 个

小区域又代表它的面积。

当{}1max i i n

λλ≤≤=很小时, 由于(),x y ρ连续, 每小片区域的质量可近似地看作是均匀

的, 那么第i 小块区域的近似质量可取为

ρξησξησ(,)(,)i i i

i i i

∆∆∀∈

于是 ∑=∆≈

n

i i i i

M 1

),(σηξ

ρ

M i i i

i n

=→=∑lim (,)λρξησ01

∆

两种实际意义完全不同的问题, 最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。 （二） 二重积分的定义

1．定义：设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域

∆∆∆σσσ12,,, n ,

其中,i σ∆既表示第i 个小区域, 也表示它的面积, i λ表示它的直径。

λλ=≤≤max{}1i n

i

∀∈(,)ξησ

i i i ∆ 作乘积 (,)(1,2

,)i i i f i n ξησ∆=

作和式

1

(,)n

i

i

i

i f ξησ

=∆∑

若极限 ()0

1

lim

,n

i

i

i

i f λξησ

→=∆∑ 存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,

记作

(),D

f x y d σ⎰⎰。

即

(),D

f x y d σ=⎰⎰()0

1

lim ,n

i i i

i f λξησ

→=∆∑

其中: (),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素,

,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域,()1

,n

i i i i f ξησ=∆∑称之为积分和式。

2． 几个事实

(1) 二重积分的存在定理

若(),f x y 在闭区域D 上连续, 则(),f x y 在D 上的二重积分存在。 声明: 在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。 (2)

(),D

f x y d σ⎰⎰中的面积元素d σ象征着积分和式中的i

σ

∆。

图10-1-3

由于二重积分的定义中对区域D 的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D ,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将d σ记作dxdy (并称dxdy 为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为

(),D

f x y dxdy ⎰⎰。