第三章 一阶偏微分方程
一阶偏微分方程组求解
一阶偏微分方程组求解（实用版）目录一、一阶偏微分方程组的概念与基本概念二、一阶偏微分方程组的求解方法三、一阶偏微分方程组的应用实例正文一、一阶偏微分方程组的概念与基本概念一阶偏微分方程组是偏微分方程中的一种，它是指包含一个未知函数的一阶偏导数的方程组。
在求解一阶偏微分方程组时，我们需要了解一些基本概念，如：线性偏微分方程、非线性偏微分方程、齐次偏微分方程、非齐次偏微分方程等。
二、一阶偏微分方程组的求解方法求解一阶偏微分方程组通常有以下几种方法：1.常数变易法：适用于齐次线性偏微分方程组。
通过求解每个方程的常数项，然后将结果组合起来，得到原方程组的解。
2.变易法：适用于非齐次线性偏微分方程组。
首先求解对应的齐次线性偏微分方程组，然后通过解非齐次方程得到变易因子，最后将变易因子与齐次方程的解相加，得到原方程组的解。
3.待定系数法：适用于含有待定系数的一阶偏微分方程组。
通过设定待定系数，将方程组转化为一组关于待定系数的代数方程，然后求解代数方程，得到待定系数的值，最后将待定系数代入原方程组，得到原方程组的解。
4.分离变量法：适用于具有特定形式的一阶偏微分方程组。
通过将变量分离，将原方程组转化为一组关于不同变量的方程，然后分别求解这些方程，最后将解组合起来，得到原方程组的解。
三、一阶偏微分方程组的应用实例一阶偏微分方程组在实际问题中有广泛应用，例如：物理学中的波动方程、生物学中的种群动态方程、经济学中的价格决定方程等。
这些方程组的求解有助于我们更好地理解现实世界中的现象和规律，为科学研究和实际应用提供理论依据。
总之，一阶偏微分方程组是偏微分方程领域的基本内容，其求解方法多样，应用广泛。
一阶偏微分方程基本知识
一阶偏微分方程根本知识这一章我们来讨论一阶线性偏微分方程和一阶拟线性偏微分方程的解法，因为它们都可以化为常微分方程的首次积分问题，所以我们先来介绍常微分方程的首次积分。
一阶常微分方程组的首次积分首次积分的定义从第三章我们知道，n阶常微分方程y n fx,y',y'', ,y n1，〕在变换yy,yy',L,ynyn112〕之下，等价于下面的一阶微分方程组dy1f1x,y1,y2,L,yn,dxdy2f2x,y1,y2,L,y n,dxMMMMdy nf n x,y1,y2,L,y n.dx〔〕在第三章中，已经介绍过方程组〔〕通解的概念和求法。
但是除了常系数线性方程组外，求一般的〔〕的解是极其困难的。
然而在某些情况下，可以使用所谓“可积组合〞法求通积分，下面先通过例子说明“可积组合〞法，然后介绍一阶常微分方程组“首次积分〞的概念和性质，以及用首次积分方法来求解方程组〔〕的问题。
先看几个例子。
例1求解微分方程组--WORD格式--可编辑--dx yxx2y21,dy xyx2y2 1.dt dt〔〕解：将第一式的两端同乘x，第二式的两端同乘y，然后相加，得到x dx y dy x2y2x2y21，dt dt1dx2y2x2y2x2y21dt。
2这个微分方程关于变量t和x2y2是可以别离，因此不难求得其解为x2y21e2t C1，x2y2〔〕C1为积分常数。
〔〕叫做〔〕的首次积分。
注意首次积分〔〕的左端V x,y,t作为x，y，和t的函数并不等于常数；从上面的推导可见，当xx(t),y y(t)时微分方程组〔〕的解时，Vx,y,t才等于常数C1，这里的常数C1应随解而异。
因为式〔〕是一个二阶方程组，一个首次积分〔〕缺乏以确定它的解。
为了确定〔〕的解，还需要找到另外一个首次积分。
将第一式两端同乘y，第二式两端同乘x，然后用第一式减去第二式，得到y dx x dy x2y2，dt dt即x dy y dx x2y2，dt dt亦即d arctan yx。
一阶偏微分方程的解法
一阶偏微分方程的解法偏微分方程是数学里一个广泛应用的领域。
其中，一阶偏微分方程是最为基础的一类，也是最常见的一类偏微分方程。
本文将介绍一阶偏微分方程的解法，希望能够对学习和应用偏微分方程的人们提供一定的帮助。
一、基础概念在介绍一阶偏微分方程的解法之前，我们需要先了解一些基础概念。
偏微分方程中的“偏”表示该方程与多个变量有关，微分方程表示该方程中包含有未知函数的导数项，即该方程描述了一个函数在不同变量下的变化。
一阶偏微分方程中，未知函数的偏导数项最高只有一次，且只涉及到一个变量。
方程中的未知函数只依赖于某一个变量，它的解也只涉及到一个变量。
因此，一阶偏微分方程通常可以写成以下的形式：$$ F(u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}, x, y) = 0 $$其中，$u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, u_{xy}$分别表示未知函数在不同变量下的偏导数，$x, y$是独立变量。
为了解决该方程，需要找到一个函数 $u(x,y)$，使得它满足该方程。
二、解法分析接下来，我们将介绍一阶偏微分方程的解法。
我们将着重介绍三种解法，分别是：特征线法、变换法和分离变量法。
1. 特征线法特征线法是一种经典的解法，适用于一些特殊的偏微分方程。
特征线法的基本思路是寻找一些特殊的曲线，这些曲线上的函数值保持不变，可以将函数沿这些曲线推进求解。
以以下方程为例：$$ u_x + u_y = x $$我们可以通过特征线法求解。
我们先假设存在某个变换，将$x,y$变为$\xi,\eta$，使得方程能够写成：$$ u_\xi + u_\eta = 1 $$这时，可以通过对$\xi, \eta$求偏导数，得到：$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial \xi} +\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x} $$$$ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial \eta} $$接着，我们可以找到一条特殊的曲线$\xi = \eta$，使得沿着该曲线推进方程不变：$$ \frac{du}{d\xi} = \frac{\partial u}{\partial \xi} + \frac{\partial u}{\partial \eta} = 1 $$在这个方程中，$u$ 只与$\xi$有关，因此可以直接求解得到：$$ u = \frac{1}{2}\xi^2 + C $$将$\xi,\eta$变回$x,y$，得到：$$ u = \frac{1}{2}(x-y)^2 + C $$2. 变换法变换法是一种寻求自变量的新变换，使得原方程可以转化为一些已知的方程的方法。
一阶偏微分方程教程
N (t) 0 p(a,t)da
18
若不考虑死亡，则在时刻 t+t，年龄在[a, a+a] 中的人口数量 p(a, t+t)a，应等于在时刻 t，年龄 在区间[a−t, a+a−t]中的人口数量p(a−t, t)a， 即
p(a,t t) p(a t,t)
因此 p(a, t)应满足
dx
dy du
1 u x y 1 2
首次积分为 u 2 y, 2 u x y y
于是原方程的隐式通解为
u 2y, 2 u x y y 0
其中 为任意二元连续可微函数。
16
例5. 求解hy问题
u
u x
xz u y
xy u z
0
u yy0 f (x, z)
11
解：特征方程组为 dx dy dz yz xz xy
首次积分为 x2 y2, x2 z2
于是原方程的通解为 u x2 y2, x2 z2 ，其中
为任意二元连续可微函数。
研究的数据包括50根圆柱组织样本中每一根所含 药物的测量值(见表1、表2及图1)。每一圆柱的长度 为0.76mm，直径为0.66mm。这些平行圆柱的中心 位于1mm×0.76mm×1mm的网格点上。因此，圆
a 0, t 0
p(a,
0)
p0 (a),
a0
(4)
p(0,
t
)
(a,t, N (t)) p(a,t)da,
0
t 0
N (t) 0 p(a,t)da, t 0
一阶偏微分方程组求解
一阶偏微分方程组求解
（实用版）
目录
一、一阶偏微分方程组的基本概念
二、一阶偏微分方程组的求解方法
三、一阶偏微分方程组的应用实例
正文
一、一阶偏微分方程组的基本概念
一阶偏微分方程组是偏微分方程中的一种，指的是包含一组一阶偏导数的方程。
在数学和物理学等领域，一阶偏微分方程组常用于描述许多实际问题，例如流体力学、电磁学等。
二、一阶偏微分方程组的求解方法
求解一阶偏微分方程组的方法有很多，常见的有以下几种：
1.分离变量法：将偏微分方程中的变量分离，转化为普通的微分方程，从而简化求解过程。
2.常数变易法：通过变易法，将偏微分方程转化为一个常微分方程，进而求解。
3.特征方程法：根据一阶偏微分方程的特征方程，求解出特征根，然后利用特征根求解原方程。
4.反演法：通过反演法，将一阶偏微分方程转化为一个二阶偏微分方程，然后利用二阶偏微分方程的求解方法求解。
以上方法并非孤立使用，很多时候需要结合多种方法进行求解。
具体问题具体分析，灵活运用各种方法，才能更好地解决实际问题。
三、一阶偏微分方程组的应用实例
一阶偏微分方程组在实际问题中有广泛的应用，例如：
1.流体力学：描述流体中速度、压力等物理量的变化，可以用一阶偏微分方程组来表示。
2.电磁学：描述电磁场中的电场强度、磁场强度等物理量，可以用一阶偏微分方程组来表示。
3.生物学：描述生物生长过程中的种群数量变化，可以用一阶偏微分方程组来表示。
1.3一阶线性偏微分方程的通解法
1.3 一阶线性偏微分方程的通解法1.3.1 (3)，1.3.2 (3)，1.3.3(2)通解法：对某些偏微分方程，通过积分先求出通解，再由定解条件定出特解的解法。
1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程(,)(,)(,)(,)0.1(,),(,),(,),(,)D (,),(,)u ua x yb x yc x y u f x y x y a x y b x y c x y f x y a x y b x y ∂∂++=∂∂（）其中，为平面区域上的连续函数，且不同时为0.1D (,)0,(,)0,(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)=exp -exp ()0.3(,)(,)(,)()a x y b x y u c x y f x y u y b x y b x y x c x y c x y f x y u x y dy dy dy g x b x y b x y b x y g x C ≡≠∂+=∂⎡⎤⎛⎞⎛⎞+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎣⎦∫∫∫若在上，则（0.2）可看做含参数的常微，其通解.（其中，为任意函数。
）D (,)(,)0,=,)(,)(,)(,)0(,)a x y b x y x y x y xyJ x y xyξϕηψϕϕϕψϕψψψ≠⎧⎨=⎩∂∂∂∂∂==≠∂∂∂∂∂若在上，则方程（0.2）不能直接积分求解。
试作变量代换（（0.4）要求其雅可比行列式（保证新变量的独立性）利用链式法则++(,)=((,,(,)(,.=,)(,)(,)=0u u u u u ux x x y y y u x y u u x y u u u a b a b cu f xy x y x y a x y b x y x y ϕψϕψξηξηξηξηξηϕϕψψξηξϕϕϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂++++=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂+∂∂，的方程（0.1）变成)))的新方程（0.5）若取（是一阶齐次线性偏微分方程（0.6）的解，则新(,(,)u a b cu f xy u u ψψηηξη⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂⎝⎠方程（0.5）成为（0.2）型的方程，（0.7）对积分即可求出其通解)，代回原自变量即得通解。
一阶偏微分方程求解方法
VS
举例2
求解一阶偏微分方程时，遇到边界条件为 y'(0)=1，y'(1)=2的情况，可以通过有限差 分法进行处理。
感谢您的观看
THANKS
03
3. 求解参数方程
通过求解参数方程，得到 (t = x^2/2 + C) ，其中 (C) 是常数。
02
2. 建立参数方程
根据参数 (t) 的定义，建立参数方 程 (u'(x) = x + t) 。
04
4. 求得原方程的解
将 (t) 关于 (x) 的表达式代入原方 程，得到原方程的解 (u(x) = x^2/2 + C) 。
04 参数法
适用条件
适用于具有特定形式的一阶偏微分方程，如形如 (u'(x) = f(x, u(x))) 的方程。
适用于已知函数 (f(x, u)) 的情况，且在某些特定点上，方程的解 (u(x)) 可以表示为参数 (x) 的函数。
求解步骤
1. 确定参数
选择一个参数 (t) ，使得方程的解 (u(x)) 可以表示为 (t) 的函数。
乘积或商。
03 偏微分方程中的未知函数可以表示为某种周期函 数的乘积或商。
求解步骤
01
1. 将偏微分方程中的未知函数表示为多个函数的乘积
或商。
02 2. 将每个函数分别求解，得到每个函数的解。
03
3. 将所有函数的解组合起来，得到偏微分方程的解。
举例说明
考虑一阶偏微分方程 $$ frac{partial u}{partial x} + u = f(x) $$ 其中 $u = u(x)$ 是未知函数，$f(x)$ 是已知函数。
(e^{int f(x) dx} y' = f(x) e^{int f(x) dx})
一阶偏微分方程求解方法PPT课件
i 1
i 1
18
19
2019/10/22
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
n
w j[( Ci i ) q] d w*j[ ( Ci i ) s] d 0
i 1
i 1
由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：
n
n
{[ w j( i )d]Ci}
{[ w*j ( i )d]Ci}
w jq d
w
* j
s
d
i 1
i 1
n
{[
w j( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci
w jq d
w
* j
s
d
i 1
有j个代数方程，
20
通常等于待定系 数个数
4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
{[ wj( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci wjq d w*j s d
i 1
系数
激励
边界条件
代数方程写成矩阵形式： [K ][C] [F ][b]
在x 0处：（）x0＝0 在x d处：（）xd＝10 12
3. 加权余量法－－例
3. 加权余数表达式：
Fj(R)
j
R
d
j
R
d，j
1,2
j 1时,得到一个代数方程：
F1(R)
1
R
d
1R
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(r)
➢ 处理含间断问题的原则：分段求解
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
例1 含有激波的追赶问题
间断条件
h, q 1 h2
2
dxs dt
1 2
hl2
1 2
hr2
hl hr
1 2
(hl
hr )
初值
t / h0 xs
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢ 图象
h
t=0
h0
t</h0
t=/h0
通解
g1(x, y,u) k1, g2 (x, y,u) k2
初始曲线限制
F(k1, k2 ) 0
解曲面
F(g1(x, y,u), g2 (x, y,u)) 0
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 例2.3
特征方程 通解 解曲面 由初值 得解
u u 1
x y
( 为常数)
dy , du 1
kc
dx
v
dt
1
(1
NK
Kc)2
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢
dt (c n)l (c n)r 1 nl nr
cl cr
➢ 特征线光滑解
dc k c dx v
c
c0
exp(
k v
x)
(x xs )
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢ 原因：形成强间断——激波，微分方程失效
问题：补充间断面上的关系
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
3。激波间断关系
q r
t x
l, ql
dxs/dt
r, qr
0
xl
xs
xr
x
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢ 激波间断关系
➢ 熵条件
dxs ql qr q
dt l r
(l )
dxs dt
满足偏微分方程，称为特征曲线，经过初始曲线的特征
曲线的全体构成解曲面u=u(x,y) 。
第三章一阶偏微分方程——特征线法
第三章一阶偏微分方程——特征线法
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 因此，特征线法的求解思路是 ——用特性曲线来编织解曲面
1。求出与向量场( P, Q, R ) 共线的特征曲线；
ds
ds
ds
s 0: x 0, y , u
第三章一阶偏微分方程——特征线法
解出 消去参变量
xs
y s2 s
2
u s
y x2
u 2 x 1 x
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 以积分常数形式给出的特征线解
特征方程
dy Q(x, y,u) , du R(x, y,u) dx P(x, y,u) dx P(x, y,u)
特征线
dt 1 K
dx v
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ x轴给出的初值的解
s 0 : t 0, x , c f ( ) 0
t (x )
c(x,t) f (x t ),
➢ t 轴给出的边值的解
x t
s 0 : x 0, t , c g() 0
t x , x t
处理激波问题的思路是：分段求解，联立确定。
谢谢
t>/h0
0
t
C
/h0
0
x
S
I
x
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
例2 非线性吸附反应器
v
c x
c t
n t
kc
n
NKc 1 Kc
c(x, 0) 0
c(0, t) c0
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢ 特征曲线 ➢ 波速
dx
ds
v
dt
ds
1
dn dc
1
NK
(1 Kc)2
dc ds
t
v
c x
rA
(c)
t 0, c f (x)
( x ,0 t )
➢ 初、边值问题（Riemann问题）
c
t
v
c x
rA (c)
t 0, c f (x)
x
0,
c g(t)
(0 x , 0 t )
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 一般的一阶拟线性偏微分方程的问题
P(x, y,u) u Q(x, y,u) u R(x, y,u)
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
§2 非线性波与追赶现象
1。追赶问题——稀疏波
身高曲线 初始分布
h h h 0 t x
h(x, 0) hh00x /
0
x 0 x
x0
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
特征线 解得
dx h , dh 0
dt
dt
x ht
h0
h
h0
0
0
0
( x )
0 c(x, 0) c0
0
x0 a x 0
x a
第三章一阶偏微分方程——特征线法
特征线 初始曲线 解得
dt 1, dx v, dc 0
ds
ds
ds
s 0: t 0, x
x－vt＝ξ
0
c( ) c0
0
x vt 0 a x vt 0
x vt a
第三章一阶偏微分方程——特征线法
c(x,t) g(t x),
x t
第三章一阶偏微分方程——特征线法
x-t 平面的特征线
第三章一阶偏微分方程——特征线法
斜坡输入时的图象
第三章一阶偏微分方程——特征线法
例3 有化学反应时的色谱波动图象
——浓度沿特征线传播时呈指数衰减
➢ 线性波的特点 波速与因变量无关 保持初始间断和光滑性质不变 特征线不相交
确定
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 解曲面由以下双参变量形式给出
x x(s, ) y y(s, ) u u(s, ) 参变量s 沿特征曲线方向变化，
参变量 沿初始曲线方向变化。
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 例2.1
特征线方程 初始曲线
u
x
u
u y
1
u(0, y) y
dx 1, dy u , du 1
c(0, x) 0
c(x,0) c01
0 t t
第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题
➢ 物理图象：前沿——激波； 后缘——中心稀疏波 激波与稀疏波相互作用
第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题
➢ 特征线
第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题
➢ 解题思路
1。运动初期：激波与稀疏波互不干扰，分别求解； 2。运动后期：后缘侵蚀，稀疏波与激波联立求解。
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
图象—— 稀疏波
h
t = t1时刻的分布
h0
0
t
t1
1/4h0
1/2h0 3/4h0
h0
x
携带不同h值的特征线
0
x
h t = 0时刻的初始分布
h0
0
x
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
2。追赶问题——激波 ➢ 初始分布：前低后高
解得
0
h(x, 0) h0 (1 x / )
(1
)
dxs v 1 Kcl
➢ 稀疏波（给出激波浓度）
联立得到
t
1
NK
(1 Kc)2
x v
d dxs
(t
xs
/
v
)
NK (t
xs
xs / /v
v
)
2
第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题
➢ 激波轨迹
(t xs / v )1/2 ( NKxs / v)1/2 (t0 x0 / v )1/2 ( NKx0 / v)1/2 ( Kc1)1/2
将光滑解代入激波间断条件，解出激波轨迹
vt
xs
NKv k
ln[exp(kxs / v) 1 Kc0
Kc0
]
第三章一阶偏微分方程——追赶现象
➢ 图象
c
t=t1
0
x
t
S
0
x
第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题
§3 化学剂段塞的色谱运动
➢ 问题
v c c n 0
x t t
n NKc 1 Kc
v
dt 1 nl / cl
t
(1
NK
1 Kc1
) xs
/
v
(xs x0 , t t0 )
➢ 稀疏波 ➢ 平台区
t
1
NK
(1 Kc)2
x v
c c1,
0
t
1
NK
(1 Kc1)2
x v
第三章一阶偏微分方程——色谱段塞问题
2。运动后期
➢ 激波（浓度在变化）
dt 1 NK
➢ 偏微分方程与常微分方程求解思路的不同
常微分方程：求方程通解，初、边值定常数 一阶偏微分：求方程通解，初、边值确定任意函数 二阶偏微分：不求通解，从问题出发求解
例，一阶PDE 通解
u c u 0 x y
u f (y cx)
第三章一阶偏微分方程——特征线法
➢ 初值问题（Cauchy问题）
c
化工问题的建模
与数学分析方法
—— Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering
第三章 一阶偏微分方程
1、特征线法 2、非线性波与追赶现象