晶体对称和极射投影共81页

第三章--晶体对称PPT课件

对称轴以L表示，轴次n写在它的右上角，写作Ln。
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晶体外形上可能出现的对称轴如图 I－4－I所列。
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一次对称轴L1无实际意义，因为晶体围绕任一直线旋转360度。轴可以恢复原状。轴次高于2的对称轴，称高次轴。图I一4—6举例绘出了晶体中对称轴L2 L3 L4和L6。
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注意
晶体中不可能出现五次或高于六次的对称轴。这是由于它们不符合空间格子的规律。在空间格子中，垂直对称轴一定有面网存在，围绕该对称轴转动所形成的多边形应法符合于该面网上结点所围成的网孔。
第三章晶体对称
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1
对称性
对称是一个很常见的现象。在自然界我们可观察到五瓣对称的梅花、桃花，六瓣的水仙花、雪花、松树叶沿枝干两侧对称，槐树叶、榕树叶又是另一种对称……在人工建筑中，北京的古皇城是中轴线对称，在化学中，我们研究的分子、晶体等也有各种对称性，有时会感觉这个分子对称性比那个分子高，如何表达、衡量各种对称？数学中定义了对称元素来描述这些对称。
称为晶体的对称定律。
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在一个晶体中，可以无也可以有一种或几种对称轴，而每一种对称轴也可以有一个或多个。如立方体有3L44L36L2(图I一4—8)。
在晶体中，对称轴可能出露的位置为晶面的中心、晶棱的中点或角项〔图I－4－8a)。
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3．对称中心(C)
对称中心是一个假想的点；
相应的对称操作是对此点的反伸(或称倒反)。如果通过此点作任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的两端，必定可以找到对应点。
个。它们是属于低级晶族的三斜晶系不多于一个)和斜方
晶系(二次轴或对称面多于一个)；属于中级晶族的四

第2章：晶体的内部对称PPT课件

43在旋转2个90度后移距2×3/4 T=1T+1/2T，旋转3个90度后移距3×3/4 T=2T+1/4T。T的整数倍移距相当于平移轴，可以剔除，所以， 43相当于旋转270度移距1/4T，也即反向旋转90度移距 1/4T 。所以，41和43是旋向相反的关系。
3/4
1/2
1/4
1/2
1/4 0
与点群不同，这些对称要素在晶胞中不交于一点，相同的对称要素也不止存在一个。同一方向可能存在多种对称要素。
最后的对称要素取最高的：
对称轴存在多个，取最高对称的一个；对称面(滑移面)存在多个，取最简单的一种。
2．空间群的国际符号空间群的符号由两部分组成：
格子类型 + 宏观和微观对称要素的组合，
晶系
点群
空间群
94 10 -4
75 P4 76 P41 77 P42 78 P43 79 I4 80 I41 81 P-4 82 I-4
11 12
13 四方晶系 Tetragonal
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4/m
83 P4/m 84 P42/m 85 P4/n 86 P42/n 87I 4/m 88 I41/a
42(422) 4mm
-42m
111 P-42m 112 P-42c 113 P-421m 114P-421c 115 P-4m2 116 P-4c2 117 P-4b2 118 P-4n2
119 I-4m2 120 I-4c2 121 I-42m 122 I-42d
123 P4/mmm 124P4/mcc 125 P4/nbm 126 P4/nnc
P
三斜晶系
C
I
F
C=P
I=P

晶体投影

FCC(111)极射赤面投影
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用
应用：面角测量 N
S
极式网：经线上的纬度差
吴式网：能转动
有且只有一个大圆过两点，此大圆必与0°经线相交于xy平面内 N
S
转动直到两点在一条经线上，读出纬度的差值即为面角
第二章：晶体投影 § 2.3 心射切面投影
极射赤面投影（Stereographic projection）：主要用来表示线、面的方位，及其相互之间的角距关系和运动轨迹，把物体三维空间的几何要素（面、线）投影到平面上来进行研究。特点：简便、直观、是一种形象、综合的定量图解。在结晶学、地质和航海上被广泛地应用。步骤: 1. 球面投影：视点-球心，投影面-参考球面作晶面的法线交投影面于极点P； 2. 极射赤面投影：视点-南极S，投影面-赤平面，赤道-基圆连接SP，交赤平面于一点即极射赤面投影点p。
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影
晶体学第一定律的意义：使人们从实际晶体千变万化的形态中，找到它们外形上的内在规律，得以根据面角的关系，来恢复晶体的理想形状，从而奠定了几何结晶学的基础。对晶体学的发展产生了极为深远的影响。面角: 两个晶面法线间的夹角，等于外角
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影极射赤面投影：
N 晶面 P 晶面法线
p
投影面基圆 S
晶面在球上的投影
北半球晶面的极射赤面投影
南半球晶面的极射赤面投影
N
S
大圆的极射赤面投影
小圆的极射赤面投影
第二章：晶体投影 § 2.1 极射赤面投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用 § 2.3 心射切面投影
第二章：晶体投影 § 2.2 投影网及极射赤面投影应用

晶体对称和极射投影ppt课件

晶体中的宏观对称元素
2，3，4，6次轴和平面点阵的结合
五种平面点阵分别属于下表的四种平面晶系
对于二维晶体仅有垂直于晶面的1，2， 3，4，6轴和对称心，互相组合只能形成10种二维晶体学点群
二、晶体对称元素的基本原理:对称性要与晶体内部点阵结构的周期性相适应。
原理：1、在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴都必与一组直线点阵平行；任何对称面都必与一组平面点阵平行，而与一组直线点阵垂直。
空间群符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。 1. 第一字母(L)是点阵描述符号，指明点阵带心类型： P， I， F， C， A， B。 2. 其于三个符号(S1S2S3)表示在特定方向（对每种晶系分别规定）上的对称元
素。 3. 如果没有二义性可能，常用符号的省略形式 (如Pm，而不用写成P1m1)。 4. * 由于不同的晶轴选择和标记，同一个空间群可能有几种不同的符号。如
对称元素的图示和印刷符号（1）
对称元素的图示和印刷符号（2）
了解Herman-Mauguin空间群符号
空间群是经常用简略Herman-Mauguin符号(即 Pnma、I4/mmm等)来指定。在简略符号中包含能产生所有其余对称元素所必需的最少对称元素。
从简略H-M符号，我们可以确定晶系、Bravais点阵、点群和某些对称元素的存在和取向（反之亦然）。
立方晶系六方晶系
四方晶系
三方晶系正交晶系单斜晶系三斜晶系
三个 4 或四个 3 一个 6 或 6
一个 4 或 4
一个 3 或 3
三个 2 一个 2
无（仅有i ）
O,Oh,T,Th,Td
C6 ,C6h ,C3h ,C6v D6 ,D6h ,D3h C4 ,S4 ,C4h ,C4V D4 , D4h , D2d

晶体学基础晶体投影优秀课件

➢ 大圆弧上的刻度可以用来度量晶面间的面角
应用1：已知晶面的球面坐标（方位角与极距角），作晶面的投影。
例1：晶面M的坐标为r 30°和j 40 ° ，作M的极射赤
平投影
半透明纸描出基圆标出网中心X 选横半径为零度子午面 °j 0 °
应用2：已知两晶面的球面坐标，求这两个晶面的面角。
例2：已知两晶面M (r1, j1) 和 P(r2, j2)，求此二晶面的面角。
二、极射赤平投影：将晶体球面投影转换成二维平面投影
以赤道平面为投影平面，以南极S（或北极N）为视点，将球面上的各个点线进行投影。即：将球面上的点与南极点（或北极点）连线，该连线与赤平面的交点就是极射赤平投影点。
联接球面投影点A和南极S，交赤道平面于a。
在赤平投影图上, 方位角与极距角的体现
5. 上半球极点的投影以“·”表示，下半球极点的投影以
“○”表示，二者重合时以“⊙”表示；
6. 对称中心在基圆的圆心处； 7. 可选任意过投影球心的平面作投影平面，视点随投影面而改变，视点为该投影面过球心的垂线与投影球的交点。
极距角r ：0°- 180° 北极 r = 0° 南极 r = 180°
M
方位角j ： 0°- 360° 东方 j = 0°
4.3 极射赤平投影
一、晶体的投影的原理：
投影球、投影面（赤平面）、北极点与南极点（目测点）。
投影过程：
往球面上投影作极射赤平投影
即将球面上三维空间的东西投影到二维平面上。
晶体学基础晶体投影
4.1 面角守恒定律
实际晶体形态（歪晶）：偏离理想晶体形态。
——尽管形态各不相同, 看似无规, 但对应的晶面面角相等, 即发现“面角守恒定律”。

2.1 晶体的对称原理

对称中心(C, 1)
假想的几何点，相对于这个点的反伸(x, y, z) 变换矩阵：
0 1 0 0 1 0 0 0 1
(-x, -y, -z)
倒转轴(Lin)之对称操作
• 倒转轴（反轴）：围绕直线
旋转一定的角度和对于一定
点的反伸 = 对称轴×对称中心变换矩阵：
映转轴(rotoreflection axis)
对称元素和相应的对称操作：
对称面—P 操作为反映。可以有多个对称面存在，如3P、6P等.
该切面是对称面
该切面不是矩形体的对称面
对称面：
对称自身—L1 什么操作也没有进行最低的一种对称元素.
对称轴—Ln
操作为旋转。其
中n代表轴次，指旋转360度相同部分重复的次数。旋转一次的角度为基转角，关系为：
or
对称变换矩阵
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold )
6
6
6
6
6 6
3-fold 4-fold
6
1-fold
2-fold
变换矩阵：
6
cos sin 0 sin cos 0 0 0 1
一次旋转反伸轴Li1
L i 1= C
极射赤平投影图
二次旋转反伸轴Li2
极射赤平投影图
Li 2= P
三次旋转反伸轴Li3
极射赤平投影图
Li 3= L3C
四次旋转反伸轴Li4
极射赤平投影图
Li 4
六次旋转反伸轴Li6

材料物理课件12晶体的宏观对称性

2成. 的Cn。h群因此这这类类群群是包由含Cnn群个与转水动平及反n个映旋面转h反组射合，而
故群共有2n个群元。这类群共有五个。
+
+
6) C1h={h,E}
+
C1h
7) C2h={C2,h,C2h, E}
C2h
++
8) C3h={C3,C3,2h, C3 h, C3 2h, E} 9) C4h={C4,C4=2 C2 ,C4 ,3h ,
C
8
2020/2/24
4
v
d d
2020/2/24
2. 反映面(镜面) (A Plane of Reflection)
h
v
d
d
反映面的阶次
为2，用表示。
d
d
正四面体有9 个反映面。
2=E
5
3. 对称中心 (Center of Inversion)
与对称中心相应的动作是中心反演(或倒反)，记作I。
对于立方体群，由於不存在主轴，所以不能用
极射投影图而用单位球来表示，但很繁复。实际
上常直接在立方体中标出各种转轴。
2020/2/24
12
1.3.3 晶体的32类点群
1次. 轴Cn的群转动这操类作群。仅这有种一群个称n次作轴轴，转群动元群都。是绕这n
+
Cn 群是个循环群，即
+
C1
Cn ={Cn,Cn2,…,Cn =n E}
2020/2/24 个反映面穿过此旋转轴。(万花筒定理)
9
1.2.2 对称元素组合原理(Cont’)
三、旋转轴与对称中心的组合定理：如果在偶次旋转轴上有对称中心，那么必有一反映面与旋转轴垂直相交于对称中心。推论：在有对称中心时，图形中偶次轴数目

结构化学课件：5-2 晶体的对称性

根据特征对称元素及数目的不同，将32个点群分为7类，正好对应于7个晶系，亦即7种不同形状的晶胞，也可以说7种不同形状的空间格子。将32个晶体学点群划分为7个晶系的依据即特征对称元素。
七个晶系按照对称性的高低又可并归为三个晶族，即：
晶族
包含的晶系
对称性强弱
高级晶族
立方晶系
对称性最高
中级晶族六方、四方、三方晶系对称性较弱
422 mmm
4,42,5m, i
菱面体晶胞
c 16
3
3
3
abc
中
c 17
3i
3
3, i
三方
3
120 90
六方晶胞
18 D 3
abc
c 19
3v
90
120
20
D 3d
3 2 3,32
3m 3,3m
3
2
m
3,32,3m, i
续表：
对称晶特征对
点
群
性的高低系称元素
晶胞类型
所以，综合前面的讨论，由于点阵结构的限制，晶体中实际存在的独立的宏观对称元素总共只有八种，见表 5-2.2：
对称元素国际符号对称操作
对称中心
i
倒反
I
等同元素或组合成分
1
反映面(镜面) m
反映
M
2
一重旋转轴二重旋转轴三重旋转轴四重旋转轴六重旋转轴四重反轴
1
旋转
L(0 )
2
旋转
L(180 )
低级晶族正交、单斜、三斜晶系对称性最弱
每个晶系都含有若干个晶体学点群，含有对称中心i的那个点群其对称性在该晶系中最高，可作为这个晶系的代表。