32圆的对称性(1)垂径定理
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3.3垂径定理
CD⊥AB,
M
O C A N M A O C
结论： MN⊥AB 直线MN过圆心 ⌒ ⌒ AM=BM AC=BC ⌒ ⌒ AN=BN 推论1. 平分弦（弦不是直径）的直 B 径垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧。
一个圆的任意两条直径总是 互相平分，但是它们不一定互相 垂直,因此这里的弦如果是直径， 结论就不一定成立.
垂径定理
AB是⊙O的一条弦 ,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. C
A
M└
●
B O
题设
① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
结论
AM=BM,
⌒ ⌒ AC=BC,
D
⌒ ⌒ AD=BD.
垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧.
∵ CD是⊙O直径,
⌒ =BC, ⌒ AD=BD. ⌒⌒ ∴AM=BM, AC
A
M
∟
B
A
B
C O C D O
D
N
（1）
（2）
回味引伸
垂径定理及其推论的实质是把 (1) 过圆心 ; (2) 垂直弦; (3) 平分弦; (4) 平分优弧; (5) 平分 劣弧 五个元素中的两个作条件，其余三个元素 作结论，共可以得到十个定理。其中，平分弦 作条件时，必须明确弦不能是直径。
B
3.已知:如图,⊙O中,C为弧AB的中点,OC 交AB于D,AB=6cm,CD=1cm.求⊙O的半径 A OA.
.
D
r-1
B
O
2.已知:AB是⊙O直径,CD是弦,AE⊥CD,BF⊥CD. 求证:EC＝DF
证明:过 O作 OM ⊥ CD于 M ∴ CM = DM ∵ AE ⊥ CD, BF ⊥ CD ∴ AE / /OM / /BF ∵ AO = OB ∴ EM = FM ∴ EM - CM = FM - DM, 即 EC = DF
3.3(1)垂径定理
在半径为50mm的圆O中， 有长50mm的弦AB，则 ∠AOB= 度； 点O到弦AB的 O 距离为 mm.
A
C
B
C
练3：如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AE⊥CD于E， BF⊥CD于F，且圆O的半径为 A 10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
E
G O F
B
D
A
练习:如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
1. 圆是轴对称图形吗？ 圆是轴对称图形，每一条 2.它有几条对称轴? 直径所在的直线都是它的对 称轴 . 3.圆的对称轴是 .
O
如图, AB是⊙O的一条弦, CD是⊙O直径， AB⊥CD 把⊙O沿着直径CD对折，哪些线段及哪些 弧互相重合？
C
（平分弦） AE BE
O
（平分弦 等 AD BD A 所对的弧） 弧 AC BC
D
E O
C
B
O
A
C E D
B
已知: 如图，在以O为圆心的 两个同心圆中, 大圆的弦 AB交小圆于C、D两点。 求证：AC＝BD.
O A C E D B
.
挑战自我画一画
•如图 ,M 为 ⊙ O 内的一点 , 利用 尺规作一条弦AB,使AB过点M. 并且AM=BM.
●
M
●
O
挑战自我画一画
•如图 ,M 为 ⊙ O 内的一点 , 求作 一条弦 BC ，使 BC 是所有过点 M的弦中最短的弦.
总结回顾
１．本节课主要内容：
（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．
2．常用辅助线： （1）半径; （2）弦心距. A C
圆的对称性垂径定理
垂径定理（一）一．教学目标：1、使学生理解圆的轴对称性。
2、使学生掌握垂径定理，并能应用它解决相关弦的计算和证明问题。
3、激发学生探索和发现问题的欲望，培养学生观察、分析、归纳的水平。
二．教学重点：垂径定理及其应用。
以及垂径定理的证明。
四．教学过程：（一）．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
（二）．定理的证明，并分析定理的题设和结论。
给出定理的推理格式题设 结论⎪⎩⎪⎨⎧⇒⎭⎬⎫直线平分弦所对劣弧直线平分弦所对优弧平分弦直径直线直线垂直于弦直线过圆心（直径）)( 即 CD 是直径 AE=BE弧AC=弧BC CD ⊥AE 弧AE=弧BD题设中的两个条件缺一不可。
圆的半径r 、圆心到弦的距离d 、弦a 、三个量之间的关系式：基本图形（求弦长、半径、弦心距、弓高）试一试：下列图形能够使用垂径定理吗？为什么？2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a d r D OC B A（四）．定理的应用1．已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径。
2 ．已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：AC=BD 。
（法一：三角形全等； 法二：垂径定理）变式训练：问题1：如图1，AB 是两个以O 为圆心的同心圆中大圆的直径，AB 交小圆交于C 、D 两点，求证：AC=BD问题2：把圆中直径AB 向下平移，变成非直径的A BC D ．O弦AB，如图2，是否仍有AC=BD呢？问题3：将图2变成图3，则有①EA=_____，②EC=______。
试证明。
问题4：在圆2中连结OC，OD，将小圆隐去，得图4，设OC=OD，求证：AC=BD问题5：在图2中，连结OA、OB，将大圆隐，得图5，设AO=BO，求证：AC=BD问题6：在图5中，已知AC=BD，求证：OA=OB3. 如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB//CD( (AC和BD相等吗？为什么？4．如图5，⊙O中AB⊥CD，垂足为P，⊙O半径为5，AB=8，CD=7，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F为垂足，求四边形OEPF的周长。
圆的轴对称性与垂径定理
N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
结论：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，
仍与原来的圆重合。
C
分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等，根据这节课所学
的圆心角定理，应先证明什么相等？
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º
∴
⌒⌒ ⌒ ⌒ AB=BC=CD=DA
AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
点此继续
∵把圆心角等分成功360份,则每一份的圆 心角是1º.同时整个圆也被分成了360份.
A
如图：
B
AOB= COD
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧A 有什么关系？ B
如图： AOB= COD
o
C
D
∵∠AOB= ∠COD,
∴半径OB与OA重合，
∴ 点A与点C重合，点B与点D重合。
∴ AB=CD， 根据圆的性质，A⌒B与C⌒D重合。
此时，称作
两条圆弧相等。
记作:“A⌒B=C⌒D”
圆绕圆心旋转
A
.
B
O
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
结论：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，
仍与原来的圆重合。
C
分析：要想证明在圆里面有关弧、弦相等，根据这节课所学
的圆心角定理，应先证明什么相等？
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径,
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º
∴
⌒⌒ ⌒ ⌒ AB=BC=CD=DA
AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
点此继续
∵把圆心角等分成功360份,则每一份的圆 心角是1º.同时整个圆也被分成了360份.
A
如图：
B
AOB= COD
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧A 有什么关系？ B
如图： AOB= COD
o
C
D
∵∠AOB= ∠COD,
∴半径OB与OA重合，
∴ 点A与点C重合，点B与点D重合。
∴ AB=CD， 根据圆的性质，A⌒B与C⌒D重合。
此时，称作
两条圆弧相等。
记作:“A⌒B=C⌒D”
圆绕圆心旋转
A
.
B
O
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆绕圆心旋转
圆的垂径定理课件
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
圆的垂径定理
做一做P90
5
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,小明的理由是: • 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
圆的垂径定理
想一想P91
8
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A
B
M└
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
圆的垂径定理
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B ,读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
m • 直半径圆将(如圆弧分A成BC两⌒).部分,每一部分都叫做
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B (用
C 两个字母).
试一试P93 15
挑战自我画一画
• 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
驶向胜利 的彼岸
BE
·
F
C
0
圆的垂径定理
独立作业P91 16
挑战自我
• P94:习题3.2
3.2.1圆的对称性(垂径定理)
九年级数学( 九年级数学(下) 第三章 圆
圆对称性(1) 圆对称性(1) 3.2 垂径定理
3.2
圆的对称性
复习提问: 复习提问:
1,什么是轴对称图形?我们在直线形中学过哪 什么是轴对称图形? 些轴对称图形? 些轴对称图形? 如果一个图形沿一条直线对折, 如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部 分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形. 分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形.如 线段, 等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形, 线段,角,等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形, 正方形
推论1. 推论 (1)平分弦(不是直径) 平分弦( 平分弦 不是直径) 的直径垂直于弦, 的直径垂直于弦,并且平分 弦所对的两条弧. 弦所对的两条弧. A
M
一个圆的任意两 C 直径总是互相平分, 条直径总是互相平分, 但是它们不一定互相 垂直. 垂直.因此这里的弦 如果是直径, 如果是直径,结论就 不一定成立. 不一定成立.
O
D
B N
M
O
C A B N
探索二:
② MN⊥AB MN⊥ ③ AC=BC
①直线MN过圆心O 直线MN过圆心 过圆心O ④弧AM=弧BM AM=弧 ⑤弧AN=弧BN AN=弧
推论1: 推论1:
(2)弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分弦 所对的两条弧;
M
O
C A B N
探索三:
①直线MN过圆心O 直线MN过圆心 过圆心O ⑤弧AN=弧BN AN=弧
A B D C M
●
1.两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的同侧
A C
●
O
O
B D
M
圆的两条平行弦所夹的弧相等. 垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等
圆对称性(1) 圆对称性(1) 3.2 垂径定理
3.2
圆的对称性
复习提问: 复习提问:
1,什么是轴对称图形?我们在直线形中学过哪 什么是轴对称图形? 些轴对称图形? 些轴对称图形? 如果一个图形沿一条直线对折, 如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部 分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形. 分能够互相重合,那么这个图形叫轴对称图形.如 线段, 等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形, 线段,角,等腰三角形,矩形,菱形,等腰梯形, 正方形
推论1. 推论 (1)平分弦(不是直径) 平分弦( 平分弦 不是直径) 的直径垂直于弦, 的直径垂直于弦,并且平分 弦所对的两条弧. 弦所对的两条弧. A
M
一个圆的任意两 C 直径总是互相平分, 条直径总是互相平分, 但是它们不一定互相 垂直. 垂直.因此这里的弦 如果是直径, 如果是直径,结论就 不一定成立. 不一定成立.
O
D
B N
M
O
C A B N
探索二:
② MN⊥AB MN⊥ ③ AC=BC
①直线MN过圆心O 直线MN过圆心 过圆心O ④弧AM=弧BM AM=弧 ⑤弧AN=弧BN AN=弧
推论1: 推论1:
(2)弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分弦 所对的两条弧;
M
O
C A B N
探索三:
①直线MN过圆心O 直线MN过圆心 过圆心O ⑤弧AN=弧BN AN=弧
A B D C M
●
1.两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的同侧
A C
●
O
O
B D
M
圆的两条平行弦所夹的弧相等. 垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等
3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册
弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
圆的对称性(垂径定理)
O A
pPC p2 1
注意圆的轴对称性
B
• 练一练二： 1、过⊙O内一点P，最长弦为10， 最短弦长为8，则OP的长为 。 2、如图，AB为⊙O的弦，⊙O 的半径为5，OC⊥AB于点D， 交⊙O于点C，且CD＝l， 则弦AB的长是 ． 3、已知OC是半径,AB是弦,AB⊥OC 于E,CE=1,AB=10,则OC=_____。
C
M└
●
D O
⌒ ⌒ A、AC=AD
⌒ ⌒ B、BC=BD
C、AM=OM D、CM=DM 2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 垂足为M，OM=3，则CD= 8 . 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若
B
CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 . 4.在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦CD，则点O与CD的 距离= 25√3mm .
●
B
O
• 你能发现图中有哪些 等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
D
垂径定理的逆定理
发现图中有: 由① CD是直径 ③ AM=BM
C
┗
●
②CD⊥AB,
可 推 得
④AC=BC,
⑤AD=BD.
⌒ ⌒
⌒
⌒
A
M ●O
B
平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，并且平 分弦所对的弧
D
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中: ③ ① CD是直径, ② CD⊥AB, AM=BM, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余 三个结论. 你可以写出相应的命题吗? C B 相信自己是最棒的! A
M
A
C
N
O
pPC p2 1
注意圆的轴对称性
B
• 练一练二： 1、过⊙O内一点P，最长弦为10， 最短弦长为8，则OP的长为 。 2、如图，AB为⊙O的弦，⊙O 的半径为5，OC⊥AB于点D， 交⊙O于点C，且CD＝l， 则弦AB的长是 ． 3、已知OC是半径,AB是弦,AB⊥OC 于E,CE=1,AB=10,则OC=_____。
C
M└
●
D O
⌒ ⌒ A、AC=AD
⌒ ⌒ B、BC=BD
C、AM=OM D、CM=DM 2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB， 垂足为M，OM=3，则CD= 8 . 3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若
B
CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 . 4.在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦CD，则点O与CD的 距离= 25√3mm .
●
B
O
• 你能发现图中有哪些 等量关系?与同伴说说 你的想法和理由.
D
垂径定理的逆定理
发现图中有: 由① CD是直径 ③ AM=BM
C
┗
●
②CD⊥AB,
可 推 得
④AC=BC,
⑤AD=BD.
⌒ ⌒
⌒
⌒
A
M ●O
B
平分弦（不是直径）的 直径垂直于弦，并且平 分弦所对的弧
D
垂径定理的逆定理
• 如图,在下列五个条件中: ③ ① CD是直径, ② CD⊥AB, AM=BM, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余 三个结论. 你可以写出相应的命题吗? C B 相信自己是最棒的! A
M
A
C
N
O
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九年级数学(下)第三章 圆
2. 圆对称性(1) 垂径定理
想一想P88 1
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称
轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .
B M
E D
A OF
C
N
试一试P93 14
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
D
B
O
试一试P93 15
挑战自我画一画
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
想一想P91 9
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③
结论
命题
③④⑤
D 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
问题的?
想一想P88 2
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
●O
用旋转的方法即可解决这个 问题.
读一读P88 3
圆的相关概念
驶向胜利 的彼岸
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧
AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
M 直做径半将圆圆(如分弧⌒成A两BC部).分,每一部分都叫
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
C D
两大个于字半母圆). 的弧叫做优弧,如记作A⌒MB
(用三个字母).
做一做P89 4
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└ ●O
D
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
说你的想法和理由.
B 小明发现图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
老师提示:
垂径定理是
圆中一个重 要的结论,三
种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
做一做P91 7
A⌒mB
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
驶向胜利 的彼岸
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
BE
·
F
C
0
独立作业P911 6
挑战自我
P93:习题3.2
驶向胜利 的彼岸
2题
• 不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
做一做P90 5
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
如图,小明的理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
C
A M└ ●O
D
∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. B ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
试一试P93 13
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
∴ 重∴合当A⌒C,圆=⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
想一想 P90 6
垂径定理三种语言
驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
试一试P93 11
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
试一试P93 12
挑战自我填一填
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
随堂练习P9210
挑战自我垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
A
┗●
B 小明发现图中有:
M●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
想一想P91 8
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
2. 圆对称性(1) 垂径定理
想一想P88 1
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称
轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
圆是中心对称图形吗？
如果是,它的对称中心是什么?
●O
你能找到多少个对称中心？
你又是用什么方法解决这个
图中相等的线段有 : .
图中相等的劣弧有: .
B M
E D
A OF
C
N
试一试P93 14
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
C
A
D
B
O
试一试P93 15
挑战自我画一画
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A M└
B
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
C
想一想P91 9
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③
结论
命题
③④⑤
D 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
问题的?
想一想P88 2
圆的对称性
驶向胜利 的彼岸
圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无 数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
圆也是中心对称图形.
它的对称中心就是圆心.
●O
用旋转的方法即可解决这个 问题.
读一读P88 3
圆的相关概念
驶向胜利 的彼岸
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧
AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
M 直做径半将圆圆(如分弧⌒成A两BC部).分,每一部分都叫
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
C D
两大个于字半母圆). 的弧叫做优弧,如记作A⌒MB
(用三个字母).
做一做P89 4
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
A M└ ●O
D
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
说你的想法和理由.
B 小明发现图中有:
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
老师提示:
垂径定理是
圆中一个重 要的结论,三
种语言要相 互转化,形成 整体,才能运 用自如.
做一做P91 7
A⌒mB
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C
你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
驶向胜利 的彼岸
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
BE
·
F
C
0
独立作业P911 6
挑战自我
P93:习题3.2
驶向胜利 的彼岸
2题
• 不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
做一做P90 5
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
如图,小明的理由是: 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
C
A M└ ●O
D
∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. B ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（
）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
试一试P93 13
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
∴ 重∴合当A⌒C,圆=⌒ A沿B⌒CC着和, AB⌒⌒直DC径重=B⌒合CDD,. 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B
想一想 P90 6
垂径定理三种语言
驶向胜利 的彼岸
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
C
A M└ ●O
D
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
试一试P93 11
挑战自我画一画
驶向胜利 的彼岸
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
试一试P93 12
挑战自我填一填
驶向胜利 的彼岸
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
随堂练习P9210
挑战自我垂径定理的推论
如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗?
老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
A
B
●O
C
D
C
D
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
A
┗●
B 小明发现图中有:
M●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（D不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
想一想P91 8
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,