高一下数学 必修4同角三角函数的基本关系式与诱导公式习题课
诱导公式反馈练习 1
1． sin 585°的值为
A．－ 2 2
B. 2 2
C．－ 3 2
D. 3 2
2． 若 n 为整数，则代数式sinnπ＋α的化简结果是 cosnπ＋α
A．±tan α
B．－tan α
C．tan α
D．1tan α 2
3． 若 cos(π＋α)=－1，3π<α<2π，则 sin(2π＋α)等于 22
【课堂讲练】
－20π 1．cos 3 =(
A.1 2
) B. 3 2
C．－1 2
2．已知△ABC 中， 1 =－12，则 cosA 等于( ) tanA 5
A.12
B. 5
13
13
C．－ 5 13
3．已知 sinα＋cosα= 2，则 tanα＋cosα的值为( ) sinα
让每个孩子更优秀，让每个孩子更快乐!
To be great To be happy！ 3/7
16．已知函数 f(n)=sinnπ(n∈Z)．求值： 6
(1)f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)； (2)f(1)·f(3)·f(5)·…·f(101)．
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A．－1
B.1
C. 3
2
2
2
Hale Waihona Puke D．－ 3 23．
已知 sin
α－π 4
=1，则 cos
π＋α 4 的值等于
3
()
A．－1
B.1
C．－2 2
D.2 2
3
3
3
3
π＋α
3π－α
4． 若 sin(π＋α)＋cos 2 =－m，则 cos 2 ＋2sin(2π－α)的值为
()
A．－2m 3
B.2m 3
C．－3m 2
D.3m 2
5．
已知 cos
π＋φ 2
=
3，且|φ|＜π，则 tan φ等于
2
2
()
A．－ 3 3
B. 3 3
C．－ 3
D. 3
6． 已知 cos(75°＋α)=1，则 sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是 3
()
A.1
B.2
C．－1
D．－2
3
3
3
3
7． sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°=________.
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cot
17 3
π
．
3．设 tan
2
，求（1）求
1 2 sin 2
sin cos a cos2
；（2）求 2 sin 2
4sin
cos
20 cos2
的值．
4．已知 sin 2 cos 0 ．求 sin 和 cos 的值．
5．已知 sin x y 1 0 ，求证 tan2x y tan y 0 ．
A.1
B．± 3
C. 3
D．－ 3
2
2
2
2
4． tan(5π＋α)=m，则sinα－3π＋cosπ－α的值为 sin－α－cosπ＋α
A.m＋1 m－1
B.m－1 m＋1
C．－1
D．1
5． 记 cos(－80°)=k，那么 tan 100°等于
A. 1－k2 k
B．－ 1－k2 k
C. k 1－k2
2
2
6．已知
cos
π＋α 3
=－1，则
sin
α－π 6 的值为(
)
3
A.1
B．－1
3
3
C.2 3 3
D．－2 3 3
7．已知 f(α)=sinπ－αcos2π－α，则 f cos－π－αtanα
－31π 3 的值为(
)
A.1
B．－1
C．－1
D.1
2
3
2
3
8．若α∈(0，π)，sinα＋cosα= 3－1，则 tanα的值为( ) 2
13
2cosπx，x≤2000， 12．已知函数 f(x)= 3
x－100，x>2000，
则 f[f(2012)]=________．
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13．若 tanα=2，则 1 ＋ 1 =________． 1－sinα 1＋sinα
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诱导公式反馈练习 2
1． 已知 f(sin x)=cos 3x，则 f(cos 10°)的值为
A．－1
B.1
C．－ 3
2
2
2
D. 3 2
()
2． 若 sin(3π＋α)=－1，则 cos
7π－α 2
等于
2
()
A．－ 3或－ 3 B．－ 3
3
3
C．－ 3
D．－ 3 2
9．已知 A=sinkπ＋α＋coskπ＋α(k∈Z)，则 A 的值构成的集合是( )
sinα
cosα
A．{1，－1,2，－2}
B．{－1,1}
C．{2，－2}
D．{1，－1,0,2，－2}
10．已知 tanθ=2，则 sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ=________． 11．已知 cosα=－ 5 ，且α是第二象限的角，则 tan(2π－α)=________．
5π＋α
14．已知
sinα=2 5，求 5
sin tan(α＋π)＋
cos
2 5π－α 2
的值．
15．已知 sinα是方程 5x2－7x－6=0 的根， 求cos2π－αcosπ＋αtan22π－αtan2π－α的值． sinπ＋αsin2π－α
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tan2π－αsin－2π－αcos6π－α
8． 求证：
α＋3π α＋3π sin 2 cos 2
=－tan α.
简答：1．A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.B 7．－ 3 8.－1 3
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1．A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.89 2
教学过程：
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
【课前复习】
1．设
a
sin
5 7
，
b
cos
2 7
，
c
tan
2 7
，则(
)
A. b a c
B. a c b
C. b c a
D. b a c
2．求
cos
1140
tan
945
sin
5π 6
D．－ k 1－k2
6．
若 sin(π－α)=log8
1，且α∈ 4
－π，0 2
，则 cos(π＋α)的值为
A. 5 3
B．－ 5 3
C．± 5 3
D．以上都不对
7．
π＋θ 已知 cos 6 =
3，则
cos
5π－θ 6
=________.
3
() () () () ()
()
8． 代数式 1＋2sin 290°cos 430°的化简结果是____． sin 250°＋cos 790°
D．－ 3 2
D．－12 13
To be great To be happy！ 1/7
A．－1
B．－2
C.1
2
D．2
4．若
sin(π＋α)=1，α∈
－π，0 2
，则
tanα=________．
2
5．已知 A 是△ABC 的内角，若“cosA=1”则 A 是______；若“sinA= 3” 则 A 是____________．
高考数学专题《同角三角函数的基本关系与诱导公式》习题含答案解析
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，则tan()πθ-的值为（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C 【解析】由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正确答案.【详解】解：由题意知，43sin ,cos 55θθ==，则sin 4tan cos 3θθθ==，所以4tan()tan 3πθθ-=-=-，故选:C.2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知1tan ,2α=则()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．﹣12B ．12C ．2D ．﹣2【答案】C 【解析】先用“奇变偶不变，符号看象限”将()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为cos sin αα--，结合同角三角函数的基本关系来求解.【详解】因为1tan 2α=，所以()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos sin αα--=1tan α=2.故选：C练基础3.（2021·全国高一专题练习）已知3cos cos()2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（ ）A ．2B ．-2C ．13D ．3【答案】A 【解析】用诱导公式化简，平方后求得sin cos αα，求值式切化弦后易得结论．【详解】3cos cos()sin cos 2παπααα⎛⎫-++=∴--= ⎪⎝⎭即21sin cos (sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==，故选：A ．4．（2021·河南高三其他模拟（理））若1tan 2α=，则22sin sin cos ααα+=_______________________.【答案】45【解析】利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.【详解】因为12tan α=，所以222222224215sin sin cos tan tan sin sin cos sin cos tan ααααααααααα+++===++.故答案为：455．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（文））若3sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[0,2)θπ∈，则θ=___________.【答案】116π【解析】根据三角函数的诱导公式，求得cos θ=[0,2)θπ∈，进而求得θ的值.【详解】由三角函数的诱导公式，可得3sin cos 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，即cos θ=，又因为[0,2)θπ∈，所以116πθ=.故答案为：116π.6．（2021·上海格致中学高三三模）已知α是第二象限角，且3sin 5α=，tan α=_________.【答案】34-【解析】根据角所在的象限，判断正切函数的正负，从而求得结果.【详解】由α是第二象限角，知4cos 5α===-，则sin 3tan cos 4ααα==-故答案为：34-7．（2021·上海高三二模）若sin cos k θθ=，则sin cos θθ⋅的值等于___________(用k 表示).【答案】21kk +【解析】由同角三角函数的关系得tan θk =,进而根据22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ⋅⋅=+,结合齐次式求解即可.【详解】因为sin cos k θθ=，所以tan θk =，所以2222sin cos tan sin cos sin cos tan 11kk θθθθθθθθ⋅⋅===+++，故答案为:21k k +8．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数log (3)2(0a y x a =-+>且a ≠1)的图象过定点Q ，且角a 的终边也过点Q ，则23sin α+2sin cos αα=___________.【答案】75【解析】首先可得点Q 的坐标，然后可得tan α，然后可求出答案.【详解】由题可知点Q (4，2)，所以1tan ,2α=所以22223sin 2sin cos 3sin 2sin cos sin cos αααααααα++==+2211323tan 2tan 74211tan 514ααα⨯+⨯+==++故答案为：759．（2021·上海高三其他模拟）已知3sin 5x =，(,)2x ππ∈，则cos(π﹣x )=___________.【答案】45【解析】根据22sin cos 1x x += ，(,)2x ππ∈，求出cos x ，再用“奇变偶不变，符号看象限”求出cos(π﹣x ).【详解】解：因为3sin 5x =，(,)2x ππ∈，可得cos x =﹣=﹣45，所以cos(π﹣x )=﹣cos x =45.故答案为：45.10．（2020·全国高一课时练习）若2cos()3απ-=-，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．【答案】.【解析】利用诱导公式化简已知和结论，转化为给值求值的三角函数问题解决.【详解】原式=sin(2)sin(3)cos(3)cos (cos )cos παπαπαααα---+----=2sin sin cos cos cos ααααα--+=sin (1cos )cos (1cos )αααα---=-tan α，因为2cos()cos 3απα-=-=-，所以2cos 3α=，所以α为第一象限角或第四象限角．(1)当α为第一象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.(2)当α为第四象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.综上，原式=.1．（2021·全国高三其他模拟（理）(0)a a =>，则1tan 2=________（用含a 的式子表示）．【解析】根据同角三角函数的相关公式，把根号下的式子变形为完全平方式，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由11cos sin 022>>，开方即得1cos 22a =，再由22111tan 12cos 2+=即可得解.【详解】练提升=+=1111cos sin sin cos2222=-++12cos 2a ==，则1cos 22a =而22111tan 12cos 2+=，2214tan 12a∴=-又1tan 02>，1tan 2∴==.2.（2021·河北邯郸市·高三二模）当04x π<<时，函数22cos ()sin cos sin xf x x x x=-的最大值为______．【答案】-4【解析】化简函数得21()tan tan f x x x=-，再换元tan ,(0,1)t x t =∈，利用二次函数和复合函数求函数的最值.【详解】由题意得22222cos cos ()sin cos sin cos cos x x f x x x xx x =-所以21()tan tan f x x x =-，当04x π<<时，0tan 1x <<，设tan ,(0,1)t x t =∈所以2211()=11()24g t t t t =---，所以当12t =时，函数()g t 取最大值4-.所以()f x 的最大值为-4．故答案为：4-3．（2021·浙江高三其他模拟）已知πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，sin cos αα=______.【答案】3 25【解析】由3ππtan tan 44αα⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求，由和的正切公式求出tan α，再建立齐次式即可求出.【详解】3πππtan tan πtan 3444ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，得tan 2α=，故222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++.故答案为：3；254．（2021·全国高一专题练习）如图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，M ，N 在单位圆上且分别在第一､第二象限内，OM ON ⊥.若四边形OAMN 的面积为34，则AOM ∠=___________；若三角形AMN 的面积为25，则sin AOM ∠=___________.【答案】6π 35【解析】根据四边形OAMN 的面积，列出关于M 点纵坐标M y 的方程，求出M y ；即可根据三角函数的定义求出sin AOM ∠，进而可得AOM ∠；根据三角形AMN 的面积为25，得到M y 与N y 之间关系，再结合三角函数的定义，得到1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，利用同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】若四边形OAMN 的面积为34，则3111142222MON MOA M M S S OM ON OA y y =+=⨯⨯+⨯⨯=+V V ，解得12M y =，由三角函数的定义可得1sin 2M AOM y ∠==，因为M 为第一象限内的点，所以AOM ∠为锐角，因此6AOM π∠=；若三角形AMN 的面积为25，则21115222MON MOA AMN OAMN AON AON M N S S S S S S y y ==-=-=+-+V V V V V ，即51N M y y -=，由三角函数的定义可得，sin M AOM y ∠=，sin N AON y ∠=，又sin sin cos 2N y AON AOM AOM π⎛⎫=∠=∠+=∠ ⎪⎝⎭，所以1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，由221cos sin 5sin cos 1AOM AOM AOM AOM ⎧∠-∠=⎪⎨⎪∠+∠=⎩解得3in 5s AOM ∠=或4in 5s AOM ∠=-，又AOM ∠为锐角，所以3in 5s AOM ∠=.故答案为：6π；35.5．（2021·河南高一期中（文））（1）已知角α的终边经过点()43P ,-，化简并求值：221cos sin cos sin cos tan 1a ααααα-+---；（2的值．【答案】（1）15-（2）1．【解析】（1）利用三角函数定义得到3sin 5α=，4cos 5α=-，化简三角函数表达式代入即可得到结果；（2）利用同角基本关系式化简即可.【详解】（1）由题意知，3sin 5α=，4cos 5α=-．原式222sin sin cos sin sin cos 1cos ααααααα+=---2222sin sin cos sin cos sin cos cos αααααααα+=---()2222cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα+=---22sin cos sin cos sin cos αααααα=---22sin cos sin cos αααα-=-341sin cos 555αα=+=-=-；（2）原式=sin 40cos 40cos 40cos50︒-︒=︒-︒cos 40sin 401cos 40sin 40-==-︒︒︒︒．6．（2021·河南高一期中（文））已知sin 2cos 0αα+=．（1）求sin 2cos cos 5sin αααα--的值；（2）求33sin cos cos sin aααα+的值．【答案】（1）411-；（2）858-．【解析】（1）本题可根据sin 2cos 0αα+=得出tan 2α=-，然后根据同角三角函数关系即可得出结果；（2）本题可通过22sin cos 1αα+=求出2sin α、2cos α的值，然后通过同角三角函数关系即可得出结果.【详解】（1）因为sin 2cos 0αα+=，所以tan 2α=-，则sin 2cos tan 24cos 5sin 15tan 11αααααα--==---.（2）联立22sin 2cos 0sin cos 1αααα+=⎧⎨+=⎩，解得224sin 51cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3322sin cos tan 185cos sin cos sin tan 8a ααααααα+=+=-.7．（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴非负半轴为始边作角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B，．（1）求23sin sin cos 1ααα-+的值；（2）化简并求cos 的值．【答案】（1）195；（2）1-+【解析】（1）由已知条件可知求得sin α，tan α，已知式变形为2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 111sin cos tan 1ααααααααααα---+=+=+++，代入可得答案；（2）由已知得cos β，sin β=.【详解】解：（1）由已知条件可知：cos α=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α>，sin α==，tan 7α=，2222223sin sin cos 3tan tan 3497193sin sin cos 1111sin cos tan 1505ααααααααααα--⨯--+=+=+=+=++，（2）cos β=,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0β>，从而sin β==；1sin cos cos cos (1sin )1|cos |ββββ-===--=-+.8．（2021·全国高三专题练习（理））求函数sin cos sin cos y x x x x =+-(x ∈R )的值域．【答案】112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，根据二次函数的性质可求得值域．【详解】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，所以当t =24=-+x k ππ (k Z ∈)时，min y =12-；当1t =，即()114k x k ππ⎡⎤=++-⎣⎦(k Z ∈)时，max 1y =，因此函数y =sin cos sin cos y x x x x =+-的值域应为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．9．（2021·江苏高一月考）如图，锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,A x y ，将射线OA 按逆时针方向旋转3π后与单位圆交于点()()2212,,B x y f x x α=+.（1）求()fα的取值范围；（2）若()fα=，求tan α的值.【答案】（1）32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，化简()f α6)πα+．根据2663πππα<+<，利用余弦函数的定义域和值域求得()f α的范围．（2）根据()f α=，求得3cos(654sin(65παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，再利用两角差的正弦余弦公式求出sin ,cos αα的值，从而得出结论．【详解】（1）由图知，3AOB π∠=，由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，123()cos cos()cos cos cossin sincos 3332f x x πππαααααααα==+++-+=-=6)πα=+．角α为锐角，∴2663πππα<+<，∴1co 26s()πα-<+<∴623πα<+<，即()f α的范围是32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（2）因为()fα=，2663πππα<+<，6πα+=，3cos()65)46sin()65παπαπα⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩，431sin sin66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦341cos cos66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=+⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sintancosααα∴===10．（2021·河南省实验中学高一期中）（1）已知sin()cos()tan(3)()3cos2fπθπθπθθπθ-+-=⎛⎫-⎪⎝⎭，求73fπ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值（2）已知1sin cos5αα+=-，2παπ<<，求sin(3)cos(2)sin()sin2παπαπαα--++⎛⎫-++⎪⎝⎭的值．【答案】（1（2）17.【解析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简()fθ，然后再代值计算即可.（2）利用同角三角函数间的关系，将1sin cos5αα+=-平方求出sin cosαα的值，从而求出cos sinαα-的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.【详解】(1)()()sin cos tansin()cos()tan(3)()sin3sincos2fθθθπθπθπθθθπθθ⋅-⋅--+-===--⎛⎫-⎪⎝⎭所以77sin sin2sin3333fπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由1sin cos 5αα+=-，则112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-由2παπ<<，则sin 0,cos 0αα><设cos sin 0t αα=-<，则2244912cos sin 12525t αα=-=+=由cos sin 0t αα=-<，所以7cos sin 5αα-=-1sin(3)cos(2)sin cos 157sin cos 7sin()sin 52παπαααπαααα---+++===-+⎛⎫--++ ⎪⎝⎭1．（2021·全国高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C 【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．2.（2020·全国高考真题（理））已知π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）AB ．23C ．13D练真题【答案】A 【解析】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴== 故选：A.3.（2019·北京高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B 【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为+S △POB + S △POA =4β+.故选：B .APB ∠2222βππ⨯⨯1||sin()2OPOB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅4．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则_____.【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.5．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.6．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x +3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．xOy αβOx y 1sin 3α=sin β=13αβy 2,k k Z αβππ+=+∈()1sin sin 2sin 3k βππαα=+-==。
高一数学 知识点 三角函数 诱导公式 常考题 经典题 50道 含答案和解析
高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题一、单选题1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一【解析】【解答】由三角函数的定义知：，所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。
【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。
属于基础题型。
================================================================================2.若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。
【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。
================================================================================3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，故选C.================================================================================4.函数图像的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A.================================================================================5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化【解析】【解答】因为，所以，可得，故C符合题意.故答案为：C .【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos.================================================================================6.函数（）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 是非奇非偶函数【答案】A【考点】奇函数，诱导公式一【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。
复习课必修四：(新课标)同角三角函数基本关系式及诱导公式
同角三角函数基本关系式及诱导公式习题课1． 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2 诱导公式1(2011·大纲全国)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 2．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．3．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.4．sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π的值是________． 5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 例1 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．(1)已知tan α＝2，求sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α；(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α.例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值；(2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值．(1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)；(2)已知f (x )＝sin (π－x )cos (2π－x )tan (－x ＋π)cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋x ，求f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值．例3 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－55，α∈(0，π),求cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋α2－cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α2sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值．A 组 专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )A ．－32B.32 C ．－12D.12 2． cos(－2 013π)的值为( )A.12B ．－1C ．－32D ．0 3． 已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为( ) A.12B ．－12C.32D ．－32 4． 当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2xcos x sin x －sin 2x的最小值是( )A.14B.12C ．2D ．4二、填空题(每小题5分，共15分)5． 如果sin α＝15，且α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝________. 6． 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． 7. sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________.8． (10分)已知sin θ＋cos θ＝23(0<θ<π)，求tan θ的值． 9． (12分)已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ的值．B 组 专项能力提升一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( )A ．－79B ．－13C.13D.79 2． 已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2 3． 若cos α＋2sin α＝－5，则tan α等于( )A.12B ．2C ．－12D ．－2二、填空题(每小题5分，共15分)4． 若sin(π＋α)＝－12，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________. 5． 已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.6． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________． 7． (13分)已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根．(1)求角A .(2)若1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B ＝－3，求tan B .§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式复习一、选择题1． cos ⎝⎛⎭⎪⎫－20π3＝( ) 3．若cos(2π－α)＝53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin(π－α)＝( )．4．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于6．已知f (cos x )＝cos 3x ，则f (sin 30°)的值为( )． 7．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为 8．若sin(π＋α)＝－12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________.9．已知cos α＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________. 10．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________. 11．已知sin αcos α＝18，且π4＜α＜π2，则cos α－sin α的值是________．13．已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．14．已知1＋tan π＋α1＋tan 2π－α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋2sin 2(α－π)的值．15．化简：sin k π－αcos[k －1π－α]sin[k ＋1π＋α]cos k π＋α(k ∈Z)．16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．。
第4章 第2课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式-备战2025年高考数学一轮复习(解析版)
第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式[考试要求]1．理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sincos ＝tanα.2．掌握诱导公式，并会简单应用．1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：tan α2．诱导公式一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1．()(2)若α∈R，则tanα＝sin cos恒成立．()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()(4)若sin−＝13，则cosα＝－13．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材经典衍生1．(人教A版必修第一册P183例6改编)已知sinα＝55，π2≤α≤π，则tanα＝() A．－2B．2C．12D．－12D[因为π2≤α≤π，所以cosα＝－1−sin2＝－tanαsin cos＝－12.]2．(人教A版必修第一册P186习题5.2T15改编)已知tanα＝13，则sin Kcossin r2cos的值为________．27[原式＝tan K1tan r2＝13−1 13+2＝－27.]3．(人教A版必修第一册P194练习T3(1)改编)cos(π－α)的结果为________．－sinα[原式＝sin cos(－cosα)＝－sinα.]4．(人教A版必修第一册P185习题5.2T12改编)已知sinα·cosα＝38，且π4＜α＜π2，则cosα－sinα＝________．－[因为π4＜α＜π2，所以sinα＞cosα，而(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－238＝14，所以cosα－sinα＝－12.]考点一同角三角函数的基本关系式“知一求二”问题[典例1](1)若απ，sin(π－α)＝35，则tanα＝() A．－43B．43C．－34D．34(2)(2023·全国乙卷)若θ∈0tanθ＝12，则sinθ－cosθ＝________．(1)C(2)[(1)因为απ，sin(π－α)＝sinα＝35，所以cosα＝－45，所以tanα34，故选C.(2)由tan＝sin cos＝12，sin2+cos2＝1，且θ∈0sin=5，cos=故sinθ－cosθ＝－55.]关于sinα，cosα齐次式的求值问题[典例2]已知tan x＝3，则sin r2cos2sin K3cos＝________，sin x·cos x＝________．1[法一：因为tan x＝3，所以sin cos＝3，即sin x＝3cos x，sin r2cos2sin K3cos＝3cos r2cos6cos K3cos＝5cos3cos＝53.因为sin2x＋cos2x＝1，所以sin2x＋cos2x＝9cos2x＋cos2x＝1，解得cos2x＝110，所以sin x·cos x＝3cos x·cos x＝3cos2x＝3×110＝310.sinr2cos2sin K3cos＝tan r22tan K3＝53.sin x·cos x＝sin·cossin2rcos2＝tan tan2r1＝310.]sinα±cosα与sinαcosα关系的应用[典例3](多选)(2024·浙江金华模拟)已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，则() A．sinθcosθ＝－1225B．sinθ－cosθ＝1225C．sinθ－cosθ＝75D．tanθ＝－43ACD[对于A，因为sinθ＋cosθ＝15，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝125，即sin θcos θ＝－1225，所以A 正确；对于B ，C ，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，因为θ∈(0，π)，且sin θcos θ＝－1225<0，所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ＝75，所以B 错误，C 正确；对于D ，联立sin +cos =15，sin −cos =75，解得sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝－43，所以D 正确．故选ACD.](1)利用“方程”思想，解决知弦求切，知切求弦问题．(2)应用“弦切互化”思想，解决同角三角函数基本关系的齐次式求值问题．(3)sin α±cos α与sin αcos α互化，可解方程组sin +cos =，sin −cos =，求sin α，cos α.[跟进训练]1．(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝3x 上，则cos 2θ＝()A ．－45B ．－25C ．25D ．45(2)(2024·山东济南模拟)已知θ为第三象限角，sin θ－cos θ＝－15，＝()A ．－425B ．－325C ．325D ．425(1)A(2)B[(1)因为终边在直线y ＝3x 上，所以分别在第一象限、第三象限取点(1，3)，(－1，－3)，∴tan θ＝3，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2Ksin 2cos 2rsin 2＝1−tan 21+tan 2＝1−91+9＝－45，故选A.(2)由sinθ－cosθ＝－15，且sin2θ＋cos2θ＝1，解得sin＝35，cos＝45或sin＝−45，cos＝−35，又因为θ为第三象限角，所以sinθ<0，cosθ<0，所以sin=−45，cos31−2×−−45−35＝－325.故选B.]考点二诱导公式的应用[典例4](1)下列各数中，与sin2024°的值最接近的是()A．22B．32C．－22D．－32(2)(2024·东北师大附中模拟)已知cos−＝13，则sin+cos−＝()A．－89B．89C．－229D．229(1)C(2)A[(1)∵2024°＝5×360°＋180°＋44°，∴sin2024°＝－sin44°.故选C.(2)由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式得sin＝sinπ−−6−−2+＝－sin−，所以sin+cos−＝－sin−＝cos−－1＝19－1＝－89.故选A.]常见的互余和互补的角2．(1)已知cos(75°＋α)＝13，则cos (105°－α)＋sin (15°－α)＝________．(2)(2024·宁夏吴忠模拟)已知角α终边上一点P (1，－2)________．(1)0(2)3[(1)因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos (105°－α)＝cos [180°－(75°＋α)]＝－cos (75°＋α)＝－13，sin (15°－α)＝sin [90°－(α＋75°)]＝cos (75°＋α)＝13.所以cos (105°－α)＋sin (15°－α)＝－13+13＝0.(2)因为角α终边上一点P (1，－2)，所以tan α＝−21＝－2，＝2sin rcos cos rsin ＝2tan r11+tan ＝3．]考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用[典例5](1)已知αtan +α＝()A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3(2)(多选)α为第一象限角，cos −()A ．sin＝－7B ．cos +4C ．sin −＝－34D ．tan −＝－377(1)C(2)BD [(1)sinr又因为α为锐角，所以sin −cos +即sin −3sin+所以α－π3＝π2−+3α＝π4.故选C.(2)由题意得2k π<α<π2＋2k π，k ∈Z ，则2kπ－π8<α－π8<3π8＋2kπ，k∈Z，若α－π8在第四象限，则cos−π＝2所以α－π8是第一象限角，所以sin−＝34.sin−sin+π8−＝cos−＝cos−＝74，A项错误；cos+cos−π8+π＝－cos B项正确；sin−＝sin+π8−＝－cos−＝－cos−＝－74，C项错误；tan−＝－tan−＝－377，D项正确．故选BD.](1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．(3)利用诱导公式，关键是符号问题．[跟进训练]3．已知sin(53°－α)＝15，且－270°<α<－90°，求sin(37°＋α)的值．[解]由已知－270°<α<－90°可得，143°<53°－α<323°，所以cos(53°－α)＝－1−sin253°−＝－所以sin(37°＋α)＝sin[90°－(53°－α)]＝cos(53°－α)课时分层作业(二十四)同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、单项选择题1．sin1050°＝()A．1B．－1C DB[sin1050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin30°＝－12.] 2．(2024·北京通州模拟)已知cosα＝35，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tanβ＝()A．34B．－34C．43D．－43D[∵cosα＝35，α是第一象限角，∴sinα＝1−cos2＝45，tanα＝sin cos＝43，∵角α，β的终边关于y轴对称，∴tanβ＝－tanα＝－43.故选D.]3．(2024·重庆万州模拟)已知tanα＝2cos5+sin，则cos−＝() A．13B．－223C．－13D．223C[tanα＝2cos5+sin⇒sin cos＝2cos5+sin⇒sin2α＋5sinα＝2cos2α①，把sin2α＋cos2α＝1代入①，得3sin2α＋5sinα－2＝0，即(3sinα－1)(sinα＋2)＝0，由于sin α∈[－1，1]，所以sin α＋2≠0，故sin α＝13，所以cos−＝－sin α＝－13.故选C.]4．(2024·河北衡水中学模拟)已知απ，且3cos 2α－sin α＝2，则()A ．cos (π－α)2B ．tan (π－α)＝24C ．sin −D ．cos−B[由题意得3(1－2sin 2α)－sin α＝2，解得sin α＝－12或sin α＝13.又απ，所以sin α＝1，则cos α＝－1−sin 2＝－3tan α＝sin cos ＝－所以cos (π－α)＝－cos α＝223，tan (π－α)＝－tan α＝24，sin−＝cos α＝－223，cos−＝sin α＝13，故ACD 错误，B 正确．故选B.]5．(2023·山西名校联考)已知sin α－cos α＝15，α∈−π2，则sin cossin rcos ＝()A ．－125B ．125C ．－1235D ．1235D [由题意可得：(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝125，整理得sin αcos α＝1225>0，且α∈−π2α∈0，即sin α>0，cos α>0，可得sin α＋cos α>0，因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝4925，可得sin α＋cos α＝75，sin cossin rcos ＝122575＝1235.故选D.]6．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2rcos ()A ．－65B ．－25C ．25D ．65C [法一(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，所以sin =cos或sin cos sin θ·(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θ＝45−2525.故选C.法二(弦化切法)：因为tan θ＝－2，所以sino1+sin2p sinrcos＝sinosinrcosp 2sinrcos＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2rsinvos sin 2rcos 2＝tan 2rtan 1+tan 2＝4−21+4＝25.故选C .法三(正弦化余弦法)：因为tan θ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ.则sino1+sin2p sinrcos＝sinosinrcosp 2sinrcos＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2rsinvos sin 2rcos 2＝4cos 2K2cos 24cos 2rcos 2＝4−21+425.故选C .]二、多项选择题7．在△ABC 中，下列结论正确的是()A ．sin(A ＋B )＝sinC B ．sinr 2＝cos2C ．tan (A ＋B )＝－tan C ≠D ．cos (A ＋B )＝cos CABC [在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin (A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ，A 正确；sinr 2＝sin−cos2，B 正确；tan (A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ≠C 正确；cos (A ＋B )＝cos (π－C )＝－cos C ，D 错误．]8．(2023·安徽黄山二模)若sin ·cos 2sin rcos＝－35，则tan+(k ∈Z )的值可能是()A ．12B ．13C ．2D ．3CD sinrcosθ·(cos θ－sin θ)sin ·cosKsin 2cos 2rsin 2＝tanKtan 21+tan 2＝－35.得到5tan θ－5tan 2θ＝－3－3tan 2θ，即2tan 2θ－5tan θ－3＝0，解得tan θ＝－12或tan θ＝3.当k ＝2m (m ∈Z )时，tan+＝tan ＋θ)＝tan当k ＝2m －1(m ∈Z )时，tan χ+−tan −＝－1tan ，所以，当tan θ＝－1时，tan +＝－1或tan+＝2，当tan θ＝3时，tan +＝3或tan+＝－13.故选CD.]三、填空题9．已知函数f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2023)的值为________．－3[因为f (x )＝a sin (πx ＋α)＋b cos (πx ＋β)，所以f (4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，所以f (2023)＝a sin (2023π＋α)＋b cos (2023π＋β)＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3．]10．已知－π＜x ＜0，sin (π＋x )－cos x 15，则sin 2r2sin 21−tan＝________．21[由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π＜x ＜0知，sin x ＜0，又sin x cos x ＝－1225＜0，∴cos x＞0，∴sin x－cos x＜0，故sin x－cos x＝－7.sin2r2sin2＝cos rsin1−sin cos＝−2425×157524175.]四、解答题11．(2024·江苏扬州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，O是坐标原点，角α的终边OA与单位圆的交点坐标为A，−m<0)，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ弧度后交单位圆于点B，点B的纵坐标y关于θ的函数为y＝f(θ)．(1)求函数y＝f(θ)的解析式，并求f−(2)若f(θ)＝34，θ∈(0，π)，求tan+[解](1)因为点A在单位圆上，且A，−m<0)，所以sinα＝－12.又因为m<0，所以α7π＋2kπ，k∈Z，所以f(θ)＝sin+7π6+2χ＝sin+f−sin−π2+6sin2π3＝(2)由f(θ)＝34得sin+sin+＝34，即sin+＝－34，由θ∈(0，π)得θ＋π6∈又sin+，所以cos+，由平方关系得cos+所以tan+＝3913.12．已知角α为第二象限角，化简cos sin2[解]因为角α为第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以cos cosα1－sinα，＝cosαsin2sin2＝sin2＝sin2＝sin2α，所以cosαsin2＝－1－sinα＋sinα＝－1.13．是否存在α∈−π2β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos−，3cos (－α)＝－2·cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．[解]假设存在角α，β满足条件．由已知条件可得sin＝2sin，①3cos＝2cos，②由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.∴sin2α＝12，∴sinα＝∵α∈−π2∴α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cosβ又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cosβ又β∈(0，π)，∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝π4，β＝π6满足条件。
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、 同角三角函数的基本关系式（1） 平方关系 （2） 商数关系 （3） 倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指 的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值 （2） 已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1） 化简()f α（2） 若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值 （3） 若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（ ）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（ ）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（ ）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知,，则角的终边在第（）象限A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】由题意，确定的象限，然后取得结果 .由，得在第二、四象限，由，得在第二、三象限,所以在第二象限.，故选B【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算3.已知，且为第三象限角，（1）求的值；（2）求的值。
【答案】（1）（2）【解析】（1）由，再结合第三象限，余弦值为负，算出结果（2）先化简上式，根据，再结合（1）算出结果。
试题解析：（1）且（2分）为第三象限角（4分）（2）==（7分）=（8分）【考点】同角三角函数基本关系的运用以及三角函数的化简.4.已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】要，即，因此角是第二或第三象限角，故选择B.【考点】同角三角函数基本关系及三角函数值的符号确定.5.已知．【答案】.【解析】对式子两边平方，得，从而.【考点】同角三角函数基本关系（平方关系），注意通过平方可与联系.6.已知是第三象限角，且.（1）求的值;（2）求的值【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：(1)先求，再求，进而求；（2）联立方程组，解得，进而求所求值.规律总结：涉及“”的“知一求二”问题，要利用以下关系式：；.注意点：由的值，求的值，要注意结合角的范围确定符号．试题解析：，是第三象限角，由得．【考点】同角三角函数基本关系式.7.设函数（1）求；（2）若，且，求的值．（3）画出函数在区间上的图像（完成列表并作图）。
（1）列表（2）描点，连线【答案】（1）2；（2）；（3）见解析【解析】（1）由正弦函数周期公式得，=，即可求得；（2）将代入的解析式，得到关于的方程，结合诱导公式即可求出，再利用平方关系结合的范围，求出，再利用商关系求出；（3）先由为0和算出分别等于，，在（，）分别令取，0，，求出相应的值和值，在给定的坐标系中描出点，再用平滑的曲线连起来，就得到所要作的图像．试题解析：（1），2分（2）由（1）知由得：， 4分∵∴ 6分∴． 8分（其他写法参照给分）（3）由（1）知，于是有（1）列表11分（2）描点，连线函数 14分【考点】正弦函数周期公式；诱导公式；同角三角函数基本关系式；五点法作图8.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号9.已知，.（1）求；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由同角三角函数的基本关系：，，结合条件，可得，再由可知，从而；（2）由（1）可知，可将欲求值的表达式化为与只有关的，根据齐次的数学思想，可分子分母同时除以，从而可得：.试题解析：（1）∵，，∴， 2分又∵，∴， 4分∴； 6分（2） 9分12分.【考点】同角三角函数基本关系.10.已知为锐角,则 .【答案】.【解析】∵为锐角，，∴，，∴.【考点】1.同角三角函数基本关系；2.两角和的正切公式.11.已知x，y均为正数，，且满足，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以而所以由得，因此或∵x、y为正数，∴【考点】同角三角函数关系，消参数12.已知的值为（）A．－2B．2C．D．－【答案】D【解析】由原式可得，解得.【考点】同角三角函数间的基本关系.13.已知，则的值为 .【答案】【解析】,即，又，故.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式.14.已知：，其中，则=【答案】【解析】因为，所以，又因，所以，.【考点】诱导公式.15.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数16.已知是第四象限的角，则= .【答案】【解析】是第四象限的角，则，而.【考点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系.17.已知（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由即①由即②所以①+②可得即即，选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.18.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值.【答案】(1) ;(2) .【解析】(1)根据诱导公式进行化简;(2)首先化简，根据第三象限角，同角基本关系式求,确定的值.试题解析：解：（1）；. （6）（2），又是第三象限角,，.. (6)【考点】1.诱导公式；2同角基本关系式.19.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．20.函数在区间上的最大值为，则实数的值为( )A．或B．C．D．或【答案】A【解析】因为，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或，故选A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.二次函数的最值问题；3.分类讨论的思想.21.已知函数(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）先利用诱导公式，二倍角公式，化一公式将此函数化简为的形式，利用周期公式，求周期，用x的范围求出整体角的范围，结合三角函数图像求其最值。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，并且是第二象限的角，那么的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，又为第二象限角，，则．故选A．【考点】三角函数的平方公式．2.己知a为锐角，且，，则sina的值是( ). A．B．C．D．【答案】C.【解析】根据诱导公式，已知条件的两个式子可化为如下关系：，解得，又本题要求的是，因此由前述可知有，解得（a为锐角）.【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系.3.已知，则的值为．【答案】-11【解析】【考点】弦化切4.求的值域.【解析】可利用同角三角函数的基本关系式将函数化为利用换元法令原函数变为一元二次函数，可用一元二次函数求值域的方法解，注意的取值范围.解：原函数可化为令可得则【考点】同角三角函数的基本关系式,一元二次函数求值域.5.已知（1）化简；（2）若是第三象限角，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据诱导公式，将中的三角函数都转化为的三角函数，即可得到；（2）由，可得，又由条件是第三象限角及（1）中得到的的表达式，即可得到．（1）；（2）由得，，因为是第三象限角，所以，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．6.已知 .【答案】【解析】∵，∴,∴原式=.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系.7.已知，则tanα的值是（）A．±B．C．D．无法确定【答案】B【解析】∵，∴，即．【考点】同角三角函数的基本关系．8.( )A．B．C．D．【答案】D【解析】．【考点】同角三角函数基本关系．9.已知，则 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由【考点】同角三角函数基本关系10. sin的值是（）A．B．－C．D．－【答案】B【解析】.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.11.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件，得，整理得：，即①，代入中，得，整理得：，即，解得（舍）或，把，代入①，得，所以，故选A．【考点】同角三角函数基本关系．12.若，的化简结果为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，=.【考点】同角的基本关系.13.已知（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，可得＝−2，α为钝角且cosα＜0．再由sin2α+cos2α=1，求得cosα的值．（2）原式=，把tanα=-2代入运算求得结果．试题解析：解：（1）因为，所以cosa=(2)原式＝【考点】1.同角三角函数间的基本关系；2.三角函数的化简求值．14.若，则计算所得的结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据诱导公式化简，原式=，再将代入即得答案为A.【考点】诱导公式.15.已知=，则的值等于( )A．B．－C．D．±【答案】Ａ【解析】诱导公式，注意，，所以选Ａ【考点】诱导公式16.已知，则的值是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由与可得，而，选C.【考点】同角三角函数的基本关系式.17.已知为第三象限角，.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）应用三角诱导公式进行化简即可得出答案；（2）根据同角三角函数的基本关系式求出，由求出，最后由正切的二倍角公式可计算得结果.试题解析：（1） 6分（结果为酌情给3分）（2）由，得. 又已知为第三象限角所以，所以 8分所以 10分故 12分.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.二倍角公式.18.已知tanα，是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两实根，且3π＜α＜π，求cos(3π+α)-sin(π+α)的值.【解析】关于方程两根的问题可用韦达定理解决，，从而求出k =±2，再根据角的范围可知为正，从而求得。
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高一数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则= ；【答案】【解析】分子分母同除，便会出现,【考点】三角函数的计算2.已知，则( )A. B． C D．【答案】B【解析】.【考点】同角三角函数的基本关系.3.化简的结果 .【答案】【解析】,当为奇数时，，原式；当为偶数时，，原式；综上原式【考点】三角函数化简.4.已知,且∥.求值：（1）;（2）.【答案】(1);(2) .【解析】解题思路：（1）由得出关于的关系，利用求得；（2）利用,分子、父母同除以，得到的式子，再代入求值.规律总结：平面向量与三角函数结合是命题热点，主要借助平面向量平行、垂直的条件推得关于的关系式，然后利用三角函数的有关公式或性质进行变换.试题解析：(1),,.(2).【考点】平面向量平行的判定、同角三角函数基本关系式.5.已知且是第四象限角，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵=，∴，又∵是第四象限角，∴==，故选A．由诱导公式知，=，∴，由是第四象限角知，，结合同角三角函数基本关系中的平方关系得==．【考点】诱导公式；同角三角函数基本关系式；三角函数在各象限的符号6.若则．【答案】【解析】由故【考点】同角三角函数基本关系式7.已知，则的值为．【答案】-11【解析】【考点】弦化切8.化简：.【答案】【解析】此类化简题的关键在于诱导公式的使用，要能够理解诱导公式口决“奇变偶不变，符号看象限”的意义，奇偶指的是的倍数如，中是的偶数倍，4倍，中是的奇数倍，11倍；符号看象限，指的是使用诱导公式时，将看成锐角时的所在的象限，不管题中的范围,如中，为锐角时，为第四象限角，则符号为负，故可知.当然也可用诱导公式层层推进.本题由诱导公式易化简.解：原式=.【考点】诱导公式.9.已知，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴．【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数基本关系．10.的值等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,故选C.【考点】诱导公式11.已知是第二象限角,（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是第二象限角，则．【考点】同角三角函数的基本关系式，三角函数的符号．12.的化简结果是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是第二限角，则，所以==．【考点】诱导公式，同角三角函数的基本关系式．13.已知角的终边过点.（1）求的值；（2）若为第三象限角，且，求的值.【答案】；【解析】（1）由角的终边过点求出，利用诱导公式化简即可；（2）由为第三象限角，，可求出，结合（1）求出，利用展开式即可（1）因为的终边过点，所以，而；（2）因为为第三象限角，且，，故【考点】三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数14.已知sinθ＝，sin2θ＜0，则tanθ等于 ( )A．－B．C．－或D．【答案】A【解析】由题意，∵sinθ=，sin2θ＜0，∴cosθ＜0∴cosθ＝−＝−∴tanθ＝＝−，故选A．【考点】同角三角函数间的基本关系．15.已知是第二象限角,（）A．B．C．D．-【答案】D【解析】∵是第二象限角，∴，故选D．【考点】同角三角函数基本关系．16.知为锐角，且2，=1，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】诱导公式化简为，解得：,得,故选C.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数基本关系式.17.化简：.【答案】.【解析】本小题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系式及辅助角公式，属于容易题.根据诱导公式及同角三角函数的商数关系：进行展开运算得到，再运用辅助角公式（其中）或运用两角和差公式进行化简即可.试题解析： 4分8分10分.【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式；3.辅助角公式（两角和差公式）；4.三角恒等变换.18.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】法一：由，而，故，；法二：.【考点】同角三角函数的基本关系式.19.已知向量与，其中.（1）问向量能平行吗？请说明理由；（2）若，求和的值；（3）在（2）的条件下，若，求的值.【答案】（1）不能平行；（2），；（3）.【解析】（1）先假设，列方程得，然后利用正弦的二倍角公式化简得，再判断此方程是否有解，若有解，可判断、可能平行；若无解，则可判断、不可能平行；（2）将向量的垂直问题转化为向量的数量积问题，得到，联立方程，并结合，即可求出；（3）先由同角三角函数的基本关系式计算出，然后再根据两角和的余弦公式展开计算得的值，最后结合的取值范围确定的值即可.试题解析：解：（1）向量不能平行若平行，需，即，而则向量不能平行 4分（2）因为，所以 5分即又 6分，即，又 8分（3）由（2）知，得 9分则 11分又，则 12分.【考点】1.向量平行、垂直的判定与应用；2.同角三角函数的基本关系式；3.两角和与差的三角函数.20.函数的值域是__ ____．【答案】【解析】正切函数在是单调递增的，所以在处取得最小值，在处取得最大值.【考点】正切函数图像及性质.21.的值为________.【答案】【解析】，故.【考点】1.诱导公式；2.三角恒等变换.22.已知，求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】(1)利用，对原式分子分母同除以得关于的解析式，代入就可求出代数式的值，(2) 利用分母，将原式化为关于二次齐次式，再利用，对原式分子分母同除以得关于的解析式，代入就可求出代数式的值，本题主要考查利用＂弦化切＂方法求值.本题也可从出发得代入（１）立得，但代入（２）后只得到，还需结合得出，才可最终求值.试题解析：（1）原式（2）原式12分【考点】同角三角函数关系，弦化切.23.已知，则________________；【答案】．【解析】利用公式，把平方得，从而，由于，则，这类问题中确定它们的正负是我们解题时要特别注意的，于是．【考点】同角三角函数关系（平方关系）．24.函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则___ ．【答案】【解析】的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，所以，，即，故。
同角三角函数的基本关系式、诱导公式基础+复习+习题+练习)
课题：同角三角函数的基本关系式考纲要求：① 理解同角三角函数的基本关系式，能利用平方关系和商数关系进行化简、求值和证明有关问题.②能利用单位圆的三角函数线推到有关的诱导公式，能利用诱导公式化简任意角的三角函数值.重点：理解同角三角函数的基本关系式及诱导公式；并能进行求值、化简与证明． 难点：公式的恰当选用及利用公式时符号的正确选取． 教材复习：1.同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan cot 1sin csc 1cos sec 1αααααα⋅=⋅=⋅=；（2）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==； （3）平方关系：222222sin cos 1sec 1tan csc 1cot αααααα+==+=+ ． 2.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限． 基本知识方法：1.利用平方关系时，要注意开方后符号的选取；2.诱导公式的作用在于将任意角的三角函数转化为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内角的三角函数值，其解题思路是化负角为正角，化复杂角为简单角，运用时应充分注意符号；3.利用商数关系、倒数关系能够完成切割化弦；4.涉及sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；5.涉及sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-⋅的问题常采用平方法求解；6.涉及sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．典例分析：考点一 利用诱导公式化简三角函数式问题1．()1（07全国Ⅱ文）cos330︒= .A 12 .B 12- .C .D -()2（06黄岗模拟）已知cos31m ︒=，则sin 239tan149︒⋅︒=.A 21m m-.B.C 21m m-.D()3（2013聊城模拟）已知()()()sin cos 4f x a x b x παπβ=++++（,,,a b αβ为非零实数），(2011)5f =，则(2012)f = .A 1 .B 3.C 5 .D 不能确定()4（2013=.A sin 2cos 2- .B )c o s 2 .D cos 2sin 2-()5已知cos 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求5cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.考点二 同角三角函数基本关系式的应用问题2．()1（2011重庆）若3cos 5α=-，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=()2化简: sin()cos()44ππαα-++()3求值：已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11tan()2πα-的值；考点三 关于sin cos αα±，sin cos αα相互转化的问题问题3．()1（2012辽宁）已知sin cos αα-=，()0,απ∈，则tan α=.A 1- .B .C .D 1()2（2013东北三校模拟）已知4sin cos 3θθ+=（04πθ<<），则sin cos θθ-=.A 3 .B 3- .C 13.D 13-()3若tan αcos sin cos sin αααα+-；②222sin sin cos cos αααα-+．()4已知：1sin cos 5αα+=，且()0,απ∈，求33sin cos αα-的值．()5求值66441sin cos 1sin cos x xx x----．问题4．已知sin ,cos θθ是方程244210x mx m -+-=的两个根，322πθπ<<，求角θ．课后作业：1.若,(0,)2παβ∈，且sin cos 0αβ-<，则.A αβ< .B αβ>.C 2παβ+<.D 2παβ+>2.（2013盐城模拟）已知51cos 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2ππα-<<-，则cos 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3.已知1sin 3β=，()sin 1αβ+=，求()sin 2αβ+的值.4.已知1tan 3α=，求212sin cos cos ααα+的值.5.化简：()()()()3tan cos 2sin 2cos sin ππαπαααππα⎛⎫---+⎪⎝⎭----.4.是否存在α、β，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0,βπ∈使等式()sin 3cos 2ππαβ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，()()απβ-=+同时成立?若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由.走向高考：1.（06湖北文）已知2sin 23A =，()0,A π∈，则sin cos A A += .A .B .C 53 .D 53-2.（07海南）若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为 .A 2-.B 12-.C 12.D 23.（07湖北文）tan 690︒=.A .B .C .D4.（07全国Ⅰ）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= .A 15 .B 15- .C 513 .D 513-5.（06湖南文）已知),,0(,1cos )cos()22sin(sin 3πθθθπθπθ∈=⋅+--求θ的值.。
高中数学第一章三角函数习题课同角三角函数的基本关系与诱导公式课件新人教版必修4
D.－sinπ5 1－sin2π5 ＝
cos2π5 ＝cosπ5 .
答案 A
2.已知 600°角的终边上有一点 P(a，－3)，则 a 的值为( )
A. 3
B.－ 3
3 C. 3
D.－
3 3
解析 tan 600°＝tan 240°＝tan 60°＝ 3，又 600°角是第
2.同角三角函数之间的关系是进行三角函数式结构同化的基 本工具，而结构同化(如化同名三角函数、同角三角函数、 同次三角函数等)是数学解题的基本原则，是和谐化原则的 重要体现.这一点在函数部分(化同底的指数、对数，同指的 幂等)及其他数学部分都有体现.
3.整体地认识同角三角函数之间的关系，并运用其进行三角 式子的转化也是值得重视的思想方法.如通过整体代换，令t ＝sin x±cos x可以将同时含有sin x±cos x与sin xcos x的式子 转化为关于t的代数表达式，起到了统一结构、简化问题的 作用.
左边 (4)也可以通过作差或作商，左边－右边＝0 或右边＝1.
【训练 2】 求证：1＋sincoxs x＝1－sicnoxs x. 证明 因为1＋sincoxs x－1－sicnoxs x
＝（1＋cos
x）（1－cos x）－sin sin x（1－cos x）
xsin
x
＝si1n－x（co1s2－x－cossinx2）x ＝sinsxi（n2x1－－scions2xx）＝0.
又∵－π2 <α <0，∴sin α －cos α <0，∴sin α －cos α ＝－75.
(2)由(1)知
sin
sin
cos cos