2014初中数学青年教师解题大赛试题参考答案
2014年惠阳区数学青年教师解题比赛训练题(三)答案
2014年惠阳区数学青年教师解题比赛训练题（三）参考答案及评分标准说明：1本参考答案及评分标准仅供教师评卷时参考使用.2其它正确的证法（解法），可参照本参考答案及评分标准酌情赋分. 一、选择题（每小题3分，共30分）1.A2.C3.C4.B5.D6.A7.D8.C9.A 10.B 二、填空题（每小题3分，共24分）11. 01≠-≥x x 且 12. 2 13. 300π 14. 2 15. 61255=-x x 16. 4 17.251218.)0,22( 或)0,22(- 三、解答题（19小题9分，20小题9分，共18分） 19.解： a a aa a a 1)22(2-÷--- =()122-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---a aa a a a …………………………1分 =11-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-a aa a …………………………2分 =112-⨯-a aa a ……………………………4分 =()()111-⨯-+a aaa a ……………………………5分 =1+a …………………………6分当a = 45tan 211-⎪⎭⎫⎝⎛-°=2－1=1时；原式分母为零 …………………………8分原式无意义 …………………………9分 20. 解：（1）∵点),1(a A 在xy 3=的图象上， ∴13=a =3 ……………2分∴点)3,1(A ……………3分第二次第一次C A 2A 2A 2A 2A 1A 1A 1A 1C B B C B CB 开始（2）∵△ABO 向右平移2个单位长度，得到△DEF∴D (3，3) ……………6分 ∵点D 在)0(>=x xky 的图象上， ∴3=3k ……………8分∴k =9 ……………9分四、解答题（本题14分）21.解：（1）解法一：70÷360126＝200（名），本次调查了200名学生 ……2分 解法二：设共有x 名学生，12636070=x 解得200=x （2）……………………7分（每空1分）（3）（0.21+0.35）×1500＝840（名） ……………………8分答：该校学生整理错题集情况非常好和较好学生人数一共约有840名 …………………9分 （4）解： 解法一：画树形图如下：……………10分HGA BEDFC……………………12分由树形图可知，所有可能出现的结果有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中两次抽到的错题集都“非常好”的有2种； ………………13分 ∴P （两次抽到的错题集都“非常好”）＝122=61………………………14分 解法二：列表如下…………12分由表可知，所有可能出现的结果有12种，且每种结果出现的可能性相等，其中两次抽到的错题集都“非常好”的有2种； ……………………13分∴P （两次抽到的错题集都“非常好”）＝122=61………………………14分 五、解答题（22、23小题各12分，共24分） 22.解：延长AD 交EF 于点G ,过点B 作BH ⊥AG ,垂足为H . ……1分 ∵BE 、CF 关于AD 轴对称，EF =6 ∴EG =21EF =3 …………………2分 ∵四边形BEGH 是矩形∴BH =EG =3 ………………………………3分 在Rt △ABH 中，AH =BH 30tan ⋅°=3×33=3 ……………6分 DH =AD －AH =33- …………………7分 在Rt △DEG 中，DG =EG 20tan ⋅°≈3×0.36=1.08 ………10分∴BE =HG =DH +DG =33-+1.08≈3－1.73+1.08≈2.4(米) 答：仓库设计中BE 的高度约为2.4米.……12分23.解：(1)设⊙O 的半径为r∵BE =2,DG =3∴OE =r +2,OG =r +3 ………………………………1分∵EF ⊥AB∴∠AEG =90°在Rt △OEG 中，根据勾股定理得，222OG EG OE =+ ………………………………2分 ∴222)3(3)2(r r +=++………………………………3分 解得：2=r ………………………………5分（2）∵EF =2,EG =3∴FG =EF +EG =3+2=5∵DG =3，OD =2，∴OG =DG +OD =3+2=5 ………………………………6分 ∴FG =OG ………………………………7分∵DG =EG ,∠G =∠G∴△DFG ≌△E 0G ………………………………9分∴∠FDG =∠OEG =90° ………………………………10分 ∴DF ⊥OD ………………………………11分 ∴DF 是⊙O 的切线 ………………………………12分PFEDCBA六、解答题（本题12分）24.解：（1）设大枣粽子每盒x 元，普通粽子每盒y 元， 根据题意得⎩⎨⎧=-=+1530042y x y x …………………………………………………1分 解得：⎩⎨⎧==4560y x （用一元一次方程求解赋相同的分） ……………2分答：大枣粽子每盒60元，普通粽子每盒45 元. ……………3分 （2）解：①W =1240－60x －45（20－x ）= －15x +340 ……………………5分②根据题意，得⎩⎨⎧≤+-≥+-2403401518034015x x …………………………………………………6分 解得326≤x ≤3210 …………………8分 ∵x 是整数∴x 取7,8,9,10∴20－x 取13,12,11,10 …………………9分 共有四种购买方案：方案：①购买大枣粽子7盒，普通粽子13盒②购买大枣粽子8盒，普通粽子12盒 ③购买大枣粽子9盒，普通粽子11盒④购买大枣粽子10盒，普通粽子10盒 …………………11分 根据一次函数性质, ∵015<-=k ∴W 随x 的减小而增大 ∴x =7时W 有最大值∴购买大枣粽子7盒，普通粽子13盒时，购买水果的钱数最多. ……12分七、解答题（本题14分）25.（1）证法一：如图① ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB =BC ,∠ABC =∠PBA =90°CA PF E DBGPFEDCBA又∵BP =BF∴△PBA ≌△FBC ……………1分 ∴P A =FC ∠P AB =∠FCB又∵P A =PE ∴PE =FC ……………2分∵∠P AB +∠APB = 90° 第25题 图① ∴∠FCB +∠APB = 90° 又∵∠EP A =90°∴∠APB +∠EP A +∠FPC =180° 即∠EPC +∠PCF =180°∴EP ∥FC ………………4分 ∴四边形EPCF 是平行四边形. ………………5分证法二：延长CF 与AP 相交于点G ，如图②∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC , ∠ABC =∠PBA =90° 又∵BP =BF∴△PBA ≌△FCB ……………1分 第26题 图②∴∠P AB =∠FCB ,AP =CF又∵P A =PE ∴PE =FC ……………2分∵∠P AB +∠APB =90°∴∠FCB +∠APB =90°∴∠PGC =90°∴∠PGC =∠APE =90°∴EP ∥FC ……4分∴四边形EPCF 是平行四边形. ………5分（2）证法一：结论：四边形EPCF 是平行四边形，如图③ ……6分∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC , ∠ABC =∠CBF =90°又∵BP =BF ∴△PBA ≌△FBC ……………7分∴P A =FC ∠P AB =∠FCB又∵P A =PE ∴PE =FC ……………8分GCAPFEDB ∵∠FCB +∠BFC = 90°∠EPB +∠APB = 90° 第25题图③ ∴∠BPE =∠FCB∴EP ∥FC ………………9分 ∴四边形EPCF 是平行四边形. ………………10分 证法二：结论：四边形EPCF 是平行四边形 ……………6分 延长AP 与FC 相交于点G 如图④ ∵四边形ABC D 是正方形，∴AB =BC , ∠ABC =∠CBF =90°又∵BP =BF ∴△PBA ≌△FBC ……………7分 ∴P A =FC ∠P AB =∠FCB又∵P A =PE ∴PE =FC ……………8分 ∵∠FCB +∠BFC =90° ∴∠P AB +∠BFC =90° ∴∠PGF =90° ∴∠PGF =∠APE =90°∴EP ∥FC ………………9分 第25题④图 ∴四边形EPCF 是平行四边形. ………………10分(3)解：设BP =x ，则PC =3－x 平行四边形PEFC 的面积为S , …………………11分S =PC ·BF =PC ·PB =()49233322+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=-x x x x x ……………12分当23=x 时, 最大s =49…………………………………………………13分 ∴当BP =23时，四边形PCFE 的面积最大，最大值为49. …………………14分八、解答题（本题14分）26.解：（1）由抛物线经过点A （－1,0）、B （3,0）得，⎩⎨⎧=++=+-033903b a b a ………………………………………………………1分解得，⎩⎨⎧=-=21b a ∴抛物线的解析式为322++-=x x y ； …………2分（2）解法一： 设点P （m ,0）∵点P 在抛物线322++-=x x y 上， ∴PE =322++-m m把0=x 代入322++-=x x y 得, 3=y ∴C (0,3) ……3分 设直线BC 解析式为b kx y +=，则⎩⎨⎧==+33b b k 解得⎩⎨⎧=-=31b k ∴直线BC 解析式为3+-=x y …………4分 第26题 图①∵点F 在直线BC 上，∴PF =3+-=m∴EF =PE －PF =m m 32+-= ……………………………5分 若四边形ODEF 是平行四边形,则EF =OD =2∴232=+-m m , ……………………………6分 解得 2,121==m m ………………………………7∴P （1,0）或 P （2,0） ………………………8解法二：如图②把0=x 代入322++-=x x y 得, 3=y ∴C (0,3)设直线BC 解析式为b kx y +=，则⎩⎨⎧==+33b b k 第26题 图②解得⎩⎨⎧=-=31b k∴直线BC 解析式为3+-=x y …………3分 过点D 作DG ⊥EF 于点G ，则四边形ODGP 是矩形 ∴DG =OP若四边形ODEF 是平行四边形 ∴DE ∥OF ∴∠DEF =∠OFP ∵∠DGE =∠OPF =90° ∴△DEG ≌△OFP∴EG =FP ………………4分 设点P （m ,0）∵点P 在抛物线322++-=x x y 上， ∴PE =322++-m m ………………5分 ∵点F 在直线BC 上，∴PF 3+-=m ∵EG =2322-++-m m =122++-m m∴122++-m m =3+-=m ……………………6分∴232=+-m m ,解得 2,121==m m ………7分 ∴P （1,0）或 P （2,0） …………………8分 (3)当点P (2,0)时，即OP =2,如图③连接DF 、OE 相交于点G ，取OP 的中点H ,连接GH∵四边形ODEF 是平行四边形 ∴OG =GE∴GH 是△OEP 的中位线∴GH ∥EP ,GH =21PE把x =2代入322++-=x x y 得，3=y ，即PE =3∴GH =23第26题图③∵GH ∥EP ∴GH ⊥OP ∴G (1，23) ……………………9分 设直线AG 的解析式为11b x k y +=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+0231111b k b k ， ……………………10分解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==434311b k∴将平行四边形ODEF 的面积等分的直线解析式为4343+=x y …11分 当点P (1,0)时，即OP =1,如图④连接DF 、OE 相交于点G ，取OP 的中点H ,连接GH ,∵四边形ODEF 是平行四边形 ∴OG =GE∵OH =HP =21OP =21∴GH 是△OEP 的中位线 ∴GH ∥EP ,GH =21PE 把x =1代入322++-=x x y 得，4=y ，即PE =4 第26题 ④图 ∴GH =2 ∵GH ∥EP ∴∠GHO =∠EPO =90° ∴G (21，2) ……………………12分 设直线AG 的解析式为22b x k y +=，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+02212222b k b k ……………………13分 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==343422b k ∴将平行四边形ODEF 的面积等分的直线解析式为3434+=x y 综上所述，直线解析式为 4343+=x y 或 3434+=x y …14分。
2014年长沙市首届中学数学教师解题能力大赛(初中试题)答案
3
x
点，且 AM ⋅ AN = 4 ，则 k =
. ( 3)
18. 已知线段 AB 的中点为 C，以点 A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段 AB 的延长线上 取点 D，使得 BD＝AC；再以点 D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于 F，
AH
G 两点，连接 FG 交 AB 于点 H，则 AB 的值为
——6 分
解之得到： x = 50 2
——8 分
故信号兵跑的距离为 s = 100 + 2x = 100(1+ 2) 米
——9 分
24.（满分 9 分）如图，已知：C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，CH⊥AB 于点 H，直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D，E 为 CH 中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F，直线 CF 交 直线 AB 于点 G. （1）求证：点 F 是 BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若 FB=FE=2，求⊙O 的半径．
⎧2a − b < 或 ⎪⎪⎨a < 3 ,
⎪2 ⎪⎩b > 3.
0,
由 a ， b 的实际意义为 1，2，3，4，5，6，可得
⎧a ⎨⎩b
= =
2，3，4，5，6，
共有
1，2，
5×2＝10
种情况；或
⎧a ⎨⎩b
= =
1，
共
4，5，6，
3
种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共 6×6＝36 种情况，故所求的概率为 13 ． 36
(1)样本的容量是多少?
(2)通过计算说明样本数据中，中位数落在哪个组，并求该小组
的频率；
(3)估计全校在这次竞赛中，成绩高于 70 分的 学生人数占参赛人
2014年青年教师素质考试数学试题(含答案)
第2题图2014年青年教师素质考试数学试题一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列四个数中等于100个连续自然数之和的是（ ） A ．1627384950 B ．234578910C ．3579111300D ．46925814702.图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图（箭头表示行进的方向）.其中E 为AB 的中点，AH ＞HB ，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ） A ．甲＜乙＜丙 B ．乙＜丙＜甲 C ．丙＜乙＜甲 D ．甲=乙=丙3. 如图，B 是线段AC 的中点，过点C 的直线l 与AC 成60°的角，在直线l 上取一点P ，使∠APB =30°，则满足条件的点P 的个数是（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．不存在 4. 由四块镜面朝里的镜子组成的立方体，截面如图，正方 形ABCD 边长为1， E 是边AB 上一个小孔，AE =31，点F 在边 BC 上， BF =31．若一束光线从E 射入到点F ，每当碰到正方形 的边时反射，反射时反射角等于入射角，当光线从小孔E 射出时， 光线与正方形的边反射的次数为（ ） A ．4 B ． 5 C ． 6 D ．75. 古人用天干和地支记序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥.将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅…，我国的农历 纪年就是按这个顺序得来的，如公历2014年是农历甲午年，那么从今年往后，A BCDEF第4题图第3题图如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1个小时到达乙地.第8题图MQPA 1BN 第12题图农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（ ） A ．是2018年 B ．是2031年 C ．是2044年D ．没有对应的年号6. 将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（ ） A ．15B ．18C ．21D ．247. 工地上有甲、乙二块铁板，铁板甲形状为等腰三角形，顶角为α，且tan α=34，腰长为6cm ；铁板乙形状为等腰梯形，两底边长分别为4cm ，10cm ，且有一内角为60°．现在我们把它们任意翻转，分别试图从一个直径为5.3cm 的铜环中穿过，结果是（ ）A ．甲板能穿过，乙板不能穿过；B ．甲板不能穿过，乙板能穿过C ．甲、乙两板都能穿过D ．甲、乙两板都不能穿过 8. 如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，3AE =EB ，有一只蚂蚁从 E 点出发，经过F ，G ，H ，最后回点E 点，则蚂蚁所 走的最小路程是（ ）A ．2B ．4C ．22D ．32 9. 甲、乙两地相距250公里，某天小敏从上午7：50由甲地开车前往乙地办事． 在上午9：00，10：00，11：00三个时 刻，车上的导航仪都进行了提示（如图）．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小敏距乙地还有（ ） A ．60公里 B ．45公里 C ．30公里 D ．15公里 10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC 是直角，AB =3，BC =4，P是BC 边上的动点．设BP =x ，若能在AC 边上找到一点 Q ，使∠BQP =90°，则x 的取值范围是（ ） A ．2.4≤x ≤4 B ．3≤x ≤4C ．2.5≤x ≤4D ．3＜x ≤4二、填空题（每小题3分, 共18分）11. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧；以点B 为圆心，AC 长为 半径画弧，两弧交于点D ，连结CD ．若AC ＝1，则CD 的长度是 ．12. 如图，边长为1的正三角形ANB 放置在边长为MN =3，NP =4的长方形MNPQ 内，且NB 在边NP 上．若正三第10题图 第6题图AFGHD CE 第13题图第16题图角形在长方形内沿着边NP 、PQ 、QM 、MN 翻转一圈后回到原来起始位置，则顶点A 在翻转过程中经过的路程长是 （保留π）． 13. 如图，一个半径为1的圆纸片，第一次剪去半径为12的圆，得到的图形P 1的面积为S 1，第二次剪去半径为14的圆，得到的图形P 2的面积为S 2，第三次剪去半径为18的圆，得到的图形P 3的面积为S 3，…，依此，第n 次剪完后得到的图形P n 的面积为S n 则S 2013-S 2014= ．14. 2014年仁川亚运会期间，体育场馆要对观众进行安全检查．若某体育馆在安检开始时已有若干名观众在馆外等候安检，安检开始后，到达体育馆的观众人数按固定速度增加．各安检人员的安检效率相同．若用3名工作人员进行安检，需要25分钟才能将等候在馆外的观众检测完，使后来者能随到随检；若用6名工作人员进行安检，时间则缩短为10分钟．现要求不超过5分钟完成上述过程，则至少要安排 名工作人员进行安检．15. 现有红、黄、蓝、白4种颜色的袜子若干（足够多），若只要两只同色的袜子就可以配成1双，请问至少需要 只袜子就一定能够配成10双袜子． 16. 如图，一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片，D 为直角边BC 上一点，首先把点B折叠到点D ，再把点A 折叠到点D ，使△CDE 与△DFG 的面积相等，则CD 的长度 为三、解答题（本大题有6小题，第17小题6分，第18、19小题每小题8分，第20、21、22小题10分，共52分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行．裁判先在黑板上写出下面的正整数2，3，4，…，2006，然后随意擦去一个数．接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜． 按照这种游戏规则，甲、乙两人获胜的机会均等吗？并求甲获胜的概率．18.如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=3，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．第18题图19.有8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离火车站15km的地方出现故障，此时距停止检票的时间还有42分钟.这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，已知包括司机在内这辆车限乘5人，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h.试设计两种方案，通过计算说明这8个人能够在停止检票前赶到火车站.20.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°, AB＝AC＝2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE＝45°（A，D，E按逆时针方向）.（1）在图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E. 易证：△ABD∽△DCE; 当AD ＝DE时，求AE的长.（2）①在图2，若点D在边BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点F，是否存在点D，使AD＝DF？若存在，写出CD的长; 若不存在，请说明理由.②在图3，若点D在边BC的反向延长线上运动，DE与AC的延长线相交于E点，是否存在点D，使AD＝DE？若存在，写出所有点D的位置; 若不存在，请说明理由.第20题图21.如图，在直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A（8，0），C（0，6），点M是OA的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿x轴向右运动；点Q 沿x轴先向左运动至原点O后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P，Q两点运动的速度均为每秒1个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与矩形OABC重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）．（1）用含t的代数式表示点P的坐标．（2）分别求当t=1，t=5时，线段PQ的长．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）连接AC．当正方形PRLQ与△ABC的重叠部分为三角形时，直接写出t的取值范围．第21题图22.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式．（2）是否存在点P，使得△ACP是直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．第22题图数学参考答案1.A2. D3. B4. B5.D6. C7. C8.C9.A 10.B 11.1或2 12. 5π 13. 40282π14. 11 15.23 16. 222-17.18.19. 解：［方案一］：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到火车站，立即返回接步行的4个人到火车站. 设乘出现故障汽车的4个人步行的距离为xkm ，根据题意，有6015155x x -+= 解得1330=x ，因此这8个人全部到火车站所需时间为()（分钟）（分钟）＝小时4213540523560)133015(51330<=÷-+÷ 故此方案可行.［方案二］：当小汽车出现故障时，乘这辆车的4个人下车步行，另一辆车将车内的4个人送到某地方后，让他们下车步行，再立即返回接出故障汽车而步行的另外4个人，使得两批人员最后同时到达车站.分析此方案可知，两批人员步行的距离相同，设这个路程为y 千米,60215155yy y -+-=解得2=y 。
2014年惠阳区初中数学教师解题比赛参考答案及评分标准
2014年惠阳区初中数学教师解题比赛参考答案及评分标准一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1A 2、D 3A 4B 5、D 6．B 7.D 8.D 9、B 10.C二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11、(－2,0)(3,0) 12、球或正方体 13、4：3 14．))(c b a b a +++（ 15.8. 16.46 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17. 解：（1）设彩色地砖采购x 块，单色地砖采购y 块，由题意，得 … .. … … 1分， ………………2分 解得：．答：彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块； ……………………4分（2）设购进彩色地砖a 块，则单色地砖购进（60﹣a ）块，由题意，得80a +40（60﹣a ）≤3200， ……………………5分 解得：a ≤20．∴彩色地砖最多能采购20块 ……………………6分18.（1）点A 关于y 轴对称的点的坐标（2，3）； … .. … … 1分（2）图形． … .. … … 3分 点B 的对应点的坐标（0，6-）； … .. … … 4分（3）第四个顶点D 的坐标（7-3，）或(53)--，或(33)， … .. … … 6分19.解：（1）∵),1(b 在直线1+=x y 上，∴当1=x 时，211=+=b ． …………2分（2）解是⎩⎨⎧==.2,1y x ……………4分 （3）直线m nx y +=也经过点P ……………5分∵点P )2,1(在直线n mx y +=上，∴2=+n m ，∴21n m =⨯+,这说明直线m nx y +=也经过点P ．………6分四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．解：（1）：80，20，72； … .. … … 3分（2）骑自行车的人数为：80×20%=16人，补全统计图如图所示； ………4分（3）设原来开私家车的人中有x 人改为骑自行车， 由题意得，×2000+x ≥×2000﹣x ，解x ≥50， …………6分答：原来开私家车的人中至少有50人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数． …………7分21：（1）∵DC ⊥AE ，BA ⊥AE ∴△ECD ∽△EAB …………1分 ∴bc c AB a ，AE CE AB CE +==即 ……………2分 ∴c ab a c b c a AB +=+=)( ………………3分 （2）∵AE ⊥AB ，DC ⊥AB ，DE ⊥AE∴DC =AE =n ,AC =DE =m ……………4分 在Rt △DBC 中，BC /CD =tanα， ……………5分 ∴BC =n ·tanα ……………6分 ∴AB =BC +AC =n ·tanα+m ……………7分22. 解：1）∵在矩形ABCD 中，AB =2DA ，DA =2， …………1分 ∴AB =AE =4， ∴DE ==2， …………2分 ∴EC =CD ﹣DE =4﹣2； …………3分（2）∵sin ∠DEA ==， ∴∠DEA =30°， ∴∠EAB =30°， …………4分 ∴图中阴影部分的面积为：S 扇形F AB ﹣S △DAE ﹣S 扇形EAB …………5分 =﹣×2×2﹣=﹣2 ………………7分五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．解：（1）由0y =，得2x =-，所以点A 的坐标为(20)-，，故2OA = ……1分 同理可得4OB =． ……2分所以在Rt AOB △中，AB = ……3分（2）作MP x ⊥轴，NP y ⊥轴，MP 交NP 于点P ．则MP NP ⊥，P 点坐标为(31)-，． ……4分故4(1)5PM =--=，3(2)5PN =--=． ……5分所以在Rt MPN △中，MN ==． ……6分 （注：若直接运用了（3）的结论不得分．）（3）作2P P x ⊥轴，1PP y ⊥轴，2P P 交1PP 于点P ． 则21P P PP ⊥，点P 的坐标为21()x y ，． ……7分 故221P P y y =-，121PP x x =-（不加绝对值符号此处不扣分）．……8分所以在21Rt P PP △中，12PP =……9分 24．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BF ，……1分 ∵AE =CF ，∴四边形ACFE 是平行四边形，∴EF ∥AC ，……2分 （2）连接BG ，∵EF ∥AC ，∴∠F =∠ACB =45°，……3分 ∵∠GCF =90°，∴∠CGF =∠F =45°，∴CG =CF ，……4分∵AE =CF ，∴AE =CG ，在△BAE 与△BCG 中，，∴△BAE ≌△BCG （SAS ）∴BE =BG ，……5分 ∵BE =EG ，∴△BEG 是等边三角形，∴∠BEF =60°，（3）∵△BAE ≌△BCG ，∴∠ABE =∠CBG ，∵∠BAC =∠F =45°，∴△AHB ∽△FGB ，……6分∴======，……7分 ∵∠EBG =60°∠ABE =∠CBG ，∠ABC =90°，∴∠ABE =15°，……8分 ∴=．……9分25. 解：（1）∵y=x2﹣x﹣3，∴当y=0时，y=x2﹣x﹣3，……1分解得x1=﹣2，x2=4．当x=0，y=﹣3．∴A点坐标为（4，0），D点坐标为（﹣2，0），C点坐标为（0，﹣3）；……2分（2）∵y=x2﹣x﹣3，∴对称轴为直线x==1．……3分∵AD在x轴上，点M在抛物线上，∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时，分两种情况：①点M在x轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M与点C关于直线x=1对称，∵C点坐标为（0，﹣3），∴M点坐标为（2，﹣3）；……4分②点M在x轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3．当y=4时，y=x2﹣x﹣3=3，解得x1=1+，x2=1﹣，∴M点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）．综上所述，所求M点坐标为（2，﹣3）或（1+，3）或（1﹣，3）；……5分（3）结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P满足题意：①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1．由点C关于抛物线对称轴的对称点为B，可知BC∥x轴，则P1与D点重合，∴P1（﹣2，0）．∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC，∴四边形ABCP1为梯形；②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2．……6分∵A点坐标为（4，0），B点坐标为（2，﹣3），∴直线AB的解析式为y=x﹣6，∴可设直线CP2的解析式为y=x+n，将C点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3，∴直线CP2的解析式为y=x﹣3 ．……7分∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上，∴y=x2﹣x﹣3=x﹣3，化简得：x2﹣6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6，∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2（6，6）．……8分∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四边形ABCP2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．……9分。
2014年数学青年教师解题比赛训练题(七)答案
2014年数学青年教师解题比赛训练题（七）参考答案1、B2、A3、C4、B5、C6、A7、D8、D9、B10、C11、（x+3）（x﹣3）12、1，2，3 13、6，4或5，514、5 15、AC=CD16、3 17、2或0 18、﹣1或419．：解：2cos45°﹣（﹣）﹣1﹣﹣（π﹣）0，=2×﹣（﹣4）﹣2﹣1，=+4﹣2﹣1，=3﹣．20．：解：原式=•=x﹣1，当x=﹣时，原式=﹣﹣1=﹣．21．：解：（1）作出线段AB的垂直平分线；（2）作出角的平分线（2条）；它们的交点即为所求作的点C（2个）．22．：解：∵在Rt△ADB中，∠BDA=45°，AB=3米，∴DA=3米，在Rt△ADC中，∠CDA=60°，∴tan60°=，∴CA=3．∴BC=CA﹣BA=（3﹣3）米．答：路况显示牌BC是（3﹣3）米．23．：解：（1）点A在y=x﹣2上，∴1=x﹣2，解得x=6，把（6，1）代入得m=6×1=6．∴y=；（2）由图象得，当x＞6时，一次函数的值大于反比例函数的值．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
24．：解：（1）列表得：1 2 3 41 ﹣1分1分0分2 1分﹣1分0分3 1分1分﹣0分4 0分0分0分﹣画树状图得：∴P（甲得1分）==（2）不公平．∵P（乙得1分）=∴P（甲得1分）≠P（乙得1分），∴不公平．25．：解：（1）根据条形图得出文学类人数为：70，利用扇形图得出文学类所占百分比为：35%，故本次调查中，一共调查了：70÷35%=200人，故答案为：200；（2）根据科普类所占百分比为：30%，则科普类人数为：n=200×30%=60人，m=200﹣70﹣30﹣60=40人，故m=40，n=60；故答案为：40，60；（3）艺术类读物所在扇形的圆心角是：×360°=72°，故答案为：72；（4）由题意，得（册）．答：学校购买其他类读物900册比较合理．26．解：（1）BD=CD．理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．27．：解：（1）∵半径OC垂直于弦AB，∴AE=BE=AB=4，在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，∴OE==3，∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2，在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，∴tan∠BAC===；（2）AD与⊙O相切．理由如下：∵半径OC垂直于弦AB，∵AC弧=BC弧，∴∠AOC=2∠BAC，∵∠DAC=∠BAC，∴∠AOC=∠BAD，∵∠AOC+∠OAE=90°，∴∠BAD+∠OAE=90°，∴OA⊥AD，∴AD为⊙O的切线．28．解：①∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1，∴y=x2﹣3x，②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，∵△AOB的面积等于6，∴AO•BD=6，当0=x2﹣3x，x（x﹣3）=0，解得：x=0或3，∴AO=3，∴BD=4即4=x2﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）．又∵顶点坐标为：（1.5，﹣2.25）．∵2.25＜4，∴x轴下方不存在B点，∴点B的坐标为：（4，4）；③∵点B的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，BO==4，当∠POB=90°，∴∠POD=45°，设P点横坐标为：﹣x，则纵坐标为：x2﹣3x，即﹣x=x2﹣3x，解得x=2 或x=0，∴在抛物线上仅存在一点P（2，﹣2）．∴OP==2，使∠POB=90°，∴△POB的面积为：PO•BO=×4×2=8．。
2014年惠阳区数学青年教师解题比赛训练题(二)答案
2014年惠阳区数学青年教师解题比赛训练题（二）参考答案一、选择题．每题3分，共5小题，共15分．只有一个正确答案．1．D2．C3．B4．A5．A二、填空题．每题3分，共8题，共24分．6．3．7．48°．8．m（m﹣2）．9．3a．10．8×106．11．105．12．1．13．（）2013．三、解答题．共10小题，共81分．14．解：原式=1×2﹣﹣3+2×=﹣．15．解：，①+②得：3x=6，解得x=2，将x=2代入②得：2﹣y=1，解得：y=1．∴原方程组的解为16．解：（1）∵点C与点A（﹣2，2）关于原点O对称，∴点C的坐标为（2，﹣2）；（2）∵将点A向右平移5个单位得到点D，点D的坐标为（3，2）；（3）由图可知：A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（2，﹣2），D（3，2），∵在平行四边形ABCD内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个，即（﹣1，1），（0，0），（1，﹣1），∴P==．故答案为（2，﹣2）；（3，2）；17．解：（1）根据题意得：18÷30%=60（人），则九年级（1）班的人数为60人；（2）“一般”的人数为60×15%=9（人），“较差”的人数为60﹣（9+30+18）=3（人），则“较差”所占的度数为360°×=18°；（3）“较差”、“一般”的学生所占的百分比之和为5%+15%=20%，则对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有1500×20%=300（名）．18．解：（1）将A（a，2）代入y=x+1中得：2=a+1，解得：a=1，即A（1，2），将A（1，2）代入反比例解析式中得：k=2，则反比例解析式为y=；（2）将x=2代入反比例解析式得：y==，则点B在反比例图象上．19．解；（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，∴AB=AE=4，∴DE==2，∴EC=CD﹣DE=4﹣2；（2）∵sin∠DEA==，∴∠DEA=30°，∴∠EAB=30°，∴图中阴影部分的面积为：S扇形F AB﹣S△DAE﹣S扇形EAB=﹣×2×2﹣=﹣2．20．解：（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗（1000﹣x）棵，由题意，得y=（20+5）x+（30+5）（1000﹣x）=﹣10x+35000；（2）由题意，可得0.90x+0.95（1000﹣x）=925，解得x=500．当x=500时，y=﹣10×500+35000=30000，即绿化村道的总费用需要30000元；（3）由（1）知购买A种树苗x棵，B种树苗（1000﹣x）棵时，总费用y=﹣10x+35000，由题意，得﹣10x+35000≤31000，解得x≥400，所以1000﹣x≤600，故最多可购买B种树苗600棵．21．（1）证明：∵EF垂直平分BC，∴CF=BF，BE=CE，∠BDE=90°，BD=CD，又∵∠ACB=90°，∴EF∥AC，∴BE：AB=DB：BC，∵D为BC中点，∴DB：BC=1：2，∴BE：AB=1：2，∴E为AB中点，即BE=AE，∵CF=AE，∴CF=BE，∴CF=FB=BE=CE，∴四边形BECF是菱形．（2）解：∵四边形BECF是正方形，∴∠CBA=45°，∵∠ACB=90°，∴∠A=45°．22．解：（1）∵y=2x2﹣2，∴当y=0时，2x2﹣2=0，x=±1，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2，又当x=0时，y=﹣2，∴点C的坐标为（0，﹣2），OC=2，∴S△ABC=AB•OC=×2×2=2；（2）将y=6代入y=2x2﹣2，得2x2﹣2=6，x=±2，∴点M的坐标为（﹣2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4．∵平行四边形的面积为8，∴MN边上的高为：8÷4=2，∴P点纵坐标为6±2．①当P点纵坐标为6+2=8时，2x2﹣2=8，x=±，∴点P的坐标为（，8），点N的坐标为（﹣，8）；②当P点纵坐标为6﹣2=4时，2x2﹣2=4，x=±，∴点P的坐标为（，4），点N的坐标为（﹣，4）；（3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣2），∴OB=1，OC=2．∵∠QDB=∠BOC=90°，∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ，则=，即=，解得DQ=2（m﹣1）=2m﹣2，②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB，则=，即=，解得DQ=．综上所述，线段QD的长为2m﹣2或．23．解：探究一：（1）依题意画出图形，如答图1所示：由题意，得∠CFB=60°，FP为角平分线，则∠CFP=30°，∴CF=BC•sin30°=3×=，∴CP=CF•tan∠CFP=×=1．过点A作AG⊥BC于点G，则AG=BC=，∴PG=CG﹣CP=﹣1=．在Rt△APG中，由勾股定理得：AP===．（2）由（1）可知，FC=．如答图2所示，以点A为圆心，以FC=长为半径画弧，与BC交于点P1、P2，则AP1=AP2=．过点A过AG⊥BC于点G，则AG=BC=．在Rt△AGP1中，cos∠P1AG===，∴∠P1AG=30°，∴∠P1AB=45°﹣30°=15°；同理求得，∠P2AG=30°，∠P2AB=45°+30°=75°．∴∠P AB的度数为15°或75°．探究二：△AMN的周长存在有最小值．如答图3所示，连接AD．∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，∴AD=CD，∠C=∠MAD=45°．∵∠EDF=90°，∠ADC=90°，∴∠MDA=∠NDC．∵在△AMD与△CND中，∴△AMD≌△CND（ASA）．∴AM=CN．设AM=x，则CN=x，AN=AC﹣CN=BC﹣CN=﹣x．在Rt△AMN中，由勾股定理得：MN====．△AMN的周长为：AM+AN+MN=+，当x=时，有最小值，最小值为+=．∴△AMN周长的最小值为．。
2014年惠阳区数学青年教师解题比赛训练题(五)答案
四、应用题
22、
解答：
解：∵弓形的跨度AB=3cm，EF为弓形的高，
∴பைடு நூலகம்E⊥AB，
∴AF= AB= cm，
∵ 所在圆O的半径为r，弓形的高EF=1cm，
∴AO=r，OF=r﹣1，
在Rt△AOF中，AO2=AF2+OF2，
即r2=（ ）2+（r﹣1）2，
③若AB=BD，则点D与点C重合，可知此时点P、点P′、点M均与点C重合，
∴S△ABD=S△ABC= AB•BC= ×4×4=8．
则x=20，21，
共有2种搭建方案：
方案一：甲种板房搭建20间，乙种板房搭建80间，
方案二：甲种板房搭建21间，乙种板房搭建79间．
五、综合题
25、
解答：
解：（1）∵抛物线y=﹣2x2﹣4x=﹣2（x+1）2+2的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F，
∴图象F所表示的抛物线的解析式为y=﹣2（x+1﹣2）2+2，即y=﹣2（x﹣1）2+2；
（2）∵星期日的日访问总量为3万人次，星期日学生日访问总量占日访问总量的百分比为30%，
∴星期日学生日访问总量为：3×30%=0.9（万人次）；
（3）某教育网站一周内星期日的日访问总量最大．
24、
解答：
解：设甲种板房搭建x间，则乙种板房搭建（100﹣x）间，根据题意得：
，
解得：20≤x≤21，
x只能取整数，
（2）∵y=﹣2（x﹣1）2+2，
∴顶点C的坐标为（1，2）．
当y=0时，﹣2（x﹣1）2+2=0，
解得x=0或2，
2014年惠阳区数学青年教师解题比赛训练题(十九)答案
2014年惠阳区数学青年教师解题比赛训练题（十九）答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 9．B 10．B 二、填空题11．67.8410⨯ 12．3x =- 13．2:5 14．外切 15．3516．30 三、解答题17．解：原式23131=+⨯-+ ···································································· （5分） 3=． ·················································································· （6分） 18．解：由①，得3x >-． ······································································· （2分）由②，得2x ≤． ········································································ （4分） 所以，原不等式组的解集为32x -<≤． ········································· （6分）19．解：已知：线段AB ． ········································································ （1分） 求作：等边ABC △． ··············································································· （2分） 作图如下：（注：每段弧各1分，连接线段AC BC 、各1分）····························································· （6分）20············································· （4分）（2）补图如下：························ （6分）四、解答题：21．解：原式221(1)2(2)(2)x x x x x +-+=÷++- ······················································ （4分） 21(2)(2)2(1)x x x x x ++-=++ ·············································································· （6分） ABC （株）21x x -=+． ······························································································ （8分） 当3x =-时，原式325312--==-+． ····························································· （10分） 22．解：（1）42OB OE == ，，246BE ∴=+=． CE x ⊥轴于点E ．1tan 2CE ABO BE ∴∠==，3CE ∴=． ························································· （1分）∴点C 的坐标为()23C -，． ······································································· （2分） 设反比例函数的解析式为(0)my m x=≠． 将点C 的坐标代入，得32m=-， ································································ （3分） 6m ∴=-． ···························································································· （4分）∴该反比例函数的解析式为6y x=-．·························································· （5分） （2）4OB = ，(40)B ∴，． ···································································· （6分） 1tan 2OA ABO OB ∠== ， 2OA ∴=，(02)A ∴，． ············································································ （7分）设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠．将点A B 、的坐标分别代入，得240.b k b =⎧⎨+=⎩， ················································· （8分）解得122.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ························································································ （9分） ∴直线AB 的解析式为122y x =-+． ························································ （10分） 23．解：（1）画树状图如下： ··················· （4分）0 1 30 2 60 3 90 4 120 1 3 0 1 3 0 1 3 0 1 3 2 3 4 1 幸运数 吉祥数 积············································································································ （4分） 由图（表）知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种， 所以，积为0的概率为41123P ==． ··························································· （6分） （2）不公平．························································································· （7分） 因为由图（表）知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种．所以，积为奇数的概率为141123P ==，························································ （8分） 积为偶数的概率为282123P ==． ································································ （9分） 因为1233≠，所以，该游戏不公平．游戏规则可修改为：若这两个数的积为0，则小亮赢；积为奇数，则小红赢． ································ （10分） （只要正确即可）24．（1）证明：90ABC DE AC ∠= °，⊥于点F ， ABC AFE ∴∠=∠．································· （1分）AC AE EAF CAB =∠=∠ ，， ABC AFE ∴△≌△ ·································· （2分）AB AF ∴=． ········································· （3分）连接AG ， ·············································· （4分）AG AG AB AF == ，，Rt Rt ABG AFG ∴△≌△． ······················ （5分）BG FG ∴=． ········································· （6分） （2）解：AD DC DF AC = ，⊥，1122AF AC AE ∴==． ··········································································· （7分） 30E∴∠=°．30FAD E ∴∠=∠=°，············································································ （8分） AF ∴= ························································································· （9分） AB AF ∴= ················································································ （10分） 五、解答题：25．解：（1）设p 与x 的函数关系为(0)p kx b k =+≠，根据题意，得3.954.3.k b k b +=⎧⎨+=⎩，························································································· （1分） D CE B G AF解得0.13.8.k b =⎧⎨=⎩，所以，0.1 3.8p x =+． ························································· （2分）设月销售金额为w 万元，则(0.1 3.8)(502600)w py x x ==+-+． ··················· （3分） 化简，得25709800w x x =-++，所以，25(7)10125w x =--+．当7x =时，w 取得最大值，最大值为10125．答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大是10125万元．··· （4分） （2）去年12月份每台的售价为501226002000-⨯+=（元）， 去年12月份的销售量为0.112 3.85⨯+=（万台）， ······································ （5分） 根据题意，得2000(1%)[5(1 1.5%) 1.5]13%3936m m -⨯-+⨯⨯=． ················· （8分） 令%m t =，原方程可化为27.514 5.30t t -+=．t ∴==． 10.528t ∴≈，2 1.339t ≈（舍去）答：m 的值约为52.8． ············································································ （10分）26．解：（1）由已知，得(30)C ，，(22)D ，， 90ADE CDB BCD ∠=-∠=∠ °，1tan 2tan 212AE AD ADE BCD ∴=∠=⨯∠=⨯= ． ∴(01)E ，． ···························································································· （1分） 设过点E D C 、、的抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠． 将点E 的坐标代入，得1c =．将1c =和点D C 、的坐标分别代入，得42129310.a b a b ++=⎧⎨++=⎩，····················································································· （2分） 解这个方程组，得56136a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故抛物线的解析式为2513166y x x =-++． ·················································· （3分） （2）2EF GO =成立． ············································································ （4分）点M 在该抛物线上，且它的横坐标为65，∴点M 的纵坐标为125． ··········································································· （5分） 设DM 的解析式为1(0)y kx b k =+≠， 将点D M 、的坐标分别代入，得1122612.55k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得1123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，． ∴DM 的解析式为132y x =-+． ······························································ （6分） ∴(03)F ，，2EF =． ·············································································· （7分） 过点D 作DK OC ⊥于点K ，则DA DK =．90ADK FDG ∠=∠= °， FDA GDK ∴∠=∠．又90FAD GKD ∠=∠= °， DAF DKG ∴△≌△． 1KG AF ∴==． 1GO ∴=． ···························································································· （8分） 2EF GO ∴=．（3） 点P 在AB 上，(10)G ，，(30)C ，，则设(12)P ，． ∴222(1)2PG t =-+，222(3)2PC t =-+，2GC =．①若PG PC =，则2222(1)2(3)2t t -+=-+，解得2t =．∴(22)P ，，此时点Q 与点P 重合． ∴(22)Q ，． ···························································································· （9分） ②若PG GC =，则22(1)22t 2-+=，解得 1t =，(12)P ∴，，此时GP x ⊥轴． GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，∴点Q 的纵坐标为73．∴713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，． ························································································· （10分）x③若PC GC =，则222(3)22t -+=，解得3t =，(32)P ∴，，此时2PC GC ==，PCG △是等腰直角三角形． 过点Q 作QH x ⊥轴于点H ， 则QH GH =，设QH h =，(1)Q h h ∴+，．2513(1)(1)166h h h ∴-++++=．解得12725h h ==-，（舍去）．12755Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，．····································· （12分） 综上所述，存在三个满足条件的点Q ，即(22)Q ，或713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，或12755Q ⎛⎫⎪⎝⎭，．x。
2014年长沙县初中教师解题比赛试卷(含答案)
长沙县2014年初中数学教师解题比赛试题卷（比赛时间：2014年4月25日上午9∶00-11∶00）本试卷共4页，共三大题25小题，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1、对于实数a 、b ，定义一种运算“⊗”为：a ⊗b =a 2+ab ﹣2，有下列命题： ①1⊗3=2；②方程x ⊗1=0的根为：x 1=﹣2，x 2=1；③不等式组的解集为：﹣1＜x ＜4；④点（51，）在函数y =x ⊗（﹣1）的图象上．其中正确的是： 2、若－1＜a ＜0，则a a a ,,,33一定是： 3、如左下图，直线L 1、L 2、L 3表示三条互相交叉的公路，要建一个货物中转站，要求它到三条公4、如图，在O ⊙上有定点C 和动点P ，位于直径AB 的异侧， 过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ，已知：O ⊙半径为5，tan ∠ABC ＝3，则CQ 的最大值是：5、设12x x ，是方程0132=++x x 的两个根，则=-2213x x 6、若n 为整数，则能使也为整数的n 的个数有：第3题图 第4题图 正视图 侧视图第7题图8、下列图形中，阴影部分的面积相等的有： 9、已知sin()α+=,那么cos α=锐角的个数最多为：11、我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”R 长的取值范围是 .12、如图，四边形ABCD 是一个矩形，C ⊙的半径是2cm ， CE ，2cm EF =．则图中阴影部分面积约为 2cm ．13、如果关于x 的不等式组22,4,x a x a >-⎧⎨<-⎩有解，并且所有解都是不等式组－6＜x ≤5的解，则a 的取值范围是 ．14、若正整数n 使得在计算n+（n+1）+（n+2）的过程中，各个数位上均不产生进位的现象，则称n 为“本位数”，例如2和30是 “本位数”，而5和91不是“本位数”。
2014初中数学青年教师解题大赛试题参考答案
2014年安庆市初中数学青年教师解题大赛试题参考答案（2014年12月4日下午1:30—4:00）一、选择题（每题6分，共36分） 1. 已知22466-+-=a ，则62623+++a a a 的值为（C ）A.2-B.2C.6D.6-2. 已知c b a ,,满足()ac c a b a b a 223242222+=++-+++-，则c b a +-的值为（ D ）A. 4B.6C.8D.4或83．小青步行从家出发，匀速向学校走去，同时她哥哥小强骑摩托车从学校出发，匀速向家驶去，二人在途中相遇，小强立即把小青送到学校，再向家里驶去，这样他在途中所用的时间是原来从学校直接驶回家所用时间的2.5倍，那么小强骑摩托车的速度是小青步行速度的 （ B ）.A. 2倍B. 3倍C.4倍D. 5倍4. 方程a x =--112的解的个数是4，则a 的取值范围为（ B ）A.21>a B.10<<a C.1>a D.210<<a 5. 平面上动点),(y x A 满足135=+y x ，)0,4(-B ，)0,4(C ,则一定有（ B ）A ． 10<+AC AB B ．10≤+AC AB C ． 10>+AC ABD ．10≥+AC AB6. 函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，对任意的非0实数a 、b 、c 、m 、n 、g 关于x 的方程m [f (x )]2+n f (x )+g =0的解集不可能是( D )A. {1,3} B . {2,4} C . {1,2,3,4} D . {1,2,4,8} 二、填空题（每题8分，共32分）7. 设集合｛a3+b ︱1≤a ≤b ≤2｝中的最大元素与最小元素分别为M 、m,则M-m的值为5-2√3 。
8. 化简：()()211543143213211++⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n K =n 2+3n/4(n+1)(n+2)。
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2014年安庆市初中数学青年教师解题大赛试题参考答案（2014年12月4日下午1:30—4:00）一、选择题（每题6分，共36分） 1. 已知22466-+-=a ，则62623+++a a a 的值为（C ）A.2-B.2C.6D.6-2. 已知c b a ,,满足()ac c a b a b a 223242222+=++-+++-，则c b a +-的值为（ D ）A. 4B.6C.8D.4或83．小青步行从家出发，匀速向学校走去，同时她哥哥小强骑摩托车从学校出发，匀速向家驶去，二人在途中相遇，小强立即把小青送到学校，再向家里驶去，这样他在途中所用的时间是原来从学校直接驶回家所用时间的2.5倍，那么小强骑摩托车的速度是小青步行速度的 （ B ）.A. 2倍B. 3倍C.4倍D. 5倍4. 方程a x =--112的解的个数是4，则a 的取值范围为（ B ）A.21>a B.10<<a C.1>a D.210<<a 5. 平面上动点),(y x A 满足135=+y x ，)0,4(-B ，)0,4(C ,则一定有（ B ）A ． 10<+AC AB B ．10≤+AC AB C ． 10>+AC ABD ．10≥+AC AB6. 函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)，对任意的非0实数a 、b 、c 、m 、n 、g 关于x 的方程m [f (x )]2+n f (x )+g =0的解集不可能是( D )A. {1,3} B . {2,4} C . {1,2,3,4} D . {1,2,4,8} 二、填空题（每题8分，共32分）7. 设集合｛a3+b ︱1≤a ≤b ≤2｝中的最大元素与最小元素分别为M 、m,则M-m的值为5-2√3 。
8. 化简：()()211543143213211++⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n =n 2+3n/4(n+1)(n+2)。
9. 在ABC ∆中，4=AB ,2=BCAC则ABC ∆的面积的最大值为 16/3 . 10. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放进1个白球，则第4县市学校学姓名 姓次恰好取完所有红球的概率为 434/10000 .三、解答题（共82分）11.（本题12分）如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A B，重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE DF，．（1）求证：ADP EPB∠=∠；（2）求CBE∠的度数；（3）当APAB的值等于多少时，PFD BFP△∽△？并说明理由．证明: (1)在正方形ABCD中，∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°∵∠DPE=90°∴∠EPB+∠APD=90°∴A D P E P B∠=∠；(2)作EG⊥AB交AB的延长线于G,∴∠PGE=∠A=90°又∵ADP EPB∠=∠，DP=PE∴⊿ADP≌⊿PGE∴AD=PG=AB,AP=GE∴AB-PB=PG-PB 即AP=BG∴BG=GE∴∠EBG=∠BEG=45°∴∠CBE=45°(3)当APAB的值等于1/2时，PFD BFP△∽△证明：∵∠A=∠PBF=90°、ADP EPB∠=∠∴⊿ADP∽⊿BPF∴DP/PF=AP/BF当APAB的值等于1/2时，AP=PB∴DP/PF=PB/BF∴DP/PB=PF/BF∵∠DPE=∠PBF=90°∴PFD BFP△∽△12.（本题15分）请用一个长方形纸片折出一个30°的角（不借助任何工具）写出你的作法，并说明理由.A'GFE CDABH作法： 如图，将长方形纸片ABCD 沿着一组对边中点对折得折痕EF再将∠A 沿着过点B 的直线折叠使点A 落在折痕EF 上的点A ’处得折痕BG ,,则∠ABG=∠GBA ’=∠A ’BC=30°证明 ： 延长GA ’交BC 于H,由作图知： AD ∥EF ∥BC AE=EB∠BA ’G= =90°=∠BA ’H ∴A ’G=A ’H 又∵BA ’=BA ’ ∴⊿ADP ≌⊿PGE ∴∠GBA ’=∠HBA ’由折纸知∠ABG=∠GBA ’，∠ABC =90°∴ ∠ABG=∠GBA ’=∠A ’BC=30° 13..（本题共20分）凸四边形ABCD 内接于⊙O ，其中AC 为⊙O 直径，AB=BC ，已知BD=10.求：四边形ABCD 的面积.解：方法1 记AC 和BD 的交点为E,∵AC 为⊙O 直径 ∴∠ABC=∠ADC=90° ∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB=∠DAC=∠BDC= 45°E又∵∠ABE=∠DBA ∠CDB=∠CAD ∴⊿BAE ∽⊿BDA ⊿ADE ∽⊿BDC∴AB/BD=BE/AB AD/BD=DE/DC ∴AB 2=BD ×BE AD ×DC=BD ×DE∴AB 2+ AD ×DC= BD ×BE+ BD ×DE=BD(BE+DE)=BD 2=102=100∴S 四边形ABCD =S ⊿ABC + S ⊿ADC =1/2AB ×BC+1/2 AD ×DC=1/2(AB 2+ AD ×DC)=50 方法2： 设圆的半径为R,则AC=2R,AB=BC=√2R 运用托勒密定理可得AB ×CD+BC ×AD=AC ×BD即√2R ×CD+√2R ×AD=2R ×10从而得AD+CD=10√2S 四边形ABCD =S ⊿BAD + S ⊿BCD =1/2BD ×AD ×Sin45°+1/2BD ×CD ×Sin45° =1/2BD ×Sin45°(AD+CD) =1/2×10×√2/2×10√2=50 方法3： 可分别过点A 、C 作BD 上的垂线段AE 、CF用⊿ABE ≌⊿BCF 可以得到AE+CF=BD=10方法4：过点A 作BD 的垂线垂足为E,交圆于F,连接CF,用圆周角，弧，弦得关系可证AF=BD=10 S 四边形ABCD =1/2BD ×AF=50方法5： 在4得到 AD+CD=10√2后，将他平方得AD 2+CD 2+2AD ×CD=200 由勾股定理 AD 2+CD 2=AC 2=2AB 22AB 2+2AD ×CD=200 S 四边形ABCD =S ⊿ABC + S ⊿ADC =1/2(AB 2+ AD ×DC)=5014.（本题20分）如图，抛物线y=ax 2+bx -1经过A （-1,0）、B （2,0）两点，交y 轴于点C ．点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线交直线BC 于点D ，交x 轴于点E ．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC 的表达式.（2）如图1，当点P 的横坐标为 时，求证：△OBD ∽△ABC . （3）如图2，若点P 在第四象限内，当OE =2PE 时，求△POD 的面积. （4）当以点Ｏ、Ｃ、Ｄ为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标.32x PABCO PxyxyAB COD E图1 图2 备用图yA B CO DE解：（1）由待定系数法得抛物线表达式为y=1/2x 2-1/2x -1 直线BC 的表达式为y=1/2x -1证明：（2）∵点P 的横坐标为 ，即x= 时y P =-10/9 y D =-2/3 ∵ED= y D -y P =2/3=OE ∴∠EOD=∠EDO= 45°又∵OA=OC=1∴∠OAC=∠OCA= 45° ∴∠OAC=∠EOD 又∵∠OBD=∠ABC ∴△OBD ∽△ABC .（3） OE =2PE OE=x PE=-y=-1/2x 2+1/2x +1)2(-1/2x 2+1/2x +1)= x解得x 1=-√2(舍去) x 2=√2即OE= √2 PE=√2/2， DE=y D =√2/2-1 PD=PE-DE=1s △POD =1/2PD ×OE=√2/2(4) 点P 的坐标为：（2√5/5， 3/5-√5/5）或（-2√5/5，-3/5+√5/5）.或（4/5，-37/25） 或（1，-1）15.（本题15分）证明：不存在整数,,y x 使得1222322=-+y xy x 成立。
证明：假设存在整数,,y x 使得1222322=-+y xy x 成立，则关于x 得一元二次方程x 2+3xy-(2y 2+122)=0在y 是整数时有整数解， 于是⊿=（3y ）2+4 (2y 2+122)=17y 2+488是完全平方数， 设m 2=17y 2+488=17(y 2+28)+12m 2-12=17(y 2+28) 故m 2-12能被17整除， 显然，整数m 不能被17整除，再设整数m=17n+p,其中n 为任意整数，|P|=1、2、3、 (8)m 2-12=（17n+p ）2-12=17（17n 2+2nP ）+p 2-12 其中17（17n 2+2nP ）能被17整除 而当|P|=1、2、3、…8时，p 2-12=|p|2-12=-11、-8、-3、4、13、24、37、52都不能被17整除，所以m 2-12=（17n+p ）2-12=17（17n 2+2nP ）+p 2-12一定不能被17整除， 这就与前面所说m 2-12能被17整除相矛盾，所以假设“存在整数,,y x 使得1222322=-+y xy x 成立”是错误的； 所以不存在整数,,y x 使得1222322=-+y xy x 成立。
初中组13题和高中组的一题，有些解题方法很相似附：高中组中平面几何证明3232方法1:用相似三角形 记AB 、PC 得交点为E 设正三角形边长为a ，易证：⊿PAE ∽⊿PCB ⊿ACE ∽⊿PCA∴PA ×PB=PE ×PC AC 2=CE ×PC∴PA ×PB+ AC 2 = PE ×PC+ CE ×PC=PC(PE+CE)=PC 2∴PC 2- PA ×PB=AC 2=a 2=3R 2 即PC 2-PA ×PB 为定值3R 2 方法2:用特勒密定理证PC=PA+PB证明：设正三角形边长为a ，由特勒密定理得：PC ×AB=AP ×BC+BP ×AC即aPC=aAP+aBP 所以PC=PA+PB所以PC 2-PA ×PB=(PA+PB)2- PA ×PB= PA 2+PB 2+PA ×PB=a 2=3R 2即PC 2-PA ×PB 为定值3R 2 方法3：用余弦定理证PC=PA+PB证明 ：设正三角形边长为a,在△APC 、△BPC 、△APB 中， ∠APC=∠BPC=60° ∠BPA=120° 根据余弦定理得 ：a 2=PA 2+PC 2-2PA ×PC ×COS60°= PA 2+PC 2-PA ×PC (1) a 2=PB 2+PC 2-2PB ×PC ×COS60°= PB 2+PC 2-PB ×PC (2) a 2=PA 2+PB 2-2PA ×PB ×COS120°= PA 2+PB 2+PA ×PB (3)由（1）-（2）得：（PA 2+PC 2-PA ×PC ）-（ PB 2+PC 2-PB ×PC ）=0 整理得：PA ×PC-PB ×PC=PA 2-PB 2=(PA+PB)(PA-PB) 所以 PC=PA+PB所以PC 2-PA ×PB=(PA+PB)2- PA ×PB= PA 2+PB 2+PA ×PB=a 2=3R 2 即PC 2-PA ×PB 为定值3R 2方法4:构造全等三角形（如图做辅助线可通过全等证明PC=PA+PB ）CCABBAPPE。