2016-2017年福建省厦门市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析

2016-2017学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知{a n}是等比数列，a1=2，a4=16，则数列{a n}的公比q等于（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（5分）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知抛物线y2=12x上一点M到焦点的距离为8，则点M的横坐标为（）A．2B．3C．4D．54．（5分）设实数x、y满足，则z=2x+y的最小值为（）A．6B．10C．﹣6D．﹣85．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB=acosC，则角C为（）A．B．C．D．6．（5分）已知{a n}是等差数列，a1=﹣26，a8+a13=5，当{a n}的前n项和S n取最小值时，n等于（）A．8B．9C．10D．117．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．x±2y=0B．2x±y=0C．x±y=0D．x y=0 8．（5分）已知{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，若a2•a14=4a8，b8=a8，则数列{b n}的前15项和等于（）A．30B．40C．60D．1209．（5分）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣2=0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜﹣1，x2＞1，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1B．a＞1C．﹣1＜a＜1D．a＞2或a＜﹣210．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，2b，c成等比数列，则cosB的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=e2x﹣t，g（x）=te x﹣1，对任意x∈R，f（x）≥g（x）恒成立，则实数t的取值范围为（）A．t≤1B．t≤2﹣2C．t≤2D．t≤2﹣3 12．（5分）从一块短轴成为2m的椭圆形板材中截取一块面积最大的矩形，若椭圆的离心率为e，且e∈[，]，则该矩形面积的取值范围是（）A．[m2，2m2]B．[2m2，3m2]C．[3m2，4m2]D．[4m2，5m2]二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）命题p：∀x∈R，e x≥1，写出命题p的否定：．14．（5分）已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为．15．（5分）已知函数f（x）=，若a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前50项和等于．16．（5分）一个三角形三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则这个三角形的周长等于．三、解答题（本大题共有6小题，共70分）17．（10分）关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜3}．（Ⅰ）求a+b；（Ⅱ）若不等式﹣x2+bx+c＞0的解集为空集，求c的取值范围．18．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAC=30°，∠CAB=45°，CD=﹣．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）若BC=，求△ABC的面积．19．（12分）已知数列{a n}满足a5=13，a n+1﹣a n=3（n∈N*），数列{b n}的前n项和S n=1﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n，比较T n与4的大小．20．（12分）已知直线l与抛物线y2=﹣x相交于A，B两点．A，B在准线上的摄影分别为A1，B1．（Ⅰ）若线段AB的中点坐标为（﹣4，1），求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l方程为x=my﹣1，m∈R，求梯形AA1B1B的面积（用m表示）．21．（12分）某公司要招聘甲、乙两类员工共150人，该公司员工的工资由基础工资组成．其中甲、乙两类员工每人每月的基础工资分别为2千元和3千元，甲类员工每月的人均绩效工资与公司月利润成正比，比例系数为a（a＞0），乙类员工每月的绩效工资与公司月利润的平方成正比，比例系数为b（b＞0）．（Ⅰ）若要求甲类员工的人数不超过乙类员工人数的2倍，问甲、乙两类员工各招聘多少人时，公司每月所付基础工资总额最少？（Ⅱ）若该公司每月的利润为x（x＞0）千元，记甲、乙两类员工该月人均工资分别为w甲千元和w乙千元，试比较w甲和w乙的大小．（月工资=月基础工资+月绩效工资）22．（12分）在圆O：x2+y2=4上任取一点P，过点P作y轴额垂线段PQ，Q为垂足．当P在圆上运动时，线段PQ中点G的轨迹为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直线l与圆O交于M，N两点，与曲线C交于E，F两点，若|MN|=，试判断∠EOF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．2016-2017学年福建省厦门市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知{a n}是等比数列，a1=2，a4=16，则数列{a n}的公比q等于（）A．2B．﹣2C．D．﹣【解答】解：由等比数列的性质可得：a4=，∴16=2q3，解得q=2．故选：A．2．（5分）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为x∈R，“x＞1“⇔“x3＞1”，所以“x＞1“是“x3＞1”的充要条件．故选：C．3．（5分）已知抛物线y2=12x上一点M到焦点的距离为8，则点M的横坐标为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：抛物线y2=12x的准线方程为x=﹣3，∵抛物线y2=12x上点到焦点的距离等于8，∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，∴可得所求点的横坐标为5．故选：D．4．（5分）设实数x、y满足，则z=2x+y的最小值为（）A．6B．10C．﹣6D．﹣8【解答】解：由已知得到可行域如图：目标函数必须为y=﹣2x+z，当此直线经过图中C（﹣2，﹣2）时z最小，为﹣2×2=﹣6；故选：C．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB=acosC，则角C为（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=sinAcosC，即sin（B+C）=sinAcosC，变形得：sinA=sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC=，∴由C∈（0，π），可得∠C=．故选：B．6．（5分）已知{a n}是等差数列，a1=﹣26，a8+a13=5，当{a n}的前n项和S n取最小值时，n等于（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：∵{a n}是等差数列，a1=﹣26，a8+a13=5，∴﹣26+7d﹣26+12d=5，解得d=3，∴S n=﹣26n+==（n﹣）2+，∴{a n}的前n项和S n取最小值时，n=9．故选：B．7．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．x±2y=0B．2x±y=0C．x±y=0D．x y=0【解答】解：对于双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离为=b，所以b=×2c，因此b=c，a=c，所以=因此其渐近线方程为x±y=0．故选：D．8．（5分）已知{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，若a2•a14=4a8，b8=a8，则数列{b n}的前15项和等于（）A．30B．40C．60D．120【解答】解：∵{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，a2•a14=4a8，b8=a8，∴=4a8，解得b8=a8=4，∴数列{b n}的前15项和为：S15=（b1+b15）=15b8=15×4=60．故选：C．9．（5分）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣2=0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜﹣1，x2＞1，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣1B．a＞1C．﹣1＜a＜1D．a＞2或a＜﹣2【解答】解：由题意设f（x）=x2+ax﹣2，∵方程x2+ax﹣2=0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜﹣1，x2＞1，∴，则，解得﹣1＜a＜1，故选：C．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，2b，c成等比数列，则cosB的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵a，2b，c成等比数列，∴4b2=ac，∴cosB==﹣≥1﹣=．当且仅当a=c时，取等号，∴cosB的最小值为．故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=e2x﹣t，g（x）=te x﹣1，对任意x∈R，f（x）≥g（x）恒成立，则实数t的取值范围为（）A．t≤1B．t≤2﹣2C．t≤2D．t≤2﹣3【解答】解：设F（x）=f（x）﹣g（x），∵函数f（x）=e2x﹣t，g（x）=te x﹣1，对任意x∈R，f（x）≥g（x）恒成立，∴F（x）=f（x）﹣g（x）=e2x﹣te x+1﹣t对任意x∈R，最小值为0，F′（x）=2e2x﹣te x，由F′（x）=0，得x=ln，∴F（ln）=﹣te+1﹣t≥0，整理，得t2+4t﹣4≤0，解得﹣2﹣2＜t＜2﹣2．故选：B．12．（5分）从一块短轴成为2m的椭圆形板材中截取一块面积最大的矩形，若椭圆的离心率为e，且e∈[，]，则该矩形面积的取值范围是（）A．[m2，2m2]B．[2m2，3m2]C．[3m2，4m2]D．[4m2，5m2]【解答】解：在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，椭圆的离心率为e，且e∈[，]，∴⇒2b≤a≤，得：4b2≤2ab≤5b2，矩形面积的取值范围是[4m2，5m2]．故选：D．二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）命题p：∀x∈R，e x≥1，写出命题p的否定：∃x∈R，e x＜1．【解答】解：∵命题p：∀x∈R，e x≥1，∴命题p的否定是“∃x∈R，e x＜1”故答案为：∃x∈R，e x＜114．（5分）已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为﹣＜m＜1．【解答】解：根据题意，方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有，解可得：﹣＜m＜1，即m的取值范围是﹣＜m＜1，故答案为：﹣＜m＜1．15．（5分）已知函数f（x）=，若a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前50项和等于．【解答】解：n≤7时，a n=f（n）=2n﹣10，∴a6=f（6）=2×6﹣10=2，a7=f（7）=2×7﹣10=4．n＞7时，a8=f（8）==，a9=f（9）==，a10=f（10）==f（6）=2，a11=f（11）==f（7）=4，a12=f（12）==f（8）=，…，n≥10时，a n=f（n）==f（n﹣4）．∴数列{a n}的前50项和为：+11×=．故答案为：．16．（5分）一个三角形三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，则这个三角形的周长等于15．【解答】解：设三边长分别为n﹣1，n，n+1，对应的角为A，B，C，由题意知C=2A，由正弦定理得=即有cosA=，又cosA==所以=，化简为n2﹣5n=0，解得n=5，所以三边分别为4，5，6，其周长=4+5+6=15．故答案为：15．三、解答题（本大题共有6小题，共70分）17．（10分）关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜3}．（Ⅰ）求a+b；（Ⅱ）若不等式﹣x2+bx+c＞0的解集为空集，求c的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：方程x2﹣ax+b=0的两根为2和3，…（2分）所以，解得，…（4分）所以a+b=11；…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=6，因为不等式﹣x2+bx+c＞0的解集为空集，所以△=62+4c≤0，…（8分）解得c≤﹣9，所以c的取值范围为（﹣∞，﹣9]．…（10分）18．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAC=30°，∠CAB=45°，CD=﹣．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）若BC=，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为AB∥CD，所以∠DCA=∠CAB=45°，…（1分）因为，…（2分）所以AD==2﹣2．…（4分）（Ⅱ）∠ADC=180°﹣（30°+45°）=105°，所以，sin∠ADC=sin（45°+60°）=sin45°cos60°+cos45°sin60°=，…（5分）因为=，所以AC=2，…（7分）设AB=x，因为，BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos∠CAB，可得：x2﹣2x﹣6=0，所以，AB=3，…．（10分）所以，S=AC•ABsin∠CAB=3．…（12分）△ABC19．（12分）已知数列{a n}满足a5=13，a n+1﹣a n=3（n∈N*），数列{b n}的前n项和S n=1﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n，比较T n与4的大小．﹣a n=3（n∈N*），∴数列{a n}为等差数列，公差d=3，【解答】解：（Ⅰ）∵a n+1又a5=a1+4d=13，得a1=1，∴a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．又因为数列{b n}的前n项和为S n=1﹣（n∈N*）．，当n=1时，b1=S1=，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=1﹣﹣=．，∴b n=．综上：a n=3n﹣2，b n=．（Ⅱ）a n b n=（3n﹣2）．T n=1×+7×+…+（3n﹣2）×，=+…+（3n﹣5）×+（3n﹣2）×，得：=﹣（3n﹣2）×=﹣（3n ﹣2）×，∴T n=1+3﹣（3n﹣2）×=4﹣＜4．20．（12分）已知直线l与抛物线y2=﹣x相交于A，B两点．A，B在准线上的摄影分别为A1，B1．（Ⅰ）若线段AB的中点坐标为（﹣4，1），求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l方程为x=my﹣1，m∈R，求梯形AA1B1B的面积（用m表示）．【解答】解：（Ⅰ）当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=﹣4，此时AB中点坐标为（﹣4，0），不符合题意…．（1分）当直线l斜率存在时，因为直线与抛物线交于两不同点，所以斜率不为0，设直线l方程为：y﹣1=k（x+4），即y=kx+4k+1（k≠0），代入抛物线方程得：k2x2+（8k2+2k+1）x+（4k+1）2=0…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A，B中点坐标为（﹣4，1），所以x1+x2=﹣8，所以=﹣8，得k=﹣…（4分）直线l的方程为y﹣1=﹣（x+4），即x+2y+2=0…（5分）（Ⅱ）联立x=my﹣1与抛物线方程得：y2+my﹣1=0．所以y1+y2=﹣m，y1y2=﹣1 …..（6分）又|AA1|=﹣x1+=﹣my1+，|BB1|=﹣x2+=﹣my2+，所以|AA1|+|BB1|=﹣my1+﹣my2+=m2+|A1B1|=|y1﹣y2|=，∴梯形AA1B1B的面积S=…..（12分）21．（12分）某公司要招聘甲、乙两类员工共150人，该公司员工的工资由基础工资组成．其中甲、乙两类员工每人每月的基础工资分别为2千元和3千元，甲类员工每月的人均绩效工资与公司月利润成正比，比例系数为a（a＞0），乙类员工每月的绩效工资与公司月利润的平方成正比，比例系数为b（b＞0）．（Ⅰ）若要求甲类员工的人数不超过乙类员工人数的2倍，问甲、乙两类员工各招聘多少人时，公司每月所付基础工资总额最少？（Ⅱ）若该公司每月的利润为x（x＞0）千元，记甲、乙两类员工该月人均工资分别为w甲千元和w乙千元，试比较w甲和w乙的大小．（月工资=月基础工资+月绩效工资）【解答】解：（Ⅰ）设招聘甲类员工人数为x，乙类员工人数为（150﹣x），公司每月所付的基础工资总额为y千元，因为x≤2（150﹣x），所以0＜x≤100，x∈N…（1分）因为y=2x+3（150﹣x）=450﹣x…（2分）x=100时，y min=350，所以甲类员工招聘100人，乙类员工招聘50人时，公司每月所付的基础工资总额最少为350000元…（4分）（Ⅱ）由已知，w甲=2+ax，w乙=3+bx2…（5分）w乙﹣w甲=（3+bx2）﹣（2+ax）=bx2﹣ax+1（a＞0，b＞0，x＞0）…（6分）△=a2﹣4b（i）当△＜0，即a2＜4b时，bx2﹣ax+1=0无实数根，此时w乙﹣w甲＞0，即w乙＞w甲；…（7分）（ii）当△=0，即a2=4b时，bx2﹣ax+1=0有两个相等正实根，①当x=时，w乙=w甲；…（8分）②当x＞0且x≠时，w乙＞w甲；…（9分）（iii）当△＞0，即a2＞4b时，bx2﹣ax+1=0有两个不相等正数根和，①当x∈（0，）∪（，+∞）时，w乙＞w甲；…（10分）②当x∈（，）时，w乙＜w甲；…（11分）③当x=或时，w乙=w甲…（12分）22．（12分）在圆O：x2+y2=4上任取一点P，过点P作y轴额垂线段PQ，Q为垂足．当P在圆上运动时，线段PQ中点G的轨迹为C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直线l与圆O交于M，N两点，与曲线C交于E，F两点，若|MN|=，试判断∠EOF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设G（x，y），P（x0，y0），所以Q（0，y0），…（1分）因为点G是线段PQ中点，所以x0=2x，y0=y，…..…..…（2分）又P（x0，y0）在圆O上，所以（2x）2+y2=4，即C的方程为：．…（4分）（Ⅱ）设点O到直线l的距离为d，则d===，…（5分）当直线l斜率不存在时，直线l方程：x=±，代入椭圆方程得：y=，不妨设E（），F（，﹣），此时∠EOF=90°，…（6分）当直线l斜率存在时，设直线l：y=kx+m，得kx﹣y+m=0，所以d==，所以5m2=4（k2+1），…（7分）由得：（4+k2）x2+2mkx+m2﹣4=0，…（8分）（k2+16）＞0，设E（x1，y1），F（x2，y2），所以，，=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2=（1+k2）+mk+m2=，…（11分）把5m2=4（k2+1）代入上式得：=0，所以OE⊥OF，即∠EOF=90°．综上所述∠EOF=90°为定值．…（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。