拉格朗日插值公式计算方法
拉格朗日插值法解题步骤
拉格朗日插值法解题步骤：
拉格朗日插值法是一种数学方法，用于通过已知的离散数据点来构造一个多项式，这个多项式可以用来估计或逼近其他未知的数据点。
以下是拉格朗日插值法的解题步骤：
1.确定已知数据点：首先，你需要有一组已知的数据点。
这些数据点是你用来进行插值的已知信息。
2.构造拉格朗日多项式：对于每一个数据点 (xi, yi)，构造一个拉格朗日基函数。
3. 计算拉格朗日多项式的值：将每个已知数据点的横坐标xi 代入拉格朗日多项式L(x)，得到对应的yi 值。
这样，你就可以得到一个新的数据点集，这些点的坐标是(xi, L(xi))。
4. 使用插值多项式进行预测：对于你想要预测的x 值，代入拉格朗日多项式L(x)，即可得到对应的y 值。
这就是拉格朗日插值法的基本步骤。
需要注意的是，这种方法只适用于已知的数据点是离散的情况。
如果数据点是连续变化的，你可能需要使用其他方法，如样条插值等。
拉格朗日多项式插值公式
拉格朗日多项式插值公式拉格朗日多项式插值公式，这可是数学里一个相当有趣的家伙！咱先来说说啥是拉格朗日多项式插值公式。
简单来讲，它就是在一堆给定的点之间，找到一个能把这些点都串起来的多项式函数。
就好像你有几个好朋友，他们的身高体重是已知的，然后通过这个公式就能找出一个规律，来预测没测量过的人的身高体重大概是多少。
比如说，有这么一组数据：（1，2），（2，4），（3，6）。
那拉格朗日多项式插值公式就能帮咱们找到一个函数，比如说 f(x) = 2x ，这个函数就能很好地通过这几个点。
那这公式咋来的呢？这可费了数学家们不少脑筋。
它可不是凭空就冒出来的，而是经过了无数次的思考和推导。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这玩意儿到底有啥用啊？”我当时就笑了，跟他们说：“同学们，假设你们去买水果，苹果的价格每天都不一样，咱们知道了前几天的价格，用这个公式就能大概算出明天的价格，是不是很神奇？”这时候，孩子们才似懂非懂地点点头。
在实际应用中，拉格朗日多项式插值公式用处可大了。
比如在工程领域，测量数据不连续的时候，就靠它来帮忙拟合出一个比较准确的函数；在经济学里，分析一些数据的趋势也能派上用场。
不过，学习这个公式可不是一件轻松的事儿。
它需要咱们对代数运算很熟练，还得有一定的逻辑思维能力。
有的同学一开始可能会觉得有点晕乎，但别着急，多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢就能掌握其中的窍门。
就像我之前教过的一个学生，刚开始怎么都搞不明白，作业错得一塌糊涂。
我就专门给他开小灶，一点点地讲解，带着他一步步推导。
后来啊，他终于开窍了，在考试中遇到相关的题目都能做对，那高兴劲儿，别提了！总之，拉格朗日多项式插值公式虽然有点复杂，但只要咱们用心去学，就能发现它的魅力所在。
说不定在未来的某一天，当你解决一个难题或者完成一个项目的时候，它就会成为你的得力助手呢！所以，同学们，加油吧，和这个有趣的公式交个朋友！。
拉格朗日多项式插值法
拉格朗日多项式插值法
拉格朗日多项式插值法是通过构造一个多项式函数来逼近原函
数的一种方法。
它的基本思想是，给定一个函数在不同点上的取值，通过构造一个多项式函数，使其在这些点上与原函数取值相同，从而得到一个逼近函数。
具体地，拉格朗日多项式插值法的步骤如下：
1. 给定一组数据点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$，其中$x_i$为自变量，$y_i$为因变量。
2. 构造拉格朗日基函数$L_i(x)$，定义为：
$$L_i(x)=prod_{j=1,j
eq i}^nfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
其中，$i=1,2,...,n$。
这里的基函数$L_i(x)$可以看作是在每个数据点处都为1，而在其他点处都为0的一个函数，具有良好的插值性质。
3. 构造拉格朗日插值多项式$p(x)$，定义为：
$$p(x)=sum_{i=1}^n y_iL_i(x)$$
这个多项式函数就是通过拉格朗日基函数和数据点的取值所构
造出来的逼近函数，它在每个数据点处都与原函数取值相同。
4. 利用插值多项式$p(x)$进行求解。
拉格朗日多项式插值法是一种简单而有效的插值方法，它可以用于求解函数值、导数、积分等问题，并被广泛应用于科学、工程等领域。
- 1 -。
拉格朗日 插值 区间误差限
拉格朗日插值区间误差限拉格朗日插值方法是一种常用的数值插值方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过构造一个多项式函数来拟合这些数据点，并在插值区间内求得未知值。
然而，由于插值方法的近似性质，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。
本文将介绍拉格朗日插值法以及其误差限的计算方法。
一、拉格朗日插值法简介拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，其基本思想是通过构造一个满足给定数据点的插值多项式来逼近真实的函数曲线。
具体而言，对于给定的n个数据点(xi, yi)，拉格朗日插值法的插值多项式可以表示为：P(x) = Σ[ yi * Li(x) ]，i=0 to n其中，Li(x)是拉格朗日基函数，定义为：Li(x) = Π[ (x - xj) / (xi - xj) ]，j=0 to n，i ≠ j这样，通过求解插值多项式P(x)，我们可以在插值区间内求得未知值。
二、插值误差限的计算尽管拉格朗日插值法可以通过构造插值多项式来逼近真实函数曲线，但由于插值方法本质上是一种近似方法，插值结果与真实值之间总会存在一定的误差。
我们可以通过计算插值误差限来评估插值的可靠性。
在拉格朗日插值法中，插值误差限可通过以下等式进行估计：| f(x) - P(x) | ≤ M / (n + 1)! * | x - x0 | * | x - x1 | * ... * | x - xn |其中，f(x)是真实函数的值，P(x)是插值多项式的值，M是插值区间上函数f(x)的最大导数的上界，n是插值多项式的次数。
三、拉格朗日插值法的应用示例为了更好地理解拉格朗日插值法及其误差限的计算方法，我们来看一个具体的示例。
假设我们要通过拉格朗日插值法来估计函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]内的某个未知值。
已知在该区间内取了n+1个等间距的数据点(xi, yi)，其中i=0, 1, 2, ..., n。
首先，我们可以根据已知数据点构造拉格朗日插值多项式P(x)，并计算出未知值的近似值。
几种插值法简介
举例来看：可以认为某水文要素T 随时间t 的变化是连续的，某一个测点的水文要素T 可以看作时间的函数T=f(t)，这样在实际水文观测中，对测得的（n+1）个有序值进行插值计算来获取任意时间上的要素值。
①平均值法：若求T i 和T i+1之间任一点T ，则直接取T 为T i 和T i+1的平均值。
插值公式为：T=T i +T i+12②拉格朗日（Lagrange ）插值法：若求T i 和T i+1之间任一点T ，则可用T i-1、T 1、T i+1三个点来求得，也可用T i 、T i+1、T i+2这三个点来求得。
前三点内插公式为：T=(t-t i )(t-t i+1)(t i-1-t i )(t i-1-t i+1) T i-1+(t-t i-1)(t-t i+1)(t-t i-1)(t-t i+1) T i +(t-t i )(t-t i-1)(t i+1-t i )(t i+1-t i-1) T i+1后三点内插公式为：T=(t-t i+1)(t-t i+2)(t i -t i+1)(t i -t i+2) T i +(t-t i )(t-t i+2)(ti-t i )(t i -t i+2) T i+1+(t-t i )(t-t i+1)(t i+2-t i )(t i+2-t i+1) T i+2为提高插值结果可靠性，可将前后3点内插值再进一步平均。
③阿基玛（Akima ）插值法：对函数T=f(t)的n+1个有序型值中任意两点T i 和T i+1满足：f(t i )=T i df dt |t-ti =k i f’(t i+1)=T’i df dt|t-ti+1=k i+1 式中k i ，k i+1为曲线f(t)在这两点的斜率，而每点的斜率和周围4个点有关，插值公式为：T=P 0+P 1(t-t i )+P 2(t-t i )2+P 3(t-t i )3，来对T i 和T i+1之间的一点T 进行内差。
数值积分的插值求积公式
数值积分的插值求积公式数值积分的插值求积公式是一种常见的数值计算方法，它通过建立一个插值多项式来逼近被积函数，在一定的积分区间内进行积分近似计算。
插值多项式通过给定的数据点来拟合函数曲线，从而实现对被积函数的逼近。
下面将介绍几种常用的数值积分的插值求积公式。
1. 拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式是最简单的插值方法之一，它通过已知的数据点构造一个一维Lagrange插值多项式，从而得到近似积分值。
对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + ... + yn * Ln(x)其中Li(x)是关于x的n次多项式，满足Li(xj) = δij，即在第i 个点处取值为1，其它点处取值为0。
对于有限积分问题，可以通过计算插值多项式的积分来近似求解。
2. 牛顿插值公式牛顿插值公式是一种高效的插值方法，其基本思想是通过差商来递推计算插值多项式。
对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1,y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值多项式N(x)可以表示为：N(x) = y0 + (x - x0) * f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1) * f[x0, x1, x2] + ... + (x - x0)(x - x1)...(x - xn-1) * f[x0, x1, ..., xn]其中f[xi, xj, ..., xk]表示差商的计算，它可以递归地定义为：f[xi, xj] = (f[xj] - f[xi]) / (xj - xi)f[xi, xj, ..., xk] = (f[xj, ..., xk] - f[xi, ..., xj-1]) / (xk - xi)通过计算牛顿插值多项式的积分，可以得到数值积分的近似解。
3. 辛普森插值公式辛普森插值公式是一种基于二次多项式拟合的插值方法，在区间[a, b]上将被积函数近似表示为三个节点上的二次多项式。
插值法的计算公式
插值法的计算公式
插值法是一种常用的数值计算方法，可以用来估计一个函数在某些未知点的函数值。
在插值法中，我们需要知道函数在一些已知点上的值，然后根据这些值来求解函数在其他点上的值。
以下是插值法的计算公式：
1. 拉格朗日插值法
对于给定的函数f(x)，已知n个插值点(x1,y1)，(x2,y2)，...，(xn,yn)，可以通过拉格朗日插值法来求解f(x)在任意点x处的函数值。
拉格朗日插值公式：
f(x) = Σ(i=1 to n) yi*li(x)
其中，li(x)表示拉格朗日插值基函数，计算公式为：
li(x) = Π(j=1 to n, j≠i) (x-xj)/(xi-xj)
2. 牛顿插值法
牛顿插值法是一种递推算法，可以通过已知的插值点(x0,y0)，(x1,y1)，...，(xn,yn)来求解f(x)在任意点x处的函数值。
牛顿插值公式：
f(x) = y0 + Σ(i=1 to n) [Π(j=0 to i-1) (x-xj)/(xi-xj)] * Δi
其中，Δi表示牛顿前向差商，计算公式为：
Δ0y0 = y0
Δi yi = (Δi-1 yi+1 - Δi-1 yi) / (xi+i - xi)
以上是插值法的计算公式，可以根据具体的问题选择合适的插值方法来进行求解。
二次拉格朗日插值公式
二次拉格朗日插值公式\[ P(x) = f(x_0)\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + f(x_1)\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} +f(x_2)\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)} \]其中，\(P(x)\)表示通过插值得到的二次函数的值，\(f(x_i)\)表示已知数据点处的函数值，\(x_i\)表示已知数据点的横坐标，\(x\)表示要求解的点的横坐标。
下面我们来详细解释一下二次拉格朗日插值公式的原理和推导过程。
\[P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)+b(x-x_0)(x-x_2)+c(x-x_0)(x-x_1)\]其中，\(a,b,c\)是待定系数。
我们要按照已知数据点的函数值来确定这些系数。
首先，我们将\(P(x)\)代入上面的公式中，得到：\[P(x_0)=a(x_0-x_1)(x_0-x_2)+b(x_0-x_0)(x_0-x_2)+c(x_0-x_0)(x_0-x_1)\]\[P(x_1)=a(x_1-x_1)(x_1-x_2)+b(x_1-x_0)(x_1-x_2)+c(x_1-x_0)(x_1-x_1)\]\[P(x_2)=a(x_2-x_1)(x_2-x_2)+b(x_2-x_0)(x_2-x_2)+c(x_2-x_0)(x_2-x_1)\]化简上述方程组，继续得到：\[P(x_0)=a(x_0-x_1)(x_0-x_2)\]\[P(x_1)=c(x_1-x_0)(x_1-x_1)\]\[P(x_2)=b(x_2-x_0)(x_2-x_2)\]由于\((x_0-x_1),(x_0-x_2),(x_1-x_0),(x_1-x_2),(x_2-x_0),(x_2-x_1)\)这些差值均不等于零，所以我们可以通过上面的方程组解出\(a,b,c\)的值。
拉格朗日(Lagrange)插值
li ( x) = Ci ( x x0 )...(x xi )...(x xn ) = Ci ( x x j ) ji j =0 1 li ( xi ) = 1 Ci = j i ( xi xj )
l ( x) y
i =0 i
1
i
l0(x)
l1(x)
称为拉格朗日插值基函数 ， 满足条件 li(xj)=ij /* Kronecker Delta */
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
Pn ( x ) =
l (x) y
i=0 i
n
i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
§4.2 拉格朗日(Lagrange)插值
n 求 n 次多项式 Pn ( x) = a0 a1 x an x 使得
Pn ( x i ) = y i ,
i = 0 , ... , n
条件：无重合节点，即 i j
xi x j
一. 插值多项式的存在唯一性 定理4.2.1 : 在 n 1 个互异节点 xk 处满足插值条件 Pn ( xk ) = yk
n
f
( n 1)
( n 1 ) ( x0 ) = = ( xn ) = 0( n 1 ) ( x ) Ln ( x ) K ( x )( n 1) ! = Rn ( x ) K ( x ) ( n 1) ! ( n) 存在 (a, b) 使得 ( ) = 0 ( n 1 ) n ( n 1 ) f ( ) x f ( x) Rn ( x ) = ( x xi ) = K ( x) (n 1) ! i =0 ( n 1) !
重心拉格朗日插值法
重心拉格朗日插值法
重心拉格朗日插值法（Centroid Lagrange interpolation）是一种用于插值的数值方法，它使用了基于重心的拉格朗日插值多项式。
该方法是一种高效而准确的插值方法，常用于数值分析、信号处理和图像处理等领域。
重心拉格朗日插值法的基本思想是通过将插值点的函数值转化为重心的函数值，从而简化拉格朗日插值多项式的计算。
假设给定的插值点为 (x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中 x0, x1, ..., xn 两两不相等，那么重心插值多项式可以表示为：
L(x) = (w0 * y0) / (x - x0) + (w1 * y1) / (x - x1) + ... + (wn * yn) / (x - xn)
其中，wi 是重心的权重，可以通过以下公式计算：
wi = 1 / [(x0 - xi)(x1 - xi)...(xi-1 - xi)(xi+1 - xi)...(xn - xi)]
通过计算重心拉格朗日插值多项式，可以得到在给定插值点上的函数值。
它具有插值精度高、计算速度快等优点，并且可以适用于任意次数的插值。
然而，重心拉格朗日插值法在插值区间边界存在振荡现象，因此在实际应用中需要根据具体情况进行调整。
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值p结n (x果) y.图n y1k-lk3(是xi )拉y格i 朗日方法的 算法图框k .0
即pn(x)满足插值条件（2）.
2011-6-1
考试答卷
y1 x1
y0 x0
x
x0
11, 求y
115 (3)
解：这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11.令
x=115代入（3）,求得y=10.71428，这个结果有3
位有效数字（试与例1的结果相比较）.
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考试答卷
1
我们知道，线性公式（3）亦可表示为下列对称式
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x2 x1 )
, l2 (x)
(x ( x2
x0 )( x x1 ) x0 )( x2 x1 )
基这函样数构造出的l0(x),l1(x)和l2(x)称作问题4的插值 函设数取l已0(x知),l数1(x据),ly20(,xy)1组,y合2作得为：组合系数，将插值基
9
开始
输入x (xi ,yi ) , i=0,1,2,…,n
0→y 0→k
1→t
x xj t xkxj
t
j 0 ,,k 1 ,k 1 ,,n
y + t·yk →y
≠
K=n?
= 输出y
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结考束试答卷
k+1→k
图1-3
10
精品课件！
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考试答卷
11
精品课件！
7
3.一般情况
进一步求解一般形式的问题2.仿照线性 插值和抛物插值所采用的方法，仍从构 造所谓插值基函数入手.这里的插值基函 数lk(x)=0,1,2,…,n)是n次多项式，且满 足条件
lk
(xj
)
kj
0, j k 1, j k
(9)
这表明除xk以外的所有节点都是lk(x)的零
1、线性插值
首先考察线性插值的简单情形。
问题3 求作一次式p1(x)，使满足条件：
p1(x0)=y0,p1(x1)=y1 从几何图形上看，y=p1(x)表示 通过两点(x0,y0),(x1,y1)的直线。因此，一次插值亦 称线性插值。
上述简单的线性插值是人们所熟悉的，它的解p1(x)
可表为下列点斜式 p1(x) y0 例2 已知 100 10, 121
点故
n
lk (x) c ( x x j )
j 0
jk
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考试答卷
8
n
这里∏的含义是累乘， j0 表示乘积遍取下标j jk
从0到除式k（以外10的）全称部作值拉. 格朗日插值公式. 利用该插公值式基的函形数式容易对得称出，问结题构2的紧解凑，
pn (x) k因式n0 y（而kl1容k (0x易）) 编的kn写0逻(计jj辑n0k 算结xxk程构xx序上jj ).表事yk 现实为上(1二，0)
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考试答卷
4
为了得出插值公式p2(x),先解决一个特殊的二次插值问题： 求作二次式l0(x)，使满足条件
l0(x)=1 , l0(x1)=l0(x2)=0
（7）
这个问题是容易求解的，事实上，由式（7）的后两个条
件知，x1,x2是l0(x)的两个零点，因而
l0(x)=c(x-x1)(x-x2) 再利用式（7）剩下的一个条件
l0(x0)=1确定系数c，结果得出
l0 ( x)
(x ( x0
x0 )( x x2 ) x1 )( x0 x2 )
类似的可以构造出满足条件：
l1(x1)=1,l1(x0)=l1(x2)=0
2011-6-1 l2(x2)=1,l2(x0)=l2(x1)考=试0答。卷
5
的插值多项式l1(x)与l2(x),其表达式分别为：
若令：
p1 ( x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
l0 ( x)
x x1 x0 x1
, l1 ( x)
（4）
x x0 x1 x0
则有： p1(x)=y0l0(x)+y1l1(x)
（5）
注意，这里的l0(x)和l1(x)分别可以看做是满足条件
p2
(
x)
(x (x0
x1 x1
)(x x2) )(x0 x2)
y0
(x (x1
x0 x0
)(x x ) 2
)(x1 x2)
y1
(
(x x2
x0 x0
)(x x1) )(x2 x1)
y2
(8)
容而易他看就出是这问样题构4的造解出的p2(x)满足条件（6）。因
l0(x0)=1 , l0(x1)=0
l1(x1)=1 , l1(x0)=0 的插值多项式.这两个特殊的插值多项式称作问题3的插值基函 数 （参考图1-1、1-2）.
式（5）表明，插值问题3的解p1(x)可以通过插值基函数l0(x)和 l1(x)组合得出，且组合系数恰为所给数据y0,y1.
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2011-6-1
考试答卷
6
例3 利用100,121和144的开方值
求
115
解：用抛物插值，这里
x0=100,y0=10,x1=121,y1=11,x2=1
44,y2=12.令x=115代人式（8），
求得
115
近似值为10.7228.同精确值比较， 这里得到有4位有效数字的结果。
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考试答卷
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考试答卷
12
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考试答卷
13
考试答卷
பைடு நூலகம்
2
y
1
l0(x)
1 l1(x)
0 x0
x1
x
0 x0
x1
图 1-1
图 1-2
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考试答卷
3
2、抛物插值
线性插值仅仅利用两个节点上的信息，精 确度自然很低，为了提高精确度，进一步 考察下述二次插值。
问题4 求作二次式p2(x),使满足条件
p2(x0)=y0, p2(x1)=y1, p2(x2)=y2 (6) 二次插值的几何解释是，用通过三点 (似x0所,y0考),(察x1的,y1曲),(线x2y,y=2f)(的x),抛因物此线这y类=p插2(值x)亦来称近 为抛物插值。