重庆南开中学2021年3月份高一数学试卷与答案
2020-2021学年重庆市南开中学高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年重庆市南开中学高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.设函数y =√x −1的定义域为M ，集合N ={y|y =x 2,x ∈R}，则M ∩N =( )A. ⌀B. NC. (1,+∞)D. M2.已知命题p ：14≤2x ≤12，命题q ：x +1x ∈[−52,−2]，则下列说法正确的是( )A. p 是q 的充要条件B. p 是q 的充分不必要条件C. p 是q 的必要不充分条件D. p 是q 的既不充分也不必要条件3.设f 0(x)=|x|−10，f n (x)=|f n−1(x)|−1(n ∈N ∗)，则函数y =f 20(x)的零点个数为( )A. 19B. 20C. 31D. 224.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A. 120B. 150C. 180D. 2405.设，，，则的大小关系是( )A.B. C.D.6.已知函数f(x)=sin(2x +φ)(ω>0,|φ|<π2)，将函数y =f(x)的图象向左平移3π8个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y =f(x)的图象( )A. 关于直线x =π8对称 B. 关于点(π8,0)对称 C. 关于直线x =−π16对称D. 关于点(−π16,0)对称7.已知f(x)=ax 3+bx 2+cx 是定义在[a −1,2a]上的奇函数，则a +b =( )A. −13B. 13C. 12D. −128.下列命题正确的是( )A. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则a >b 是cosA <cosB 的充要条件B. 已知p ：1x+1>0，则¬p ：1x+1≤0C. 命题p ：对任意的x ∈R ，x 2+x +1>0，则¬p ：对任意的x ∈R ，x 2+x +1≤0D. 存在实数x ∈R ，使sinx +cosx =π2成立二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=x a图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有()A. f(x)为偶函数B. f(x)为增函数C. 若x>1，则f(x)>1D. 若x1>x2>0，则f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)210.函数f(x)=log a|x−1|在(0,1)上是减函数，那么()A. f(x)在(1,+∞)上递增且无最大值B. f(x)在(1,+∞)上递减且无最小值C. f(x)的图象关于直线x=1对称D. ∃a=2020，满足f(x)在(0,1)上是减函数11.设函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)，已知f(x)在[0,π]有且仅有3个零点，对于下列4个说法正确的是()A. 在(0,π)上存在x1，x2，满足f(x1)−f(x2)=2B. f(x)在(0,π)有且仅有1个最大值点C. f(x)在(0,π2)单调递增D. ω的取值范围是[136,19 6)12.关于函数f(x)=|ln|2−x||，下列描述正确的有()A. 函数f(x)在区间(1,2)上单调递增B. 函数f(x)的图象关于直线x=2对称C. 若x1≠x2，但f(x1)=f(x2)，则x1+x2=4D. 方程f(x)=0有且仅有两个不同的实数根三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.幂函数f(x)图象过点A(2,√2)，则f(4)的值为______ ．14.设x，y∈R+，且满足4x+y=40，则lgx+lgy的最大值是______ ．15.若x=π6是函数f(x)=3sin2x+acos2x的一条对称轴，则函数f(x)的最大值是______．16.若对任意的x∈[1,4]，关于x的不等式|x2−ax+4|≤2x恒成立，则实数a的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34，x∈R．(1)设α,β∈[0,π2]，f(α2+π12)=526,f(β2−5π12)=−310，求sin(α−β)的值．(2)△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列；且a+c=6，f(B2)=√34，求△ABC的面积．18.2016年，某厂计划生产某种产品，已知生产该产品的总成本y(万元)与总产量x(吨)之间的关系可表示为y=x210−2x+90．(1)当x=40时，求该产品每吨的生产成本；(2)若该产品每吨的出厂价为6万元，求该厂2016年获得利润的最大值．19.计算：(1)12lg2+√(lg√2)2−lg2+1−3√a9⋅√a−3÷3√a13√a7，其中a>0(2)sin420°cos750°+sin(−690°)cos(−660°)20.计算或解答(12分)(1)计算：(2)求的值域21. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象的一部分如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈(π3,5π6)时，求函数f(x)的值域．22. 已知函数f(x)={−x 3+x2(x>1)alnx(x≤1)．(1)求f(x)在[−1,e](e为自然对数的底数)上的最大值；(2)对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？参考答案及解析1.答案：D解析：本题考查集合的交集的运算，注意运用函数的定义域的求法和值域的求法，考查运算能力，属于基础题．运用函数的定义域的求法和值域的求法，化简集合M，N，再由交集的定义即可得到所求集合．解：函数y=√x−1的定义域为M，可得M={x|x−1≥0}={x|x≥1}，集合N={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0}，则M∩N=[1,+∞)=M，故选D．2.答案：B解析：解：∵命题p：14≤2 x≤12，∴命题P：−2≤x≤−1，∵命题q：x+1x ∈[−52,−2]，∴−2≤x≤−12，∴p是q的充分不必要条件，故选B．由题设知：命题p：−2≤x≤−1，命题q：−2≤x≤−12，由此得到p是q的充分不必要条件，本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：C解析：解：依题意，令f0(x)=0，则|x|−10=0，∴x有2个解±10；当f1(x)=0时，即|f0(x)|−1=0，∴|x|−10=±1，即x有4个解：±9、±11；当f2(x)=0时，即|f1(x)|−1=0，∴|f0(x)|−1=±1，即|x|−10=0、±2，∴x有6个解：±8、±10、±12；…当f9(x)=0时，x有20个解：±1、±3、±5、±7、±9、±11、±13、±15、±17、±19；当f10(x)=0时，x有21个解：0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20；当f11(x)=0时，x有22个解：±1、±3、±5、±7、±9、±11、±13、±15、±17、±19、±21；当f12(x)=0时，x有23个解：0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20、±22；∴当0≤n≤9时，y=f n(x)=0时的解的个数为2(n+1)=2n+2个，当n≥10时，y=f n(x)=0时的解的个数为21+(n−10)=11+n个，∴函数y=f20(x)的零点个数为11+20=31个．附：y=f20(x)=0，即f20(x)=|f19(x)|−1=0，即f19(x)=|f18(x)|−1=±1，即f18(x)=|f17(x)|−1=0、2，即f17(x)=|f16(x)|−1=±1、3，即f16(x)=|f15(x)|−1=0、2、4，即f15(x)=|f14(x)|−1=±1、3、5，即f14(x)=|f13(x)|−1=0、2、4、6，即f13(x)=|f12(x)|−1=±1、3、5、7，即f12(x)=|f11(x)|−1=0、2、4、6、8，即f11(x)=|f10(x)|−1=±1、3、5、7、9，即f10(x)=|f9(x)|−1=0、2、4、6、8、10，即f9(x)=|f8(x)|−1=±1、3、5、7、9、11，即f8(x)=|f7(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12，即f7(x)=|f6(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13，即f6(x)=|f5(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12、14，即f5(x)=|f4(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13、15，即f4(x)=|f3(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12、14、16，即f3(x)=|f2(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13、15、17，即f2(x)=|f1(x)|−1=0、2、4、6、8、10、12、14、16、18，即f1(x)=|f0(x)|−1=±1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，即f0(x)=|x|−10=0、±2、±4、±6、±8、±10、12、14、16、18、20，解得：x =0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20、±22、±24、±26、±28、±30，∴函数y =f 20(x)的零点个数为31个， 故选：C ．令f n (x)=|f n−1(x)|−1=0，则|f n−1(x)|=1，问题转化为方程|f n−1(x)|=1的根的个数，找出规律：当0≤n ≤9时y =f n (x)=0时的解的个数为2(n +1)=2n +2个、当n ≥10时y =f n (x)=0时的解的个数为21+(n −10)=11+n 个，进而可得结论．本题考查求函数零点的个数，注意条件中的递推关系，属于中档题．4.答案：C解析：解析：本题考查圆锥的表面积，侧面展开图，扇形面积即平面几何知识． 设圆锥底面半径为母线长为侧面展开图扇形的圆心角为；根据条件得，即根据扇形面积公式得故选C5.答案：D解析：试题分析：由对数函数的性质知：，所以答案选．考点：1.指数大小比较；2.对数函数的性质．6.答案：B解析：解：函数f(x)=sin(2x +φ)(ω>0,|φ|<π2)，将函数y =f(x)的图象向左平移3π8个单位后，得到g(x)=sin(2x +3π4+φ)的图象，由于函数g(x)的图象关于y 轴对称，且|φ|<π2)， 所以φ=−π4． 故f(x)=sin(2x −π4).当x =π8时，f(π8)=0，故A 错误，B 正确； 当x =−π16时，f(−π16)=sin(−3π8)≠1，故C 、D 错误．故选：B ．直接利用函数的平移变换求出函数f(x)的关系式，进一步利用函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题，7.答案：B解析：根据奇函数的定义域关于原点对称，可求出a值，进而根据奇函数满足f(−x)=−f(x)，可求出b值，进而得到答案．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中熟练掌握奇函数的定义域关于原点对称，满足f(−x)=−f(x)，是解答的关键．解：∵奇函数f(x)=ax3+bx2+cx的定义域[a−1,2a]关于原点对称，故a−1+2a=0，，解得：a=13又∵奇函数满足f(−x)=−f(x)，即−ax3+bx2−cx=−(ax3+bx2+cx)=−ax3−bx2−cx，∴b=0，∴a+b=1，3故选：B8.答案：A解析：本题考查充要条件的性质和应用，解题时要注意余弦函数单调性的合理运用，全称命题与特称命题的相互转化．要注意两点：1)全称命题变为特称命题；2)只对结论进行否定．选项A因为A、B是三角形的内角，所以A、B∈(0,π)，在(0,π)上，y=cosx是减函数．由此知△ABC 中，“A>B”⇔“cosA<cosB”，即可得答案；选项B，根据命题的否定求解可知不正确；选项C，根据命题“对任意的x∈R，x2+x+1>0”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．>√2，从而可得结论．选项D，sinx+cosx的最大值为√2，而π2解：对于A，在△ABC中，a>b⇔A>B⇔cosA<cosB，可得a>b是cosA<cosB的充要条件，A正确．对于B，p：x>−1，则¬p：x≤−1，而11+x≤0的解集是x<−1，B不正确；对于C，命题p：对任意的x∈R，x2+x+1>0，则¬p：存在x∈R，x2+x+1≤0，C不正确；对于D，sinx+cosx=√2sin(x+45°)最大值为√2，∵π2>√2，∴D不正确．故选：A．9.答案：BCD解析：本题考查幂函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的性质，属于中档题．根据题意，将(9,3)代入函数的解析式，求出a的值，即可得函数的解析式，由此依次分析选项，即可得答案．解：根据题意，函数f(x)=x a图象经过点(9,3)，则3=9a，则a=12，则f(x)=x12=√x，据此分析选项：对于A，f(x)是非奇非偶函数，A错误，对于B，f(x)是增函数，B正确，对于C，若x>1，必有f(x)=√x>1，C正确，对于D，f(x)=√x，若x1>x2>0，f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2，等价于√x1+x22>√x1+√x22，等价于x1+x22>x1+x2+2√x1x24，等价于x1+x2>2√x1x2，成立，D正确．故选：BCD．10.答案：ACD解析：解：∵函数f(x)=log a|x−1|在(0,1)上是减函数，∴f(x)=log a(1−x)在(0,1)上是减函数，而y=1−x是减函数，则a>1，∴当x∈(1,+∞)时，f(x)=log a|x−1|=log a(x−1)，y=x−1是增函数，而a>1，则f(x)在(1,+∞)上单调递增，且无最大值，故A正确，B错误，f(2−x)=log a |2−x −1|=log a |x −1|=f(x)， ∴f(x)的图象关于直线x =1对称，故C 正确；由a >1可知，∃a =2020，满足f(x)在(0,1)上是减函数，故D 正确． 故选：ACD ．先根据函数f(x)=log a |x −1|在(0,1)上是减函数，求出a 的范围，然后根据复合函数的单调性可知f(x)在(1,+∞)上的单调性和最值，从而判断选项A ，B ；计算f(2−x)=f(x)即可判断选项C ；由a 的取值范围即可判断选项D ．本题主要考查对数函数图象与性质，考查复合函数的单调性，属于中档题．11.答案：AD解析：解：画出大致图象如下图，当x =0时y =sin(−π6)=−12而ω>0， 所以x >0时小区间递增， 函数在[0,π]仅有3个零点时，则π的位置在C ～D 之间(包括C ，不包括D)， 令f(x)=sin(ωx −π6)=0，则ωx −π6=kπ得，x =(π6+kπ)⋅1ω (k ∈z)，y 轴右侧第一个点横坐标为π6ω，周期T =2πω，所以π6ω+T ≤π<π6ω+32T ⇒π6ω+2πω≤π<π6ω+32⋅2πω⇒136≤ω<196，所以D 正确．在[0,π]区间上，函数达到最大值和最小值，所以存在x 1，x 2，满足f(x 1)−f(x 2)=2，所以A 正确， 由大致图象得，可能有两个最大值，B 不一定正确； 因为ω最小值为136，所以0<x <π2时，−π6<ωx −π6<11π12∉(−π2,π2)，所以x ∈(0,π2)，函数f(x)不单调递增， 所以C 不正确． 故选：AD ．T+|OA|]，再由题意根据在区间[0,π]有3个零点画出大致图象，可得区间长度π介于周期[T+|OA|,32用ω表示周期，得ω的范围．本题考查三角函数图象及周期的计算，由有且仅有3个零点来得区间长度π的大致位置，进而解ω的)单调性．此题属于中难档题．范围，再判断区间(0,π212.答案：ABD解析：解：根据函数f(x)=|ln|2−x||，画出图象得：根据函数的图象，对于A：函数的单调递增区间为(1,2)和(3,+∞)，故A正确；对于B：函数的图象关于x=2对称，故B正确；对于C：当y=m(m>0)，函数的图象有四个交点，满足x1+x2+x3+x4=4，但是x1+x2=4不一定存在，故C错误；对于D：根据函数的图象，方程f(x)=0有且仅有两个不同的实数根，即x=1或3，故D正确．故选：ABD．直接利用函数的图象和函数的性质，单调性，对称性和函数的零点和方程的根的应用判定A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函授的单调性函数的图象和零点及方程的根，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．13.答案：2解析：解：设幂函数f(x)=x a∵f(x)的图象过点(2,√2)∴2a=√2=212∴a=12∴f(x)=x12∴f(4)=412=2故答案为：2先由已知条件求幂函数的解析式，再求f(4)本题考查求幂函数的解析式和函数值，要注意根式与指数幂的互化．属简单题14.答案：2解析：解：4x⋅y≤(4x+y2)2=400当且仅当4x=y=20时取“=”∴xy≤100，∴lgx+lgy=lgxy≤lg100=2．故答案为：2利用对数的运算法则转化成真数为乘积形式，然后利用基本不等式求最值即可．本题主要主要考查了对数的运算法则，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．．15.答案：2√213解析：解：∵f(x)=3sin2x+acos2x=√9+a2sin(2x+θ)(其中tanθ=a3)，又x=π6是函数的一条对称轴，∴2×π6+θ=π2+kπ，即θ=π6+kπ，k∈Z．由a=3tanθ=3tan(π6+kπ)=tanπ6=√33，得√9+a2=√9+13=2√213．∴函数f(x)的最大值是2√213．故答案为：2√213．根据条件化简f(x)，然后由已知求出θ得到a值，则函数的最值可求．本题考查三角函数值的恒等变换应用，正弦型函数的图象和性质，是中档题．16.答案：[3,6]解析：本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了构造法与转化思想及函数思想，是中档题．去掉绝对值，不等式化为x +4x −2≤a ≤x +4x +2；设f(x)=x +4x −2，x ∈[1,4]，求出f(x)的最大值；设g(x)=x +4x +2，x ∈[1,4]，求出g(x)的最小值；从而得出实数a 的取值范围．解：不等式|x 2−ax +4|≤2x 化为−2x ≤x 2−ax +4≤2x ，即−x 2−2x −4≤−ax ≤−x 2+2x −4；由x ∈[1,4]，知−x <0，所以x +4x −2≤a ≤x +4x +2；设f(x)=x +4x −2，x ∈[1,4]，则f(x)的最大值为f(4)=4+1−2=3；设g(x)=x +4x +2，x ∈[1,4]，则g(x)的最小值为g(2)=2+2+2=6；所以实数a 的取值范围是3≤a ≤6．故答案为：[3,6]．17.答案：解：(1)f(x)=sinx(12cosx −√32sinx)+√34=14sin2x −√32⋅1−cos2x 2+√34=12sin(2x +π3)， ∴f(α2+π12)=12sin(α+π2)=12sinα=526， 即sinα=513；f(β2−5π12)=12sin(β−π2)=−12cosβ=−310，即sinβ=35，∵α，β∈[0,π2]，∴cosα=1213，cosβ=45，则sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=1665；(2)∵f(B 2)=12sin(B +π3)=√34，即sin(B +π3)=√32， ∴B +π3=2π3，即B =π3，又a、b、c成等比数列，∴b2=ac，由余弦定理知12=a2+c2−b22ac=(a+c)2−3ac2ac=36−3ac2ac，即ac=9，则△ABC的面积S=12acsinB=9√34．解析：(1)f(x)解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，确定出sinα与sinβ的值，进而求出cosα与cosβ的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；(2)由f(B2)=√34求出B的度数，由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质得到b2=ac，利用余弦定理列出关系式，将cosB以及b2=ac代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，等比数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18.答案：解：(1)该产品每吨的生产成本yx =x10+90x−2，当x=40时，yx =4010+9040−2=4.25万元；(2)L=6x−(x210−2x+90)=−0.1(x−40)2+70，∴x=40万元时，最大利润为70万元．解析：(1)该产品每吨的生产成本yx =x10+90x−2，x=40代入，即可求该产品每吨的生产成本；(2)利润是销售额减成本，利用配方法，即可求该厂2016年获得利润的最大值．本题考查了利润函数模型的应用，考查学生的计算能力，正确建立函数关系式是关键．19.答案：解：(1)原式=lg√2+√(lg√2−1)2−3a92a−32÷3a132a−72=lg√2+1−lg√2−√a33÷√a33=1−1=0．(2)sin420°cos750°+sin(−690°)cos(−660°)=sin60°⋅cos30°+sin30°cos60°=√32⋅√32+12⋅12=1．解析：(1)利用对数、分数指数幂的运算性质，化简所给的式子，可得结果．(2)由题意利用诱导公式求得所给式子的值．本题主要考查对数、分数指数幂的运算性质，诱导公式的应用，属于基础题．20.答案：(1)；(2)(−1,1)．解析：解：(1)原式=；(2)由， 得，解得−1<y <1． 故 的值域为(−1,1)．21.答案：解：(1)根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象的一部分，可得A =2， 再根据34⋅2πω=5π12−(−π3)，∴ω=2． 结合五点法作图可得2×5π12+φ=π2，∴φ=−π3，故f(x)=2sin(2x −π3).(2)当x ∈(π3,5π6)时，2x −π3∈(π3,4π3)，sin(2x −π3)∈(−√32,1]，f(x)=2sin(2x −π3)∈(−√3,2]， 即f(x)的值域为(−√3,2]．解析：(1)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．(2)由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．22.答案：解：(Ⅰ)因为f(x)=f(x)={x 3+x 2(x <1)alnx(x ≤1)1当−1≤x <1时，f′(x)=−x(3x −2)，解f′(x)>0得0<x <23：解f′(x)<0得−1<x <0或23<x <1∴f(x)在(−1,0)和(23,1)上单减，在(0,23)上单增，从而f(x)在x =23处取得极大值f 23)=427又∵f(−1)=2，f(1)=0，∴f(x)在[−1,1)上的最大值为2．当1≤x ≤e 时，f(x)=alnx ，当a ≤0时，f(x)≤0；当a >0时，f(x)在[1,e]单调递增；∴f(x)在[1,e]上的最大值为a ．∴当a ≥2时，f(x)在[−1,e]上的最大值为a ；当a <2时，f(x)在[−1,e]上的最大值为2．(Ⅱ)假设曲线y =f(x)上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧，不妨设P(t,f(t))(t >0)，则Q(−t,t 3+t 2)，且t ≠1∵△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即−t 2+f(t)(t 3+t 2)=0(∗) 是否存在P ，Q 等价于方程(∗)是否有解．①若0<t <1，则f(x)=−t 3+t 2，代入方程(∗)得：−t 2+(−t 3+t 2)(t 3+t 2)=0， 即：t 4−t 2+1=0，而此方程无实数解，②当t >1时，∴f(t)=alnt ，代入方程(∗)得：−t 2+alnt ⋅(t 3+t 2)=0，即：1a =(t +1)lnt设ℎ(x)=(x +1)lnx(x ≥1)，则ℎ′(x)=lnx +1x +1>0在[1,+∞)恒成立．∴ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，从而ℎ(x)≥ℎ(1)=0，则ℎ(x)的值域为[0,+∞)．∴当a >0时，方1a =(t +1)lnt 有解，即方程(∗)有解．∴对任意给定的正实数a ，曲线y =f(x)上总存在两点P ，Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．解析：(I)由f(x)={−x 3+x 2,x <1alnx,x ≥1知，当−1≤x <1时，f′(x)=−3x 2+2x =−3x(x −23)，令f′(x)=0得x =0或x =23，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况列表知f(x)在[−1,1)上的最大值为2.当1≤x≤2时，f(x)=alnx.当a≤0时，f(x)≤0，f(x)最大值为0；当a>0时，f(x)在[1,e]上单调递增．当a≤2时，f(x)在区间[−1,e]上的最大值为2；当a>2时，f(x)在区间[−1,e]上的最大值为a．(II)假设曲线y=f(x)上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P(t,f(t))(t>0)，则Q(−t,t3+t2)，显然t≠1.由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．本题考查导数的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．解答关键是利用导数求闭区间上函数的最值．。
重庆市2021届高三下学期3月联考数学试题(3.18) (含答案)
重庆市2021届高三下学期3月联考数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2450|17R A x x B x x x A B =<<=--≤⋂=，，（）（ ） A ．57（，） B ．15（，） C ．11-（，） D ．1157-⋃（，）（，） 2．已知复数24,aibi a b R i+=-∈,，则a b +=（ ） A ．2 B ．2- C ．4 D ．6 3．已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则2221sin sin cos 2ααα--=（ ）A ．513 B ．513- C ．513- D ．113 4．函数()cos 1xf x x =-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．构建德智体美劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向．某中学积极响应党的号召，开展各项有益于德智体美劳全面发展的活动．如图所示的是该校高三（1）、（2）班两个班级在某次活动中的德智体美劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）．下列说法正确的是（ ）A ．高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B ．除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C ．高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高D ．各项评价得分中，这两班的体育得分相差最大6．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，P 为C 在第一象限上一点，若PF 的中点到y 轴的距离为3，则直线PF 的斜率为（ ）A B ． C ．2 D ．47．设12,F F 是双曲线22:148x y C -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 的左支上，且11OF OP F P OP OPOP⋅⋅+=12PF E 的面积为（ ）A ．8B ．C ．4D ．8．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于 《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为（ ）A ．960B ．1024C ．1296D ．2021二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．函数()2cos 2sin 1f x x x x =-+的图象向右平移24π个单位长度后得到函数()g x 的图象，对于函数()g x ，下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 的图象关于直线524x π=对称 C ．()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．()g x 的图象关于点13,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 10．攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30︒，若取30θ=︒红米，则（ ）A ．正四棱锥的底面边长为6米B ．正四棱锥的底面边长为3米C ．正四棱锥的侧面积为D ．正四棱锥的侧面积为11．新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容（ ）A ．可能是家常菜青椒土豆丝B ．可能是川菜干烧大虾C ．可能是烹制西式点心D ．可能是烹制中式面食12．已知函数()22,21ln 1,1x x f x x x e+-≤≤⎧=⎨-<≤⎩,若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解1212x x x x <，（），则()()212x x f x -的取值可能是（ ）A ．3-B ．1-C ．0D ．2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．已知平面向量34a =（，），非零向量b 满足b a ⊥，则b =_____．（答案不唯一，写出满足条件的一个向量坐标即可）14．已知0044a b a b >>+=，，，则49a b+的最小值为_______． 15．已知函数()2ln f x ax x =+满足()()0112lim23x f f x x →--=，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为__________．16．在正四棱锥P ABCD -=，若四棱锥P ABCD -的体积为2563，则该四棱锥外接球的体积为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为4，其前n 项和为n S ，且22a 为23S S ，的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设14n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（12分）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=． （1）求tan tan AB的值； （2）若点D 为边AB 的中点，105AB CD ==，，求BC 的值． 19．（12分）为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图．（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；（2）规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X ，求X 的数学期望．20．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点．（1）证明：1//AB 平面1BC D ．（2）若12AA AB =，求二面角11B AC C --的余弦值．21．（12分）已知椭圆2222:10x y C a b a b +=>>（）的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2,且点⎝⎭在C 上． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过2F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若11103AF BF ⋅=，求AB ． 22．（12分）已知函数()()xf x x m e =+．（1）若()f x 在(],1-∞上是减函数，求实数m 的取值范围；（2）当0m =时，若对任意的()()()0,,ln 2x nx nx f x ∈+∞≤恒成立，求实数n 的取值范围．高三数学试卷参考答案1．A 【解析】本题考查集合的运算，考查运算求解能力． 因为{}1|5B x x =-≤≤，所以{}57R A B x x ⋂=<<（）． 2．D 【解析】本题考查复数的概念与运算，考查运算求解能力．因为24aibi i+=-，所以246ai b i a b +=++=，． 3．B 【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．由2sin3sin 2ππαα-=+（）（），得2sin 3cos αα=，所以3tan 2α=， 从而222222221sin sin cos cos tan tan 11sin sin 2cos 2sin cos tan 113αααααααααααα------===-++ 4．D 【解析】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力． 因为cos 10x -≠，所以()f x 的定义域为{}2,x x k k Zπ≠∈，则0x ≠，故排除C ；而()()()cos 1cos 1x xf x f x x x ---===----，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 10,0cos 1x x f x x -<=<-，所以排除A ．故选D ．5．C 【解析】本题考查统计图表的相关知识，考查数据处理能力和应用意识．对于A ，高三（2）班德智体美劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5，所以极差为9.58.51-=，A 错误；对于B ，两班的德育分相等，B 错误；对于D ，两班的劳育得分相差最大，D 错误，从而C 正确． 6．B 【解析】本题考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想．由抛物线的定义知PF 的中点到y 轴的距离等于32PF=，又26PF xp =+=，解得4xp =，代入抛物线方程可得4P （．因为F 点的坐标为20（，），所以直线PF =7．A 【解析】本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合的数学思想和运算求解能力．由11OF OP F P OP OPOP⋅⋅+=可得OP =不妨设()()12,F F -，所以1212OP F F =，所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12PF F 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212PF PF F F +=，即222148PF PF +=．又1224PF PF a -==，所以22212121212162482PF PF PF PF PF PF PF PF =-=+-=-，解得1216PF PF =，所以1212182PF F SPF PF ==． 8．C 【解析】本题考查排列组合知识的应用，考查数据处理能力和应用意识．排课可分为以下两大类：（1）“丝”被选中：不同的方式种数为22322222142344223720N C A A A C A A A =-=种；（2）“丝”不被选中：不同的方式种数为323224234576N C A A A ==种．故共有7205761296N =+=种． 9．ABD 【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力．因为()2cos 2sin 12sin 26f x x x x x π⎛⎫=-+=+⎪⎝⎭，其图象向右平移24π个单位长度后得到函数()2sin 22sin 224612g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，所以()g x 的最小正周期为π，A 正确；当524x π=时，2122x ππ+=，B 正确；当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，572,121212x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增是不正确的，C 错误；当1324x π=-时，212x ππ+=-，函数()g x 的图象关于点13,024π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，D 正确．10．AC 【解析】本题考查立体几何知识，考查空间想象能力．如图，在正四棱锥S ABCD -中，O 为正方形ABCD 的中心，SH AB ⊥，设底面边长为2a ．因为30SHO ∠=︒，所以OH a OS SH ===，，．在Rt SAH 中，22213a a ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以3a =，底面边长为6米，1642S =⨯⨯=11．BD 【解析】本题考查逻辑推理知识，考查推理论证能力．若小华选择的是家常菜青椒土豆丝，则甲对一半，乙对一半，丙对一半，不满足条件，排除； 若小华选择的是川菜干烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，满足条件； 若小华选择的是烹制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不满足条件，排除； 若小华选择的是烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，满足条件． 故小华选择的可能是川菜干烧大虾或者烹制中式面食，所以选BD ．12．BC 【解析】本题考查导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想与推理论证能力．因为f x m =（）的两根为1212x x x x <,（），所以(]1122,,1,02m m x x e m +-==∈-，从而()()211212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭．令()(]121,1,02x g x xe x x x +=-+∈-，则()()(]111,1,0x g x x e x x +'=+-+∈-因为(]1,0x ∈-，所以1010110x x e e x ++>>=-+>，，，所以()0g x '>在(]1,0-上恒成立，从而()g x 在(]1,0-上单调递增．又()()500,12g g =-=-，所以()5,02g x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤- ⎥⎝⎦，故选BC ．13．43-（,），答案不唯一 【解析】本题考查平面向量的垂直，考查运算求解能力． 设,b x y =（），因为b a ⊥，所以340x y +=，可取43b =-（，）．14．16 【解析】本题考查均值不等式的应用，考查运算求解能力．因为()491491169169440,2444b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4916a b +≥．15．3 【解析】本题考查导数的概念及几何意义，考查运算求解能力．由()()0112lim23x f f x x →--=，可得()()0121lim 32x f x f x →--=-，因为()12f x ax x'=+，所以()121=3f a '=+，即1a =，则()2ln f x x x =+，所以()112,32f x x f x ⎛⎫''=+= ⎪⎝⎭．16．5003π【解析】本题考查四棱锥的外接球问题，考查空间想象能力和运算3求解能力．如图，作PH ⊥平面ABCD ，垂足为H ．连接BD ，则H 为BD 的中点．设2m AB =，则10m 2m PB PA BH ===，，从而22PH m =，故四棱锥P ABCD -的体积为()321822562m 22m 333m ⨯⨯==，解得22m =．由题意可知正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PH 上，连接OB ．设正四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，则2222R BH OH PH OH =+=-（），解得5R =，故该四棱锥外接球的体积为3450033R ππ=．17．解：（1）因为数列{}n a 是公差为4的等差数列， 所以()()2121311324,22,3+4342a a S a S a a ⨯=+=+=⨯=+． 2分 又22234a S S =，所以()()()21114a 4624a a +=++，即()()11420a a +-=，解得12a =或14a =-（舍去）， 4分所以24142n a n n =+-=-（）． 5分 （2）因为()()1441142424242n n n b a a n n n n +===--+-+， 7分 所以121n n n T b b b b -=++⋯++111111112661046424242n n n n =-+-+⋯+-+----+ 8分 11242n =-+ 9分 21nn =+ 10分 评分细则：法二：（1）因为数列{}n a 是公差为4的等差数列，且22a 为23S S ，的等比中项，所以22234a S S =，从而222243a S a =⋅． 2分因为20a >，所以2243a S =，即1144324a a +=+（）（）， 3分解得12a =， 4分所以24142n a n n =+-=-（）． 5分 （2）第二问解法同上．18．解：（1）3cos cos 5a Bb Ac -=，所以2222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=， 2分 即22235a b c -=． 3分 又222222tan sin cos 2tan cos sin 2a c b a A A B ac b c aB A B bbc+-⋅==+-⋅． 4分 所以22222222tan 854tan 52A a c b c B b c a c +-==⨯=+- 5分 （2）作AB 边上的高CE ，垂足为E （图略），因为tan tan CE CE A B AE BE ==，，所以tan tan A BEB AE= 7分 又tan 4tan AB=，所以4BE AE =． 8分 因为点D 为边AB 的中点，10AB =，所以523BD AE DE ===，，． 9分在直角三角形CDE 中，5CD =，所以4CE ==． 11分 在直角三角形BCE 中，8BE =，所以BC == 12分 评分细则：（1）第一问中，应用正弦定理或余弦定理得出部分关键结论的给2至3分，全部正确的得5分． （2）第二问中，写到tan tan A BE B AE=这一步累计得7分，写出4BE AE =累计得8分，算出4CE ==累计得11分，算出BC ==12分． （3）其他情况根据评分标准依步骤给分．19．解：（1）轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村共96318++=个， 1分 所以从轻度污染的行政村中抽取69318⨯=个，从中度污染的行政村中抽取66218⨯=个，从重度污染的行政村中抽取63118⨯=个． 4分 （2）X 的所有可能取值为3，4，5，6，7． 5分33631320C P X C ===（）, 6分 2132363410C C P X C ===（）， 7分212332363510C C C P X C +===（）， 8分 1132363610C C P X C ===（）． 9分22361720C P X C ===（） 10分 所以X 的分布列为11分 所以()133313456752010101020E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 12分 评分细则：（1）第一问中，分别算出所抽取的轻度污染、中度污染、重度污染行政村的个数各得1分．（2）第二问中，写出X 的所有可能取值得1分，每算出一个概率得1分，最后算出()5E X =，累计得12分．（3）其他情况根据评分标准按步骤给分． 20．（1）证明：记11B C BC E ⋂=，连接DE ．由直棱柱的性质可知四边形11BCC B 是矩形，则E 为1B C 的中点． 1分 因为D 是AC 的中点，所以1//DE AB ． 2分 因为1AB ⊄平面1BC D DE ⊂，平面1BC D ，所以1//AB 平面1BC D 4分 （2）解：因为底面ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，由直棱柱的性质可知平面ABC ⊥平面11ACC A ，则BD ⊥平面11ACC A ． 5分取11A C 的中点F ，连接DF ，则DB DC DF ，，两两垂直，故以D 为原点，分别以DB DC DF ，，的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设2AB =，则()())101001004A C B -,,,,,,,，从而()()0,2,0,3,1,4AC AB ==6分设平面1AB C 的法向量为n x y x =（,,），则120340n AC y n AB x yz ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令4x =．得(4,0,n =． 8分 平面1ACC 的一个法向量为100m =（，，），9分 则cos ,1919m n m n m n ⋅===． 11分 设二面角11B AC C --为θ，由图可知θ为锐角，则419cos cos ,19m n θ==． 12分 评分细则：（1）第一问中，没有写出1AB ⊄平面1BC D ，直接得到1//AB 平面1BC D ，不予扣分．（2）第二问中，可以用传统做法，先找出二面角11B AC C --的平面角θ，结合题中的等量关系，由余弦定理求出cos θ，即得出二面角11B AC C --的余弦值，只要计算正确，不予扣分．若空间直角坐标系建立不同，只要建系正确，计算正确，不予扣分． （3）若用其他解法，参照评分标准按步骤给分．21．解：（1）因为椭圆C 过点,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以2241133a b +=．① ·1分 又椭圆C 的离心率为2，所以2212c a =， 2分故2222222112b ac c a a a -==-=．② 3分 联立①②得22224113312a b b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=． 5分 （2）当直线l的斜率不存在时，2112b AF BF a ===，所以1111023AF BF ⋅=≠， 6分 故直线l 的斜率存在，设直线()()()1122:1,,l y k x A x y B x y =-,,．联立()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()2222214220k x k x k +-+-=，则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 7分1AF ====9分同理1BF =． 10分 因为()2121211242182102423x x x x k AF BF k ++++⋅===+，解得21k =， 11分所以113AF BF +==，又因为11AF BF AB ++=，所以AB =． 12分 评分细则：（1）第一问共5分，将点33⎛-⎝⎭代入椭圆方程，得1分，得出c a =得1分，转化为a ，b 之间的关系得1分，联立方程得1分，正确写出椭圆的标准方程得1分．（2）第二问总共7分，未讨论直线l 斜率不存在的情况，直接设直线:1l y k x =-（）扣1分，联立方程并由韦达定理求出1212x x x x +，的式子得1分，求得1AF =得2分，同理得出1BF =得1分，求出21k =得1分，求出3AB =得1分． （3）第二问中，直线l 的方程为也可以设为1x my =+，参照上述步骤酌情给分．22．解：（1）因为()()xf x x m e =+，所以()()1xf x x m e '=++ 1分令()0f x '≤，得1x m ≤--，则()f x 的单调递减区间为(]1m -∞--， 3分 因为()f x 在(]1-∞，上是减函数，所以11m --≥，解得2m ≤-，即m 的取值范围是(]2-∞-， 5分 （2）由()()ln 2nx nx f x ≤，得()22ln xxenx nx ≥．因为00x n >>，，所以22ln ln 0xe x n n --≥对于任意的0x ∈+∞（，）恒成立． 6分 设22ln ln ,0,0x h x e x n x n n =-->>（），则241x h x e n x'=-（）．因为函数2xy e =和1y x=-在0+∞（，）上均为单调递增函数，所以函数()h x '在0+∞（，）上单调递增． 当0x →时，'0h x <（）；当x →+∞时，'0h x >（）．故存在00x ∈+∞（，），使得()0200410x h x e n x '=-=，即020212x e n x = 8分 当()00x x ∈，时，'0h x <（）；当0x x ∈+∞（，）时，'0h x >（）．所以h x （）在00x （，）上单调递减，在0x +∞（，）上单调递增，故02min 000021ln ln ln ln 02x h x h x e x n x n n x ==--=--≥（）（）恒成立． 9分 又由020410x e n x -=，得0204x n x e =， 所以()0000122ln 2ln 202h x x x x =---≥恒成立． 10分 因为122y x x=-和2ln y x =-在0+∞（，）上单调递减， 所以函数0h x （）在0+∞（，）上单调递减． 因为102h ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以010,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11分 因为函数4y x =和2xy e =在0+∞（，））上单调递增，且2400xx e >>，． 所以函数0204x n x e=在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以02m e <≤，即实数n 的取值范围是(]0,2e ． 12分 评分细则：法二：（1）同上面解法（1）．（2）对任意的()()()0,,ln 2x nx nx f x ∈+∞≤恒成立，即()2ln 2xnx nx xe≤恒成立，亦即()()ln 2ln 2nx x enx xe ≤恒成立 6分因为xf x xe =（），所以()()1x f x x e '=+，易知()x f x xe =在0+∞（，）上单调递增，且在,0-∞（）上()<0f x ，所以ln 2nx x ≤（），即2xe n x ≤对任意的0x ∈+∞（，）恒成立 8分 令()()20x e g x x x=>，则()()2221xx eg x x -'=． 9分当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0g x <（）；当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，'0g x >（）．则()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 122g x g e ⎛⎫==⎪⎝⎭， 11分 所以2n e ≤，显然0n >，故实数n 的取值范围是(]0,2e 12分。
重庆市2021-2022高一数学3月联考试题(含解析).doc
重庆市2021-2022高一数学3月联考试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由一元一次不等式的解法求得集合B，由交集运算求出，得到结果。
【详解】由题意得，，又，所以，故选C【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知利用诱导公式和特殊三角函数值求解即可.【详解】.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了特殊角的三角函数值在三角函数化简中的应用，属于基础题.3.已知向量，，且，则（）A. -3B. 3C. -6D. 6【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的坐标运算计算即可.【详解】因为，，所以，则.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.4.若点在角的终边上，且，则（）A. 25B.C. 24D.【答案】D【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义，得到=，求解即可得到m的值.【详解】因为点在角的终边上，所以，则.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.5.函数（，且）的图象恒过点（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令真数为1，则可得到定点坐标.【详解】真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f（x）=1，所以函数的图象过定点. 【点睛】本题主要考查了对数函数恒过定点问题，属于基础题.6.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】由，结合函数图象“左加右减”的平移法则，即可得解. 【详解】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.【点睛】本题主要考查了三角函数的平移变换，解题是注意三角函数名是否一致，平移变换是否是针对自变量“”而言，属于基础题.7.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理，结合即可得解.【详解】因为单调递增，且，，所以的零点所在的区间是.【点睛】本题主要考查了零点存在性定理的应用，属于基础题.8.已知向量与的夹角为，且，则在方向上的投影为（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在方向上的投影为，进而利用向量数量积的运算法则求解即可.【详解】因为向量与的夹角为，且，所以，则在方向上的投影为.【点睛】本题主要考查了向量投影的计算问题，利用定义求解数量积，属于基础题.9.已知，，则（）A. 3B. 1C.D.【答案】D【解析】【分析】由条件得，进而利用指数的运算法则直接求解即可.【详解】因为，所以，则.【点睛】本题主要考查了指数和对数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题.10.已知函数，若的最小正周期为，且，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由辅助角公式可得，根据，可求出=1，又为奇函数，所以，结合的范围，即可求得结果。
重庆市南开中学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
1 2
x
π 3
，下列说法正确的是（
）
A．函数的周期为 2π
B．
π 3
,
0
是函数
y
f
x 的一个对称中
心
C． 2π 是函数 y f x 的一个周期
D．不等式 f x 3 的解集为
2kπ,
π 3
2kπ
,k
Z
11．已知定义在 R 上的函数 f x 的图像关于 1, 0 中心对称，则下列说法一定正确的是
A． 的值为 2π 3
B．
f
x
在
7π 18
,
π 18
单调递增
C．
f
10
f
10π 9
f
2π 3
D．若方程
f
ax
f
x (a
0 ，且 a
1)
在
0,
4π 9 内至少有
3
个不同的根，则实数
a
的取值范围是
5 2
,
三、填空题
试卷第 2页，共 4页
13．命题 p : x 0, 2 x x 1 0 的否定是
．
14．南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，
窈窕登高台”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴．如图所示，展开的折扇可看作
是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条 2 米长的紫色丝带围成一
个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为
．
15．若不等式 2a sinx acosx 0 对 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是
A．
a
a
53
B．
a
a
2021年重庆市南开中学高考数学第五次质检试卷(2021.03) (解析版)
2021年重庆市南开中学高考数学第五次质检试卷（3月份）一、单项选择题（共12小题）.1．已知a，b∈R，集合A＝{a+5，a2﹣1}，B＝{a，b}，若A∩B＝{3}，则A∪B＝（）A．{﹣2，3}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{2，3，7}2．已知i是虚数单位，若复数，其中a，b为实数，则|a+bi|的值为（）A．B．10C．D．23．设m是直线，α、β是两个不同的平面，且α⊥β，则“m∥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．二项式的展开式中，常数项为（）A．﹣672B．672C．﹣84D．845．将函数（ω＞0）的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于直线对称，则当ω取最小值时，函数f（x）的最小正周期为（）A．3πB．2πC．D．6．已知函数，则＝（）A．B．C．﹣2D．7．过抛物线C：y2＝4x的焦点F作倾斜角为的直线l交C于A、B两点，以C的准线上一点M为圆心作圆M经过A、B两点，则圆M的面积为（）A．96πB．48πC．32πD．16π8．已知实数a、b，满足a＝log23+log64，3a+4a＝5b，则关于a、b下列判断正确的是（）A．a＜b＜2B．b＜a＜2C．2＜a＜b D．2＜b＜a二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．“读书破万卷，下笔如有神”、“腹有诗书气自华”，读书不仅能丰富知识、开阔视野，还能陶冶情操．但是随着学业内容的增加、升学压力的增大，学生的课外阅读也受到较大的影响．某小学为了了解学生的课外阅读情况，计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的10%进行调查，已知四、五、六三个年级的学生人数之比为9：7：10，则下列说法正确的是（）A．应该采用系统抽样的方法B．应该采用分层抽样的方法C．每个学生被抽到的概率为D．若样本中五年级的学生比六年级的学生少12人，则三个年级的学生总共有1140人10．设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则与同向C．若，则D．若，则11．设集合S是由一些复数组成的一个非空集合，如果∀a，b∈S，总有a+b，a﹣b，a•b∈S，则称S是一个数环．例如：整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．则下列命题正确的是（）A．集合S＝{2n|n∈Z}是一个数环B．集合是一个数环C．对任意两个数环S、T，S∩T都不是空集D．对任意两个数环S、T、S∩T都是数环12．已知图1中的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，体积为2，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（）A．A2B2∥平面ABCB．C．四边形ABA2B2为正方形D．正三棱柱ABC﹣A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球的体积相等三、填空题（共4小题）.13．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线的离心率为．14．已知向量，，若，则tan2θ＝．15．李华应聘一家上市公司，规则是从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试．李华可以答对这10道题目中的6道题．若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为．16．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到．现按照这种思想，以一个内角为30°、斜边长为2个单位的直角三角形的每一条边向外作正方形得到“类勾股树”，图1为第1代“类勾股树”，重复图1的作法得到第2代“类（如图2），如此继续．则第2代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为；勾股树”第n（n∈N*）代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为．四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在条件①（a﹣b）（sin A+sin B）＝c（sin C﹣sin B）；②b sin＝a sin B；③cos2A﹣cos2B＝2sin C（sin B﹣sin C）中任选一个，补充以下问题并解答：如图所示，△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，____，且BC＝3，D在AC 上，AB＝AD．（1）若BD＝2，求sin∠ACB；（2）若BD＝2CD，求AC长．18．已知S n为等差数列{a n}的前n项和．（1）求证：a n+12≥a n a n+2；（2）若a2＝3，a3是a1和S3的等差中项，设，T n为数列{b n}的前n项和，求证：T n＜．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD满足AB∥CD，∠BCD＝90°，且PD＝AD＝DC＝2，AB＝3，E为PC中点，，．（1）求证：D，E，F，G四点共面；（2）求四面体D﹣EFC的体积．20．2020年是脱贫攻坚的收宫之年，国务院扶贫办确定的贫困县已全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为我国全面建成小康社会，实现第一个百年目标打下了坚实基础．在扶贫政策的大力支持下，某县汽车配件厂经营得十分红火，不仅解决了就业也为脱贫作出了重大贡献．现该厂为了了解其主打产品的质量，从流水线上随机抽取200件该产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：根据经验，产品的质量指数在[50，70）的称为A类产品，在[70，90）的称为B类产品，在[90，110]的称为C类产品，A、B、C三类产品的销售利润分别为每件3、7、11（单位：元）．以这200件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该厂为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用x i和年销售量y i（i＝1，2，3，4，5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．，，，，其中u i＝lnx i，v i＝lny i，，．根据散点图判断，y＝a•x b可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程．（ⅰ）建立y关于x的回归方程；（ⅱ）若该厂规定企业最终收益为销售利润减去营销费用以及和营销费用等额的员工奖金，请你用（ⅰ）所求的回归方程估计该厂应投入多少营销费，才能使得该产品一年的最终收益达到最大？参考公式和参考数据：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，e4.159＝64．21．已知为椭圆C1：＝1（a＞b＞0）上一点，过点D作抛物线C2：x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B．（1）求AB所在直线方程；（2）若直线AB与椭圆C1相交于P，Q两点，O为坐标原点，设直线PQ，DP，DQ的斜率分别为k，k1，k2，是否存在符合条件的椭圆使得k1+k2＝8k成立？若存在，求出椭圆方程；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣a（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的零点个数；（2）当a＞1时，实数x0为函数f（x）的小于1的零点，求证：①；②．参考答案一、单项选择题（共12小题）.1．已知a，b∈R，集合A＝{a+5，a2﹣1}，B＝{a，b}，若A∩B＝{3}，则A∪B＝（）A．{﹣2，3}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{2，3，7}解：∵A＝{a+5，a2﹣1}，B＝{a，b}，若A∩B＝{3}，则3∈A且3∈B，若a+5＝3，则a＝﹣2，此时a2﹣1＝3，集合A违背集合中元素的互异性；若a2﹣1＝3，则a＝±2，a＝﹣2时集合A违背集合中元素的互异性，故a＝2，此时A＝{7，3}，B＝{2，3}，则A∪B＝{2，3，7}．故选：D．2．已知i是虚数单位，若复数，其中a，b为实数，则|a+bi|的值为（）A．B．10C．D．2【解答】由得a﹣i＝（1﹣2i）（b+i）＝b﹣2bi+i+2，即a﹣i＝（b+2）+（1﹣2b）i，故得所以，故选：A．3．设m是直线，α、β是两个不同的平面，且α⊥β，则“m∥β”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由m∥β，α⊥β，能够得到m⊥α或m∥α或m在平面α内，不能够推出m⊥α，反之，由m⊥α，α⊥β，不一定得到m∥β，m可能在β内．∴“m∥β”是“m⊥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．4．二项式的展开式中，常数项为（）A．﹣672B．672C．﹣84D．84解：二项式的展开式的通项是T r+1＝（）9﹣r（﹣）r＝（﹣）r •29﹣r•，令＝0，解得r＝3．故二项式的展开式中的常数项是T4＝•（﹣）3•29﹣3＝﹣672．故选：A．5．将函数（ω＞0）的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于直线对称，则当ω取最小值时，函数f（x）的最小正周期为（）A．3πB．2πC．D．解：将函数（ω＞0）的图象向左平移个单位后所得函数为，因为g（x）的图象关于直线对称，则有，解得，因为ω＞0，所以ω的最小值为，故函数f（x）的最小正周期为．故选：A．6．已知函数，则＝（）A．B．C．﹣2D．解：根据题意，函数，当x＞1时，f（x）＝﹣f（x﹣1），则当x＞2时，f（x）＝﹣f（x﹣1）＝f（x﹣2），则f（）＝f（504+1+）＝f（1+）＝﹣f（），f（）＝＝2，则f（）＝﹣2，故选：C．7．过抛物线C：y2＝4x的焦点F作倾斜角为的直线l交C于A、B两点，以C的准线上一点M为圆心作圆M经过A、B两点，则圆M的面积为（）A．96πB．48πC．32πD．16π解：抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），其准线为x＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵直线l过点F且斜角为，∴直线l的方程为y＝﹣x+1，联立方程组，消y可得x2﹣6x+1＝0，∴x1+x2＝6，x1x2＝1，∴y1+y2＝﹣（x1+x2）+2＝﹣4，作AB的垂直平分线MD，垂足为D，∴D（，）即D（3，﹣2），∴直线MD的方程为y+2＝x﹣3，即y＝x﹣5，联立，解得x＝﹣1，y＝﹣6，即M（﹣1，﹣6），解方程x2﹣6x+1＝0可得A（3﹣2，2﹣2），∴圆M的半径r2＝|MA|2＝（3﹣2+1）2+（2﹣2+6）2＝48，∴圆M的面积为48π．故选：B．8．已知实数a、b，满足a＝log23+log64，3a+4a＝5b，则关于a、b下列判断正确的是（）A．a＜b＜2B．b＜a＜2C．2＜a＜b D．2＜b＜a解：先比较a与2的大小，因为log23＞1，所以，所以a﹣2＝log23+log64﹣2＝log23+﹣2＝＞0，即a＞2，故排除A，B，再比较b与2 的大小，易得，当b＝2时，由3a+4a＝5b，得a＝2与a＞2矛盾，舍去，故a＞2，则有3a+4a＝5b，得b＞2，令f（x）＝3x+4x﹣5x，x＞2，令t＝x﹣2，则x＝t+2，故g（t）＝9×3t+16×4t﹣25×5t＜25•4t﹣25•5t＜0，故3a+4a＝5b＜5a，从而2＜b＜a．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．“读书破万卷，下笔如有神”、“腹有诗书气自华”，读书不仅能丰富知识、开阔视野，还能陶冶情操．但是随着学业内容的增加、升学压力的增大，学生的课外阅读也受到较大的影响．某小学为了了解学生的课外阅读情况，计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的10%进行调查，已知四、五、六三个年级的学生人数之比为9：7：10，则下列说法正确的是（）A．应该采用系统抽样的方法B．应该采用分层抽样的方法C．每个学生被抽到的概率为D．若样本中五年级的学生比六年级的学生少12人，则三个年级的学生总共有1140人解：因为四、五、六三个年级的学生人数各不相等，故应该采取分层抽样，故A错误，B 正确；利用频率表示概率，根据计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的10%进行调查，可得每个学生被抽到的概率为，故C正确；设四、五、六三个年级的学生人数之比为9x，7x，10x，由样本中五年级的学生比六年级的学生少12人，可得10x﹣7x＝12，解得x＝4，故样本容量为（9+7+10）×4＝104，于是可估计三个年级的学生总共有1040人，故D错误．故选：BC．10．设平面向量，，均为非零向量，则下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，则与同向C．若，则D．若，则解：当＝时，显然不一定成立，A错误；若，则向量夹角θ＝0或π，与同向或反向，B错误；若，两边平方得，＝0，即，C正确；若，则＝，其中，，根据向量共线定理得，，D正确．故选：CD．11．设集合S是由一些复数组成的一个非空集合，如果∀a，b∈S，总有a+b，a﹣b，a•b∈S，则称S是一个数环．例如：整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．则下列命题正确的是（）A．集合S＝{2n|n∈Z}是一个数环B．集合是一个数环C．对任意两个数环S、T，S∩T都不是空集D．对任意两个数环S、T、S∩T都是数环解：对于A：设a，b∈S，则a＝2n1，b＝2n2，n1∈Z，n2∈Z，于是a+b＝2（n1+n2），a﹣b＝2（n1﹣n2），ab＝2（2n1n2），n1+n2∈Z，n1﹣n2∈Z，2n1•n2∈Z，即有a+b，a﹣b．a •b∈S，故S是一个数环，故A正确；对于B：设a，b∈S，则a＝，b＝，n1∈Z，n2∈Z，则，显然∉Z，故S不是一个数环，故B错误；对于C：对于任意一个数环，取a＝b，则0＝a﹣b，必在此环中，故0一定是S∩T中，S∩T都不是空集，故C正确；对于D：设a，b∈S∩T，因S是一个数环，故a+b，a﹣b，a•b∈S，而T是一个数环，故a+b，a﹣b，a•b∈T，所以a+b，a﹣b，a•b∈S∩T，故S∩T是数环，故D正确．故选：ACD．12．已知图1中的正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，体积为2，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是（）A．A2B2∥平面ABCB．C．四边形ABA2B2为正方形D．正三棱柱ABC﹣A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球的体积相等解：对于A：因旋转前后，A1，B1，C1，A2，B2，C2，共面，由棱柱的性质得知：平面A2B2C2∥平面ABC，从而A2B2∥平面ABC，故A正确；对于B：因棱柱体积，解得，设H为B2在平面ABC上的射影，如图所示：则：点H在BO的延长线上，且OH＝OB＝，又，从而AH＝AO＝BO，所以，故B错误；对于C：因为A2B2∥A1B1∥AB，且A1B1＝A2B2＝AB，故四边形ABB2A2为平行四边形，由对称性可知：AA2＝BB2，又AB2＝AB＝2，所以四边形ABA2B2为正方形，故C正确；对于D：因旋转前后正三棱柱ABC﹣A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球都是是以OO2为直径的球G上，故球的体积相等，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题．13．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线的离心率为．解：由题意可知双曲线的渐近线方程为y＝，∴，∴＝，故答案为：．14．已知向量，，若，则tan2θ＝．解：因为向量，，且，所以sinθ﹣cosθ﹣3sinθ＝0，即，所以．故答案为：．15．李华应聘一家上市公司，规则是从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试．李华可以答对这10道题目中的6道题．若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为．解：从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试．李华可以答对这10道题目中的6道题．若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的情况为：李华可以答对剩下9道题目中的5道题，且李华抽取3题，至少答对2道题，∴李华进入面试的概率为：P＝+＝．故答案为：．16．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到．现按照这种思想，以一个内角为30°、斜边长为2个单位的直角三角形的每一条边向外作正方形得到“类勾股树”，图1为第1代“类勾股树”，重复图1的作法得到第2代“类勾股树”（如图2），如此继续．则第2代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为12；第n（n∈N*）代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为4n+4．解：记a n表示第n代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和，则a1＝8，第2代“类勾股树”在第1代的最上面的每佣正方形上各增加两个小正方形，由勾股定理知，增加的两个小正方形的面积之和恰好等于原来的正方形的面积，∴a2﹣a1＝4，以此类推，故{a n}是以8为首项，公差为4的等差数列，∴a n＝8+（n﹣1）×4＝4n+4．故答案为：4n+4．四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在条件①（a﹣b）（sin A+sin B）＝c（sin C﹣sin B）；②b sin＝a sin B；③cos2A﹣cos2B＝2sin C（sin B﹣sin C）中任选一个，补充以下问题并解答：如图所示，△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，____，且BC＝3，D在AC 上，AB＝AD．（1）若BD＝2，求sin∠ACB；（2）若BD＝2CD，求AC长．解：选①（a﹣b）（sin A+sin B）＝c（sin C﹣sin B），由正弦定理得，（a﹣b）（a+b）＝c（c﹣b），整理得，b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，cos A＝＝，由A为三角形内角得，A＝；选②b sin＝a sin B，由B+C＝π﹣A得，sin B sin（）＝sin A sin B，因为sin B＞0，所以sin（）＝sin A，即cos＝sin A＝2sin cos，由于cos＞0，所以2sin＝1，即sin＝，故A＝；选③cos2A﹣cos2B＝2sin C（sin B﹣sin C），所以1﹣2sin2A﹣1+2sin2B＝2sin C（sin B﹣sin C），整理得，sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理得，b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得，cos A＝＝，由A为三角形内角得，A＝；（1）因为A＝，BD＝2，且AB＝AD，所以△ABD为等边三角形，所以∠BDC＝120°，BD＝2，BC＝3，△BDC中，由正弦定理得，，即＝，所以sin∠ACB＝sin∠BCD＝；（2）设DC＝x，则AD＝AB＝BD＝2x，AC＝3x，△ABC中，由余弦定理得，cos60°＝＝，故x＝，AC＝．18．已知S n为等差数列{a n}的前n项和．（1）求证：a n+12≥a n a n+2；（2）若a2＝3，a3是a1和S3的等差中项，设，T n为数列{b n}的前n项和，求证：T n＜．【解答】证明：（1）∵数列{a n}为等差数列，∴2a n+1＝a n+a n+2，得＝≥4a n a n+2，∴，当且仅当a n＝a n+2时等号成立，故a n+12≥a n a n+2；（2）设公差为d，∵a3是a1和S3的等差中项，∴2（a1+2d）＝a1+3a1+3d，得d＝2a1，又a2＝3，∴a1+d＝3a1＝3，得a1＝1，d＝2，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴＝＝，∴T n＝b1+b2+…+b n＝＝＜．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD满足AB∥CD，∠BCD＝90°，且PD＝AD＝DC＝2，AB＝3，E为PC中点，，．（1）求证：D，E，F，G四点共面；（2）求四面体D﹣EFC的体积．解：（1）取FB的中点H，连接CH，GH，由题知G，H分别为PA，PB的三等分点，所以GH∥AB，GH＝AB，又AB∥CD，AB＝3，CD＝2，所以GH∥CD，GH＝CD，所以CDGH为平行四边形，所以DG∥CH，另一方面，E，F分别为PH，PC的中点，所以EF∥CH，则DG∥EF，所以D，E，F，G四点共面；（2）由PD⊥平面ABCD得PD⊥BC，又由题知BC⊥CD，PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD，而DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE，另一方面，在三角形PDC中，PD＝DC＝2，E为PC中点，所以DE⊥PC，BC∩PC＝C，从而DE⊥平面PBC，在梯形ABCD中，BC＝，PC＝，故Rt△PBC中，S△EFC＝S△PBC＝，所以四面体D﹣EFC的体积V＝S△EFC•DE＝．20．2020年是脱贫攻坚的收宫之年，国务院扶贫办确定的贫困县已全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为我国全面建成小康社会，实现第一个百年目标打下了坚实基础．在扶贫政策的大力支持下，某县汽车配件厂经营得十分红火，不仅解决了就业也为脱贫作出了重大贡献．现该厂为了了解其主打产品的质量，从流水线上随机抽取200件该产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：根据经验，产品的质量指数在[50，70）的称为A类产品，在[70，90）的称为B类产品，在[90，110]的称为C类产品，A、B、C三类产品的销售利润分别为每件3、7、11（单位：元）．以这200件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该厂为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用x i和年销售量y i（i＝1，2，3，4，5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．，，，，其中u i＝lnx i，v i＝lny i，，．根据散点图判断，y＝a•x b可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程．（ⅰ）建立y关于x的回归方程；（ⅱ）若该厂规定企业最终收益为销售利润减去营销费用以及和营销费用等额的员工奖金，请你用（ⅰ）所求的回归方程估计该厂应投入多少营销费，才能使得该产品一年的最终收益达到最大？参考公式和参考数据：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线＝+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，e4.159＝64．解：（1）由题知，产品为A，B，C类产品的频率（概率）分别为0.15，0.45，0.4，记每件产品的销售利润为ξ，则ξ的分布列为ξ3711p0.150.450.4每件产品的平均销售利润Eξ＝3×0.15+7×0.45+11×0.4＝8（元）．（2）（ⅰ）由y＝a•x b，得lny＝blnx+lna，令u＝lnx，v＝lny，c＝lna，则v＝bu+c，所以＝＝＝0.25，所以＝﹣＝﹣0.25×＝4.159．所以＝0.25u+4.159，所以ln＝0.25lnx+4.159，所以＝e4.159x，即＝64x．（ⅱ）设年收益为z万元，则z＝（Eξ）y﹣2x＝8×64x﹣2x，令x＝t，所以z＝f（t）＝8×64t﹣2t4，所以f′（t）＝8×64﹣8t3，所以f′（t）＝0，得t＝4，当t∈（0，4）时，f′（t）＞0，f（t）单调递增，当t∈（4，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）单调递减，所以z max＝f（x）max＝f（4）＝768，此时x＝256，即当投入256万元营消费，能使得该产品一年的最终收益达到最大，最大值为768万元．21．已知为椭圆C1：＝1（a＞b＞0）上一点，过点D作抛物线C2：x2＝4y的两条切线，切点分别为A，B．（1）求AB所在直线方程；（2）若直线AB与椭圆C1相交于P，Q两点，O为坐标原点，设直线PQ，DP，DQ的斜率分别为k，k1，k2，是否存在符合条件的椭圆使得k1+k2＝8k成立？若存在，求出椭圆方程；若不存在，请说明理由．解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由x2＝4y，得y＝，则y′＝，故抛物线在A点处的切线方程为，即，可得，①同理可得抛物线在B点处的切线方程为，②将点D（，﹣3）代入①②得：x1﹣y1+3＝0，x2﹣y2+3＝0．∴AB所在直线方程为x﹣y+3＝0；（2）设P（x3，y3），Q（x4，y4），联立，得（b2+a2）x2+6a2x+9a2﹣a2b2＝0（*）．∴，，＝8k PQ＝8k AB＝8，∴（x3+3）x4+（x4+3）x3＝8x3x4，得x3+x4＝2x3x4，代入根与系数的关系，可得，化简得b2＝12．又点在椭圆上，可得，得a2＝48，此时（*）的判别式大于0，符合题意，故存在符合条件的椭圆，使得k1+k2＝8k成立．22．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣a（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的零点个数；（2）当a＞1时，实数x0为函数f（x）的小于1的零点，求证：①；②．解：（1）f′（x）＝1﹣（x＞0），令f′（x）＝0得x＝1，所以在x∈（0，1）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在x∈（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝1﹣a，当a＜1时，f（x）＞0，函数f（x）没有零点，当a＝1时，函数f（x）有一个零点x＝1，当a＞1时，f（1）＜0，且x→0时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞，故函数有两个零点．（2）由（1）知当a＞1时，f（x）有两个零点，设x0为较小的零点，即0＜x0＜1，且a＝x0﹣lnx0＝lne+ln＝ln（e），所以e a＝e，①要证x0++1＜e a，即证x0++1＜e，即证e＞x02+x0+1（x0∈（0，1）），令φ（x）＝e x﹣x2﹣x﹣1（0＜x＜1），所以φ′（x）＝e x﹣x﹣1，φ″（x）＝e x﹣1，所以φ″（x）＞0，所以φ′（x）在（0，1）上单调递增，所以φ′（x）＞φ′（0）＝0，所以φ（x）在（0，1）上单调递增，所以φ（x）＞φ（0）＝0（0＜x＜1），所以e＞x02+x0+1成立．②解法一：因为a＞1，所以lna＞0，所以2a﹣lna＜2a，故要证＞2a﹣lna，即可证＞2a，即证x0+＞2（x0﹣lnx0），也即证2lnx0+﹣x0＞0（0＜x0＜1），令h（x）＝2lnx+﹣x，所以h′（x）＝﹣﹣1＝＝＜0，所以h（x）在（0，1）单调递减，所以h（x）＞h（1）＝0，所以2lnx0+﹣x0＞0（0＜x0＜1），令h（x）＝2lnx+﹣x，所以h′（x）＝﹣﹣1＝＝＜0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）＝0，所以2lnx0+﹣x0＞0（0＜x0＜1）成立，从而原不等式得证．解法二：要证＞2a﹣lna，即证x0+﹣2（x0﹣lnx0）+ln（x0﹣lnx0）＞0，即证﹣x0+2lnx0+ln（x0+ln）＞0，也即证（﹣ln）﹣[（x0+ln）﹣ln（x0+ln）＞0，令t＝，则t＞1，故只需证（t﹣lnt）＞（+lnt）﹣ln（+lnt）成立，即需f（t）＞f（+lnt）成立即可，注意到（+lnt）′＝﹣＝＞0，所以+lnt＞1，由于f（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，只需t＞+lnt（t＞1）成立即可，令m（t）＝t﹣﹣lnt，所以m′（t）＝1+﹣＝，显然m′（t）＞0恒成立，所以m（t）＞m（1）＝0，所以t＞+lnt（t＞1）成立，从而原不等式得证．。
重庆市南开中学高2021级高一上半期考试数学
重庆南开中学高2021级高一上半期考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合A={-1,1,2}，集合B={x|x ∈A 且2-x ∉A}，则B=（ ）A.{-1}B.{2}C.{-1,2}D.{1,2}2、函数11)3(-+-=x x x y 的定义域为（ ）A. [0,3]B.[1,3]C.[3,+ ∞]D.(1,3]3、下列各组的两个函数为相等函数的是（ ）A.)1)(1()(,11)(+-=+-=x x x g x x x fB.52)(,)()52(2-==-x x g x f xC.11)(,11)(22++=+-=x x xx g xx fD.)()(24)(,)(t tx x g x x f ==4、已知函数5a f ,12)121(=-=-）（且x x f ，则a=（ ）A.21- B.21C.2D.15、函数123+-=x xy 的图像为（ ）6、已知函数f （x ）是R 上的奇函数，当x>0时，f （x ）==+-）（则21-f ,4x x （）A.-1B.0C.1D.237、函数的值域为)3,43(,132)(-∈+-=x x x x f （ ）A.[-2,0)B.(-3,0)C.[-825,0)D.[-827,0)8、已知f （x ）是奇函数且在R 上的单调递减，若方程0)()1(2=-++x m f f x 只有一个实数解，则实数m 的值是（ ）A.87-B.83-C.41D.81 9、已知开口向上的二次函数f （x ）对任意x ∈R 都满足f （3-x ）=f （x ），若f （x ）在区间 （a ，2a-1）上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A.（45,∞-]B.（45,1]C.[-23,+∞) D.（2,∞-] 10、已知f （x ）是定义在（-+∞∞,）上的偶函数，若f （x ）对任意的x 1，x 2∈[0,+∞)（x 1≠x 2）都满足01-x 2f -1x f ,0)()(2121<+>--）（）（则不等式x x x f x f 的解集为（ ） A.（0,2） B.（-2,∞+） C.（-0,∞）),2(+∞⋃ D.（-2,-∞）11、已知函数f （x ）=mx x g m x m x =-+-+)(,4)4(22若存在实数x ，使得f （x ）与g （x ）均不是正数，则实数m 的取值范围是（ ）A.m 4≥B.-24≤≤mC.2≥mD.13-≤≤-m12、已知函数⎩⎨⎧<≥+=0x x -0x x -)(x x 22，，x f ，若关于x 的不等式[]恰有一个整数解，0)(22)(<-+b x f x af 则实数a 的最大值为（ ）A.2B.4C.6D.8二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆南开中学高2021级高三第一次质量检测数学试题
x 1 x 1
x 1 x 1
由分母递增知
g x 递减，
g
x
max
g
1
2，
所以
1 2
a1
2
1
1 2
2
a1
1 2
a
1 2
．
5
16．
2
【解析】 f x 为奇函数，由 f 1 f 1 a 1 ，
注意不能用 f 0 0 ，联立两个函数的方程，消去 2x 得到关于 y 的二次方程
2 y2 2m 3 y m 1 0 ，有两个根 y1 和 y2 ，
19．已知函数
f
x
ex x
a
1 x
ln
x
a
1 ．
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x 存在极小值，且极小值大于 a ，求实数 a 的取值范围．
20．重庆作为新兴的“网红城市”，有很多风靡网络的“网红景点”，近几年每年都有大量游客来重庆参观
1
旅游．为了更合理的配置旅游资源，管理部门对首次来重庆旅游的游客进行了问卷调查．据统计，其中 的
相互独立，则应如何定价才能使得每天的平均利润最大？
21．已知椭圆
E
:
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 上任意一点到其左右焦点 F1 、 F2 的距离之和均为 4，且椭圆的中
心 O 到直线 bx ay ab 0 的距离为 2 3 ． 3
（1）求椭圆 E 的方程； （2）已知以椭圆右顶点 A 为直角顶点的动直角三角形斜边端点 B 、C 落在椭圆 E 上，求动直角 △ABC 面
（2）设 g x f x t 3t x t x t 4 3t ，
则 g x 0 在2, 4 上恒成立，
重庆市南开中学2020——2021学年第一学期高一数学周测试题12月27日(word版含答案)
重庆南开中学校高2023级数学测试12.27本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.第I 卷(选择题共60分)一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.930°表示成α+2kπ(k ∈Z)的形式,则|α|的最小值为()5.6A π 2.3B π.3C π.6D π 2.集合{|1804518090,}k k k Z αα︒︒︒︒⋅+≤≤⋅+∈中的角所表示的范围(阴影部分)是()3.函数()1xf x e x =++零点所在的区间是(A.(0,1)B.(-1,0)C.(-2,-1)D.(1,2)4.当θ∈(0,π)时,若53cos(),65πθ-=-tan()6πθ+的值为() 4.3A4.3B - 3.4C 3.4D -5.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,在[0,+∞)上是增函数,若12(sin ),7a f π=52(cos ),(t n 7a )7b f c f ππ==则() A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.c>b>a6.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意的x ∈R 都有33()(),22f x f x +=-当3(,0)2x ∈-时, 12()log (1)f x x =-,则f(2017)+f(2019)=A.1B.2C.-1D.-27.已知角x 的终边上一点的坐标为55(sin,cos ).66ππ则角x 的最小正值为() 5.6A π 5.3A π .611C π 2.3D π8.已知函数2|ln |,0,()43,0,x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩若函数g(x)=[f(x)]2-4f(x)+m+1恰有8个零点,则m 的取值范围是()A.(1,3)B.(2,3)C.(1,3]D.[2,3)二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知函数2()lg()f x x ax =-+在区间3[1,]2上单调递减,则a 的取值可以是( )A.3B.22.log 3C3.2D 10.已知3sin cos ,4θθ+=且θ∈(0,π),则() A.tanθ<0B.sin cos θθ-=C.sinθcosθ<0D.sin 3θ+cos 3θ>011.已知实数a,b,c 满足a>b>l>c>0,则下列结论正确的是().a bA c c >.log log a b B c c > 1313.log C a a <2233.a D b <12.已知函数22|log |,0()log |1|,0x x f x x x >⎧=⎨-+≤⎩.若1234()()()()f x f x f x f x ===且1234,x x x x >>>则下列结论正确的有1234.0A x x x x +++< 1234.0B x x x x +++>1244.1C x x x x ≥1144.01D x x x x <<第II 卷(非选择题共90分)三､填空题:本大题4个小题,每小题5分,共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果,不写过程).13.已知扇形的圆心角为2,3π扇形的面积为3π,则该扇形的弧长为____. 14.已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=____..15.已知2sinα-cosα=0,则2sin 2sin cos ααα-=____.16.已知关于x 的不等式21log ()02m mx x -+>在[1,2]上恒成立,则实数m 的取值范围为_____.四､解答题:本大题6个小题,共70分.各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程).17.已知3sin()cos()tan()cos()222().sin(2)tan()sin()a f πππαπαααπααπαπ--++=----- (1)化简f(α).(2)若α是第三象限角,且31cos(),25a π-=求f(α).18.化简下列各式:2log 342233(2)log 9log 2log 3log 342-++⋅.19.已知关于x的方程221)20x x m -+=的两根为sinθ和cosθ(θ∈(0,π)),求(1)m 的值;sin cos (2)11tan 1tan θθθθ+--的值; (3)方程的两根及此时θ的值.20.已知函数4()l )4g(,xf xx -+=其中x ∈(-4,4) (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;(2)是否存在这样的负实数k ､使22(cos )(cos )0f k f k R θθθ-+-≥∈对一切恒成立,若存在,试求出k 取值的集合;若不存在,说明理由.21.园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米,圆心角为θ(弧度)的扇形观景水池,其中O 为扇形AOB 的圆心,同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元,水池造价为每平米400元,步道造价为每米1000元.(1)当r 和θ分别为多少时,可使得广场面积最大,并求出最大面积; (2)若要求步道长为105米,则可设计出的水池最大面积是多少.22.已知a ∈R ,函数,2()log [(3)34]f x a x a =-+- (1)当a=2时,解不等式,1()0f x<;(2)若函数2(4)y f x x =-的值域为R,求a 的取值范围;(3)若关于x 的方程21()log (2)0f x a x-+=的解集中恰好只有一个元素,求a 的取值范围.。