专题一 乘法公式及应用
部编数学八年级上册专题01运算能力之乘法公式综合难点专练(解析版)(人教版)含答案
专题01运算能力之乘法公式综合难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，>，现将图中阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n，m n花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，则m n-的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】根据花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，可得m+n=22，再根据长方形面积公式可得mn=120，再根据完全平方公式即可求解．【详解】解：∵花圃区域AEGQ和HKCS总周长为32米，重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，∴2（m-3）+2（n-3）=32，∴m+n=22，∵mn=120，∴（m+n）2=m2+n2+2mn=m2+n2+240=484，∴m2+n2=244，∴（m-n）2=m2+n2-2mn=244-240=4，∵m＞n，∴m-n=2．故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是灵活运用完全平方公式．2．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（ ）A．22B．24C．42D．44【答案】C【分析】由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，进而得到ab＝10，由图3可知，阴影部分面积（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．【详解】解：设正方形A、B的边长分别为a、b，由图1可知，阴影部分面积a2﹣b2＝2，图2可知，阴影部分面积（a+b）2﹣a2﹣b2＝20，所以ab＝10，由图3可知，阴影部分面积为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+40＝42．故选：C．【点睛】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．3．如图，有10个形状大小一样的小长方形①，将其中的3个小长方形①放入正方形②中，剩余的7个小长方形①放入长方形③中，其中正方形②中的阴影部分面积为22，长方形③中的阴影部分面积为96，那么一个小长方形①的面积为（）A ．5B ．6C ．9D ．10【答案】A【分析】设①小长方形的长为a ，宽为b ，根据正方形阴影面积=正方形面积-3个小长方形面积=22根根据大长方形阴影面积为长为()3+a b ，宽为()3a b +的长方形面积-7个小长方形面积=96列方程求出5ab =即可．【详解】解：设①小长方形的长为a ，宽为b ，根据②正方形边长为+a b ，阴影面积为()2+322a b ab -=，根据③大长方形的长为3+a b ，宽为+3a b ，阴影面积为()()3+3796a b a b ab +-=，∴联立得()()()2+3223+3796a b ab a b a b ab ì-=ïí+-=ïî，整理得222222+32a b ab a b ab ì+-=í+=î①②，解得22=275a b ab ì+í=î，一个小长方形①的面积为5．故选择A ．【点睛】本题考查图形阴影面积应用问题，多项式乘法与图形面积，完全平方公式，仔细分析图形，从中找出等量关系，正方形阴影面积=正方形面积-3个小长方形面积=22，大长方形阴影面积为长为()3+a b ，宽为()3a b +的长方形面积-7个小长方形面积=96，列方程组是解题关键．4．利用乘法公式判断，下列等式何者成立？（ ）A ．22224824852+52+=300´B ．222248248484800=2-´-C ．222248224852++=52300´´D ．22224822484848200=-´´-【答案】C【分析】根据完全平方公式的特征进行判断，然后根据公式特点进行计算．【详解】解： A 、222482485252´＋＋不符合完全平方公式的特征且计算错误，完全平方公式的中间一项为224852´´，所以不符合题意；B 、222482484848-´-不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为248＋，所以不符合题意；C 、()222224822485252248+52300´´＋＋＝＝，所以符合题意；D 、22224822484848200-´´-＝不符合完全平方公式特征且计算错误，最后一项应为248＋，所以不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的特征，识记且熟练运用完全平方公式：2222a ab b a b ±±＋＝（）是解答问题的关键．二、填空题5．如图，长方形ABCD 的边13BC =，E 是边BC 上的一点，且10BE BA ==，F ，G 分别是线段AB ，CD 上的动点，且BF DG =，现以BE ，BF 为边作长方形BEHF ，以DG 为边作正方形DGIJ ，点H ，I 均在长方形ABCD 内部．记图中的阴影部分面积分别为1S ，2S 长方形BEHF 和正方形DGH 的重叠部分是四边形KILH ，当四边形KILH 的邻边比为3∶4，12S S +的值为________．【答案】7或93125【分析】利用长方形及正方形的性质可求解KI =2DG -10，KH =DG -3，根据当长方形KILH 的邻边的比为3：4可求解DG 的长，再利用DG 的长分别求解AF ，CG ，AJ 的长，进而可求解，注意分类讨论．【详解】解：在长方形ABCD 中，AB =CD =10，AD =BC =13．∵四边形DGIJ 为正方形，四边形BFHE 为长方形，BF =DG ，∴四边形KILH 为长方形，KI =HL =2DG -AB =2DG -10．∵BE =BA =10，∴LG =EC =3，∴KH =IL =DG -LG =DG -3．当长方形KILH 的邻边的比为3：4时，（DG -3）：（2DG -10）=3：4，或（2DG -10）：（DG -3）=3：4，解得DG =9或315，当DG =9时，AF =CG =1，AJ =4，∴S 1+S 2=AF •AJ +CE •CG =1×4+1×3=7；当DG =315时，AF =CG =195，AJ =345，∴S 1+S 2=AF •AJ +CE •CG =1934193555´+´=93125故答案为7或93125．【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．6．计算：（1）若x 满足(30)(20)10x x --=-则22(30)(20)x x -+-的值为____；（2）如上图，2,4AE CG ==，长方形EFGD 的面积是50，四边形ABCD 和NGDH 以及MEDQ 都是正方形四边形PQDH 是长方形，则图中正方形NFMP 的面积为_______．【答案】120204【分析】（1）设（30-x ）=m ，（x -20）=n ，求出mn 和m +n ，利用完全平方公式计算即可；（2）根据正方形ABCD 的边长为x ，AE =2，CG =4，所以DE =x -2，DG =x -4，得到（x -2）（x -4）=50，设x -2=a ，x -4=b ，从而得到ab =50，a -b =（x -2）-（x -4）=2，根据题意求出（a +b ）2，即可求出正方形NFMP 的面积．【详解】解：（1）设（30-x）=m，（x-20）=n，∴（30-x）（x-20）=mn=-10，∴m+n=（30-x）+（x-20）=10，∴（30-x）2+（x-20）2，=m2+n2，=（m+n）2-2mn，=102-2×（-10）=120；（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE=2，CG=4，∴DE=x-2，DG=x-4，∴（x-2）（x-4）=50，设x-2=a，x-4=b，∴ab=50，a-b=（x-2）-（x-4）=2，则（a+b）2=（a-b）2+4ab=22+4×50=204，∴正方形NFMP的面积为：204，故答案为：（1）120；（2）204．【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用．7＝_____（直接填写结果）．【答案】10n【分析】10n．【详解】==+99 (91)10n=．故答案为：10n．【点睛】本题主要考查算术平方根以及完全平方公式的逆运用，熟练掌握算术平方根以及完全平方公式的逆运用是解决本题的关键．三、解答题8．已知关于x 的二次三项式A 满足2(1)(1)(1)A x x x --+=+.（1）求整式A ；（2）若2342B x x =++，当12x =-时，求B A -的值．【答案】（1）222A x x =+；（2）54B A -=．【分析】（1）直接利用整式的加减运算法则计算得出答案即可；（2）直接利用整式的加减运算法则结合x 的值代入得出答案即可．【详解】解：（1）∵2(1)(1)(1)A x x x --+=+∴2(1)(1)(1)A x x x =+++-22211x x x =+++-222x x =+；（2）∵2342B x x =++，222A x x=+∴()2234222B A x x x x -=++-+2234222x x x x=++--222x x =++2(1)1=++x .当12x =-时，2215(1)11124B A x æö-=++=-++=ç÷èø．【点睛】此题主要考查了整式的加减，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键．9．计算：（1）()2354102•2x x x x x -+¸；（2）()()()433223a a b b a a b ---+；（3）()()()323423159x y xy x y -¸-g ；（4）请用简便方法计算：2704696700´－【答案】（1）82x -；（2）228129a ab b --；（3）3445x y ；（4）-16．【分析】（1）先算乘方，再算乘除，最后合并同类项即可；（2）先根据单项式乘以多项式和平方差公式进行计算，再合并同类项即可；（3）先根据积的乘方化简，再从左往右计算即可；（4）先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．【详解】解：（1）()2354102•2x x x x x -+¸8884x x x =-+82x =-；（2）()()()433223a a b b a a b ---+()()()432323a a b a b a b =-+-+22241249a ab a b =-+-228129a ab b =--；（3）()()()323423159x y xy x y -¸-g ()()6334227159x y xy x y =-¸-g ()76424059x y x y =-¸-3445x y =；（4）2704696700´－()()270047004700=+´--2270016700=--16=-．【点睛】本题考查了整式的混合运算，能灵活运用知识点进行计算和化简是解此题的关键．10．计算：（1）234110;2x yz xy æö×-ç÷èø（2）221232ab ab ab æö-×ç÷èø;（3）()()()()223523642x x x x x ++-+--;（4）()()2121x y x y -+--．【答案】（1）-5x 3 y 5 z 3；（2）232213a b a b -；（3）18；（4）22441x xy y -+-．【分析】（1）根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可；（2）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可；（3）分别根据多项式乘以多项式和单项式乘以单项式运算法则去括号，然后外挂；（4）运用平方差公式进行计算即可得到答案．【详解】解：()12341102x yz xy æö×-ç÷èø()()2431102x x y y z éùæö=´-××ç÷êúèøëû3535x y z =-．()2221232ab ab ab æö-×ç÷èø()22112322ab ab ab ab =×+-×232213a b a b =-．()3()()()()223523642x x x x x ++-+--2261061061248x x x x x x =+++---+=18()4()()2121x y x y -+--()()2121x y x y éùéù=-+--ëûëû2(2)1x y =--22441x xy y =-+-．【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解答此题的关键．11．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式．（1）对于等式()()22232a b a b a ab b ++=++，可以由图1进行解释：这个大长方形的长为_____，宽为_____，用长乘以宽可求得其面积，同时，大长方形的面积也等于3个长方形和3个正方形的面积之和．（2）如图2，试用两种不同的方法求它的面积，你能得到什么数学等式？方法1（从整体角度）：_________；方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：_____________；数学等式：______________________．（3）利用（2）中得到的数学等式，解决下列问题：已知7a b c ++=，22219a b c ++=，求ab bc ac ++的值．【答案】（1）（a +2b ），（a +b ）；（2）（a +b +c ）2，a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ；（3）15【分析】（1）根据图形直接得出长为（a +2b ），宽为（a +b ）；（2）整体上是一个边长为（a +b +c ）的正方形，各个部分的面积和为a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，可得等式；（3）将（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，变形为（a +b +c ）2-a 2-b 2-c 2=2ab +2bc +2ac ，再整体代入求值即可．【详解】解：（1）由图形直观得出，长为：（a +2b ），宽为（a +b ），故答案为：（a +2b ），（a +b ）；（2）方法1（从整体角度）：（a +b +c ）2，方法2（从局部角度：6个长方形和3个正方形）：a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，因此有数学等式：（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ；（3）由（a +b +c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac 得，2ab +2bc +2ac =（a +b +c ）2-（a 2+b 2+c 2），∵a +b +c =7，a 2+b 2+c 2=19，∴2ab +2bc +2ac =49-19=30，∴ab +bc +ac =15．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，因式分解以及多项式乘以多项式的计算法则，掌握公式特征和适当变形是正确应用的前提．12．某公园对一个边长为a （a ＞1）的正方形花坛进行改造，由于占地需要，正方形花坛南北方向需要缩短1米，使其形状成为长方形．为了使花坛中的绿植面积不变，公园决定将花坛向东侧扩展，使得到的长方形面积和原来正方形的面积相等．（1）小明说：这太简单了，把正方形南北方向减少1米，在花坛东侧增加1米就行了．这样得到的长方形的周长和面积与原来正方形的周长和面积都相等．你认为小明说的对吗？请你说明理由．（2）如果原来正方形的花坛边长是5米，在只保证面积不变的情况下，请你计算出改造后，向东扩展了多少米？（3）如果正方形的花坛边长是a 米，在只保证面积不变的情况下，请你用代数式表示出改造后长方形的长．【答案】（1）小明的说法不对，理由见解析；（2）向东扩展54米；（3）2a a 1-【分析】（1）理由平方差公式求出小明所得的图形面积，与原图形面积相比较即可得到答案；（2）设向东扩展x 米，根据题意得方程2(51)(5)5x -+=，解方程即可；（3）利用长方形的面积公式计算即可【详解】解：（1）小明的说法不对，理由如下：由题意得：22(1)(1)1a a a a -+=-<，∴小明的说法不对；（2）设向东扩展x 米，由题意得2(51)(5)5x -+=，解得x =54，答：向东扩展54米；（3）改造后长方形的长为2a a 1-【点睛】此题考查了平方差计算公式与图形面积，一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键13．对于实数a ，b ，c 定义一种新运算，规定22(,,)2F a b c a b c=++例如：22(1,2,3)122311F =++´=（1）求(2,3,1)F ；（2）如图，在矩形ABFG 和矩形BCDE 中，2AB x =，4AG x =，2BC y =，CD y =，若25x y +=，22(3,3,4)40F x y x y x y +---=．连接AF 和AD ，求图中阴影部分的面积；（3）若,2,2)2F y xy -=-，求x y +的值．【答案】（1）15；（2）754；（3【分析】（1）根据新定义运算法则计算即可；（2）根据新定义运算法则列出方程，得到22420x y +=，运用完全平方公式可得54xy =，再把这两个条件代入阴影面积的代数式可得；（3）根据新定义运算法则列出方程，配方得22(2)(0x y x -+=，根据非负数性质可得．【详解】（1）(2,3,1)F =22221531++´=故答案为：15（2）22(3,3,4)40F x y x y x y +---=Q 2222(3)(3)2(4)0x y x y x y ++-+--=22420x y \+=又25x y +=Q 2(2)25x y +=224425x xy y ++=54xy \=22118224(22)22S x y x x y x y =+-××-+阴224S x y xy=+-阴754S =阴（3）,2,2)2F y xy -=-222442x y xy +--=-222440x xy y x -++-=22(2)(0x y x -+=x =，y =x y +=【点睛】考核知识点：新定义运算、乘法公式．熟练掌握完全平方公式是关键．14．现定义运算，对于任意有理数a ，b ，都有()(),()().a b a a b b a b a b b a b a a b Ä=+-£ìíÄ=+->î如：232(23)37Ä=´+-=，522(52)59Ä=´+-=．（1）若(2)(3)x x x x Ä+>Ä-，求x 的取值范围；（2）有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，计算：[]()(2)()(22)a b b b a a b -Ä--Ä-．【答案】（1）x 的取值范围是1x >；（2）2234a b b ab a ---+-.【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可，（2）在理解新定义运算()(),()().a b a a b b a b a b b a b a a b Ä=+-£ìíÄ=+->î的意义和转换方法，然后类推计算即可．【详解】解：（1）∵x <x +2，x >x -3，∴22(2)(22)(2)22222x x x x x x x x x x Ä+=+-+=+--=+-，2(3)(3)(23)2109x x x x x x x Ä-=---=-+．∵(2)(3)x x x x Ä+>Ä-，∴22222109x x x x +->-+．∴1111x >．∴1x >．x 的取值范围是1x >．（2）∵a -b <0，2b >0，b -a >0，2a -2b <0，∴a -b <2b ，b -a >2a -2b ．[]()(2)()(22)a b b b a a b -Ä--Ä-[]()(2)2(22)(22)()a b a b b b a b b a a b b a =--+----+---[]()()2(22)()a b a b b a b a b b a =-+-----+22222242a b b a ab b b a éù=----+-+ëû22222242a b b a ab b b a=---+-+-2234a b b ab a =---+-.【点睛】此题主要考查了整式的四则运算以及新定义运算的意义，理解新定义的运算方法是正确解答的前提．15．如图1，用4个相同边长是x 、y 的长方形和中间一个小正方形组成的大正方形．（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则x y -值为__________；则x y +的值为__________；（2）若小长方形两边长为9m -和4m -，则大正方形的边长为___________；若满足(9)(4)4m m --=，则22(9)(4)m m -+-的值为__________；（3）如图2，正方形ABCD 的边长是c ，它由四个直角边长分别是a ，b 的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想a ，b ，c 三边的数量关系，并说明理由．【答案】（1）2，6；（2）5，17；（3）222+=a b c ，理由见解析【分析】（1）大正方形的边长为x +y ，小正方的边长为x -y ，由面积可求出正方形的边长；（2）小长方形两边之和为正方形的边长，再由完全平方公式求解即可；（3）根据大、小正方形和4个直角三角形的面积之间的关系得出结论．【详解】解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，∴()236x y +=，()24x y -=，又∵0x y >>，∴6x y +=，2x y -=，故答案为：2，6；（2）大正方形的边长为945x y m m +=-+-=，∵(9)(4)4m m --=，∴[]2222(9)(4)(9)(4)2(9)(4)5817m m m m m m -+-=-+----=-=，故答案为：5，17；（3）a ，b ，c 三边的数量关系为222+=a b c ．理由如下：由拼图可得，小正方形的边长为-a b ，由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，221()42a b ab c -+´=，即222+=a b c ．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，理清各个图形面积之间的关系是解决问题的关键，用代数式表示各个部分的面积是得出结论的前提.16．某同学用如图所示不同颜色的正方形与长方形纸片拼成了一个如图所示的正方形．（1）①请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法1：；方法2： ．②以上结果可以验证的乘法公式是 ．（2）根据上面的结论计算：①已知m ＋n ＝5，2211m n +=，求mn 的值．②已知（2019−m ）（2020−m ）＝1010，求()()222020--2019m m +的值．【答案】（1）①22a b +，()2-2a b ab +；②22a b +＝()2-2a b ab +；（2）①7；②2021【分析】(1)①方法一：阴影部分面积为两个小正方形面积之和，分别求出两个小正方形面积然后相加即可；方法二：阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积，分别求出面积然后进行计算即可；②根据完全平方公式可以很容易得出答案；(2)①根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案；②根据完全平方公式进行相应的计算即可得到答案.【详解】解：（1）①方法一：由题意可知阴影部分面积为两个小正方形面积之和∴22S a b =+阴影方法二：由阴影部分面积等于大正方形面积减去两个空白长方形面积∴()()222S a b ab ab a b ab=+--=+-阴影②∵()22222-222a b ab a b ab ab a b +=++-=+∴()222-2a b ab a b +=+即验证的乘法公式为()222-2a b ab a b +=+（2）①∵m ＋n ＝5∴()225m n +=∵2211m n +=∴()()222-225-1114m n m n mn ++===∴mn ＝7②∵（2019−m ）（2020−m ）＝1010，∴()()()()()2222020--10192020--2019-22020--2019m m m m m m +=+()()2122020-2019-m m =+1210102021=+´=【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键在于能够熟练掌握相关公式.17．数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现：由5510+==；112333+==；0.40.40.8+==；1525+>=；0.2 3.2 1.6+>=；111282+>=猜想：如果0a >，0b >，那么存在a b +³a b =时等号成立）．猜想证明：∵20³∴①0=，即a b =时，0a b -+=，∴a b +=②0¹，即a b ¹时，0a b ->，∴a b +>综合上述可得：若0a >，0b >，则a b +³a b =时等号成立）．猜想运用：（1）对于函数()10y x x x=+>，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？变式探究：（2）对于函数()133y x x x =+>-，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S （米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S 最大？最大面积是多少？【答案】（1）1x =，函数y 的最小值为2；（2）4x =，函数y 的最小值为5；（3）每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为214716米【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；变式探究：将原式转换为1333y x x =+-+-，再根据材料中方法计算即可；拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．【详解】猜想运用：∵0x >，∴10x>，∴12y x x =+³=，∴当1x x=时，min 2y =，此时21x =，只取1x =，即1x =时，函数y 的最小值为2．变式探究：∵3x >，∴30x ->，103x >-，∴133353y x x =+-+³=-，∴当133x x =--时，min 5y =，此时()231x -=，∴14x =，22x =（舍去），即4x =时，函数y 的最小值为5.拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x 米，与墙垂直的边为y 米，依题意得：91263x y +=，即3421x y +=，∵30x >，40y >，∴34x y +³，即21≥，整理得：14716xy ≤，即14716S ≤，∴当34x y =时max 14716S =，此时72x =，218y =，即每间隔离房长为72米，宽为218米时，S 的最大值为214716米．【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．18．有些同学会想当然地认为333()x y x y -=-．（1）举出反例说明该式不一定成立；（2）计算3()x y -；（3）直接写出当x 、y 满足什么条件，该式成立．【答案】（1）见解析；（2）33222()33x y x x y xy y -=-+-；（3）x y=【分析】（1）选一组使等式不成立的x 、y 值即可；（2）利用多项式乘以多项式的运算法则进行推导计算即可；（3）将x=y 代入等式中即可解答．【详解】解：（1）令2x =，1y = ，（反例不唯一）∵ 3()1x y -=，337x y -=， 17¹，∴该等式不一定成立；（2）3()x y -= 2()()y y x x ×--=22(2)()x xy y x y -+×-=322233x x y xy y -+-，即33222()33x y x x y xy y -=-+-（3）将x y =代入333()x y x y -=-中，得： 3()0x y -=，33330x y x x -==-，0=0，∴当x 、y 满足x=y 时，该式成立．【点睛】本题考查整式的混合运算、完全平方公式，熟练掌握整式的混合运算是解答的关键．19．计算：（1）8x 2y 2÷2y 2；（2）（﹣2a 2）3+4a 5•a ；（3）（x +2y ）2﹣2y （2x +y ）；（4）249922a a a a a --æö-¸ç÷--èø；（5）2323222221a a a a a a a a a a ++¸--+--；（6）23221x xy y x y x y x y æöæö--+¸-ç÷ç÷++èøèø．【答案】（1）4x 2；（2）-4a 6；（3）x 2+2y 2；（4）33a a -+；（5）21a ；（6）y x -．【分析】（1）根据单项式除以单项式可以解答本题；（2）根据积的乘方、单项式乘单项式和合并同类项可以解答本题；（3）根据完全平方公式、单项式乘多项式可以解答本题；（4）根据分式的减法和除法可以解答本题；（5）根据分式的除法和减法可以解答本题；（6）根据分式的减法和除法可以解答本题．【详解】解：（1）8x 2y 2÷2y 2=4x 2；（2）(-2a 2)3+4a 5•a=(-8a 6)+4a 6=-4a 6；（3）(x +2y )2-2y (2x +y )=x 2+4xy +4y 2-4xy -2y 2=x 2+2y 2；（4）2499(22a a a a a ---¸--(2)(49)22(3)(3)a a a a a a a ----=×-+-2249(3)(3)a a a a a --+=+-2(3)(3)(3)a a a -=+-33a a -=+；（5）2323222221a a a a a a a a a a ++¸--+--22(1)(1)(1)2(1)(1)(1)a a a a a a a a a a ++-=×--+-212(1)(1)a a a a a +=---212(1)a a a a +-=-21(1)a a a -=-21a =；（6）23221x xy y x y x y x y æöæö--+¸-ç÷ç÷++èøèø23(2)()2()x xy x y x y y x y x y x y---+-+=¸++2223222x xy x xy xy y x y x y y x y---+++=×+--222x xy y y x-+=-2()y x y x-=-y x =-．【点睛】本题考查分式的混合运算、整式的混合运算，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．20．长方形ABCD 和正方形CEFH ，按如图所示的方式叠放在一起，且长方形ABHG 与长方形DEFG 的周长相等（其中点D 在EC 上，点B 在CH 的延长线上，AD 和FH 相交于点G ），正方形CEFH 的边长为m ，长方形ABCD 的宽为x ，长为y （x ＜m ＜y ）．（1）写出x ，y ，m 之间的等量关系；（2）若长方形ABHG 的周长记作C 1，长方形DEFG 的周长记作C 2．①求C 1＋C 2的值（用含y 、m 的代数式表示）；②若关于y 的不等式C 1＋C 2＜10-2m 的正整数解只有2个，求m 的取值范围；（3）若长方形ABHG 的面积记作S 1，长方形DEFG 的面积记作S 2，试比较2S 2与S 1的大小，并说明理由．【答案】（1）2x +y =3m ；（2）①2m +2y ；②1≤m <32；（3）2S 2>S 1【分析】（1）根据长方形ABHG 与长方形DEFG 的周长相等列式求解即可；（2）①把长方形ABHG 与长方形DEFG 的周长相加整理即可；②根据C 1＋C 2＜10＋2m 列式求解；（3）分别表示出S 1，S 2，然后用作差法比较；【详解】解：（1）长方形ABHG 的周长=2x +2(y -m )=2x +2y -2m ，长方形DEFG 的周长=2m +2(m -x )=4m -2x ，∵长方形ABHG 与长方形DEFG 的周长相等，∴2x+2y-2m=4m-2x，∴2x+y=3m；（2）①C1＋C2=2x+2y-2m+4m-2x=2m+2y；②由C1＋C2＜10-2m，得2m+2y＜10-2m，∴y<5-2m，∵C1＋C2＜10-2m的正整数解只有2个，∴2<5-2m≤3，∴1≤m<32；（3）∵S1=x(y-m)=xy-xm，S2=m(m-x)=m2-mx，∴2S2-S1= 2m2-2mx- xy+xm，∵2x+y=3m∴y=3m-2x∴2S2-S1=2m2-2mx- x(3m-2x)+xm=2m2-4mx+2x2=2(m-x)2，∵x＜m＜y，∴2(m-x)2>0，∴2S2>S1．【点睛】本题考查了整式混合运算的应用，解一元一次不等式，根据题意正确列出算式是解答本题的关键．21．若一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，则称m为“方和数”．（1）100 “方和数”，110 “方和数”；（填写“是”或“不是”）（2）以下两个判断，正确选项的序号是 ．①两个“方和数”的和是“方和数”；②两个“方和数”的积是“方和数”．【答案】（1）是，不是；（2）②【分析】（1）根据“方和数”的概念计算求解；（2）①举反例进行分析说明；②根据方和数的概念，结合完全平方公式进行计算求解．【详解】解：（1）100=36+64=62+82，∴100是“方和数”，110不能写成两个正整数的平方和的形式，∴110不是“方和数”，故答案为：是，不是；（2）①两个“方和数”的和不一定是“方和数”，比如：2=12+12，13=22+32，∴2和13都是“方和数”，但2+13=15，而15不能写成两个正整数的平方和的性质，∴15不是“方和数”，故①错误；②设两个方和数分别为m ，n ，设m =a 2+b 2，n =c 2+d 2（a ，b ，c ，d 均为正整数），∴mn =（a 2+b 2）（c 2+d 2）=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2+2abcd -2abcd=（ac +bd ）2+（ad +bc ）2，∴mn 是“方和数”，故②正确，故答案为：②．【点睛】本题属于新定义题目，考查有理数的乘方运算，理解题意，掌握完全平方公式的结构特点是解题关键．22．通过课堂的学习知道，我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：例如()22223214(1)4x x x x x +-=++-=+-，()2222462232(1)8x x x x x +-=+-=+-，像这样先添加一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称之为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等等，如：因为222462(1)8x x x +-=+-，可知当1x =-时，2246x x +-的最小值是8-．请阅读以上材料，并用配方法解决下列问题：（1）因式分解：268x x ++；（2）已知a 是任何实数，若(23)M a =-(31)a -，3222N a a æö=--ç÷èø，通过计算判断M 、N的大小关系；（3）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个长方形菜园，菜园的一面靠墙，墙长为8米．设与墙壁垂直的一边长为x 米，①试用x 的代数式表示菜园的面积；②求出当x 取何值时菜园面积最大，最大面积是多少平方米？【答案】（1）()()42x x ++；（2）M ＞N ；（3）①2220x x -+；②当x =6时，菜园面积最大，最大面积为48平方米【分析】（1）根据完全平方公式把原式变形，根据平方差公式进行因式分解；（2）计算M -N 并配方，根据结果判断即可；（3）①根据长方形的面积公式计算即可；②将①中结果进行配方，根据结果利用非负数的性质．【详解】解：（1）2268691x x x x ++=++-=()231x +-=()()3131x x +++-=()()42x x ++；（2）M -N =()()32331222a a a a éùæö-----ç÷êúèøëû=()()32331222a a a a æö----+ç÷èø=226293232a a a a a --+-++=2485a a -+=()242145a a -+-+=()2411a -+＞0，∴M ＞N ；（3）①由题意可得：菜园的面积=()202x x -=2220x x -+；②由题意可得：0＜20-2x ≤8，解得：6≤x ＜10，2220x x -+=()2210x x --=()22102550x x --++=()22550x --+，∴当x =6时，菜园面积最大，最大面积为48平方米．【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．23．数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G ．Fubini ）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．（教材片段）：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是()2a b +，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为222a ab b ++，由此得到：()2222a b a ab b +=++．（1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；（用a 、b 表示）（2）利用上面结论解决问题：若6,2x y xy +==，则()2x y -=__________；（3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；（用a 、b 、c 表示）（4）利用上面结论解决问题：已知7,14a b c ab bc ac ++=++=，则222a b c ++=__________；（5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c 的小正方形），由此得到的等式为__________；（用a 、b 、c 表示）（6）若221,2,1a n b n c n =-==+，请通过计算说明a 、b 、c 满足上面结论．【答案】（1）()()224b a b a ab +=-+；（2）28；（3）()2222222a b c a b c ac ab bc ++=+++++；（4）21；（5）222+=a b c ；（6）见解析【分析】（1）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；（2）由（1）得到()()224x y x x y y +=-+，再将已知等式代入计算即可；（3）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；（4）根据（3）中结论，将已知等式代入计算即可；（5）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论；（6）分别计算出2a ，2b ，2c ，根据整式的混合运算法则可得结论．【详解】解：（1）大正方形整体表示面积为：()2a b +，大正方形部分和表示面积为：()24b a ab -+，∴由此可得等式为：()()224b a b a ab +=-+；（2）由（1）可得：()()224x y x x y y +=-+，∴x +y =6，xy =2，∴()22642x y =-+´，∴()236828x y -=-=；（3）大正方形面积整体表示为：()2a b c ++，大正方形面积部分和表示为：222222a b c ac ab bc +++++，故由此可得公式为：()2222222a b c a b c ac ab bc ++=+++++；（4）∵a +b +c =7，ab +bc +ac =14，∴由（3）可得：22227214a b c =+++´，∴222492821a b c ++=-=；（5）由题可得：大正方形面积整体表示为：()2a b +，大正方形面积部分和表示为：221422c ab c ab +´=+，∴()222a b c ab +=+，∴222+=a b c ；（6）∵21a n =-，2b n =，21c n =+，∴()22242121a n n n =-=-+，()22224b n n ==，()22242121c n n n =+=++，∴2242242221421a b n n n n n c +=-++=++=，∴222+=a b c ．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，用不同的方式表示出同一个图形的面积，解题时注意数形结合思想的运用．24．同学们，在数学课本第9章《整式乘法与因式分解》里学习了整式乘法的完全平方公式，还记得它是如何被发现的吗？（苏科版教材P75页）计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是2()a b +，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为222a ab b ++，由此得到：222()2a b a ab b +=++．（类比探究（1））：如图2，正方形ABCD 是由四个边长分别是a ，b 的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是_______（用a ，b 表示）（应用探索结果解决问题）：已知：两数x ，y 满足7x y +=，6xy =，求x y -的值．（类比探究（2））：如图3，正方形ABCD 的边长是c ，它由四个直角边长分别是a ，b 的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的式子是_________．（用a ，b ，c 表示，结果尽可能化简）（应用探索结果解决问题）：正方形ABCD 的边长是c ，它由四个直角边长分别是a ，b 的直角三角形和中间一个小正方形组成的，当22103,3a xb y ==时，4c =；当232a x =，22b y =时，3c =，求x ，y 的值．【答案】[类比探究（1）]：22()()4a b a b ab +=-+，±5；[类比探究（2）]：222+=a b c ；[应用探索结果解决问题]：23x y =ìí=î．【分析】[类比探究（1）]根据正方形ABCD 的面积2()a b =+，正方形ABCD 的面积2()4a b ab -+，即可得出22()()4a b a b ab +=-+；据此可得x y -的值．[类比探究（2）]根据正方形ABCD 的面积2c =，正方形ABCD 的面积21()42a b ab -+´，即可得出222+=a b c ；[应用探索结果解决问题]根据222+=a b c 可得关于x ，y 的方程组，求得x ，y 的值．【详解】解：（1）如图2，正方形ABCD 的面积2()a b =+，正方形ABCD 的面积2()4a b ab -+，22()()4a b a b ab \+=-+；22()()4x y x y xy +=-+Q ，且7x y +=，6xy =，249()24x y \=-+，即2()25x y -=，x y \-的值为5±；（2）如图3，正方形ABCD 的面积2c =，正方形ABCD 的面积21()42a b ab -+´，221()42c a b ab \=-+´，即222+=a b c ，Q 当23a x =，2103b y =时，4c =；当232a x =，22b y =时，3c =，\1031633292x y x y ì+=ïïíï+=ïî，解得23x y =ìí=î．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及解二元一次方程组，解决问题的关键是运用面积法得出完全平方公式：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2．解题时注意数形结合思想的运用．25．（知识生成）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形()a b >．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：a 2－b 2，图2中阴影部分面积可表示为(a +b )(a -b )，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a 2－b 2=(a +b )(a －b )；（拓展探究）图3是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形．（1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积：方法1： ，方法2： ；（2）由(1)可得到一个关于（a +b ）2、（a －b ）2、ab 的的等量关系式是 ；（3）若a +b ＝10，ab ＝5，则（a －b ）2＝ ；（知识迁移）（4）如图5，将左边的几何体上下两部分剖开后正好可拼成如右图的一个长方体．根。
华师大版八年级数学上第12章整式的乘除知能素养小专题(一)乘法公式的变形应用习题课件
八年级 数学 上册 华师版
5．已知 x2＋y2＝25，x＋y＝7. (1)求 xy 的值； (2)若 y＞x，求 x－y 的值．
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解：(1)xy＝12[(x＋y)2－(x2＋y2)]＝12×(72－25)＝12. (2)(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝72－4×12＝1. ∵y＞x，∴x－y<0. ∴x－y＝－1.
4．已知(a＋b)2＝19，ab＝2，求： (1)a2＋b2 的值； (2)(a－b)2 的值．
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解：(1)∵(a＋b)2＝19，ab＝2， ∴a2＋b2＋2ab＝19， ∴a2＋b2＝19－4＝15. (2)∵a2＋b2＝15， ∴(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝11.
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6．(1)已知 x＋y＝5，xy＝3，求 x2＋y2 的值； (2)已知 x－y＝5，x2＋y2＝51，求(x＋y)2 的值； (3)已知 x2－3x－1＝0，求 x2＋x12的值．
八年级 数学 上册 华师版
解：(1)∵x＋y＝5，xy＝3， ∴x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝25－6＝19. (2)∵x－y＝5， ∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝25， 又∵x2＋y2＝51，∴2xy＝26， ∴(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝51＋26＝77.
【针对训练】 1．若 a＋b＝3，ab＝1，则(a－b)2＝ A．4 B．5 C．6 D．7
( B)
八年级 数学 上册 华师版
2．已知(m－n)2＝8，(m＋n)2＝2，则 m2＋nLeabharlann 的值为A．10B．6
C．5
D．3
1 3．若 a－a＝
6，则 a2＋a12的值为__88__.
初高中衔接专题讲义一、数与式的运算(4课时)(可编辑修改word版)
专题一、数与式的运算课时一：乘法公式一、初中知识1.实数运算满足如下运算律：加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法的分配律。
2.乘法公式平方差公式： (a +b)(a -b) =a 2-b 2完全平方公式： (a ±b)2=a 2± 2ab +b 2二、目标要求1.理解字母可以表示数，代数式也可以表示数，并掌握数与式的运算。
2.掌握平方差公式和完全平方公式的灵活运用，理解立方和与差公式，两数和与差的立方公式以及三数和的完全平方公式。
三、必要补充根据多项式乘法法则推导出如下乘法公式（1）(x +a)(x +b) =x 2+ (a +b)x +ab（2）(ax +b)(cx +d ) =acx2+ (ad +bc)x +bd（3）立方和公式： (a +b)(a 2-ab +b 2 ) =a3+b3（4）立方差公式： (a -b)(a 2+ab +b 2 ) =a 3-b3（5）两数和的立方公式：(a +b)3=a3+ 3a 2b + 3ab2+b3（6）两数差的立方公式：(a -b)3=a3- 3a 2b + 3ab 2-b3（7）三数和的平方公式：(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+ 2ab + 2bc + 2ac四、典型例题例1、计算：（1）(x + 2)(x - 5) （3）(2x -1)3（2）(2x + 3)(3x - 2) （4）(2a +b -c)2例2：已知x +y = 3 ，xy = 8 ，求下列各式的值（1）x 2y 2；（2）x 2xy y 2；（3）( x y)2；（4）x 3y 3分析：（1）x 2y 2( x y)2 2 xy（2）x 2xy y 2( x y)2 3 xy（3）( x y)2( x y)2 4 xy（4）x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) ( x y)[( x y)2 3 xy] 例3：已知a +b +c = 4 ab +bc +ac = 4 求a 2+b 2+c 2的值分析： a2+b2+c2= (a +b +c)2- 2(ab +bc +ac) = 8变式：已知：x2- 3x +1= 0 ，求x3+1x3的值。
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题及答案(师)
专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题一、知识概述 1、平方差公式 由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a －b . 即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差. 2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； ③公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算． 3、完全平方公式 由多项式乘法得到（a±b） ＝a ±2ab＋b2 2 2 2 2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍. 推广形式：（a＋b＋c） ＝a ＋b ＋c ＋2ab＋2bc＋2ca 4、完全平方公式的特征 (a＋b) ＝a ＋2ab＋b 与(a－b) ＝a －2ab＋b 都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数 和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． ①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其 中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的 2 倍，两者也仅有一个符号不 同． ②公式中的 a、b 可以是数，也可以是单项式或多项式． ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算． 5、乘法公式的主要变式 （1）a －b ＝(a＋b)(a－b); （2）(a＋b) －(a－b) ＝4ab; （3）(a＋b) ＋(a－b) ＝2(a ＋b )； （4）a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab （5）a ＋b ＝(a＋b) －3ab(a＋b)． 熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程． 注意：(1)公式中的 a，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2二、典型例题讲解 例 1、计算： (1)(3a＋2b)(2b－3a)； (2)(x－2y)(－x－2y)；(3) (4)(a＋b＋c)(a－b－c). 解：；(1)原式＝(2b＋3a)(2b－3a) ＝(2b) －(3a) ＝4b －9a2 2 2 2(2)原式＝(－2y＋x)(－2y－x) ＝(－2y) －x ＝4y －x2 2 2 2(3)原式＝＝＝ (4)原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] ＝a －(b＋c)2 2 2 2＝a －(b ＋2bc＋c ) ＝a －b －2bc－c 例 2、计算： (1)2004 －19962 2 2 2 2 22(2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2(3)(2x＋y－3)(2x－y－3)． 解：(1)2004 －1996 ＝(2004＋1996)(2004－1996) ＝4000×8＝32000 (2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2 2 2 2＝[(x－y＋z)＋(x＋y－z)][ (x－y＋z)－(x＋y－z)]＝2x(－2y＋2z)＝－4xy＋4xz （3）(2x＋y－3)(2x－y－3)＝[(2x－3)＋y][(2x－3)－y] ＝(2x－3) －y ＝4x －12x＋9－y ＝4x －y －12x＋9； 例 3、计算： (1)(3x＋4y) ； (3)(2a－b) ；2 2 2 2 2 2 2 2 2(2)(－3＋2a) ； (4)(－3a－2b)22解：(1)原式＝(3x) ＋2·3x·4y＋(4y) ＝9x ＋24xy＋16y2 2 22(2)原式＝(－3) ＋2·(－3)·2a＋4a ＝4a －12a＋922(3)原式＝(2a) ＋2·2a·(－b)＋(－b) ＝4a －4ab＋b2 222(4)原式＝[－(3a＋2b)] ＝(3a＋2b)2 22＝(3a) ＋2·(3a)·2b＋(2b) ＝9a ＋12ab＋4b2 22例 4、已知 m＋n＝4， mn＝－12，求(1)；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）2．例 5、多项式 9x ＋1 加上一个单项式后，使它能够成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ________(填上一个你认为正确的即可)． 分析： 解答时，很多学生只习惯于课本上的完全平方的顺序，认为只有添加中间(两项的乘积的 2 倍)项，即 9x ＋1＋6x＝(3x＋1) 或 9x －6x＋1＝(3x－1) ；但只要从多方面考虑，还会得出2 2 2 2，9x ＋1－1＝9x ＝(3x) ， 9x ＋1－9x ＝12， 所以添加的单项式可以是 6x，22222－6x，，－1，－9x ．2答案：±6x 或 例 6、计算：或－1 或－9x2，并说明结果与 y 的取值是否有关． 解：从上述结果可以看出，结果中不含 y 的项，因此结果与 y 的取值无关． 点评： (1)利用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的 a，哪一项是公式中的 b； (2)通常在各因式中， 相同项在前， 相反项在后， 但有时位置会发生变化， 因此要归纳总结公式的变化， 使之更准确的灵活运用公式． ①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a －b ； ②符号变化：(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b) －a ＝b －a ； ③系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a) －(2b) ＝9a －4b ； ④指数变化：(a ＋b )(a －b )＝(a ) －(b ) ＝a －b ； ⑤连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a ＋b )(a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(a ＋b )＝(a －b )(a ＋b ) ＝a －b ； ⑥逆用公式变化：(a－b＋c) －(a－b－c)2 2 8 8 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 3 3 3 3 3 2 3 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝[(a－b＋c)＋(a－b－c)][(a－b＋c)－(a－b－c)] ＝4c(a－b)． 例 7、已知 ．求 分析：的值．若直接代入求解则十分繁杂。
初高中衔接知识专题乘法公式
初高中衔接知识专题乘法公式
先来看今天的知识点：
乘法公式：
1. 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b
2.
2. 立方和公式： (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b
3.
3. 立方差公式： (a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3.
4. 完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2;
(a-b)2=a2-2ab+b2;
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
5. 完全立方公式：
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
这些公式可以用多项式乘多项式的方法，通过计算获得，亲爱的同学，你可以把这些公式作为练习，自己计算一下.
记忆这些公式时，要注意以下几点：
第一：要注意公式中有负号时，负号所处的位置.
第二：完全平方公式展开后，每一项的次数都是2，如果某一项里面有两个字母，它的系数也是2，如： 2ab；如果某一项是单独一个字母的平方，它的系数是1，如： a2.
完全立方公式与此类似.
有“负号”的那个完全立方公式，展开后，如果某一项含有b的奇数次方，这一项的符号就是“负号”. 如： -3a2b，因为它含有b的一次方，所以它的符号是“负号”.
千万不要小看上面的这两道例题哦，它们不但经常会出现在初中的一些探究题中，而且可以作为最基本的模型，在高中的好多知识模块中都能用到. 亲爱的同学，你一定要好好琢磨这两道例题的特点和解法，最好能自己再做一遍.。
小专题(一) 乘法公式的综合应用
小专题(一) 乘法公式的综合应用乘法公式是初中数学中的重要公式,也是中考常见的考点之一.平方差公式:(a+b )(a-b )=a 2-b 2,公式的左边是两个数的和乘这两个数的差,右边正好是这两个数的平方差,两边都有差的运算,关键要准确把握谁减去谁.完全平方公式:(a+b )2=a 2+2ab+b 2,(a-b )2=a 2-2ab+b 2,公式的左边是两个数的和(或差)的平方,右边是这两个数的平方和,再加上(或减去)这两个数积的2倍,两边的符号是一致的,要准确把握符号问题.在解决问题时,要注意观察式子的特点,选择合适的方法和解题思路,不要拘泥于公式的形式,而要深刻理解,加以灵活运用.完全平方公式的常见变形有:a 2+b 2=(a+b )2-2ab=(a-b )2+2ab ;ab=12[(a+b )2-(a 2+b 2)]=14[(a+b )2-(a-b )2]=(a+b 2)2−(a -b 2)2; (a+b )2+(a-b )2=2a 2+2b 2.类型1 直接应用公式1.计算:(x-3y+2z )(x+3y-2z ).解:原式=[x-(3y-2z )][x+(3y-2z )]=x 2-(3y-2z )2=x 2-[(3y )2-2×3y×2z+(2z )2]=x 2-9y 2+12yz-4z 2.类型2 逆用公式2.(上海中考)计算:(a+1)2-a 2.解:原式=2a+1.类型3 变形应用公式3.(枣庄中考)若m-1m =3,则m 2+1m 2= 11 .4.若x+y=3,且(x+2)(y+2)=12.(1)求xy 的值;(2)求x 2+3xy+y 2的值.解:(1)由(x+2)(y+2)=12,得xy+2(x+y )+4=12,因为x+y=3,所以xy=2.(2)因为x2+3xy+y2=(x+y)2+xy,又x+y=3,xy=2,所以原式=(x+y)2+xy=32+2=11.类型4整合公式5.已知实数a,b满足(a+b)2=1,(a-b)2=25,求a2+b2+ab的值.解:由(a+b)2=1,得a2+2ab+b2=1,①由(a-b)2=25,得a2-2ab+b2=25,②①+②,得a2+b2=13,①-②,得ab=-6,所以a2+b2+ab=13+(-6)=7.类型5解决探究问题6.(1)如图1,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示),通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积,可以得到乘法公式为a2-b2=(a+b)(a-b).(用含a,b的等式表示)(2)运用(1)中所得到的公式,计算下列各题:①20192-2020×2018;②2(x-y-3)(x-y+3).解:(2)①20192-2020×2018=20192-(2019+1)×(2019-1)=20192-(20192-1)=1.②2(x-y-3)(x-y+3)=2[(x-y)2-9]=2(x2-2xy+y2-9)=2x2-4xy+2y2-18.。
第16讲乘法公式一
第16讲乘法公式(一)【学习目标】1. 认识并熟悉两大基本公式的应用2. 配方思想基础【专题简介】乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用•公式中的每一个字母，一般可以表示数字，单项式，多项式，有的还可以推广到分式，根式•乘法公式是整式恒等变形的基础之一，是整个代数的运算基础之一，因此乘法公式的熟结使用将直接影响初中代数能力，而学习乘法公式的关键就在于多练习多应用【专题分类】(1) 平方差公式及应用： ________________________________________________________(2) 完全平方公式及应用： ______________________________________________________(3) 配方思想： ______________________________________________________知识导航【常见乘法公式】1、二元二次：(I) ( a+ b)(a-b) =2(2) _________________ ( a+ b) = __ .2、三元二次：(3) ____________________ (a+ b+ c) 2= .2 2 2⑷ a + b + c + ab+ be+ ca= ___________________ . ________________3、二元三次：3(5) ________________________ (a+ b) = __________ .(6) a3+ b3= _________________ . __________________【拓展乘法公式】4、三元三次：(7) ( a+ 1)( b+ 1)( c+ 1) = abc+ ab+ bc+ ca+ a+ b+ c+ 12 2 2 2 2 2(8) ( a+ b( b+ c)( c + a) = a b+ b c+ c a+ ab + bc + ca + 2abc(9) ( a+ b+ c)( ab+ bc + ca) = a2b+ b2c+ c2a+ ab2+ bc2+ ca2+ 3abc(10) a3+ b3+ c3- 3abc= (a+ b+ c)( a2+ b2+ c2- ab-bc- ca)5、三元四次：4 4 4 2 2 2 2 2 2(II) ( a+ b+ c)( a+ b- c)( b+ c- a)( c + a- b) = - a - b -c + 2a b + 2b c + 2c d6、二元n次：(12) a n-b n= (a-b)( a n-1+ a n-2b+ a n-2b2+……+ ab n-2+ b n-1)(13) a n+ b n= (a+ b)( a n-1—a n-2b+ ... —ab n-2+ b n-1) (n为奇数)模块一平方差公式应用题型一公式证明【例1】如图，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是a分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式题型二题型三 公式相关计算 公式应用 基础夯实• 【例3】 (1)92 X 88(2) 2003 X 2001 — 20022. (3)19902 — 19892 + 19882 — 19872+…+ 22— 12;【练 3 (1) 60- 59233强化挑战2432【例 4】计算：(2 + 1)(2 + 1)(2 + 1)…(2 + 1) + 1ab【练1】如图，在边长为 a 的正方形中剪去一一个边长为 b 的小正方形(a >b ),把剩下的部(2)已知a20062006 20082007,c2007 2009 2008比较三者大小【练4】(3 + 1)(3 2+ 1)(3 4+ 1)(3 8+ 1)(3 16+ 1)【例5】296- 1有可能被60 - 70之间的两个整数整除，试求出这两个数【练5】已知334- 1可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数模坎二完全平方公式及应用题型一公式证明【例6】如图所示的几何图形可以表示的公式是baba【练6】请设计一个几何图形，验证 2 2 2(a- b) = a —2ab+ b .题型二公式计算基础夯实【例7】(1)( —8a+ 11b)2(2)( —2x —【练7】计算(1)(3 a2b+ O5 ab2)2(2)(11 a m—13b n)2;⑶(2 x—5)(5 —2x) —(2x —5)2.强化挑战2 2【例3】计算:(1)( x+ 2) (x—2) ; (2)((3)( a+ b+ c)( a—b—c);1(4) 先化简,再求值:(3 x + 2)(3 x —2) —5x( x —1) —(2x —1),其中x = 3；【练8】(1)计算:(x—y)2—(x+ y)( x —y);2⑵先化简，再求值:x y (x y)(x y) 2x,其中x= 3, y= l .5⑶计算：3 13 12x y z y z 2x :5 3 5 3⑷计算：(a2+ ab+ b2)( a2—ab+ b2);x + 5y —9)( x—5y + 9);(5) 计算:(2 x —y+ 2)( y —2x+ 2).题型三 公式应用【例 9】 填空:⑴ a 2 + b 2= (a + b )2—; (2)a 2 +b 2= (a — b )2+ ; ⑶ a 2+ b 2= -[+ ](4)(a —b )2= (a + b )2—;2(5) ab ===【程百灵录入】【练 9】已知 a b 3,ab 1,求：(1) a 2 b 2 ； ( 2) a 3a b 25，求 a 2b 2ab 的值•2【练10】已知实数a,b 满足 a b 1，【例10】已知a b 3，a 2b ab 230，则 a 2ab b 211b 3；( 4)a 4b 4.模块三配方思想1.基本配方2 2【例11】填空：(1) x2____ 4y x 2y ；( 2) 9a2121b23a2(3) 4m 4mn 2 小2m _____ ； (4) _______ 6xy【练11】(1)如果多项式kx19是一个完全平方式，那么k的值为9(2) 如果多项式x2kx 4是一个完全平方式，那么k的值为【例12】若整式4x2Q 1是完全平方式，请你写一个满足条件的多项式【练12】若式子9x2M 4是完全平方式，请你写一个满足条件的多项式M是.【例13】求下列式子的最值：(1 )当x为何值时，x24x 9有最小值；(2 )当x为何值时，x26x 15有最大值•【练13】求a24b22a 4b 3的最值•【例14】求多项式2x24xy 5y212y 13的最值.【练14】若a,b为有理数，且2a22ab b24a 4 0，则a2b ab2第16讲尖端班课后作业乘法公式（一）【习1】从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其戴成四个相同的等腰梯形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）. ,2 2 , 22 2.2A. a b a bB.a b a 2ab b2C. a b a b a b2D.a b 2 2a 2ab b2【习2】下列各式中，不能用平方差公式计算的是（图1A. 4x 3y 3y 4xB. 小2 2^2 22x y 2x yC. a b c c b aD.2 22A. a 是b 的相反数B. a 是 b 的相反数C. a 是b 的倒数D. a 是 b 的倒数 【习4】如图，大正方形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的.如果大正方 形的面积是13，小正方形的面积是1，设直角三角形较短直角边为 a ，较长直角边为b ，那2么a b 的值为（ ）【习 5】 2 右 4x mxy 1 2-y 是一个完全平方式, 4 则 m ( )A.2B.1C.1 D.【习 6】 已知：a b 7 , ab 3，则 a 2 b 2的值是（ )A.55B.43C.20D.13【习 7】 2 2若 2a 3b 2a 3b，则括号内的式子是（ ）A.55B. 24abC. 12ab D18ab【习3】（第16届希望杯2试）a b 4，则一定成立的是（ 【习 8】 x 2 2 k 25是一个整式的平方时，则 k 的值（A.8 2B. C. D.8【习 9】 将方程 x 2 4x o 的左边配成一个完全平方式，方程可以变为（2A . x 2 5 B. C.D.2 【习10】（第21届“希望杯”全国数学邀请赛初 2第1试）四个多项式：① a 2 b 2 :② x 2 y 2 ；③49x 2y 2 z 2 ；④16m 4 25n 2p 2，其中不能用平方差公式分解的 是 （填写序号）【习 11】计算：2 1 22 1 24 1 28 1 1 .【习12】已知x 2 y 2 25 , x y 7，且x > y ，则x y 的值等于 .【习13】已知xy 4, x y 5，则x 2 5xy y 2【习14】若9x 2 24xy A 2是一个完全平方式，则 A【习17】计算：2x y 3 2x y 31 1 1 1 1 1 - 1 - 1 一 256 22n2 4 16 【习15】计算:【习16】计算:2a b 3c 2a b 3c【习21】若m 2 2mn 2n 2 6n 9 0，求m 和n 的值.【习21】(苏州市2010-2011学年度第二学期期末试卷初一数学)化简求值: (1 )若 x 2 2y 2 2xy 4y 4 0,求 x y 的值；(2)已知a,b,c 是 ABC 的三边长，满足 a 2 b 2 10a 8b 41，且c 是 ABC 中最长 的边，求c 的取值范围【习18】计算:3x 2x 2【习19】已知x y 5, xy 3，求 x 2 y 2 , X y , x 4 y 4 的值. 【习20】已知x y 4, xy 3，求(1)- x -;(2) x 2y y 2 / 、2 xy ； (3) x。
专题1.3 乘法公式-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.3 乘法公式-重难点题型【北师大版】【题型1 乘法公式的基本运算】【例1】（2021•锦江区校级开学）下列运算正确的是（ ）A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可．【解答】解：A、结果是x2﹣y2，原计算正确，故本选项符合题意；B、结果是x2﹣2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；C、结果是x2+2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；D、结果是y2﹣x2，原计算错误，故本选项不符合题意；故选：A．【变式1-1】（2021春•龙岗区校级期中）下列关系式中，正确的是（ ）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2【分析】根据完全平方公式判断即可．【解答】解：A 选项，原式＝a 2﹣2ab +b 2，故该选项计算错误；B 选项，原式＝﹣（a +b ）2＝﹣a 2﹣2ab ﹣b 2，故该选项计算错误；C 选项，原式＝a 2+2ab +b 2，故该选项计算错误；D 选项，原式＝[﹣（a +b ）]2＝（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故该选项计算正确；故选：D ．【变式1-2】（2021春•舞钢市期末）下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ）A ．（m +1）（﹣1+m ）B ．（2a +3b ﹣5c ）（2a ﹣3b ﹣5c ）C ．2021×2019D ．（x ﹣3y ）（3y ﹣x ）【分析】平方差公式，要求有一项完全相同，另一项互为相反项．根据公式的结构特点解答即可．【解答】解：不能用平方差公式计算的是（x ﹣3y ）（3y ﹣x ）＝（x ﹣3y ）×[﹣（x ﹣3y ）]＝﹣（x ﹣3y ）2，故选：D ．【变式1-3】（2021春•龙岗区校级月考）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）A ．（2a +b ）（2b ﹣a ）B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a +2b ）C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a +3b ）D ．（13a +1）（―13a ―1）【分析】只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；【解答】解：A ．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B ．原式＝﹣（2b +a ）（2b ﹣a ），符合平方差公式，故本选项符合题意；C ．原式＝﹣（2a ﹣3b ）（2a ﹣3b ），只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；D ．原式＝﹣（13a +1）（13a +1）只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B ．【题型2 完全平方公式（求系数的值）】【例2】（2021春•仪征市期中）若多项式4x 2﹣mx +9是完全平方式，则m 的值是（ ）A ．6B ．12C ．±12D ．±6【分析】根据完全平方公式得到4x 2﹣mx +9＝（2x ﹣3）2或4x 2﹣mx +9＝（2x +3）2，即4x 2﹣mx +9＝x 2﹣12x +9或4x 2﹣mx +9＝x 2+12x +9，从而得到m 的值．【解答】解：∵多项式4x2﹣mx+9是一个完全平方式，∴4x2﹣mx+9＝（2x﹣3）2或4x2﹣mx+9＝（2x+3）2，即4x2﹣mx+9＝x2﹣12x+9或4x2﹣mx+9＝x2+12x+9，∴m＝12或m＝﹣12，故选：C．【变式2-1】（2021春•南山区校级期中）如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）A．4B．16C．±4D．±16【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵x2+8x+m2是一个完全平方式，∴m2＝16，解得：m＝±4．故选：C．【变式2-2】（2021春•新城区校级期末）已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为 ±4 ．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．【解答】解：∵（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2＝x2+kxy+（2y）2（m、k为常数），∴m＝±2，∴（x±2y）2＝x2±4xy+4y2＝x2+kxy+4y2，∴k＝±4．故答案为：±4．【变式2-3】（2021春•邗江区期中）若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝ 3或﹣1 ．【分析】根据完全平方公式得出2（m﹣1）x＝±2•x•2，求出m即可．【解答】解：∵x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，∴﹣2（m﹣1）x＝±2•x•2，解得：m＝3或﹣1．故答案为：3或﹣1．【题型3 完全平方公式的几何背景】【例3】（2021春•兴宾区期末）有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）A．13B．19C．11D．21【分析】设A，B两个正方形的边长各为a、b，则由题意得（a﹣b）2＝3，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝16，所以正方形A，B的面积之和为a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，代入即可计算出结果．【解答】解：设A，B两个正方形的边长各为a、b，则图甲得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝3，由图乙得（a+b）2﹣（a2+b2）＝（a2+2ab+b2）﹣（a2+b2）＝2ab＝16，∴正方形A，B的面积之和为，a2+b2＝（a2﹣2ab+b2）+2ab＝（a﹣b）2+2ab＝3+16＝19，故选：B．【变式3-1】（2021春•芝罘区期末）用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（ ）A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【分析】由观察图形可得阴影部分的面积为4ab，也可以表示为（a+b）2﹣（a﹣b）2，可得结果．【解答】解：∵图形中大正方形的面积为（a+b）2，中间空白正方形的面积为（a﹣b）2，∴图中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，又∵图中阴影部分的面积还可表示为4ab，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故选：D．【变式3-2】（2021春•岚山区期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ）A．3B．6C．12D．18【分析】设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a＝3b，则（a﹣b）²＝4b²＝16，解得b＝2即可就得最后结果．【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a＝3b，则（a﹣b）²＝（3b﹣b）²＝（2b）²＝4b²＝4²＝16，解得b＝2或b＝﹣2（不合题意，舍去），∴每个小长方形的面积为，ab＝3b•b＝3×2²＝12，故选：C．【变式3-3】（2021春•深圳期中）有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ）A．28B．29C．30D．31【分析】设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，可解得a﹣b＝1，图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可得（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab＝1+2×12＝25，可得a+b＝5，所以图丙中阴影部分的面积为（2a+b）²﹣（3a²+2b²）＝a²+4ab﹣b²＝（a+b）（a﹣b）+4ab，代入就可计算出结果．【解答】解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，解得a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去），图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可得（a+b）²＝a²+2ab+b²＝a²﹣2ab+b²+4ab＝（a﹣b）²+4ab＝1+2×12＝25，解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），∴图丙中阴影部分的面积为（2a+b）²﹣（3a²+2b²）＝a²+4ab﹣b²＝（a+b）（a﹣b）+2×2ab＝5×1+2×12＝5+24＝29，故选：B．【题型4 平方差公式的几何背景】【例4】（2021•庐江县开学）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（ ）A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】分别表示图1、图2中阴影部分的面积，根据两者面积相等，即可得出结论．【解答】解：∵图1中的阴影部分面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积为：12（2b+2a）（a﹣b），∴a2﹣b2=12（2b+2a）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．【变式4-1】（2021春•博山区期末）如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1C．（x+1）2＝x2+2x+1D．x（x﹣1）＝x2﹣x【分析】用代数式分别表示出图1和图2中白色部分的面积，由此得出等量关系即可．【解答】解：图1的面积为：（x+1）（x﹣1），图2中白色部分的面积为：x2﹣1，∴（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，故选：B．【变式4-2】（2021春•洪江市期末）如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【分析】利用大正方形面积减去4个小正方形面积即可得出图（1）中阴影部分的面积；根据矩形的面积公式可得图（2）的面积，据此可得结果．【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣4b2；图（2）中长方形的长是a+2b，宽是a﹣2b，面积是（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，∴（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2．故选：C．【变式4-3】（2020春•阳谷县期末）如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．【分析】分别表示出两个图形的面积，再根据面积相等得出等式即可．【解答】解：图1面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b），因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【题型5 乘法公式（求代数式的值）】【例5（2021春•邗江区校级期末）若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．（1）求（x﹣2）（y+2）的值；（2）求x2﹣xy+y2的值．【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，将各自的值代入计算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，∴（x﹣2）（y+2）＝xy+2（x﹣y）﹣4＝﹣1+6﹣4＝1；（2）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy＝9+（﹣1）＝8．【变式5-1】（2021•宁波模拟）已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝ 5 ．【分析】由（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy进行解答．【解答】解：∵（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，∴（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy，∴58﹣18＝8xy，∴xy＝5．故答案是：5．【变式5-2】（2021春•驿城区期末）已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 53 ．【分析】运用完全平方公式（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可解决此题．【解答】解：∵a﹣b＝9，ab＝﹣14，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝a2+b2﹣2×（﹣14）＝81．∴a2+b2＝81+（﹣28）＝53．故答案为53．【变式5-3】（2021春•聊城期末）已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代数式的值：（1）ab；（2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3．【分析】（1）把a﹣b＝6两边平方，展开，即可求出ab的值；（2）先分解因式，再整体代入求出即可．【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，a2+b2＝20，∴（a﹣b）2＝36，∴a2﹣2ab+b2＝36，∴﹣2ab＝36﹣20＝16，∴ab＝﹣8；（2）∵a2+b2＝20，ab＝﹣8，∴﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3＝﹣ab（a2+2ab+b2）＝﹣（﹣8）×（20﹣16）＝32．【题型6 乘法公式的综合运算】【例6】（2020秋•东湖区期末）实践与探索如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的等式是 A ；（请选择正确的一个）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 4 ．②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【分析】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；（2）①利用平方差公式将4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），再代入计算即可；②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可．【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：A；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，又∵2a+b＝6，∴6（2a﹣b）＝24，即2a﹣b＝4，故答案为：4；②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，…22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．【变式6-1】（2021•滦南县二模）【阅读理解】我们知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，所以ab=(a b)24―(a b)24=(a b2)2―(a b2)2．利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．例：51×49=(51492)2―(51492)2=502―12=2500﹣1＝2499．【发现运用】根据阅读解答问题（1）填空：102×98＝ （102982） 2﹣ （102982） 2；（2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8．【分析】（1）根据规律解答即可；（2）根据规律计算19.2×20.8即可．【解答】解：（1）102×98=(102982)2―(102982)2；故答案为：（102982），（102982）；（2）19.2×20.8=(19.220.82)2―(19.220.82)2=202﹣0.82＝400﹣0.64＝399.36．【变式6-2】（2021春•平顶山期末）我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab=(a b)2(a2b2)2等．根据以上变形解决下列问题：（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ 20 ．（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 10 ．【分析】（1）将a2+b2＝8，（a+b）2＝48代入题干中的推导公式就可求得结果；（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，则（25﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算即可；（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为12（a+b）（a+b）―12a²―12b²=12[（a+b）²﹣（a²+b²）]=12×2ab＝ab＝10．【解答】（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝48，∴ab=(a b)2(a2b2)2=4882=20，（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴（25﹣x）2+（x﹣10）2＝[（25﹣x）+（x﹣10）]²﹣2（25﹣x）（x﹣10）＝15²﹣2×（﹣15）＝225+30＝255，（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为12（a+b）（a+b）―12（a²+b²）=12[（a+b）²﹣（a²+b²）]=12×2ab＝ab＝10【变式6-3】（2021春•滨江区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1： （a+b）2 ；方法2： a2+b2+2ab ；（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 （a+b）2＝a2+b2+2ab ；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．【分析】（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；（2）由（1）直接可得关系式；（3）①由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25，两式子直接作差即可求解；②设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，可得x+y＝1，再由已知可得x2+y2＝5，先求出xy＝﹣2，再求（2021﹣a）（a﹣2020）＝﹣2即可．【解答】解：（1）方法一：∵大正方形的边长为（a+b），∴S＝（a+b）2；方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，∴S＝b2+ab+ab+a2＝a2+b2+2ab；故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；（2）由（1）可得（a+b）2＝a2+b2+2ab；故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（3）①∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13①，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25②，由①﹣②得，﹣4ab＝﹣12，解得：ab＝3；②设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，∴x+y＝1，∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，∴x2+y2＝5，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，∴2xy＝1﹣（x2+y2）＝1﹣5＝﹣4，解得：xy＝﹣2，∴（2021﹣a）（a﹣2020）＝﹣2．。
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专题一乘法公式的复习一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，x y y x x2y2②符号变化，x y x y x2y2 x2y2③指数变化，x2y2x2y2x4y4④系数变化，2a b2a b4a2b2⑤换式变化，xy z m xy z mxy2z m2x2y2z m z mx2y2z2zm zm m2x2y2z22zm m2⑥增项变化，x y z x y zx y2z2x y x y z2x2xy xy y2z2x22xy y2z2⑦连用公式变化，x y x y x2y2x2y2x2y2x4y4⑧ 逆用公式变化，x y z 2x y z 2 x y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z4xy 4xz例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴22b a +=ab b a 2)(2-+∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222=⨯-例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 222b ab a +-∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2)(b a -∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482=⨯-例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？ 例7．运用公式简便计算（1）1032 （2）1982例8．计算（1）a 4b 3c a 4b 3c （2）3x y 23x y 2例9．解下列各式（1）已知a 2b 213，ab 6，求a b 2，a b 2的值。
（2）已知a b 27，a b 24，求a 2b 2，ab 的值。
（3）已知a a 1a 2b 2，求222a b ab +-的值。
（4）已知13x x -=，求441x x +的值。
例11．计算 （1）x 2x 12 （2）3m n p 2两数和的平方的推广a b c 2a b c 2 a b 22a b c c 2 a 22ab b 22ac 2bc c 2a 2b 2c 22ab 2bc 2ac 即a b c 2a 2b 2c 22ab 2bc 2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
例1. 计算：()()53532222x y x y +- 解：原式()()=-=-53259222244x y x y (二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2. 计算：()()()()111124-+++a a a a例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
例4. 计算：()()57857822a b c a b c +---+四、变用: 题目变形后运用公式解题。
例5. 计算：()()x y z x y z +-++26五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。
这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：()()()()()()()12223244222222222222....a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a b ab +-=+-+=+++-=++--=灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例6. 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。
解：()a b a b ab 2222242526+=-+=+⨯=例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1 计算(-2x 2-5)(2x 2-5)分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ，而“2x 2”则是公式中的b ．解：原式=(-5-2x 2)(-5+2x 2)=(-5)2-(2x 2)2=25-4x 4．例2 计算(-a 2+4b )2分析：运用公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2时，“-a 2”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2”就是公式中的b ．（解略）（二）、注意为使用公式创造条件例3 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)．分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x ”、“5”两项同号，“y ”、“z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．解：原式=〔(2x +5)+(y -z )〕〔(2x +5)-(y -z )〕=(2x +5)2-(y -z )2=4x 2+20x +25-y +2yz -z 2．例4 计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．解：原式=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2=[(a3-1)(a6+a3+1)]2=(a9-1)2=a18-2a9+1例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．解：原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=（28-1）（28+1）=216-1（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例6 计算(2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单．解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy·10，∴xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40．(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1．例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决．解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2=4a2+4b2+4c2（五）、注意乘法公式的逆运用例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac．例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=[(2a+3b)+(4a-5b)]2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2四、怎样熟练运用公式：（一）、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了。
（三）、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．常见的几种变化是：1、位置变化如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）3、数字变化如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．4、系数变化 如（4m +2n ）（2m －4n ）变为2（2m +4n ）（2m －4n ）后即可用平方差公式进行计算了．5、项数变化 如（x +3y +2z ）（x －3y +6z ）变为（x +3y +4z －2z ）（x －3y +4z +2z ）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．（四）、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a 2+1）2·（a 2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a 2+1）（a 2－1）]2=（a 4－1）2=a 8－2a 4+1．对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－221）（1－231）（1－241）…（1－291）（1－2101），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．即原式=（1－21）（1+21）（1－31）（1+31）×…×（1－101）（1+101）=21×23×32×34×…×109×1011 =21×1011=2011． 有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a 2+b 2=（a +b ）2－2ab ，a 2+b 2=（a －b ）2+2ab 等．用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．如已知m +n =7，mn =－18，求m 2+n 2，m 2－mn + n 2的值．面对这样的问题就可用上述变式来解，即m 2+n 2=（m +n ）2－2mn =72－2×（－18）=49+36=85，m 2－mn + n 2= （m +n ）2－3mn =72－3×（－18）=103．下列各题，难不倒你吧？！1、若a +a 1=5，求（1）a 2+21a ，（2）（a －a 1）2的值． 2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．（答案：1.（1）23；（2）21．2. 6 ）。