电磁场问题泊松方程分离变量解法的程序设计
泊松方程求解
泊松方程求解泊松方程是一种重要的常微分方程，也称作“梯度偏微分方程”，它一般用来描述解析物理场的分布情况，是数学物理学等多个学科的重要工具。
它是1807年由于法国数学家泊松首先提出的，有着深远的历史和文化价值。
由于泊松方程在自然科学中的广泛应用，为了正确地求解这一方程，对于研究者们来说有着特别重要的意义。
二、求解的原理及方法泊松方程的形式一般如下：$frac{partial^2f}{partialx^2}+frac{partial^2f}{partial y^2}=0$它的求解原理可由泊松定理推导得出：泊松定理：若$f(x,y)$满足$frac{partial ^2f}{partialx^2}+frac{partial ^2f}{partial y^2}=0$，则存在实常数$lambda$，使$f(x,y)=e^{lambda x}e^{lambda y}$是它的解。
将泊松定理引入泊松方程的求解，易得得出：$f(x,y)=e^{lambda x}e^{lambda y}$为它的解，其中$lambda$是函数$f(x,y)$的常数。
三、应用实例(1) 一维泊松方程设电场强度$E$满足一维泊松方程：$frac{partial^2E}{partial x^2}+frac{partial ^2E}{partial y^2}=0$ 根据泊松定理，得出解：$E=Ae^{lambda x}+Be^{lambda y}$其中，$A$和$B$是常数，$lambda$是函数$E$的常数。
(2) 二维泊松方程设温度$T$满足二维泊松方程：$frac{partial ^2T}{partialx^2}+frac{partial ^2T}{partial y^2}=0$根据泊松定理，得出解：$T=Ce^{2lambda x}+De^{2lambda y}$ 其中，$C$和$D$是常数，$lambda$是函数$T$的常数。
四、计算机求解(1)值计算在计算机上，求解泊松方程最常用的方法是对方程进行数值计算，即以格点数值的方式，将求解的区域离散为一系列的小正方形，把每个格点处的函数变量替换为它所在小正方形上的参数，然后基于格点数值技术，穷举出每个格点处的函数变量，从而求解出该方程。
2.3分离变量法
0 2 3 E 0 (cos er sin e ) R E 0 cos 3 er 2 0 r
1 R E 0 sin 3 e 2 0 r
3
0
其中
(cos er sin e ) ez
第二项和第三项之和实际上是一个等效的放在原
点的偶极子在球外产生的电场，其电偶极矩为
0 3 p 40 R E0 2 0 因此，球外区域的电场为： E1 E0 E 1 3( p r )r p 而 E 3 5 40 r r 同理得到球内电场
一、分离变量法求拉普拉斯方程的通解
1. 在直角坐标系中
2
2
x
2
2
y
2
2
z
2
0
设
( x, y, z ) X ( x)Y ( y ) Z ( z )
在数学物理方法中，该方程的通解的
( x, y, z ) ( A1 cos k x x A2 sin k x x)
2 0 1 1 r E0 r cos E0 rP (cos ) 1 (r R) 1 r R 2 r R 2 1 0 n r R n r R
2 0 2 2 r 0 有限值 2 1 r R rR 1 2 0 n n r R
(r R)
(r R)
讨论此题解的物理意义
球内、外的电场强度为
球外电场：E1 1 0 1 1 3 er e E 0 r cos R E 0 2 cos r r 2 0 r
工程电磁场第6章电磁场边值问题的解析方法
h
h
为零， q 和 q 使半球面电位为零。四个电荷共同作
用下，半球面的电位为零。
50
四个电荷共同产生的电场，其电位 在无限大平面和半球面上为零，满足边 界条件。镜象电荷得以确定。
51
52
直流线路产生电场的镜像法
1. 输电线路电场计算模型
实际输电线路的每条相导线(对应于 交流输电线路)或极导线(对应于直流输电 线路)一般采用分裂导线结构，即每条相 导线或极导线一般是指一个导线束。导 线束中的每条导线称为子导线，每条相 导线或极导线中子导线的个数称为此条 相导线或极导线的分裂数，每条相导线 或极导线中相距最近的两条子导线之间 的距离称为此条相导线或极导线的分裂 间距。
得方程组
q q q
1
2
解上述方程组，得
q q q
q 1 2 q ； q 2 2 q
1 2
1 2
44
确定了镜象电荷的位置和电荷量。 由 q 和 q 计算上半空间的电场，由 q 可计算下半空间的 电场。
45
例 6-3-1 计算无限大导体平面上方点电荷 q 在导体平面
当位函数u 在坐标系中只随一个坐标变化时， 问题可以用一维模型表示。 当右端项 f 函数表达式 不复杂时，一维泊松方程一般可以用解析积分方法 求解。根据问题的性质，选择合适的坐标系。
2
直角坐标系
如图6-1-1, 在直角坐标系中， 若u 只与坐标x 有关，不随 y 、z 变化，则一维泊松方 程为
两边积分一次
q 和距离 b 。
31
P
q 4r
q 4r
根据前面要求的条件， P 0 ，有
q q ； 4r 4r
数理方程第二章分离变量法
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
电磁场与电磁波简答题及答案试题库
电磁场与电磁波简答题及答案试题库1. 写出⾮限定情况下麦克斯韦⽅程组的微分形式，并简要说明其物理意义。
2.答⾮限定情况下麦克斯韦⽅程组的微分形式为,,0,D BH J E B D t tρ=+??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。
1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界⾯时的边界条件。
2. 时变场的⼀般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。
(或⽮量式2n D σ= 、20n E ?=、2s n H J ?=、20n B = )1. 写出⽮量位、动态⽮量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。
2. 答⽮量位,0B A A == ；动态⽮量位A E t ??=-?-? 或AE t ??+=-??。
库仑规范与洛仑兹规范的作⽤都是限制A 的散度，从⽽使A的取值具有唯⼀性；库仑规范⽤在静态场，洛仑兹规范⽤在时变场。
1. 简述穿过闭合曲⾯的通量及其物理定义2.sA ds φ=是⽮量A 穿过闭合曲⾯S 的通量或发散量。
若Ф>0，流出S ⾯的通量⼤于流⼊的通量，即通量由S ⾯内向外扩散，说明S ⾯内有正源若Ф< 0，则流⼊S ⾯的通量⼤于流出的通量，即通量向S ⾯内汇集，说明S ⾯内有负源。
若Ф=0，则流⼊S ⾯的通量等于流出的通量，说明S ⾯内⽆源。
1. 证明位置⽮量x y z r e x e y e z =++的散度，并由此说明⽮量场的散度与坐标的选择⽆关。
2. 证明在直⾓坐标系⾥计算，则有()()xy z x y z r r e e e e x e y e z xy z =++?++ ??????3x y zx y z=++= 若在球坐标系⾥计算，则 23==??由此说明了⽮量场的散度与坐标的选择⽆关。
泊松方程的解析解求解方法研究
泊松方程的解析解求解方法研究泊松方程是数学中的一个重要方程，广泛应用于物理、工程和生物学等领域。
在实际问题中，通过求解泊松方程的解析解，可以得到系统的精确解，从而更好地理解问题的本质和特性。
本文将探讨泊松方程的解析解求解方法的研究。
一、泊松方程的基本概念泊松方程是一个二阶偏微分方程，形式为∇²u = f(x, y, z)，其中u是未知函数，f是给定函数。
泊松方程在物理学中描述了电势、温度、流体流动等问题，具有广泛的应用价值。
二、分离变量法分离变量法是求解泊松方程的常用方法之一。
其基本思想是假设解具有可分离变量的形式，即u(x, y, z) = X(x)Y(y)Z(z)，将泊松方程代入得到三个关于X、Y和Z的常微分方程。
通过求解这些常微分方程，可以得到泊松方程的解析解。
三、傅里叶变换法傅里叶变换法是另一种求解泊松方程的常用方法。
其基本思想是将泊松方程进行傅里叶变换，将其转化为代数方程。
通过求解代数方程，可以得到泊松方程的解析解。
傅里叶变换法在信号处理领域有广泛应用，可以将时域问题转化为频域问题，简化求解过程。
四、格林函数法格林函数法是求解泊松方程的一种重要方法。
其基本思想是构造泊松方程的格林函数，然后将给定的边界条件代入格林函数，通过积分得到泊松方程的解析解。
格林函数法适用于各种边界条件和非均匀介质情况下的泊松方程求解，具有较高的求解精度。
五、变分法变分法是一种数学方法，可以用于求解泊松方程的解析解。
其基本思想是将泊松方程转化为一个变分问题，通过求解变分问题的极值，得到泊松方程的解析解。
变分法在物理学中有广泛应用，特别是在量子力学中，可以用于求解薛定谔方程。
六、数值方法与解析解的对比虽然解析解具有精确性和简洁性的优势，但在实际问题中，往往很难求得解析解。
此时，数值方法成为一种有效的求解泊松方程的手段。
数值方法通过将连续问题离散化，转化为离散问题，通过数值计算得到近似解。
相比之下，数值方法更加灵活和适用于复杂问题，但解的精度受到离散化误差的限制。
第四章之分离变量法
l 1 1 ln l ln C 2 2 2 2 2 2 d 2 d cos d 2 d cos
由于导体圆柱接地，所以当 a 时，电位应为零，即
l 1 1 ln l ln C 0 2 2 2 2 2 a a d 2ad cos 2 a d 2ad cos
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
确定待定系数
(0, y ) 0
C0 y D0 Bn Cn sinh kn y Dn cosh kn y 0
n 1
B0 0, Bn 0
x, y A0 x C0 y D0 An sin kn x Cn sinh kn y Dn cosh kn y
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
4.4.1 直角坐标系中的分离变量法 在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为
2 2 2 0 2 x y 将 (x,y)表示为两个一维函数X(x)和Y(y)的乘积，即
( x, y) X ( x)Y ( y)
将其代入拉普拉斯方程，得
若取λ＝－k2 ，则有
d 2 X ( x) 2 k X ( x) 0 2 dx
当k
0
X ( x) X 0 ( x) A0 x B0 Y ( y) Y0 ( y) C0 y D0
( x, y) 0 ( x, y) X 0 ( x)Y0 ( y) ( A0 x B0 )(C0 y D0 )
y
b
U0
o
a
x
因 (0,y)＝0、 (a,y)＝0，故位函数的通解应取为
高二物理竞赛课件：方程的分离变量解法
方程的分离变量解法
若 Hˆ可写为 Hˆ Hˆ 0 Hˆ s
分离变量 (r , sz , t) (r , t)(sz , t)
代回到 (6.3-7)有
i
1 (r , t)+i t
1
t
( sz
,t)
1
Hˆ 0
(r
,
t )+
1
Hˆ s(sz
,
t)
得到两部分波函数满足的薛定谔方程
cos(t) 0 b(t) 0; | sin(t) | 1| a(t) | 1;
t (2n 1)
, n 0,1,2,3,
gsBB
自旋向上 / 2
当 t n
即 t 2n , n 0,1,2,3, gsBB
从 t gs B B
翻转
自旋向下 / 2
当从低能级到高能级，从外场吸收能量，吸收能量； 当从高能级到低跃迁能级，放出能量。
当 0 ，体系在两能级间跃迁称为电子自旋共振
设t时刻，电子自旋的态矢量
(
sz
,
t
)
a(t b(t
) )
满足 i
t
a(t) b(t )
Mˆ s
(B
B0
)
a(t)
b(t
)
gs
e 2me
Sˆ
(B costeˆx
B sinteˆy
B0eˆz
)
a(t b(t
) )
gs 2
exp(
i
gsB B0
2
t)
cos
g
s
2
B
B
t
exp(
i
gsB B0 t )
泊松方程的解法及应用
泊松方程的解法及应用泊松方程是关于无限大区域内的某个标量势函数的二阶偏微分方程。
它在物理学和工程学中广泛应用，例如在电场、热传导、流体力学和弹性力学等领域。
本文将介绍泊松方程的解法及其在实践中的应用。
一、泊松方程的定义与基本性质泊松方程是具有如下形式的偏微分方程：∇²u = -ρ其中u是标量势函数，ρ是源项，∇²是拉普拉斯算子。
这个方程可以通过库伦定律推导出电力学中的几乎所有问题，是许多物理学领域研究的基础。
泊松方程有一些基本性质。
首先，它是线性的，也就是说，如果两个不同的源项ρ₁和ρ₂产生的标量势函数分别是u₁和u₂，那么对于常数a和b，它们的线性组合a u₁ + b u₂是对应于线性组合aρ₁ + bρ₂的标量势函数。
其次，它是反演对称的，也就是说，如果标量势函数u满足泊松方程，那么-u也满足泊松方程。
二、泊松方程的解法在实际应用中，我们需要求解泊松方程，以便计算出场的分布。
泊松方程的解法通常可以分为两种：1. 分离变量法分离变量法是将u(x, y, z)表示为三个独立变量x, y, z的函数的积的形式，即u(x, y, z) = X(x) Y(y) Z(z)，然后将泊松方程代入并对每个独立变量进行求导，最终得到连个常微分方程和一个初值问题，可由此得到标量势函数u的解析解。
2. 数值解法当求解泊松方程的解析解十分困难或不可能时，可以通过求解离散化的差分方程来得到数值解。
一般使用有限差分法、有限元法或谱方法，这些方法分别将无限大区域内的标量势函数划分为有限数量的子域，并在子域内使用数值技巧求解差分方程。
三、泊松方程在工程学中的应用泊松方程在物理学和工程学中的应用广泛，下面将介绍其中两个重要的应用：电势分布和热传导问题。
1. 电势分布在电场问题中，泊松方程描述了电场中的电势分布。
假设我们有一个电荷分布ρ(x, y, z)，根据库伦定律，它产生了电场。
泊松方程可以帮助我们计算出哪些区域具有高电势、低电势以及电压梯度等性质。
《电磁场论》球坐标系下一维分离变量法
例一、 电荷体密度为 例一、空中放一个半径为 a 的均匀带电球体， 的均匀带电球体， ρ ，介电常数为 ε ，求各区的电位 φ ，电场强度 E 。 （选无穷 （选无穷 远为电位零点） 远为电位零点） 1）用高斯定理求解 2）解泊松方程、 解泊松方程、拉普拉斯方程。 拉普拉斯方程。 提示： 提示：在球系下， 在球系下，
r
得
ϕ1 = ∫
∞
r
ρ a3 ρ a3 dr = 2 3ε 0 r 3ε 0 r
3 ∞ ρa ρr ρ 2 2 ρ a2 dr + ∫ dr = ( a − r ) + a 3ε r 2 3ε 6ε 3ε 0 0
ϕ2 = ∫
a
r
2、解泊松方程、 解泊松方程、拉普拉斯方程
2
∇ 2ϕ1 = 0
∇ 2ϕ 2 = −
E = −∇ϕ = −er ∂ϕ ρ r Vab ρ ab(b + a) 1 = − + e 2 r ∂r 3ε b − a 6ε r
5
1
以以 o 为圆心， 为圆心，以 r 为半径做一球形高斯面， 为半径做一球形高斯面，根据高斯定理
∫ D ⋅ ds = ∑ q
s
可得
D1 =
同理可得
ρ a3
3r
2
er
D2 =
ρr
3
er
根据本构关系得
ρ a3 E1 = er 3ε 0 r 2
E2 =
ρr er 3ε
0
电位可由场强积分计算
ϕ = ∫ E dr
ρ ε
由 对 称 性 可 知 ， 电 位 只 是 r 的 函 数 ， 所 以
∇ 2ϕ =