群论61群论基础
群论群论基础课件
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
群论基本知识及一些重要定理
群论基本知识及⼀些重要定理群论⼀.基本定义群：给定⼀个集合G={a,b,c...}和集合上的⼆元运算"·"，要求满⾜下⾯四个条件①.封闭性：对于任意a,b\in G，⼀定存在c\in G，使得a·b=c②.结合律：对于任意a,b,c\in G,有(a·b)·c=a·(b·c)③.单位元：存在e\in G，使得对任意a\in G,有a·e=e·a=a④.逆元：对任意a\in G，均存在b\in G,使得a·b=e，其中b称作a的逆元，记作a^{-1}=b如果⼀个集合满⾜这个条件，那么就称这个集合是在运算·下的⼀个群⼦群：设G是⼀个群，H是G的⼀个⼦集，且H在相同意义下仍然构成⼀个群，那么称H是G的⼀个⼦群接下来将运算a·b简记为ab⼆.基本性质：①.⼀个群的单位元是唯⼀的②.群中任意元素的逆元是唯⼀的③.对a,b,c\in G，若ab=ac，则b=c④.(abcd...m)^{-1}=m^{-1}l^{-1}...a^{-1}（这⾥做⼀个说明：群的定义及性质中均没有要求交换律，因此不要想当然地在群运算中进⾏交换操作！）三.置换群：（接下来的内容有个⼈理解成分在内，如果有不准确的部分请及时指出，谢谢！）1.置换的定义：记⼀个序列{a_{n}}={a_{1},a_{2}...a_{n}}是1~n的⼀个排列定义⼀个置换p=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}其含义是⽤a_{1}取代原来的元素1，⽤a_{2}取代原来的元素2...⽤a_{n}取代原来的元素n置换的运算定义如下：设两个元素p_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix},p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n} \end{pmatrix}，则运算p_{1}p_{2}过程如下：p_{1}p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&...&a_{n}\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}}\end{pmatrix}同理可以看出：如果我们计算p_{2}p_{1}，则得到的结果应当是\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{b_{1}}&a_{b_{2}}&...&a_{b_{n}} \end{pmatrix} 2.置换群的定义：那么定义置换群G={p_{1},p_{2}...p_{m}}不难发现，n个元素的⼀个置换与1~n的⼀个排列相对应，因此由1~n的全排列所对应的n!个置换可以构成⼀个群，记作S_{n}，称S_{n}为n 个⽂字的对称群（|S_{n}|=n!）3.循环的定义：但是我们发现，每次写⼀个置换太复杂了，因此我们给出⼀个简单记法：记(a_{1},a_{2}...a_{m})=\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&...&a_{m}\\a_{2}&a_{3}&...&a_{1} \end{pmatrix}稍微解释⼀下：原本的⼀个置换可以写作\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}，那么我们可以把这个置换群写成这个形式：\begin{pmatrix} 1&a_{1}&...&n\\a_{1}&a_{p}&...&a_{q} \end{pmatrix}也就是说我们直接把⼀个置换连续相接，就能得出⼀个循环，这样得出的循环就是上⾯那个形式但是，⼀个循环中不⼀定会出现所有n个元素，⽽且⼀个置换可能需要由⼤量这种循环来构成举个例⼦：S_{3}={(1)(2)(3),(2 3),(1 2),(1 3),(1 2 3),(1 3 2)}可以发现，每个元素不⼀定会出现在每个循环之中，原因是如果⼀个元素i满⾜i=a_{i}，那么这个元素就不必（也⽆法）写⼊循环了⽽且，如果对于每个i都有a_{i}=i，那么肯定不能全都省略，因此对于这种由多个循环组成的置换我们⼀般把它写成⼀个循环乘积的形式。
第七章 群论基础 - ===欢迎访问结构化学精品课程网站===
⎡ −1 ⎢ 2 ⎢ 2 ˆ C3 = ⎢ − 3 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 3 2 2 0⎤ ⎥ ⎥ ˆ (240) 0⎥ = C 3 ⎥ 1⎥ ⎥ ⎦
ˆ φ = 1200 C 3,
n
y ' = x sin φ + y cos φ
(x, y)
φ
α
z' = z
⎡ x' ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡cos φ ⎢ '⎥ ˆ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ y ⎥ = C (φ ) ⎢ y ⎥ = ⎢ sin φ ⎢ z' ⎥ ⎢ ⎣z⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 ⎣ ⎦ − sin φ cos φ 0 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ y⎥ 0⎥ ⎥⎢ ⎥ 1⎥ ⎦⎢ ⎣z⎥ ⎦
理论与计算化学实验室
第七章 群论基础
量子化学与群论
Ĉ3
Ĉ
Ĉ3
3
3
Ĉ
3=
Ĉ
3
2
Ĉ3
=Ê
Ĉ3
旋转轴次 n =
2π
α
； α 为基转角 （规定为逆时针旋转）
理论与计算化学实验室
第七章 群论基础
量子化学与群论
7.2.2 分子点群
分子中或多或少地存在一些对称元素, 这些对称元 素对应的对称操作的组合满足群的定义, 构成群, 称为对 称操作群. 因为分子中的对称元素至少通过一点公共点, 故称为点群. 对称操作构成群的命题可以用通过乘法表示验证：
量子化学与群论
对称操作的表示矩阵为：
⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ ⎣ a31
a12 a22 a32
a13 ⎤ ⎥ a23 ⎥ a33 ⎥ ⎦
群论的基本概念和运算
群论的基本概念和运算群论是数学中的一个重要分支，研究的是集合上的一种代数结构，称为群。
群具有丰富的数学性质和广泛的应用，是现代数学中不可或缺的基础工具。
本文将介绍群论的基本概念和运算。
一、群的定义和基本性质群是一个非空集合G，配上一种二元运算"·"，如果满足下列四个条件：1.封闭性：对于任意的a，b∈G，a·b也属于G。
2.结合律：对于任意的a，b，c∈G，有(a·b)·c = a·(b·c)。
3.单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a·e = e·a = a。
4.逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a'∈G，使得a·a' = a'·a = e。
群的基本性质如下：1.单位元唯一性：群中的单位元只有一个。
2.逆元唯一性：群中的元素的逆元唯一。
3.消去律：若a·b = a·c，则b = c；若b·a = c·a，则b = c。
二、群的示例下面以一些常见的群为例介绍群的概念。
1.整数加法群（Z，+）：整数集合配上加法运算构成一个群。
单位元为0，每个元素的逆元为其相反数。
2.整数乘法群（Z*，×）：整数集合去掉0后，配上乘法运算构成一个群。
单位元为1，每个非零整数的逆元为其倒数。
3.矩阵群（GL(n，R)）：n阶实数矩阵集合中，可逆矩阵配上矩阵乘法运算构成一个群。
单位元为单位矩阵，每个可逆矩阵的逆矩阵存在且唯一。
4.置换群（Sn）：由n个元素的全排列组成的集合，配上排列的乘法运算构成一个群。
单位元为恒等排列，每个排列的逆排列存在且唯一。
三、群的运算群的运算包括闭包性、结合律、单位元和逆元。
群运算的一些性质如下：1.闭包性：群的运算必须满足封闭性，即群中的任意两个元素的运算结果仍然属于群。
2.结合律：群的运算必须满足结合律，即对于群中的任意三个元素a，b，c，有(a·b)·c = a·(b·c)。
群论课件ppt
元素数量是有限的集合。
03
02
置换
将一个有限集合的元素重新排列。
乘法
置换之间的运算。
04
循环群
01
02
03
循环群
由一个元素生成的群，即 置换群中所有元素都是该 元素的循环。
循环
将一个元素替换为另一个 元素，其它元素保持不变 。
元素生成
由一个元素开始，通过重 复应用某种变换得到的所 有元素。
群论课件
目录
• 群论基础 • 置换群 • 群论的应用 • 群表示论 • 群论中的问题与挑战 • 群论与其他数学领域的联系
01
CATALOGUE
群论基础
群的定义
群是由一个集合和定义在这个集合上 的一个二元运算所组成的一个代数结 构。这个二元运算被称为群中的“乘 法”。
群中的元素可以是有理数、整数、矩 阵、变换等，具体取决于实际应用和 研究领域。
群论与几何学的联系
对称性
群论在几何学中广泛应用于描述对称性。例 如，晶体学中的晶格结构可以用群论来描述 其对称性。此外，在几何图形中，我们也可 以用群论来描述图形的对称变换。
几何形状的分类
通过群论的方法，我们可以对几何形状进行 分类。例如，根据其对称性，我们可以将几 何形状分为不同的类型。这种分类方法有助 于我们更好地理解和研究几何形状的性质和
群表示是群论中一个重要的概念，它有助于将群的结构和性质转化为线性 代数的语言，从而更好地理解和研究群。
特征标与维数
01
特征标是群表示的一个重要概念 ，它描述了群在某个向量空间上 的作用方式。
02
特征标是一个函数，将群中的每 元素映射到复数域上，它反映
了群元素的性质和作用方式。
第1章群论基础
(1.1.14)
于是, 生成元的任意乘积可以写成标准的形式qmpn, 从而|G| = 6. 群的乘法见表 1.3.
e p p2 q qp qp2 e e p p2 q qp qp2 p p p2 e qp2 q qp p2 p2 e p qp qp2 q q q qp qp2 e p p2 qp qp qp2 q p2 e p qp2 qp2 q qp p p2 e
1.3.3 其它的同态定理* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 群在集合上的作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
环群的生成元, 并记成
Cn = ⟨g|gn = e⟩.
(1.1.12)
一般的群可能有多个生成元, 这些生成元的集合称为群的生成元组. 例如
G = ⟨p, q|p3 = e, q2 = e, (qp)2 = e⟩
(1.1.13)
有2个生成元, 生成元的乘法满足如下的“对易关系”,
(qp)2 = q(pq)p = e pq = q−1p−1 = qp2,
1.5 群的直积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.1 直积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6.3 小阶群表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
群论基础-第1章 群的基本知识
其中的元素左乘或右乘仍为该群 G. ( 群中群论无顺序 )
Ak G = G Ak = G
*
五 子群和陪集
P.12
1 子群 (subgroup)
(1) 定义：群 G 中集合 S 在相同的群乘下构成的群，为 G
的子群
( 2) 显然子群：（1）E， （2）G
(3) 子群 S 的条件和检验: （1）不变元素；
σˆv σˆv σˆv σˆ v Ĉ32 Ê Ĉ31 σˆv σˆv σˆ v σˆv Ĉ31 Ĉ32 Ê
P.8 5 列表
群的名称 数群 置换群 矩阵群 对称群
群元
群乘
数 运算(加、乘等)
置换
相继置换
矩阵
矩阵乘法
对称操作 相继操作
举例 例(1) Z3群 d3群 D3群
*
七 不变子群
P.19
1 定义：有子群 N G
若 XNX- 1 = N 或 XN = NX （X 为 G 中的任一元素）
则 N为不变子群
2 性质
(1)不变子群必包括一个或几个完整的类
（即不变子群由完整的类构成）
证明：若 群元 C N ( 注意 群元 C 与类 C 不同)
则 X C X- 1 N （∵ XNX- 1 = N, C N ）
= (YX)A(YX)-1 = ZAZ-1 ( Z = YX G )
故 C 与 A 共轭
(3) 相似矩阵
矩阵群中彼此共轭的元为彼此相似的矩阵
*
2 类: 群 G 中彼此共轭的群元构成类
P.17
对于类 C, 自然有 XCX-1 = C ( X为群 G 中任一群元)
[提问: 为什么?]
3 类的性质
(1) 单位元自成一类 （XEX-1= E）
第1章 群论基础
第1章群论基础11.1基本概念..........................................11.1.1群的定义......................................11.1.2群的乘法......................................11.1.3群的生成元....................................21.1.4更多例子......................................31.1.5半群,环和域*...................................41.2群的分拆..........................................41.2.1集合的分拆....................................51.2.2共轭类.......................................51.2.3子群和陪集....................................61.2.4Lagrange 定理...................................71.2.5不变子群和商群..................................71.2.6双陪集*......................................81.3群的分类..........................................81.3.1同态和同构....................................81.3.2同态基本定理...................................91.3.3其它的同态定理*.................................101.4群在集合上的作用.....................................111.4.1置换群.......................................111.4.2置换可表示为轮换的乘积............................131.4.3置换群的共轭类..................................141.4.4置换表示......................................141.4.5轨道........................................161.5群的直积..........................................171.5.1直积........................................171.5.2半直积.......................................171.6有限群的分类定理*....................................181.6.1Abel 群的分类...................................191.6.2非Abel 群的分类..................................191.6.3小阶群表.......... (19)文件生成时间:2007年10月3日试用讲义.请不要在网上传播.您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.1基本概念§1.1.1群的定义定义1(群)设G 是一些元素的集合,G ={g ,h ,···}.在G 中已经定义了二元运算·,如果G 对这种运算满足一下四个条件,•封闭:∀f ,g ∈G ,f ·g ∈G ;•结合率:∀f ,g ,h ∈G ,(f ·g )·h =f ·(g ·h );•存在唯一的单位元素:∃e ∈G ,∀f ∈G ,e f =f e =f ;•有逆:∀f ∈G ,∃唯一的f −1∈G ,f ·f −1=f −1·f =e ,则称代数结构(G ,·)是一个群,二元运算“·”称为群的乘法.二元运算是一种映射,ϕ:G ×G →G ,ϕ(f ,g )=h⇐⇒f ·g =h .在不引起歧义的情况下,我们会省略乘法符号.群G 的元素个数称为群的阶,记为|G |.根据群的元素个数,可以将群分为有限群(元素的数目有限)和无限群(元素的数目无限).在无限群中,连续群可以用一个或多个实参数来标记群的元素.另一种对群的分类方式,是按照群的乘法是否可以交换位置.定义2(Abel 群)G 是群,并且满足∀a ,b ∈G ,ab =ba ,(1.1.1)则称群G 是Abel 群.Abel 群的乘法一般又称为加法.例1实数的集合按数值加法运算(R ,+)构成Abel 群.例2非零实数的数值乘法(R \{0},*)构成Abel 群.例3n -维非奇异复矩阵按矩阵乘法构成非Abel 群GL(n,C ).§1.1.2群的乘法有限群的乘法规则可以用乘法表来表示.一元群{e }的乘法规则为ee =e .对于二元群G ={e ,a },有ee =e ,ea =a ,ae =a .a 2def=aa 有两种可能,•a 2=e ;•a 2=a ,两边同时乘以a −1,得a =e .于是可得乘法表1.1.三元群G ={e ,a ,b }的乘法规则同样可以用定义群的四个条件确定.其中a 2有三种可能,您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文e e a aae表1.1:二元群的乘法表a ab e bbe a表1.2:三元群的乘法表–ab =e b =a −1=a , ;–ab =a b =e , ;–ab =b a =e , .•a 2=a a =e , .•a 2=b ,ab =e ,ba =e ,b 2=a . 所以三元群只有一种,其乘法表列于表1.2中.很明显,以这种方式来确定乘法表非常不方便.后面讲述的一系列定理将帮助我们有效地研究群的性质.从刚才的乘法表中可以看出,群的各个元素在每一行都出现了一次,在每一列中也出现了一次.这是一个普遍性质,定理1(重排定理)群G 的乘法表的每一行(或列)都含有所有元素,只是排列顺序改变了:a ∈G , aG =G ,Ga =G .(1.1.2)证明G 封闭⇐⇒∀g ∈G ,ag ∈G ⇐⇒aG ⊆G .同样可得a −1∈G ,a −1G ⊆G ,G ⊆aG .故aG =G .重排定理1.1.2对所有的群都成立,包括无限群.连续群的乘法无法列表,例如U (1)def= g (θ)|g (θ)def =e i θ,θ∈[0,2π](1.1.3)其乘法规则为g (θ3)=g (θ1)g (θ2),(1.1.4)θ3=θ1+θ2(1.1.5)其中ϕ(θ1,θ2)=θ1+θ2(1.1.6)称为连续群的结合函数,对应有限群的乘法表.§1.1.3群的生成元先来看一种特殊的有限群.定义3(循环群)C n def={e ,g ,g 2,···,g n −1|g n =1}.(1.1.7)您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.1基本概念·3·其中g k 表示k 个g 相乘.循环群的所有元素都可以由g 自乘得到,所以我们把它称为循环群的生成元,并记成C n = g |g n =e .(1.1.8)一般的群可能有多个生成元,这些生成元的集合称为群的生成元组.例如G = p ,q |p 3=e ,q 2=e ,(qp )2=e(1.1.9)有2个生成元,生成元的乘法满足如下的“对易关系”,(qp )2=q (pq )p =e pq =q −1p −1=qp 2,(1.1.10)于是,生成元的任意乘积可以写成标准的形式q m p n ,从而|G |=6.群的乘法见表1.3.e p p 2q qp qp 2ee p p 2q qp qp 2p p p 2e qp 2q qp p 2p 2e p qp qp 2q q q qp qp 2e p p 2qp qp qp 2q p 2e p qp 2qp 2qqppp 2e表1.3: p ,q 群的乘法表e a b c df e e a b c d f a a e d f b c b b f e d c a c c d f e a b d d c a b f e ffbcaed表1.4:D 3群的乘法表对有限群,必有∀g ∈G ,∃n ,m ∈N ,n >m ,g n =g m .(1.1.11)记k def=n −m ∈N ,那么g k =e ,(1.1.12)称使上式满足的最小自然数k 为元素g 的阶.有限群的生成元的数目是有限的,其中最小的数目称为有限群的秩.§1.1.4更多例子例4(正三角形的对称群)D 3={e ,a ,b ,c ,d ,f },如图1.1所示,乘法规则列于表1.4中.例5(四元群)除了循环群C 4外,还有一个四元群–反演群(Klein 群)V 4,其乘法规则如表1.5所示.其中P 表示空间反射,T 表示时间反演,PT =T P .V 4是Lorentz 群的分立子群.1P T PT 11P T PT P P 1PT T T T PT 1P PTPT T P 1表1.5:反演群的乘法表例6(二维Euclid 群)二维空间的转动及平移变换g (θ,a ,b ) x 1x 2def =cos θsin θ−sin θcos θ x 1x 2 + ab (1.1.13)您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文·4·第1章群论基础e 不动,a 绕1轴转180◦,b 绕2轴转180◦,c 绕3轴转180◦,d 绕z 轴逆时针转120◦,f绕z 轴逆时针转240◦.x图1.1:例7(仿射群)群元素g (α,β)对实数的作用定义为x def=g (α,β)x ≡αx +β,(1.1.14)这是一个2参数的非Abel 群.例8(SL(2,C )){A 2×2|A jk ∈C ,det A =1}.在矩阵乘法下构成群.§1.1.5半群,环和域*定义4(半群)如果一个集合S 上定义了二元运算“·”,且二元运算满足封闭性和结合率,则称代数结构(S ,·)为半群.定义5(环)在集合R 上定义两个二元运算加法“+”和乘法“·”,并且满足•(R ,+)是Abel 群(其单位元记为0);•(R ,·)是半群;•满足分配率,∀a ,b ,c ∈R ,a (b +c )=ab +ac ,(b +c )a =ba +ca ,(1.1.15)则称代数结构(R ,+,·)为环.如果环的乘法满足交换率则称为交换环;如果环的乘法有单位元素则称为含幺环.例9(多项式环)自变量x 的实系数多项式在加法和乘法构成含幺交换环.定义6(体和域)如果含幺环的非零元素都有逆,则称为体.如果含幺交换环的非零元素都有逆,则称为域.例10(四元数体)实四元数a +b i +c j +d k 构成体.例11有理数域Q ,实数域R 和复数域C .§1.2群的分拆研究群的方法和高等数学中的方法不同.一个基本的方法是把群“切开”来研究.您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不文您可以阅读、打印，但不文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文您可以阅读、打印，但不可以拷贝本文§1.2群的分拆·5·§1.2.1集合的分拆群是集合,所以我们回顾一下在集合论中怎样把集合分开.定义7(关系)集合A ×A 的一个子集又称为集合A 上的关系.设在集合A 上定义了关系R ,则a ,b ∈A 有R 关系⇐⇒(a ,b )∈R ⇐⇒a ∼b .(1.2.1)定义8(等价关系)集合A 上满足以下三个条件的关系称为等价关系:∀a ∈A ,a ∼a ;(自反)(1.2.2)a ∼b ⇒b ∼a ;(对称)(1.2.3)a ∼b ,b ∼c ⇒a ∼c .(传递)(1.2.4)例12在人际关系中,“认识”、“朋友”不是等价关系;“同学”、“同民族”是等价关系。
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3 子群 在 G4(2)中，子集：{E, A}; {E, B}; {E, C} 构成较小的群——子
群。 定理： g 阶群 G 的任意子群 H, 它的阶 h 必为 g 的除数。即， g =hn, n 为整数。 如：G6 的子群的阶是：6 和 1，2，3。 4类 若 A = X-1BX, 称 A 和 B 共轭。若 A 和 B 及 C 共轭，则 B 与 C
共轭。相互共轭的元素完整集合称为群的类。 所有类的阶必定是群阶的整数因子。
Ex 2 把 G3, G4(1), G4(2), G5 群的元素整理成类。
6.2 对称点群
1 对称元素与对称操作
C3
σv C2
σv C2
σh C2 σv
AB3
对称元素
对称操作
——————————————————————————
A2
A2 E A
— 循环群
G = { X, X2, X3, …, Xn = E}
— Abel 群 AB = BA.
四阶群 (i) 四阶循环群
X = A X2 = B X3 = C X4 = E
G4(1) E A B C E E A BC A ABCE B B CE A C C EAB
(ii)
G4(2) E A B C E E A BC A AECB B B CE A C C BAE
E AB
E
EAB
A
ABE
B
BE A
(i) 若 AA = A2 = E -> BB = B2 = E; -> AB = B -> A = E（不合理）
(ii) 若 AA = A2 = B, AB = AA2 = A3 = E; BA = E, BB = A.
G3
E A A2
E
E A A2
A
A A2 E
σv(3)Biblioteka σv(2)σv(1)
+ σv(1)
σv(3)
σv(2) σv(1)
σv(3)
C3
σv(2)
+
σv(3)
σv(1)
C3σv(1) = σv(1)
σv(1) C3 = σv(3) ...
C3V E
C3
C32 σv(1)
EE
C3 C32 σv(1)
C3 C3
C32 E
σv(3)
C32 C32 E
反演中心 (i): 对称操作：i，i2 = E；i2k = E, i2k+1 = i. (1 个操作) 对称轴(Cn): 对称操作：Cn, Cn2, Cn3, …, Cnn =E. (n 个操作)
C2, C3, C4, … 非真轴 (Sn): 对称操作：Sn= Cnσh = σhCn
n 为偶数：Sn, Sn2, Sn3, …, Snn = Cnnσhn = E. (n 个操作) n 为奇数：Sn, Sn2, Sn3, …, Snn = Cnnσhn = σh，
1． 平 面
通过平面的反映
2． 对称中心或反演中心
通过中心的反演
3． 真 轴
绕轴的转动
4． 非真轴
绕轴的转动-随之在垂直于
转轴的平面中反映
———————————————————————————
对称面 (σ)： 对称操作：σ，σ2 = E；σ2k = E, σ2k+1 = σ. (1 个操作) σv, σh, σd
H
σv(2)
σv(1)
H
H
σv(3)
C3 σv(1) = σv(2), C3C3 σv(1) = C32 σv(1) = σv(3) 所以，三个对称面等价。
3 对称点群
分子点群：对称操作的完全集合构成的群——对称点群。 例 1： G = { σv, σv2 = E} FONO: Cs 点群
单位元: E; 封闭性. σvσv = σv2 = E, σvE = σv 逆元素. σv-1 = σv
例 2： G = {E, C2, σv(1), σv(2)} H2O： C2V 点群 单位元: E 封闭性. σv(1) C2 = C2 σv(1) =σv(2), σv(1) σv(2) = C2 逆元素: C2-1 = C2, σv-1 = σv 结合律. {C2 σv(1) } σv(2) = C2 {σv(1) σv(2)}
4 分子对称性的分类
Linear ?
Yes
No
i?
Two or more
Yes
C2 σv(1)
σv(2)
O
H
H
O
C2
+
H
H
O
σv(2)
-
H
H
O
+
H
H
σv(1) C2 σv(2) = σv(2) C2 = σv(1)
O
+
H
σv(2) H
O
-
H
H
σv(1)
O -
H
H
C2 σv(1) σv(2) = σv(2) σv(1) = C2
例 3： G = {E, C3, C32, σv(1), σv(2)，σv(3) } NH3： C3V 点群
(f g) h = f (g h) (4) 逆元素. 对任意 f ∈G, 有唯一的 f -1∈G，使
f f -1= f -1f = e, 则称 G 为一个群. e 称为群 G 的单位元，f –1 称为 f 的逆元素。有限 群中群元素的数目称为群的阶。
2 群的乘法表
二阶群
G2
EA
E
EA
A
AE
三阶群
G3
C3
σv(2)
σv(1) σv(1) σv(2) σv(3) E
σv(2) σv(2) σv(3) σv(1) C32
σv(3) σv(3) σv(1) σv(2) C3
σv(2) σv(2) σv(1) σv(3)
C3 E C32
σv(3) σv(3) σv(2) σv(1)
C32 C3 E
循环子群： H = { E, C3 , C32}
Snn+1, Snn+2, Snn+3, …, Sn2n = E. (2n 个操作)
2 等价对称元素
若一个对称元素 A 被一个操作变为元素 B,这一操作是由第三个 元素 X 所生成的，当然可以用 X-1 把 B 变回 A. A 和 B 两个元素称为 等价.
例如： NH3 分子：对称元素：{C3，σv(1)，σv(2)，σv(3)}
第六章 群论
6.1 群论基础
1 群的定义
设 G 是一些元素的集合，G = {g0, g1, …, gi, …}. 在 G 中定义了乘 法运算，如果 G 对这种运算满足下面四个条件：
(1) 有唯一的单位元 e. e ∈G, 对任意 f ∈G, 都有 ef = fe = f
(2) 封闭性. 对任意 f , g∈G, 若 f g= h, 必有 h ∈G. (3) 结合律 . 对任意 f , g, h∈G, 都有