第01讲 集合 ................
高三新数学第一轮复习教案（讲座1）集 合一．课标要求：1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二．命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
预测2007年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。
具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三．要点精讲1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ∉； （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ；实数集，记作R 。
2．集合的包含关系：（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ⊆A ；2）Φ⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n个子集（其中2n－1个真子集）； 3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；（2）若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 。
4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。
交集}|{B x A x x B A ∈∈=⋂且。
（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。
}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或并集。
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
5．集合的简单性质：（1）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂ （2）;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃ （3）);()(B A B A ⋃⊆⋂（4）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；（5）S C （A ∩B ）=（S C A ）∪（S C B ），S C （A ∪B ）=（S C A ）∩（S C B ）。
四．典例解析题型1：集合的概念例1．设集合},4121|{Z k k x x A ∈+==，若29=x ，则下列关系正确的是（ ） A ．A x ⊂ B ．A x ∈ C ．A x ∈}{ D ．A x ⊂}{解：由于4124121+=+k k 中12+k 只能取到所有的奇数，而41829=中18为偶数。
则A A ⊂∉}29{,29。
选项为D ；点评：该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。
首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。
例2．设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）A ．P QB ．Q PC ．P =QD ．P ∩Q =Q解：Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立＝，对m 分类： ①m =0时，－4＜0恒成立；②m ＜0时，需Δ=（4m ）2－4×m ×（－4）＜0，解得m ＜0。
综合①②知m ≤0， ∴Q ={m ∈R |m ≤0}。
答案为A 。
点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。
集合Q 中含有参数m ，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。
题型2：集合的性质例3．（2000广东，1）已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是（ ） A ．15 B ．16 C ．3 D ．4解：根据子集的计算应有24－1=15（个）。
选项为A ；点评：该题考察集合子集个数公式。
注意求真子集时千万不要忘记空集∅是任何非空集合的真子集。
同时，A 不是A 的真子集。
变式题：同时满足条件：①};5,4,3,2,1{⊆M ②若M a M a ∈∈－则6,，这样的集合M 有多少个，举出这些集合来。
答案：这样的集合M 有8个。
例4．已知全集32{1,3,2}S x x x =--，A ={1,21x -}如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由。
解：∵}0{=A C S ；∴A S ∉∈00且，即322x x x --＝0，解得1230,1,2x x x ==-=当0=x 时，112=-x ，为A 中元素； 当1-=x 时，S x ∈=-312 当2x =时，213x S -=∈∴这样的实数x 存在，是1x =-或2x =。
另法：∵}0{=A C S ∴A S ∉∈00且，3A ∈ ∴322x x x --＝0且213x -= ∴1x =-或2x =。
点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。
分类讨论的过程中“当0=x 时，112=-x ”不能满足集合中元素的互异性。
此题的关键是理解符号}0{=A C S 是两层含义：A S ∉∈00且。
变式题：已知集合2{,,2},{,,}A m m d m d B m mq mq =++=，0m ≠其中,A B =且,求q 的值。
解：由B A =可知，（1）⎩⎨⎧=+=+22mq d m mq d m ，或（2）⎩⎨⎧=+=+mqd m mq d m 22解（1）得1=q ， 解（2）得21,1-==q q 或， 又因为当1=q 时，2mq mq m ==与题意不符， 所以，21-=q 。
题型3：集合的运算例5．（06全国Ⅱ理，2）已知集合M ＝｛x |x ＜3}，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝（ ）A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3}C ．｛x |1＜x ＜3}D ．｛x |2＜x ＜3}解：由对数函数的性质，且2>1，显然由1log 2>x 易得),2(+∞=B 。
从而)3,2(=⋂B A 。
故选项为D 。
点评：该题考察了不等式和集合交运算。
例6．（06安徽理，1）设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B等于（ ）A ．RB ．{},0x x R x ∈≠C ．{}0D ．∅解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C A B C = ，故选B 。
点评：该题考察了集合的交、补运算。
题型4：图解法解集合问题例7．（2003上海春，5）已知集合A ={x ||x |≤2，x ∈R }，B ={x |x ≥a }，且A B ，则实数a 的取值范围是____ _。
轴上覆盖关系：解：∵A ={x |－2≤x ≤2}，B ={x |x ≥a }，又A ⊆B ，利用数如图所示，因此有a ≤－2。
点评：本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。
例8．（1996全国理，1）已知全集I ＝N *，集合A ＝｛x ｜x ＝2n ，n ∈N *｝，B ＝｛x ｜x ＝4n ，n ∈N ｝，则（ ）A ．I ＝A ∪B B ．I ＝（IC A ）∪B C ．I ＝A ∪（I C B ）D ．I ＝（I C A ）∪（I C B ）解：方法一：I C A 中元素是非2的倍数的自然数，I C B 中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有Ｃ选项正确.方法二：因A ＝｛2，4，6，8…｝，B ＝｛4，8，12，16，…｝，所以I C B ＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I ＝A ∪I C B ，故答案为Ｃ.方法三：因B A ，所以（I C ）A （I C ）B ，（I C ）A ∩（I C B ）＝I C A ，故I ＝A ∪（I C A ）＝A ∪（I C B ）。
方法四：根据题意，我们画出Venn 图来解，易知B A ，如图：可以清楚看到I =A ∪（I C B ）是成立的。
点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。
题型5：集合的应用例9．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果 赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人。
01第一章 集合与计数原理【讲义】
第一讲 集合与计数原理一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。
规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。
如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。
定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 差集，},{\B x A x x B A ∉∈=且。
定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1）);()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =； （3）);(111B A C B C A C = （4）).(111B A C B C A C =定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++= 21种不同的方法。
第01讲第一章集合与简易逻辑集合的概念与运算课件新人教A版课件
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6.描述法及两种表述形式：把集合中的元素的公
共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方 法. ①数式形式 如由不等式x-3＞2的所有解组成的集合，
可表示为 {x│x-3＞2}；
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例6 已知A＝{x∈R|x2＋ax＋1＝0}，B＝{1，2}，且 A B，求实数a的取值范围.
解：由已知，得：A ，或{1}，或{2}.
若A ， a 2 4 0, 2 a 2.
若A
{1}，
12
a
2
a 1 40
10.全集定义：如果集合S含有我们所要研究的各 个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全 集，记作U.
1/2/2020
湖北省随州市第二中学 操厚亮
8
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奎屯
二名、称 知识点归纳交集新疆 源头学子小屋 http://w ww .xj /w xc/ 特级教师 王新敞 w xckt@
已知: （1）(CUA)∩(CUB)＝{4，6，8}； （2）(CUA)∩B＝{1，9}；（3）A∩B＝{2}.求A、B.
解：∵(CUA)∩(CUB)＝{4，6，8}
∴ CU(A∪B)＝ {4，6，8}
∴A∪B＝{1，2，3，5，7，9}
UB
1,9
2
A
3,5,7
4，6，8
∴B＝ [(CUA)∩B]∪（A∩B）＝{1，2，9}
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，则 记作A B（B A）
8.真子集的定义：如果A B，并且 A ≠B，则 集合A是集合B的真子集.
第01讲 集合
《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座第一讲集合一．课标要求：1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用V enn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
二．命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。
考试形式多以一道选择题为主，分值5分。
预测2007年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。
具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。
三．要点精讲1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
a∈；若b不是集合A的元（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Ab∉；素，记作A（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
高中数学高考第1讲 集合的概念与运算
第一章 集合与常用逻辑用语
20
(1)已知集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件
A⊆C⊆B 的集合 C 的个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)已知集合 A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m<x<m}，若 B⊆A，则 m 的取值范围为______．
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第一章 集合与常用逻辑用语
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2．已知集合 A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合 A 的真子集的个数为
()
A．7
B．8
C．15
D．16
解析：选 A．法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，
{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共 7 个．
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第一章 集合与常用逻辑用语
8
2．设集合 A＝{x|－2≤x≤2}，Z 为整数集，则集合 A∩Z 中元素的个数是 ( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选 C．A 中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共 5 个，所以 A∩Z 中的元
素个数为 5.
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第一章 集合与常用逻辑用语
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第一章 集合与常用逻辑用语
11
2．已知集合 A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2<x<4}，则 A∩B＝________，A∪B＝ ________，(∁RA)∪B＝________. 解析：由已知得 A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}， 所以 A∩B＝{x|2<x<3}，A∪B＝{x|1<x<4}，(∁RA)∪B＝{x|x≤1 或 x>2}． 答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)
2021年新高考数学一轮专题复习第01讲-集合(解析版)
8．（2020·江苏省泰州中学高三月考）已知集合 A {x | 0 x 2} ， B {x | x 1} ，则 A B ______
【答案】{x |1 x 2}
【解析】因为集合 A {x | 0 x 2} ， B {x | x 1} ， 所以 A B {x |1 x 2}. 故答案为：{x |1 x 2}
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
三、 经典例题
考点一 集合的基本概念
【例 1-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合 A x x2 2ax 2a 0 ，若 A 中只有一个元素，则实数 a
④如果 a1 M ， a2 M ，那么 a1 a2 M
其中，正确结论的序号是__________. 【答案】①③
【解析】对①：对 b 2n 1, n N ，
总是有 b 2n 1 n 12 n2 ， n 1, n z ，故 B M ，则①正确；
对② c 2n, n N ，若 c 2n M ，则存在 x, y Z ，使得
A．30
B．31
C．62
【答案】A
【解析】因为集合 A x | x 6 且 x N* 1, 2,3, 4,5 ，
D．63
所以 A 的非空真子集的个数为 25 2 30 .
故选：A
【例 2-3】（2020·北京牛栏山一中高三月考）已知集合 A={-2，3，1}，集合 B={3，m²}.若 B A，则实数 m 的
解不等式 lg x 1 1，得 0 x 1 10 ，解得 1 x 9 .
A x x 1或x 3 ， B x 1 x 9 ，则 ðR A x 1 x 3 ，
旧教材适用2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算课件
(2)已知 a，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b，0}，则 a＋b 为(
)
A．1 B．0 C．－1 D．±1
答案 C 解析 由已知得 a≠0，则ba＝0，所以 b＝0，于是 a2＝1，即 a＝1 或 a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知 a＝1 应舍去，因此 a＝－1，故 a ＋b＝－1.故选 C.
1．若有限集 A 中有 n 个元素，则集合 A 的子集个数为 2n，真子集的个 数为 2n－1，非空真子集的个数为 2n－2.
2．A∪∅＝A，A∪A＝A，A⊆ (A∪B)，B⊆ (A∪B). 3．A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B⊆ A，A∩B⊆ B. 4．A∩B＝A∪B⇔A＝B.
5．A⊆ B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇ (∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅. 6．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 7．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B).
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 集合的基本概念 例 1 (1)已知集合 A＝{0，1，2}，则集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元 素的个数是( ) A．1 B．3 C．5 D．9
答案 C
解析 当 x＝0 时，若 y＝0，则 x－y＝0；若 y＝1，则 x－y＝－1；若 y ＝2，则 x－y＝－2.同理可得，当 x＝1 时，x－y＝1，0，－1；当 x＝2 时，x －y＝2，1，0.综上，根据集合中元素的互异性，可知 B 中元素有－2，－1， 0，1，2，共 5 个．
6．(2021·福建泉州质量检测(三))已知集合 A＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈ N*}，B＝{(x，y)|y＞x＋1}，则 A∩B 中元素的个数为( )
【暑假预习】2023年新高一数学 第01讲 集合及其表示法(9种题型)(学生版)
01集合及其表示法(9种题型)【课程细目表】一、知识梳理二、考点剖析1.集合的含义2.元素与集合关系的判断3.集合的确定性、互异性、无序性4.集合相等5.有限集与无限集.6.集合的表示法--描述法7.集合的表示法--列举法8.集合的表示法--区间法9.集合的表示法--综合应用三、过关检测【知识梳理】一、集合的意义1.集合的概念我们把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集．集合中的各个对象叫做这个集合的元素．对于一个给定的集合，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．确定性是指一个对象要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一．比如“著名的数学家”、“较大的数”、“高一一班成绩好的同学”等都不能构成集合，因为组成集合的元素不确定．互异性是指对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不同的对象，集合中的元素不重复出现．例如由元素1，2，1组成的集合中含有两个元素：1，2．无序性是指组成集合的元素没有次序，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．2.集合与元素的字母表示、元素与集合的关系集合常用大写字母A、B、C⋯来表示，集合中的元素用a、b、c⋯表示，如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”3.常用的数集及记法数的集合简称数集，我们把常用的数集用特定的字母表示：全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N，不包含零的自然数组成的集合，记作N*全体整数组成的集合，即整数集，记作Z全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q全体实数组成的集合，即实数集，记作R常用的集合的特殊表示法：实数集R(正实数集R+)、有理数集Q(负有理数集Q-)、整数集Z(正整数集Z+)、自然数集N(包含零)、不包含零的自然数集N*；4.集合相等如果两个集合A与B的组成元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B．5.集合的分类我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集我们引进一个特殊的集合--空集，规定空集不含元素，记作∅，例如，方程x2+1=0的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集．6.空集我们把不含任何元素的集合，记作φ。
第01讲 集合旨在运算,正难则反补集法-解析版-高考数学二轮复习
第01讲 集合旨在运算，正难则反补集法典型例题【例1】已知集合 {}2(,)|20,{()|10A x y x mx y B x y x y =+-+==⋅-+=且0x 2}. 若 A B ⋂≠∅, 求实数m 的取值范围. 【解析】【解法1】由 220,10(02)x mx y x y x ⎧+-+=⎨-+=⎩ 消去 y , 得 2(1)10x m x +-+=. （1）∵,A B ⋂≠∅∴ 方程(1)在区间 [0,2] 上至少有一个实数解. 首先, 由 2(1)40m ∆=--, 得 3m 或 1m -.设方程（1）的两个实数根为 12,x x . 当 3m 时, 由 12(1)0x x m +=--< 及1210x x =>知方程（1）只有负根,不符合要求;当 1m - 时,由 12(1)0x x m +=--> 及 1210x x => 知,方程(1)只有正根, 且必有一根在区间 [0,1] 内, 从而方程(1)至少有一个根在 [0,2] 内,综上,实数 m 的取值范围是(,1]-∞-.【解法2】问题等价于方程组 221y x mx y x ⎧=++⎨=+⎩ 在 [0,2] 上有解, 即2(1)10x m x +-+= 在 [0,2] 上有解.令 2()(1)1f x x m x =+-+, 则由 (0)1f = 知抛物线 ()y f x = 过点 (0,1). ∴ 抛物线 ()y f x = 在 [0,2] 上与 x 轴有交点等价于2(2)22(1)10f m =+-+或 22(1)40102,2(2)22(1)10m m f m ⎧∆=--⎪-⎪<<⎨⎪=+-+>⎪⎩解(1)得 32m -, 解(2)得 312m -<-. 综上所述,实数 m 的取值范围为 (,1]-∞-.【例2】设集合{}22(,)|(2)40,{(,)|||||}A x y x a x y a B x y y b x =-++==, 若对任 意实数a , 均有 A B ⊆, 则实数b 的最大值为 【解析】【解法1】当 0a = 时, {(,)|0,}A x y x y ==∈R , 此时 A 中任意元素均能使 ||y||b x 成立, 则 b ∈R .当 0a ≠ 时, ()221(,)|24A x y y x ax a a ⎧⎫==-+⎨⎬⎩⎭. ()221,24||A B x ax a b x a⊆∴-+I 当 0x = 时, b ∈R ; II 当 0x ≠ 时, 42x a ba x+-. 422,2x a b a x+-∴ 综上, b 的最大值为 2.【解法2】当 0a ≠ 时, (,)|||||y x B x y b a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 22(,)|4y x x A x y a a a ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭依题意可知, 当直线 y bx = 与抛物线 224y x x =-+相切时,2b =, 切点为 (2, 4). 当 0a = 时, {(,)|0,}A x y x y ==∈R , 此时 A 中任意元素均能使 ||y ||b x 成立, 则 b ∈R .∴b 的最大值为 2.【解法3】以 a 为主元, 原方程整理为 224(2)0a x y a x -++=.由 a ∈R 得 22(2)160x y x ∆=+-.∴(6)(2)0x y x y +-+ 当 0x ≠ 时, 有 620y y x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 解得 2y x 或 6.2y yx x-∴. 当 0x = 时,b ∈R .综上, b 的最大值为 2.【例3】试求实数 k 的取值范围,使抛物线2y x =的所有弦都不能被直线 (3)y k x =-垂直平分. 【解析】【解法1】设抛物线 2y x = 上两点 ()()221122,,,A x x B x x 关于直线 (3)y k x =- 对称, AB 的中点为 ()00,P x y ,则 22121200,22x x x x x y ++==. 由题设知 2212121x x x x k-=--. ∴12122x x k +=-, 且 AB 的中点 ()00,P x y 在直线 (3)y k x =- 上. ∴221212613222x x x x k k +++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 因此中点 161,22k P k+⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由于点 P 在 2y x > 的区域内, ∴261122k k +⎛⎫->- ⎪⎝⎭.整理得 ()2(21)6210k k k +-+<, 解得 12k <-, 因此当 12k <-时,抛物线 2y x = 上存在两点关于直线 (3)y k x =- 对称. ∴ 当 12k - 时,抛物线 2y x = 上不存在两点关于直线 (3)y k x =- 对称, 故实 数 k 的取值范围为 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解法2】设抛物线上的两点 ()()221122,,,x x x x 关于直线 (3)y k x =- 对称, 依题意知, 221121222221(3)221x x x x x x x x k k ⎧⎪⎪⎨-⎪=-⎪+-=⎩+- ,()2212121261x x k x x x x k ⎧+=+-⎪⇒⎨+=-⎪⎩消去 2x , 由此可得2112212610x x k k k++++=. 于是,由 22218610k k k ⎛⎫⎛⎫∆=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 得 12k <-, 此时,抛物线上存在两点关于直线 (3)y k x =- 对称.从而所有弦不能被直线垂直平分的 k 的取值范围是 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 强化训练1. 设 ,a b 是两个实数.集合 {(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z . 集合 {}2(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z . 集合 {}22(,)|144C x y x y =+.是平面 xOy 内的点集,试问是否存在实数 a b 、 能同时满足如下两个条件: 【解析】【解法1】(1) ;(2)(,)A B a b C ⋂≠∅∈.假设存在,a b 使得关于 ,m n 的方程组 2,315n m na b m =⎧⎨+=+⎩至少有一组整数解. 可知点 (),P a b 在直线 ()23150nx y n +-+= 上, 原点 ()0,0O 到此直线的距离为2231122312n d n ++===+=,当 23n = 时等号成立. 但 2,3,12,12n n d OP ∈∴≠∴>∴=>Z .即 22144a b +> 与 22144a b+ 矛盾.故不存在 ,a b ∈Z 能使题中的两个条件同时成立, 即满足已知两个条件的实数 ,a b 不存在.【解法2】假设存在实数 ,a b 同时满足题中的两个条件,则必存在整数 n , 使 ()23150n an b -+-=,于是它的判别式 ()2Δ()12150a b =---, 即 ()21215ab -.又由 22144a b+,得 22144a b -.由此可得 ()21215144b b --, 即 2(6)0b -, 故 6b =.代人上述解 ()21215ab - 及 22144a b -, 得 2108.63a a =∴=±将 3,6a b =±= 代人方程 23150n an b -+-=, 求得 3n =Z .∴ 满足已知两个条件的实数 ,a b 不存在.【解法3】假设存在实数 a b 、 同时满足题意中的两个条件, 即有 222315144,na b n a b ⎧+=+⎨+⎩ 消去 b , 得()()()22222123153151440n a n n a n +-+++-()()()()()2222222Δ2315413151443630n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=--<∈⎣⎦⎢⎥⎣⎦Z又210,n +>∴ 关于 a 的二次不等式无解. ∴ 这样的 a b 、 不存在.2. 集合 A 中的元素个数用符昊 card()A 表示,设 {}22|(ln )ln 0,A x x mx x N =+> 为自 然数集. 若 card()3A N ⋂=, 则实数 m 的取值范围是 【解析】【解法1】由题意,当 1x = 时, 22(ln )ln 0x mx x +> 不成立. 故 22(ln )ln 0x mx x +> 存在 3 个大于 1 的整数解. 此时, 2ln 0x mx +> 等价于 2ln xm x>- 存在 3 个大于 1 的 整数解.令 ()2ln x f x x =-, 由于 ()32ln 1x f x x -=', 故 ()f x 在 (e 上单调递减,在)∞+ 上单调递增.由答图 11- 知, ()()45f m f <, 即 ln4ln51625m -<-. 解得 ln2ln5,825m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.【解法2】由题意, 当 1x = 时, 22(ln )ln 0x mx x +> 不成立. 故22(ln )ln 0x mx x +> 存在 3 个大于 1 的整数解.此时, 2ln 0x mx +> 等价于 ln xmx x>-存在 3 个大于 1 的整 数解令ln (),()xf x mxg x x==-，如答图1–2所示,易知 (4)(4)(5)(5)f g f g >⎧⎨⎩，解得ln 2ln 5,825m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦.。
第01讲 集合(原卷版)备战2023年高考数学一轮复习精讲精练(全国通用版)
第01讲集合(精讲+精练）目录第一部分：思维导图（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：课前自我评估测试第四部分：典型例题剖析高频考点一：集合的基本概念高频考点二：集合的基本关系高频考点三：集合的运算高频考点四：venn图的应用高频考点五：集合新定义问题第五部分：高考真题感悟第六部分：集合(精练）1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：∈和∉.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（venn 图）.（4）常见数集和数学符号①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合{1,2,3,4,5}A =，可知1A ∈,在该集合中，6A ∉,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合{,,}A a b c =应满足a b c ≠≠.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。
集合{1,2,3,4,5}A =和{1,3,5,2,4}B =是同一个集合. ④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset ）：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集 ，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）.（2）真子集（proper subset ）：如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ⊃≠）.读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.（3）相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆，且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =.（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{|,}A B x x A x B =∈∈且．（2）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A B ，即{|,}A B x x A x B =∈∈或．（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U C A ，即{|,}U C A x x U x A =∈∉且．4、集合的运算性质（1）AA A =，A ∅=∅，AB B A =． （2）AA A =，A A ∅=，AB B A =． （3）()U AC A =∅，()U A C A U =，()U U C C A A =．5、高频考点结论（1）若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．（2）空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．（3）U U A B AB A A B BC B C A ⊆⇔=⇔=⇔⊆． （4）()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =．一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）集合{},,,A a b c d =的子集共有8个 ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合( ) 3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是2个.( )4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知集合{}20M x x x =+=∣，则1M -∈.( ) 5．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）满足条件{}{}11,2,3M ⋃=的集合M 的个数是3 ( )二、单选题1．（2022·广东茂名·高一期末）已知集合{}21A x y x ==+，集合{}21B y y x ==+，则A B =（ ）A ．0B ．{}|1x x ≥C ．{}|1x x ≤D ．R2．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合{}22,531,=-+A a a ，，{}5,9,1,4=+-B a a ，若{}4A B ⋂=，则实数a 的取值的集合为（ ）A ．{}1,2,2-B ．{}1,2C ．{}1,2-D ．{}13．（2022·河南平顶山·高三阶段练习（文））已知集合{}1A x x =>，{}260B x x x =--<，则()R A B ⋂=（ ） A ．{}13x x << B ．{}12x x << C ．{}3x x ≥ D ．{}2x x ≥4．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）A ．(UB ⋂)A B ．(U A ⋂)BC ．() U A B ⋂D ．(U A B )高频考点一：集合的基本概念1．（2020·重庆·一模（理））已知集合{}2|280,A x Z x x =∈+-<{}2|B x x A =∈，则B 中元素个数为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．72．（2021·上海黄浦·一模）已知集合{}2,(R)A x x x =∈，若1A ∈，则x =___________.3．（2012·全国·一模（理））集合中含有的元素个数为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．124．（2017·河北·武邑宏达学校模拟预测（理））集合{}2*|70,A x x x x N =-<∈，则*6|,B y N y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2020·湖南·邵东市第十中学模拟预测（理））已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,x B x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．96．（2021·全国·二模（理））定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{1,2}A =，{1,2,3}B =，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．16B ．18C ．14D ．8高频考点二：集合的基本关系1．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知集合{}3P x x =<，{}2Q x Z x =∈<，则（ ）A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．P Q P =D ．P Q Q ⋃= 2．（2020·山东·模拟预测）已知集合==2{1,},{}M x N x ，若N M ⊆，则x =__.3．（2020·江苏省如皋中学二模）设{,2}M m =，{2,2}N m m =+，且M N ，则实数m 的值是________. 4．（2021·辽宁·东北育才学校一模）所有满足{}{},,,a M a b c d ⊆的集合M 的个数为________；5．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}213M x x =+<，{}N x x a =<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．(],1-∞D ．(),1-∞6．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|15}A x x =<≤，{}|04B x x =<<，{}|121C x m x m =+<<-. （1）求A B ，()R A B ⋂：（2）若B C C =，求实数m 的取值范围.7．（2020·广西·模拟预测）已知集合{|121}A x a x a =+≤≤-，{|3B x x =≤或5}x >.（1）若4a =，求A B ； （2）若A B ⊆，求a 的取值范围.高频考点三：集合的运算1．（2022·甘肃陇南·模拟预测（理））已知集合{}|321A x x =->，{}260B x x x =--<，则A B =（ ） A ．{}13x x <<B ．{}12x x <<C ．{}21x x -<<D ．{}31x x -<<2．（2022·北京丰台·一模）已知集合{|12}A x x =-<≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（ ）A ．{|11}x x -<<B ．{|11}x x -<≤C ．{|22}x x -<<D ．{|22}x x -<≤3．（2022·河南·模拟预测（理））已知集合{}14A x x =≤≤，(){}214B x x =-≥，则()A B =R （ ） A ．[]3,4 B ．[]1,4 C ．[)1,3 D ．[)3,+∞4．（2022·全国·模拟预测（理））设全集U =R ，集合102x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{}ln 1B x x =≤，则A B 是（ ）A ．(]0,2B ．()2,eC ．()0,2D ．[)1,e -5．（2022·江西赣州·一模（理））设集合{}1,0,A n =-，{},,B x x a b a A b A ==⋅∈∈.若A B A =，则实数n 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．26．（2021·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.7．（2021·上海·模拟预测）已知集合{}2890,U x x x x Z =--≤∈，{}A y y y Z ==∈，则U A__________.高频考点四：venn 图的应用1．（2022·贵州贵阳·一模（理））若全集U 和集合A ，B 的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．()U AB ⋂B ．()U B AC ．()U A BD ．()U A B2．（2021·广东·模拟预测）已知全集U =R ，集合{}2,20A x yB x x x ⎧==--<⎨⎩∣∣，它们的关系如图（Venn 图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）A ．{12}x x -≤<∣B ．{12}xx -<<∣ C ．{12}xx ≤<∣ D ．{12}x x <<∣ 3．（2021·黑龙江·哈九中三模（理））如图，U 是全集，,,M P S 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（ ）A ．()M P SB ．()M P SC ．()U M P S ⋂⋂D ．()U M P S ⋂⋃4．（2021·江苏徐州·二模）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．205．（2020·北京市第五中学模拟预测）高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ） A ．16 B ．17 C ．18 D ．19高频考点五：集合新定义问题1．定义集合{|A B x x A -=∈ 且}x B ∉.己知集合{}Z 26U x x =∈-<<，{}0,2,4,5A =，{}1,0,3B =-，则()U A B -中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 2．设A 、B 是非空集合，定义：{|A B x x A B ⨯=∈且}x A B ∉．已知{|A x y =，{|1}B x x =>，则A B ⨯等于（ ）A ．[0,1](2,)+∞B ．[0,1)(2,)⋃+∞C ．[0,1]D ．[0,2]3．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．8 D ．94．已知非空集合A 、B 满足以下两个条件：（1）{}1,2,3,4,5A B =，A B =∅；（2）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(),A B 的个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．165．（多选）在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即{}[]5k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =.则下列结论正确的是（ ）A ．2011[1]∈；B ．[0][1][2][3][4]Z =⋃⋃⋃⋃；C ．3[3]-∈；D ．整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[0]a b -∈”.1．（2021·山东·高考真题）假设集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，那么A B 等于（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,3C ．{}1,2D ．{}22．（2021·湖南·高考真题）已知集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B =，且A B =（ ） A ．{}1,3B ．{}1,3,5C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,3,4,53．（2021·江苏·高考真题）已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3MN =，则a 的值是（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．14．（2021·天津·高考真题）设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{}0 B ．{0,1,3,5} C ．{0,1,2,4} D ．{0,2,3,4} 5．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B =（ ） A ．{3} B ．{1,6} C ．{5,6} D ．{1,3} 6．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}1x x >- B ．{}1x x ≥ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x ≤<7．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z一、单选题1．（2021·北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）A ．与1非常接近的全体实数B ．北大附中云南实验学校20202021-学年度第二学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．高一年级很有才华的老师2．（2022··模拟预测（理））已知集合A ={}250x x x -≤，B ={}21,x x k k Z =-∈，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知集合(){}10A x x x =-=，{}20,,B m m =，若A B B ⋃=，则m =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．±14．（2022·全国·模拟预测）已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，6,1B x x A x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N ，则集合B 的子集的个数是（ ）A ．3B ．4C ．8D ．165．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）集合1,36n M x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,63n N x x n Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ）A ．MB ．NC ．∅D ．,6n x x n Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭6．（2022·广东·高二期末）集合{}2230A x x x =--=，{}10B x mx =+=，A B A ⋃=，则m 的取值范围是（ ）A ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．{}1,3-C ．10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．10,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭7．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知集合(){}2ln 4A x y x ==-，{B y x =，则A B =（ ） A ．()2,3B ．()(],22,3-∞-C ．()0,3D ．(]2,3 8．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知集合102x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，B ={-2，-1，0，1}，则A ∩B =（ ）A ．{-2，-1，0，1}B ．{-1，0，1}C ．{-1，0}D ．{-2，-1，0}二、填空题9．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合{|13},{|25}A x x B x x =∈<≤=∈<<Z Z ，则A B 的子集的个数为___________.10．（2022·上海金山·高一期末）满足条件：{}a {},,,M a b c d ⊆的集合M 的个数为______.11．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2{123},280A x a x a B x x x =-<<+=--≤，若()R A B A ⋂=，求实数a 的取值范围是___________.12．（2022·全国·高三专题练习）设集合{}2280A x x x =-->，{B x x a =≤或}5x a ≥+，若()R A B ⋂=∅，则a 的取值范围是___________.三、解答题13．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）已知集合{}22150M x x x =--≤，{}N x m x m =-≤≤．(1)当1m =时，求M N ⋂以及()()R R M N ⋃；(2)若M N ，求实数m 的取值范围．14．（2022·江苏省天一中学高一期末）集合1121x A x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x ax a =-+-<. (1)若{}23,4,23C a a =+-，()0B C ∈，求实数a 的值；(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a 的取值范围.条件：①A B A =；②()R A B ⋂=∅；③()R B A R ⋃=.（注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分）.15．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合{}2430A x x x =++=，{}22230B x x ax a a =-+--=. (1)若1a =，求A B ；(2)若A B A ⋃=，求a 的取值集合.16．（2022·江苏·高一）已知集合A 为非空数集，定义：{},,S x x a b a b A ==+∈，{},,T x x a b a b A ==-∈.(1)若集合{}1,3A =，直接写出集合S 、T ；(2)若集合{}1234,,,A x x x x =，且T A =，写出一个满足条件的集合A ，并说明理由；(3)若集合{}02020,A x x x N ⊆≤≤∈，S T ⋂=∅，记A 为集合A 中元素的个数，求A 的最大值.。
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第一讲 集合一、基础知识定义1 有限集A 的元素数目叫做这个集合的阶，记作或．A ()n A 定义2 若M 为由一些给定的集合构成的集合，则称集合M 为集族．设A 为有限集，由A 的若干子集构成的集合称为集合A 的一个子集族．若，则由A 的所有子集构成A n =的子集构成的子集族的阶为．2n 定义3 若，且，则这些子集的I A A A n = 21),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= 全集叫I 的一个-划分，n 叫做划分的长度．若A 为有限集，是集合n 12{,,,}n I A A A = A 的一个划分，则有．12n A A A A =+++ 定义4 设是集合A 的非空子集族，如果，那12{,,,}n I A A A = 12n A A A A = 么称I 为集合A 的一个n-覆盖．定理1 集合运算的性质：对任意集合A ，B ，C ，有：（1） （2）；);()()(C A B A C B A =)()()(C A B A C B A =（3） （4）();U U U C A C B C A B = ().U U U C A C B C A B = 定理2 加法原理：做一件事有类办法，第一类办法中有种不同的方法，第二类办法n 1m 中有种不同的方法，…，第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事一共有2m n n m 种不同的方法．n m m m N +++= 21定理3 乘法原理：做一件事分个步骤，第一步有种不同的方法，第二步有种不n 1m 2m 同的方法，…，第步有种不同的方法，那么完成这件事一共有n n m 种不同的方法．n m m m N ⋅⋅⋅= 21定理4 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．定理5 抽屉原理：将个元素放入个抽屉，必有一个抽屉放有不少于1+mn )1(>n n 个元素，也必有一个抽屉放有不多于个元素；将无穷多个元素放入个抽屉必有1+m m n 一个抽屉放有无穷多个元素．定理6 容斥原理：用表示集合A 的元素个数，则：A ,B A B A B A -+=，C B A C B C A B A C B A C B A +---++=此结论可以推广到个集合的情况，即n 111n n i i i j i j k i i j i j k n i AA A A A A A =≠≤<<≤==-+∑∑∑∑ .)1(11 n i i n A =--+-定理7 设是集合A 的一个覆盖，，且I 中每r 个元素的交非12{,,,}k I A A A = A n =空，而每r+1个元素的交集为空集，则且．rk C n ≤1(1,2,,)r i k A n C i k -≤-= 定理8 设集合A ＝{1，2，…，n}，是集合A 的子集族，且F 中任12{,,,}k F A A A = 意两个元素互不包含，则F 中元素个数．,(1)i j A A i j k ≤<≤2[]n n k C ≤二、例题选讲例1 集合A ，B ，C 是I ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若，I B A = 求有序集合对（A ，B ）的个数；（2）求I 的非空真子集的个数．【解】（1）集合I 可划分为三个不相交的子集；A \B ，B \A ，中的每个元素恰属于I B A , 其中一个子集，10个元素共有310种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合对有310个．（2）I 的子集分三类：空集，非空真子集，集合I 本身，确定一个子集分十步，第一步，1或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，…，第10步，0也有两种，由乘法原理，子集共有个，非空真子集有1022个．1024210=例2 给定集合的个子集：，满足任何两个子集的交集非},,3,2,1{n I =k k A A A ,,,21 空，并且再添加I 的任何一个其它子集后将不再具有该性质，求的值．k 【解】将I 的子集作如下配对：每个子集和它的补集为一对，共得对，每一对不能同12-n 在这个子集中，因此，；其次，每一对中必有一个在这个子集中出现，否则，k 12-≤n k k 若有一对子集未出现，设为C I A 与A ，并设，则，从而可以在个∅=1A A 1I A C A ⊆k 子集中再添加，与已知矛盾，所以．综上，．I C A 12-≥n k 12-=n k 例3 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数．【解】 记，{1,2,3,,100},{1100,22}I A x x x x ==≤≤ 且能被整除(记为），由容斥原理，}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A ，所以不能被2，3，5整除的数有7430100151001010061005100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡个．26=-C B A I 例4 S 是集合{1，2，…，2004}的子集，S 中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示．由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S ，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S 含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S 至多含有其中5个数．又因为2004=182×11+2，所以S 一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当时，恰有，且S 满足题目条},2004,10,7,4,2,1,11{N k r t t k r r S ∈≤=+==912=S 件，所以最少含有912个元素．例5 集合{1，2，…，3n }可以划分成个互不相交的三元集合，其中，n },,{z y x z y x 3=+求满足条件的最小正整数.n 【解】 设其中第个三元集为则1+2+…+i ,,,2,1},,,{n i z y x i i =∑==n i i zn 1,43所以．当为偶数时，有，所以，当为奇数时，有∑==+n i i z n n 142)13(3n n 388≥n n ，所以，当时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，138+n 5≥n 5=n {9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以的最小值为5．n 例6 设A ={1，2，3，4，5，6}，B ={7，8，9，……，n }，在A 中取三个数，B 中取两个数组成五个元素的集合，求的最小值．i A .201,2,20,,2,1≤<≤≤=j i A A i j i n 【解】 .16min =n 设B 中每个数在所有中最多重复出现次，则必有．若不然，数出现次（i A k 4≤k m k），则在出现的所有中，至少有一个A 中的数出现3次，不妨设它是4>k .123>k m i A 1，就有集合{1，}，其中，121,,,b m a a },,,,1{},,,,,1{365243b m a a b m a a 61,≤≤∈i A a i 为满足题意的集合．必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以i a .4≤k 20个中，B 中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以．当时，如i A 16≥n 16=n 下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}，{3，5，6，7，10}，{4，5，6，14，15}．三、练习题1．{1,2,3,4,5,6,7,8,9},,,{2},()(){1,9},I I I A I B I A B C A C B =⊆⊆== ，则___________．(){4,6,8}I C A B = ()I A C B = 解：{3，5，7}，提示用韦恩图。