倒格子
倒格子的量纲与长度单位
倒格子的量纲与长度单位
倒格子是一种用于描述晶格结构的坐标系统。
它是通过将晶格中的点转换为倒空间中的向量来定义的。
倒格子的量纲与长度单位取决于晶体的结构和晶格常数。
在立方晶系中，倒格子常数的单位为倒安培（A^-1）或倒纳米
（nm^-1）。
在其他晶系中，倒格子常数的单位可能会有所不同。
长度单位用于量化倒格子中向量的大小。
通常使用的单位包括：
1. 倒安培（A^-1）：它是倒格子常数的标准单位，也可以用
于描述倒格子向量的大小。
2. 倒纳米（nm^-1）：与倒安培类似，用于描述倒格子向量的
大小，特别适用于纳米尺度的晶体结构。
3. 倒摄氏度（1/C）：在X射线衍射实验中，倒摄氏度常用于
表示倒格子向量的大小。
它是由单位晶胞长度和散射角度的正弦值之比计算得出的。
总而言之，倒格子的量纲与长度单位取决于晶体结构和晶格常数，在不同的情况下可能会有所不同。
常用的单位包括倒安培、倒纳米和倒摄氏度。
倒格子空间
A1
BA nAB AB ABcos BAcos AB(1 2cos )
cos n 1
2
n是整数。
cos n 1，且1 cos 1， n只能取值：3，2，1，0， 1。
2 n : 3 2 1 0 - 1;
cos : 1 0.5 0 - 0.5 - 1
:0
2
323
2 2 2 2 2 即
a1
a2
可得：1
d3
a1 a2
因b3由 为bb323和daa311 aa222的，可方b得2向： 一2致b3，a3所2d以a31可，以2b写1 a成12矢 量aa22形式a3：。
(5)倒格子的物理意义
①倒格子中的一个点代表了晶格中的一族晶面。
②正格子单位为米，表示位置空间；倒格子单位
为米-1，表示状态空间。
期矢量)。晶体也只能有1，2，3，4，
A2
6度螺旋轴。
如图所示，为4度螺旋轴。晶体 A1
2
绕轴转90°后，再沿该轴平移a/4，能 A
自身重合。
1
2.滑移反映面
M
经过该面的镜象
操作以后,再沿平行于 A2
A2
该面的某个方向平移
T/n的距离(T是该方向 A1
A1
上的周期矢量，n为2
或4)，晶体中的原子 A
1 643 2
2 n 1，2，3，4，6。分别称为1，2，3，4，6次(度)转轴。
n
注意：1200 必满足2400 ； 900必满足2700。
但是， 2400不满足1200 ； 2700不满足900
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis) (1)定义——晶体绕某一固定轴u旋转角度2π/n以 后，能自身重合，则称u为n度(或n次)旋转对称轴。 n只能取1，2，3，4，6。
简述倒格子点阵的物理意义
简述倒格子点阵的物理意义
倒格子点阵是固体物理学中的一个重要概念，用于描述晶体中离子、原子或分子的排列方式。
它表示了晶体中离子在晶格中的周期性排列。
倒格子点阵在物理意义上具有以下重要特征：
1.倒格子与晶体结构的相互关系：倒格子是晶体格矢的补格。
晶体格矢是描述晶体结构的向量，而倒格子则是晶格矢的傅里叶变换。
倒格子点阵的形状和大小与晶体结构紧密相关。
2.表征晶体的动量空间：倒格子点阵的形成使得晶体在动量空间中的结构得以描述。
晶体具有动量离散化的性质，电子、声子等载流子在动量空间中的行为可以通过倒格子点阵的形态和性质来理解和
分析。
3.描述布里渊区和能带结构：倒格子点阵的布里渊区（Brillouin Zone）是动量空间中与晶格有关的基本单元。
布里渊区的形状和大小直接决定了电子能带结构、光学性质和输运特性等重要物理现象。
4.反映物质衍射性质：倒格子点阵的概念是描述晶体衍射的基础。
实验中利用晶体的衍射现象可以确定物质的结构和性质，倒格子点阵提供了理论上的基础框架。
倒格子点阵在固体物理学中具有重要的物理意义，它是描述晶体结构和性质的关键概念，并与动量空间、能带结构、衍射性质等密切相关。
通过倒格子点阵的分析，可以深入理解晶体的属性和行为，为研究材料科学和固体物理学提供了有力的工具和理论基础。
倒格子
1
Vh1, h2 , h3
r a1
r a2
r a3
dxve
v iGh1h2h3
xvV
(
xv)
—— 积分在一个原胞中进行
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小
结
每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联 系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易 点阵），二者互易(例如体心立方与面心立方 互为倒格子)，这两个点阵都是由三个基矢所 定义的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成， 且两种格子空间中长度的量纲互为倒数； 对一唯于 的 一给 ， 的定 相 ，的 应 但正 的 对格倒应子格的，子倒基基格矢矢子却a1 ,是ba12,唯,ba2 3,一的b的3 确选选定择择的也是；是不不唯
简称“倒格矢” (Reciprocal
lattice vector)
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2.2 倒格子与正格子基矢间关系
ai和bj 之间存在如下关系：
2 (i j)
ai
bj
0(i
j)
i,j=1,2,3
注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有 相同的量纲。
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为何要引入“倒格子”概念？
cos2 a1,n cos2 a2 ,n cos2 a3 ,n 1
d 2
a2 h2
1
a2 h2
1
a2 h2
1
1
d h1h2h3
a h12 h22 h32
30
ABC在基矢
a1 , a2 ,上a的3 截距分别为
a1 h1
, a2 h2
,
a3 h3，
由平面方程 X n d得：
a
1
倒格子讲解
中文名称：倒格子英文名称：Reciprocal lattice术语来源：固体物理学倒格子，亦称倒易格子(点阵)，它在固体物理学中，特别是在晶格动力学理论、晶体电子论以及晶体衍射方面有着较为广泛的应用。
1定义假定晶格点阵基矢a1、a2、a3（1、2、3表示 a 的下标，粗体字表示a1 是矢量，以下类同）定义一个空间点阵，我们称之为正点阵或正格子，若定义b1 = 2 π ( a2× a3) /νb2 = 2 π ( a3× a1) /νb3 = 2 π ( a1× a2) /ν其中 v = a1· ( a2× a3 ) 为正点阵原胞的体积，新的点阵的基矢b1、b2、b3是不共面的，因而由b1、b2、b3也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子，而b1、b2、b3 称为倒格子基矢。
2性质1. 倒格子的一个矢量是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。
2. 由倒格子的定义，不难得到下面的关系a i ·b j = 2 πδij3. 设倒格子与正点阵（格子）中的位置矢量分别为G = αb1+ βb2 + γb3R = ηa1 + θa2 + λa3 (α,η,β,θ,γ,λ皆为整数)不难证明G·R = 2π ( αη + βθ +γλ ) = 2π n，其中n为整数。
4. 设倒格子原胞体积为ψ，正格子原胞体积为 v ，根据倒格子基矢的定义，并利用矢量乘法运算知识，则可得到ψ v = ( 2 π )^3.5. 正格子晶面族(αβγ)与倒格子矢量G = αb1+ βb2 + γb3 正交（具体的内容及证明过程，请参考文献[1]）3倒格子引入的意义这里简单的说一点，如上面的性质1，倒格子中的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，也就是说，晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。
倒格子——精选推荐
r h1 (k
+
irb)r3+=2aπ2aπh2(ir(
+
r j );
rj + k)
+
2π
a
r h3 (i
+
j)
=
2π
a
[(h1
+ h3 )ir + (h2
+ h3 ) rj
+ (h1
+
r h2 )k
有： h1 + h3 = 1 h2 + h3 = 0 h1 + h2 = 0
h1 = 1− h3 ⇒ h2 = −h3
r ai ,
ar2
=
r aj ,
ar3
=
r ak
r b1
=
2π
a
r i,
r b2
=
2π
a
r j,
r b3
=
2π
a
r k;
⇒ (h1, h2 , h3 ) = (h, k, l)
r Gh
=
r h1b1
+
r h2b2
+
r h3b3
=
2π
a
r (h1i
+
r h2 j
+
r h3k )
=
2π
a
r (hi
+
r kj
r Gh
r ⋅ Rl
=
2π
(h1l1
+
h2l2
+
h3l3 )
=
2πn
(n = 1, 2......整数)
3、正、倒格子的原胞体积互为正倒。
倒格子名词解释
倒格子名词解释
倒格子名词，又称反义词，是一种常见的文体特色，普遍存在于传统的成语、谚语以及古诗文中，比如“弦外之音”“兵来将挡水来土掩”等等，这些描述出来的画面对人们脑海中可以形成一种强大而生动的记忆力。
今天，我们来深入了解一下倒格子名词的用法和特点。
首先，倒格子名词是以一种反义、转折的方式描述一件事物的。
它的用法比较灵活，通过对比相反的两个含义，可以更充分地表达出事物的内涵，使文章表达出更加精炼而富有感染力。
比如说，传统文化中，“弦外之音”一语，有一种“外表空虚，内心满足”的意境，用了这样一句话就可以表达出这种高雅、虚心的品质，从而使文章更加精彩生动，令人难忘。
此外，倒格子名词常常可以使文章具有一种艺术感。
它可以提供一些有趣而新颖的表述方式，使文章变得活泼而有层次感。
比如，“山河入梦来”这句话，不仅仅可以表达出不可思议的奇特，而且也可以发挥出艺术家独有的创作灵感，让文章变得更加绚烂多彩。
再次，倒格子名词还可以展示一个人的象征性思想。
它可以将一个人的思想或哲学概念用更加隽永的文字表述出来，从而使文章具有更高的深度与情感释放的能量。
比如，“分离而后能聚焉”可以将自然规律“分而治之”的哲学思想表达得淋漓尽致，使文章具有更多的意境与内涵。
总的来说，倒格子名词是一种古老而细腻的文体，它可以把人们熟悉的文字用更加灵活而凝练的方式表述出来，运用它可以增加文章
的魅力与寓意，也可以使文章拥有更多的魅力与情感，同时也是一种优秀的文学技巧，能够大大提升文章写作的愉悦性和价值感。
倒格子
倒格子的定义： 倒格子的定义：
• 在固体物理学中：实际观测无法直接测量 在固体物理学中： 正点阵， 正点阵，倒格子的引入能够更好的描述很 多晶体问题， 多晶体问题，更适于处理声子与电子的晶 格动量。 格动量。 • 在X射线或电子衍射技术中：一种新的点阵， 射线或电子衍射技术中： 射线或电子衍射技术中 一种新的点阵， 该点阵的每一个结点都对应着正点阵中的 一个晶面，不仅反映该晶面的取向， 一个晶面，不仅反映该晶面的取向，还反 映着晶面间距。 映着晶面间距。
b1 =
2
(a ×a ) a ⋅ (a ×a ) 1 (a ×a ) b = a ⋅ (a ×a )
1
2 2 3 1 3 3 1
b3 =
(a ×a ) a ⋅ (a ×a )
1
1 1 2 3 2
2
3
1
确定倒格矢的方法：对于一切整数 h,k,l,作出 作出 ( hb1 + k b 2 + l b3),这些向 这些向 量的终点就是倒格 子的节点。 子的节点。
倒格子（倒易点阵）的基本性质： 倒格子（倒易点阵）的基本性质：
• 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为 ，不同 正点阵与倒易点阵的同名基矢的点积为1， 名基矢的点积为零； 名基矢的点积为零； • 正点阵晶胞的体积与倒易点阵晶胞的体积成倒数 关系； 关系； • 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； 正点阵的基矢与倒易点阵的基矢互为倒易； h • 任意倒易矢量（ b1 + kb2 + lb3 ）垂直于正点阵中的 任意倒易矢量（ （hkl）面； ） • 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。 倒易矢量的模等于正点阵中晶面间距的倒数。
• 任何一个晶体结构都有两个格子：一个是 任何一个晶体结构都有两个格子： 正格子空间(位置空间 位置空间)， 正格子空间 位置空间 ，另一个为倒格子空 状态空间)。 间(状态空间 。二者互为倒格子，通过傅里 状态空间 二者互为倒格子， 叶变换。 叶变换。晶格振动及晶体中电子的运动都 是在倒格子空间中的描述。 是在倒格子空间中的描述。
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e
即
i G ( l1 a1 l 2 a 2 l 3 a3 )
1
(m为整数)；
G ( l1 a1 l 2 a2 l3 a3 ) 2m
或者
G R 2m( m为整数)
所以，同一个物理量在正格子空间中的表述与在倒格子空 间中的表述之间遵守傅里叶变换关系。
小
结
每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联 系着，即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易 点阵），二者互易(例如体心立方与面心立方互 为倒格子)，这两个点阵都是由三个基矢所定义 的空间无穷多个周期性排列的点阵所构成，且 两种格子空间中长度的量纲互为倒数； 对于给定的正格子，基矢 a1 , a2 , a3 的选择是不 唯一的，相应的倒格子基矢 的选择也是 b1 , b2 , b3 不唯一的，但对应的倒格子却是唯一确定的； 同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的 表述之间遵守傅里叶变换；
位置矢量
R l1 a1 l 2 a2 l3 a3
G n1 b1 n2 b2 n3 b3
正格子空间
倒格子空间
简称“倒格矢” (Reciprocal lattice vector)
2.2 倒格子与正格子基矢间关系
a i 和b j 之间存在如下关系：
2 ( i j ) i,j=1,2,3 ai b j 0( i j )
§1-4 倒格子 (Reciprocal lattice)
主要内容
1、倒格子定义
2、倒格子与正格子的关系
3、倒格子与傅立叶变换
为何要引入“倒格子”概念？
倒格子概念是理解晶格X射线衍射、处理晶 格振动和固体电子论等有关问题的有力工具。倒
格子是由基矢 a1 , a 2 , a3 所规定的正格子经过一定 转变而构成的另一种布拉伐格子结构。二者在几
小结
晶体的显微图象 晶体的衍射图象
晶体点阵(正格子)的格点
真实晶体结构的映象； 倒格子（倒易点阵）的映象；
对应原子、分子或其集团
倒格子中的格点
晶体点阵(正格子)的格点
对应晶体中的一族晶面
位于位置空间或坐标 空间内的,其线度的量 纲为[长度] 在与真实空间相联系 的倒易空间或傅里叶 空间内的
倒格子中的格点
G CA G 面ABC G CB
a3
G
a2
C
a3/h3
B O
a2/h2 a1/h1
A
a1
(2)晶面族（h1h2h3)的面间距d为
证明：由前面的证明
可知，原点到面ABC 的距离即为所求面间 距(设为d)。
d OA cos 又 OA Gh OA Gh cos d OA G Gh
注意：倒格子基矢的量纲是[长度]-1，与波数矢量具有 相同的量纲。
2.3位矢之间关系
正格子位矢： Rl l1 a1 l 2 a2 l3 a3
倒格子位矢： G n n1 b1 n2 b2 n3 b3 二者的关系： G n R l 2m
(m为整数)；
表明：若两矢量点积为2π的整数倍，则其中一个矢量
( 2 )3 v3
[a 2 a3 ] v a1
( 2 )3 v
2.5 正格子中(h1h2h3)晶面族与 倒格矢Gh的关系
(1) 倒格矢
数为（h1h2h3)的晶面族正交。
证明提示：设晶面ABC是晶面族 （h1h2h3）中最靠近原点的晶面，
截距分别为
G h1 b1 h2 b2 h3 b3 与正称为k空间
倒格子空间与描述微观粒子运动状态的波矢k具有 同样的量纲。
本节习题： （P578）
1.3、1.4、1.5。
x l1 a1 l 2 a 2 l3 a3
傅里叶变换
V ( x)
晶格的周期性
V ( x l1 a1 l 2 a2 l3 a3 )
i G x VG e G iG ( x l1a1 l 2a2 l3a3 )
V e
G G
显然有：
为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。
2.4二者原胞体积的关系
倒格子原胞的体积v*与正格子原胞体积v的关系为:
2 ( 2 ) v b1 ( b2 b3 ) v a1 (a 2 a3 )
3 3 *
证明提示：将 b1 , b2 , b3 表达式代入后，利用矢量运算即可证明。
v
( 2 )3 v3
[a 2 a3 ] ([a 3 a1 ] [a1 a2 ])
依据： ( B C ) ( A C ) B ( A B )C A 有[a 3 a1 ] [a1 a 2 ] {[a 3 a1 ] a2 }a1 {[a 3 a1 ] a1 }a2 v a1 所以v
即 G h1 b1 h2 b2 h3 b3沿晶面族（h1h2h3）的法线方向。
a3
G
a2
C
a3/h3
a1 a 2 a 3 , , h1 h2 h3
B
a2/h2
O
a1/h1
A
a1
G 垂直
思路：能证明 G 同时垂直于CA 和 CB ，即能证明 于面ABC。
简单证明如下：
G h1 b1 h2 b2 h3 b3 a1 a3 CA h1 h3 a2 a3 CB h2 h3
2 d Gh
a3
Gh
a2
a3/h3
C B
a2/h2
d O
a1/h1
A
a1
a1 1 2 ( h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) h1 Gh Gh
3、倒格子与傅立叶变换
同一物理量在正格子中的表述和在倒格子中的 表述之间遵守傅里叶变换。
设晶格中某点的某一物理量表示如下：
x
正格子空间 （或正点阵）
倒格子空间 （或倒易点阵）
其中 v＝a1 (a 2 a 3 )
为正格子原胞体积
2、倒格子与正格子的关系
2.1 数学描述
空间 基矢
a1 , a 2 , a3
a2 a3 b1 2 v a 3 a1 b 2 2 v a1 a 2 b 3 2 v
何上存在一定的对应关系，该对应关系所联系的 规律恰是傅里叶变换。
研究晶格（正格子空间）结构
晶列 晶面
1、该族晶 面相对于基 矢的取向— 法线方向
2、该族晶面 的面间距d；
晶向指数
密勒指数
“倒格子”
1、倒格子定义
定义： 基矢 a1 , a 2 , a 3
a2 a3 b1 2 v a 3 a1 基矢 b 2 2 v a1 a 2 b 3 2 v
a1 a3 G CA (h1 b1 h2 b2 h3 b3 ) ( ) b1 a1 b3 a3 0 h1 h3 G CA (h b h b h b ) ( a2 a3 ) b a b a 0 1 1 2 2 3 3 2 2 3 3 h2 h3