§3.1.2集合的描述法
集合的三种表示法
集合的三种表示法：
1.列举法：列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。
例如，光学中的三原色可以
用集合{红，绿，蓝}表示;由四个字母a, b, c, d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。
列举法还包括尽管集合的元素无法- -一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。
2.描述法：描述法的形式为{代表元素|满足的性质}。
设集合S是由具有某种性质P的元
素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合: S={x|P(x)}。
图像法，图像法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面.上的点集表示集合的方法。
一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法。
3.符号法：有些集合可以用一些特殊符号表示，如: N: :非负整数集合或自然数集合
{0,1,2,3,.、Z:整数集合.-1,01,. Q:有理数集合、Q+: 正有理数集合、Q-: 负有理数集合、R:实数集合(包括有理数和无理数)。
集合的表示---描述法
例题2 用描述法表示下列集合 (1)偶数集； (2)被3整除的数组成的集合； (3)被3除余1的数组成的集合；
练习 用描述法表示下列集合 (1)函数 y x上所有的点组成的集合； (2)坐标平面内，第一三象限的点组成的集合； (3)线段AB的中垂线上所有的点组成的集合；
2、图示法（韦恩图）
画一条封闭曲线，用它的内部表示集合的方法， 简称韦恩图。 同一个集合，可以用多种方法表示
描述法表示集合的形式：
x A
P ( x ) 或
x
P ( x )
用自然语言描述该集合
(1)A x R x 10
(2)B x Z x 2n, n Z
D x x 10
E x x 2n, n Z
(3)C x Z x 2n 1, n Z F x x 2n 1, n Z
例、用列举法表示下列集合： (1)小于5的所有自然数组成的集合； (2)方程x x 的所有实数根组成的集合；
2
x y 2 (3)方程组 的解集 x y 0 思考：
集合A {1,2},B {(1,2)},C {合所含元素的共同特征表示集合的方法
集合的含义与表示
2019年4月8日星期一
集合的三要素：
(1)确定性：集合中的元素必须是确定的．
(2)互异性：集合中的元素不能重复.
(3)无序性：集合中的元素是无先后顺序的.
小写字母表示元素，大写字母表示集合
元素与集合的关系 元素与集合只有两种关系是属于与不 属于的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于集合 A记作
a A
如果a不是集合A的元素，就说a不属于 集合A记作
离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)
以上运算律的证明思路：欲证P=Q，即证 x P x Q。
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Байду номын сангаас
三、集合算律
证明分配律：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 对x， x A∪(B ∩C) (x A ) (x B∩C )
(x A) (x B x C )
Z: 整数集合
Q: 有理数集合
R: 实数集合 C: 复数集合
: 空集(不含任何元素) E: 全集 （在某一问题中，含有所涉及的全部集合的集合。）
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三、集合的表示方法
列出集合的所有元素，元素之间用逗号 1、列举法： 隔开。如A = { a, b, c } ， B = { 1,2,4,6,7,9 } 用谓词概括该集合中元素的属性。 2、描述法： 如：A = { x | xZ 3 < x 6 } A = { x | P (x) }，其中P (x)表示x满足的性质。 即A是由所有使P (x)为真的全体x构成。
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§3.1 集合的基本概念
内容：集合，元素，子集，幂集等。 重点：(1) 掌握集合的概念及两种表示法， (2) 常见的集合N , Z, Q, R, C 和特殊集合 ,E， (3) 掌握子集及两集合相等的概念， (4) 掌握幂集的概念及求法。
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四、集合之间的关系
3、真子集： B A。
B A B A B A
BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A} n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
1.2集合的表示法
1.2 集合的表示法
二、知识点链接
集合的表示法 ①列举法： {a1 , a 2 , a3 , L} ②描述法：{元素具有的共同特征} 或{x| x具有的共同特征}
例1.用列举法表示下列集合： (1)由1,2,3,4,5,6组成的集合； (2)方程 x- 1 = 0 的解组成的集合； (3)小于100的所有自然数组成的集合.
例2、用描述法表示下列集合： (1)大于6的实数组成的集合; (2)不等式 2 x- 3 < 0 的解组成的合; (3)所有三角形组成的集合
例3、用列举法表示下列集合： { （1） x | x = 2k + 1, k N }; { （2） x | x是中华人民共和国首都 }； { （3） x | x是等腰直角三角形内角的度数}.
四、当堂训练
教材第5页练习1,2 数学学案第6页第4当堂训练（1），（2），（3）
五、归纳总结
①当集合为有限集时，一般情况下，用 集合为无限集时，一般情况下，用 法表示； 法表示；当
②用描述法表示集合时，用语言文字描述时要注意 ， 集合中元素的性质不仅可以用文字语言描述, 还可以用 描述.
例1、用适当的方法表示下列集合： (1)大于-1且小于3的整数组成的集合; 4 (2)不等式 x- 5 < 3 的解集; (3)平面直角坐标系中,直线 y = x 上的 点组成的集合
1.注意灵活选用列举法、描述法表示集合； 2.表示点集时,用 表示集合中的元素.
1.教材 P6- 7 习题1,2,3 2.数学学案 P6- 7 B组1,2,3,4
一、问题探究 探究1.指出下列集合中的元素有 探究 指出下列集合中的元素有 哪些？ 哪些？ （1）小于 的正整数的集合 ）小于5的正整数的集合 （2）中国古代四大发明 ）
《集合的表示方法》
集合的表示方法
精选课件
1
列举法
集合由三种表示方法
描述法
区间及其表示
精选课件
2
列举法
（1）把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写 在大括号内，以此来表示集合的方法。如： 由两个元素0、1组成的集合可用列举法表示为{0，1}； 24的所有正因数组成的集合可用列举法表示为： {1，2，3，4，6，8， 12，24}。 （2）如果元素较多或者无穷多个，且能按照一定规律排列，那么在不发 生误解的情况下，可以按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省 略号表示，如： 不大于100的自然数组成的集合{0，1，2，3，……，100}； 自然数集N={0，1，2，3，…，n，…}。
（1）[-1，3]; （2）（0，1]; （3）[2，5）； （4）（0，2）； （5）（-∞，3）； （6）[2，+∞）；
（2）{x|0<x≤1}; （4）{x|0<x<2}; （6）{x|x≥2};
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小结
（1）列举法表示集合； （2）描述法表示集合； （3）运用区间表示集合；
精选课件
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8
区间及其表示1
（1）如果 a<b，则集合{x|a≤x≤b}可以简写为[a，b]，并成为闭区间；
（2）如果 a<b，则集合{x|a<x<b}可以简写为（a，b），并成为开区间；
（3）如果a<b，则集合{x|a≤x<b}可以简写为[a，b），并成为左闭右开 区间；
（4）如果a<b，则集合{x|a<x≤b}可以简写为（a，b]，并成为左开右闭 区间；
离散数学第3章 集合
任取x， xX … xY (2) 证X=Y
方法一 分别证明 XY 和 YX 方法二 任取x，xX … xY
注意：在使用方法二的格式时，必须保证每步推理都是充分 必要的
27
第三章 集合
命题演算法
例3-3.2 证明A(AB) = A （吸收律）
元素a属于A，记作aA； 或者a不属于A，记作aA，也可以记作┓(aA)。
（4）任意性：集合的元素也可以是集合。 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} A=5，2A，{2}A，6A,{6}A
6
第三章 集合 例如：A={{a,b}，d，{{b}}}。可以用一种树形图来表示这种
隶属关系，该图分层构成，每一层上的结点都表示一个集 合，它的儿子就是它的元素。 集合的树型层次结构
32
第三章 集合
§3-3-3 笛卡儿积
定义3-3.2 两个元素a，b组成二元组，若它们有次序 之别，称为二元有序组，或称为有序对或序偶，记为<a， b>，称a为第一分量，b为第二分量；若它们无次序区分， 称为二元无序组，或称为无序对，记为（a，b）。
有序对具有如下性质。 （1）有序性：当x≠y时<x，y>≠<y，x>。 （2）<x，y>与<u，v>相等的充分必要条件是
A
B
11
第三章 集合
§3-2 集合之间的关系
§3-2-1 集合之间的关系 （1）相等关系： • 两集合A和B相等，当且仅当它们有相同的元素。 • 若A与B相等，记为A=B；否则，记为A≠B。 • 可形式化为：A=B(x)(xAxB)。
12
第三章 集合
集合描述法注意
集合描述法注意1. 引言在数学中，集合是由一些元素组成的整体。
描述集合的方法有很多种，其中一种常用的方法是集合描述法。
集合描述法是用一种简洁的方式来描述集合中的元素的方法。
在使用集合描述法时，需要注意一些规则和注意事项，以确保描述的准确性和清晰度。
2. 基本概念在使用集合描述法之前，我们需要了解一些基本概念：•元素：集合中的个体，可以是任何事物。
•集合：由一些元素组成的整体。
•描述：用特定的方式来表达或说明。
3. 集合描述法的格式集合描述法通常使用花括号（{}）来表示集合，元素之间用逗号（,）分隔。
在集合描述法中，可以使用以下几种方式来描述集合：•列举法：直接列举出集合中的元素。
•描述法：通过描述元素的特点或属性来表示集合。
3.1 列举法列举法是一种直接列举出集合中的元素的方式。
例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4, 5}。
这表示集合A中包含了元素1、2、3、4和5。
3.2 描述法描述法是一种通过描述元素的特点或属性来表示集合的方式。
例如，集合B可以表示为：B = {x | x 是偶数，且 0 < x < 10}。
这表示集合B中包含了所有满足条件“x 是偶数，且0 < x < 10”的元素。
在描述法中，可以使用以下几种方式来描述集合：•条件描述：通过条件来描述集合中的元素。
•数学符号描述：使用数学符号来描述集合中的元素。
3.2.1 条件描述条件描述是一种通过条件来描述集合中的元素的方式。
条件描述通常使用竖线（|）来表示。
例如，集合C可以表示为：C = {x | x 是正整数，且 x < 10}。
这表示集合C中包含了所有满足条件“x 是正整数，且x < 10”的元素。
3.2.2 数学符号描述数学符号描述是一种使用数学符号来描述集合中的元素的方式。
例如，集合D可以表示为：D = {x ∈ N | x < 10}。
这表示集合D中包含了所有满足条件“x 是自然数，且x < 10”的元素。
第二讲 集合的表示法
第二课时 集合的表示【学习导航】知识网络学习要求1．集合的表示的常用方法：列举法、描述法； 2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用， 3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力. 【课堂互动】自学评价1. 集合的常用表示方法： （1）列举法将集合的元素一一列举出来，并____________________表示集合的方法叫列举法. 注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合的元素必须是明确的； ③各元素的出现无顺序； ④集合里的元素不能重复；⑤集合里的元素可以表示任何事物. （2）描述法将集合的所有元素都具有性质（ ）表示出来，写成_________的形式, 称之为描述法. 注意：①写清楚该集合中元素满足性质； ②不能出现未被说明的字母；③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”； ④所有描述的内容都要写在集合的括号内； ⑤用于描述的语句力求简明，准确. 思考:还有其它表示集合的方法吗？ 【答】文字描述法：是一种特殊的描述法，如：{正整数}，{三角形} 图示法（Venn 图）：用平面上封闭曲线的内部代集合. 2. 集合相等如果两个集合A ，B 所含的元素完全相同，___________________________________ 则称这两个集合相等，记为：_____________ 【精典范例】一、用集合的两种常用方法具体地表示 集合 例1．用列举法表示下列集合： （1）中国国旗的颜色的集合；集合的表示 描述法 列举法（2）单词mathematics中的字母的集合；（3）自然数中不大于10的质数的集合；（4）同时满足240121xx x+>⎧⎨+≥-⎩的整数解的集合；（5）由||||(,)a ba b Ra b+∈所确定的实数集合.（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N }分析：先求出集合的元素，再用列举法表示.【解】（1）{红，黄}；（2）{m，a，t，h，e，i，c，s }；（3）{2，3，5，7 }；（4）{-1，0，1，2}；（5）{-2，0，2}；（6）{(0，8)，(2，5)，(4，2)}点评:（1）用列举法表示集合的步骤为：①求出集合中的元素②把这些元素写在花括号内（2）用列举法表示集合的优点是元素一目了然；缺点是不易看出元素所具有的属性. 例2．用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使2xyx-=有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；（5）图中阴影部分内点的集合；-12-11oyx分析：用描述法表示来集合，先要弄清楚元素所具有的形式，从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.【解】（1）{x|x=3k，k∈Z}（2）{x|x≤2且x≠0 }（3）∅（4）{(x,y)| y=-x2+3x-6}（5）{(x,y)| 0201x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 或0201x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 点评: 用描述法表示集合时，注意确定和简化集合的元素所具有的共同特性.追踪训练一1.用列举法表示下列集合： (1) {x|x 2+x+1=0}(2){x|x 为不大于15的正约数} (3) {x|x 为不大于10的正偶数} (4){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z} 2. 用描述法表示下列集合： (1) 奇数的集合； (2)正偶数的集合； (3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的集合； . 3. 下列集合表示法正确的是 (1) {1，2，2}； (2) {Ф}；(3) {全体有理数}；(4) 方程组31420x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合为{2，4}；（5）不等式x 2-5>0的解集为{x 2-5>0}.例3．已知A={a|6,3N a Z a∈∈-}，试用列举法表示集合A ． 分析：用列举法表示的集合，要认清集合的实质，集合中的元素究竟满足哪些条件． 【解】当a=2时，666332N a ==∈-- 当a=1时，663331N a ==∈-- 当a=0时，662330N a ==∈-- 当a=-1时，66331N a =∉-+ 当a=-2时，6635N a =∉- 当a=-3时，66136N a ==∈- ∴ A={2，1，0，-3}点评:本题实际上是要求满足6被3-a 整除的整数a 的值，若将题目改为63Z a∈-， 则集合A={-3，0，1，2，4，5，6，9}. 二、有关集合相等方面的问题例4．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a 2,b 2}，且Q=P ，求1+a 2+b 2的值．分析：含字母的两个集合相等，并不意味着 按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性.【解】分两种情况讨论： ① 221001a a a a b b b b ⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或⇒1+a 2+b 2=2 ②220101a ba ab b b a ⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或 这与集合的性质矛盾， ∴ 1+a 2+b 2=2追踪训练1．集合A={x|y=x 2+1}，B={t|p=t 2+1}, C={y|x =234y +}，这三个集合的关系？ 2．已知A={x|12,6N x N x∈∈-}，试用列举法表示集合A ． 思维点拔：例5． 已知集合B={x|212x ax +=-}有唯一元素，用列举法表示a 的值构成的集合A . 点拔：本题集合B={x|212x ax +=-}有唯一元素，同学们习惯上将分式方程去分母，转化为一元二次方程的判别式为0，事实上当a=2±时，也能满足唯一元素，但方程已不是一元二次方程，而是一元一次方程，也有唯一解，所以本题要分三种情况讨论 . 【解】当x 2-2≠0时，x+a=x 2+a⊿=0⇒a=-94，此时，x=12，符合题意，当a=2时，x=21+，符合题意， 当a=-2时，x=12-，也符合题意，∴ A={94-，2，-2}第2课集合的表示分层训练1．由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（）A．{x|-3<x<11,x∈Q}B．{x|-3<x<11 }C．{x|-3<x<11,x=2k,k∈N}D．{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}2．坐标轴上的点的集合可表示为（）A．{(x,y)|x=0,y=0；或x≠0,y=0}B．{(x,y)|x2+y2=0}C．{(x,y)|xy=0}D．{(x,y)|x2+y2≠0}3．下列四个关系式中，正确的是（）A．a∈{a,b} B．{a}≤{a,b}C．a∉{a} D．a≤{a,b}4．下列表示同一个集合的是（）A．M={(1,2)}，N={(2,1)}B．M={1,2}，N={2,1}C．M={y|y=x-1，x∈R}，N={y|y=x-1，x∈N}D．M={(x,y)|112yx-=-}，N={(x,y)|y-1=x-2}5．集合P={x|x=2k，k∈Z}，Q={x|x=2k+1，k∈Z}，R={x|x=4k+1，k∈N}，a∈P，b∈Q，则有（）A．(a+b)∈P B．(a+b)∈QC．(a+b)∈RD．(a+b)不属于P、Q、R中的任意一个6．集合{x|x∈N*,x<5}的另一种表示法是____________________________7．用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？①由所有非负奇数组成的集合；②平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；③所有周长等于10cm的三角形组成的集合；④方程x2+x+1=0的实数根组成的集合．8．已知集合M={a，a+d，a+2d}，N={a，aq，aq2}，其中a≠0，M=N，求q的值．9．设A={2，3，a 2+2a-3}，B={2，|a+3|}，已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的取值．拓展延伸：10．集合A={x|x=a+b 2，a 、b ∈Z}，x 1∈A ，x 2∈A ，求证：x 1x 2∈A11．下面三个集合：①{x|y=x 2+3x-2}，②{y| y=x 2+3x-2}，③{(x,y)| y=x 2+3x-2}． （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的区别在哪里？第2课 集合的表示1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．{1,2,3,4}7．解： ①{x|x=2k+1，k ∈N}②{(x,y)|x<0，y<0} ③{周长为10cm 的三角形}④∅8．解：分两种情况讨论：①22a d aq a d aq +=⎧⎨+=⎩⇒ a+aq 2-2aq=0， ∵ a ≠0， ∴ q 2-2q+1=0，即q=1，但q=1时，N 中的三个元素均相等，此时无解．②2220,2a d aq aq aq a a d aq ⎧+=⇒--=⎨+=⎩ ∵ a ≠0， ∴ 2q 2-q-1=0又q ≠1，∴ 12q =- ，∴当M=N 时，12 q=-9．解：∵5∈A ∴a2+2a-3=5即a=2或a=-4当a=2时，A={2，3，5}，B={2，5}，与题意矛盾；当a=-4时，A={2，3，5}，B={2,1}，满足题意，∴a=-4 10．证明：∵x1∈A，x2∈A∴设x1=a1+b12，x2=a2+b22∴x1x2=( a1+b12)( a2+b22)=(a1a2++2b1b2)+(a1b2+a2b1)2∈A∴x1x2∈A11．答：（1）是互不相同的集合．（2）①{x|y=x2+3x-2}=R，②{y| y=x2+3x-2}={y|y≥1}③{(x,y)| y=x2++3x-2}={点P是抛物线y=x2+3x-2上的点}。
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§3.1.2集合的描述法 3.1.2集合的描述法
课堂小结
集 合 的 描 述 法 描述法 法 1 2 3
§3.1.2集合的描述法 3.1.2集合的描述法
作业布置 1.必做题：P64练习A 1、2 练习A 必做题：P64练习 1、
2.选做题: 选做题:
P65练习 1、 P65练习B 1、2 练习B
பைடு நூலகம்
§3.1.2集合的描述法 3.1.2集合的描述法
巩固练习
练习1 用列举法表示下列集合： 练习1：用列举法表示下列集合： （1） ｛x︱x 是大于3且小于10的奇数｝； 是大于3且小于10的奇数｝； 10的奇数 5x＋6=0｝； （2） ｛x︱x 2－5x＋6=0｝； 练习2 用性质描述法表示下列集合： 练习2：用性质描述法表示下列集合： （1） ｛北京市｝； 北京市｝； 大于3的实数的全体构成的集合； （2） 大于3的实数的全体构成的集合； （3）平面a内到两定点A、B距离相等的点的 平面a内到两定点A 全体构成的集合。 全体构成的集合。
人民教育出版社
中职数学（必修 上册 上册） 中职数学（必修—上册）
集合的描述法
§3.1.2集合的描述法 3.1.2集合的描述法
1. 列举法
列举法：当集合元素不多时， 列举法：当集合元素不多时，我们常常把集合的 元素一一列举出来，写在大括号内表示这个集合， 元素一一列举出来，写在大括号内表示这个集合， 一一列举出来 大括号内表示这个集合 列举法。 这种表示集合的方法叫做列举法 这种表示集合的方法叫做列举法。 形如：A=｛a1，a2，a3，a4，…｝ 形如：A=｛ 范例：用列举法表示下列集合： 范例：用列举法表示下列集合： 1.由不大于 的自然数组成的集合; ， ， ， ， ， ， ｝ 1.由不大于6的自然数组成的集合; 0，1，2，3，4，5，6｝ 由不大于6 ｛ 在不发生 2.中国古代的四大发明构成的集合 2.中国古代的四大发明构成的集合； 中国古代的四大发明构成的集合； 指南针，造纸，活字印刷，火药｝ ｛指南针，造纸，活字印刷，火药｝ 误会的情 况下可省 3.小于 3.小于100的自然数组成的集合。 小于100的自然数组成的集合 的自然数组成的集合。 99｝ ｛0，1，2，3，4，5， … ，99｝
略
§3.1.2集合的描述法 3.1.2集合的描述法
预备概念) (预备概念)：
2. 性质描述法
集合A的特征性质：给定x的取值集合I 集合A的特征性质：给定x的取值集合I，如果属于集 合A的任意一元素x都具有性质 p(x)，而不属于集合 的任意一元素x p(x)， A的元素不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的 的元素不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A p(x) p(x)叫做集合 特征性质。 特征性质。 性质描述法：集合A用特征性质p(x)描述成：A=｛ 性质描述法：集合A用特征性质p(x)描述成：A=｛x∈I︱p(x)｝ p(x)描述成 p(x)｝ 范例：用性质描述法表示下列集合： 范例：用性质描述法表示下列集合： 1.由不大于 的自然数组成的集合; 1.由不大于6的自然数组成的集合; 由不大于6 ｛x ∈ N︱x≤6｝ ︱ ｝ 2.中国古代的四大发明构成的集合 2.中国古代的四大发明构成的集合； 中国古代的四大发明构成的集合； 简写｛ ｛ x ︱x是中国古代四大发明 ｝简写｛ 四大发明 ｝ 是R可 可 3.方程 3.方程x2－1=0的解集。 省略 方程x 1=0的解集 的解集。 ｛ x ∈ R︱x2－1=0 ｝ 写