量子力学中的力学量 Ⅴ. 力学量平均值随时间的变化,运动常数, 埃伦费斯脱定理(继)
量子力学课件：3.8 力学量期望值随时间的变化 守恒定律
力学量算符的平均值:
| cn |2 n
F n
| cn |2
n
基本对易关系：
x , p i
lˆ lˆ i lˆ 或
对易的意义：
F *(x)Fˆ (x)dx *(x) (x)dx
1 0
( ) ( )
lˆ ,lˆ i lˆ
Fˆ ,Gˆ 0
经典力学中守恒量：体系取确定值！ ①
量子力学守恒量：不一定确定值！ 但测量值几率不随时间变化！
② 量子力学定态特点：测量值几率不随时间变化！
守恒量：1、是体系特殊的力学量。
——与H对易！
VS
2、在一切状态（不管是否是定态）
——平均值、测量几率分布不随时间变化！
定态：1、是体系特殊的状态。 ——能量本征态！
[ x，pˆ x ] i [Lˆ x，Lˆ y ] iLˆz
（x)2
•（px
)2
2 4
（Lx )2
•（Ly )2
2 4
2
Lz
一、力学量的平均值随时间的变化
量子力学中，处于一定状态下的体系，在每一 时刻，不是所有的力学量都具有确定的值，而只是 具有确定的平均值及几率分布。
力学量F的平均值
F *Fˆ d *(x,t)Fˆ (x,t)dx
2、对一切力学量（不显含时间，不管是不是守恒量） ——平均值、测量几率分布不随时间变化！
[1 i Fˆ , Hˆ ] i[Fˆ , Hˆ ] 0
就F^是体系的一个守恒量，是与变换Q相联 系的可观测量。
1.空间平移不变性
设体系具有平移不变性，
Dˆ (a) (x) (x a)
其中平移变换： D(a) e i pˆxa
第三章量子力学中的力学量
• 本部分的难点是任意态 (x,t) 与力学量算符本征态 n 及力
学量概率态Cn 的区别。
• 1 厄米算符
• 1.1 算符：算符 F 只是代表对函数施加某种运算的符号，
是一种数学语言工具。例如
d dx
、、
等。量子力学中的力学
量量在p与与波函i数的相作当用，中自，由往粒往子表体现系为的一能种量运E算与形 2式2 ，2例相如当动。
量子力学中的力学量
经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动 量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描
述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一
个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状
态。但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了
一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学 量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿 始终。
一定，但 m 可取 (2l 1) 个值，所以本征态有
F
F
(r ,
p)
F
(r,i)
（9）
• 3 力学量算符的本征态和本征值
微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状
态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。
假定体系处于力学量算符
F
的本征态
，本征方程为
F
（10）
说明力学量算符对应着确定的实数本征值 ，这时的
力学量没有别的选择，只能是
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学 习的重点。重点掌握以下内容：
• 一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；
• 两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米
算符的本征态表示；
若力学量不是含t
（2）在体系的任何态下， 的几率分布不随时间 在体系的任何态下， 改变。 改变。 （3）若初始时刻，体系处于守恒量 的一个本征 若初始时刻， 则以后仍将保持该本征态，若初始时刻， 态，则以后仍将保持该本征态，若初始时刻，体 本征态， 系不处于 本征态，则以后状态也不是 本征态 例：（1）自由粒子的动量守恒
则
如
又和
对易
即
，则：
可以证明： 满足上式， 可以证明 ： 满足上式 ， 即力学量平均值不随时间 变化的力学量称为守恒量， 变化的力学量称为守恒量，守恒量的几率分布不随时 间改变。 间改变。 总结： 对易的不含t的力学量（守恒量） 总结：如果 是与 对易的不含t的力学量（守恒量） 则 在体系的任何态下， （1）在体系的任何态下， 平均值不随时间改 变．
动量
守恒
（2）中心力场中运动的粒子角动量守恒
只与有关
角动量平方及角动量分量都是守恒量。 角动量平方及角动量分量都是守恒量。 (3)哈密顿不显含时间的体恒 能量守恒 （4）哈密顿对空间反演不变时的宇称守恒
空间反演
宇称算符
的本征值是1 的本征值是1，
的本征值是 （偶宇称） 偶宇称）
（奇宇称） 奇宇称） 设体系的哈密顿算符 在空间反演后不变
则
和
可以有共同本征函数。 可以有共同本征函数。
宇称守恒定律: 体系能量本征函数可以有确定宇 宇称守恒定律: 称且不随时间改变。 称且不随时间改变。 守恒量与定态的区分： 守恒量与定态的区分： 定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态， 1。定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态， 而守恒量则是体系的一种特殊的力学量， 而守恒量则是体系的一种特殊的力学量 ， 即不显 含时间与 对易的力学量
3.8
量子力学中的力学量
ˆ ,B ˆ s [A ˆ ]B ˆ n s 1 B
S0
n 1
例： 求
ˆn [ x, p x] ˆ x s [ x, p ˆ x ]p ˆ x n s 1 p
S0 1 ˆn i p x S0 1 ˆn inp x 。 n 1 n 1
由于算符之间存在不对易的情况，因此在算符的运算时，要特别小心，不要与常规运 算混淆。
由于算符的不可对易性，导致其对易子并不定为 0。对易子有如下性质
ˆ ,B ˆ] ˆ ] [B ˆ,A [A ˆ ,B ˆ] B ˆ ,C ˆ ] [A ˆ ,B ˆ ˆC ˆ [A ˆ ]C [A ˆ B ˆ] A ˆ [B ˆ ] [A ˆ ,C ˆ ] B ˆ ,C ˆ ,C ˆ， [A
ˆ ,B ˆ ,B ˆ 都和 [ A ˆ ] 对易，可证明 例： A
e .e
所以， e
x
ˆ A
ˆ B
ˆ B ˆ ,B ˆ 1[ A ˆ] A 2 。 e
.e
ˆx p
1 ˆ x i xp 2 。 e
ˆB ˆ 时， e A .e B e A B 才成立。 ˆB ˆ 。而仅当 A ˆ B ˆA ˆ B ˆA 这种差异，是因为 A
ˆx / iap
，于是
d dx ( x )
ˆ ( x) e O
a
( a ) n d n ( x) dx n n 0 n! ( x a) ( x )
即将体系的几率分布沿 x 方向移动距离 a .
A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。 由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。所谓线性算符，即
云南大学物理与天文学院2013年春季学期量子力学期末试卷(A卷)参考答案
云南大学2012至2013学年下学期物理科学技术学院物理系 2010级《量子力学（1）》期末考试试卷A （闭卷）参考答案 满分100分 考试时间：120分钟 任课教师：戴本忠一、回答下列问题：（共4题、每题5分，共20分）1、比较经典力学和量子力学中粒子和波的相同点和不同点 粒子：共同点：颗粒性，即是具有一定质量、电荷等属性的客体不同点：经典粒子具有确定轨道；微观粒子不遵循经典决定论，无确定轨道运动；波：共同点：遵循波动规律，具有相干迭加性不同点：经典波是与某个客观存在的物理量的周期性变化在空间中的传播相联系的；量子力学中的物质波不存在这样的物理量，它只是一种几率波。
2、波函数ψ与ψk 、ψαi e 是否描述同一态？为什么？解：（1）ψ与ψk 、ψαi e 描述的相对概率分布完全相同，如对空间1x 和2x 两点的相对概率=2221)()(x x ψψ=2221)()(x k x k ψψ2221)()(x e x e i i ψψαα，故ψ与ψk 、ψαi e 均描述同一态。
3、写出Pauli 矩阵；4、全同费米子的波函数有什么特点？写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。
全同费米子的波函数是反对称波函数。
两个费米子组成的全同粒子体系的⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00;0110;1001ii y y z σσσ波函数为：。
二、判断题：（共5题，每题2分，共10分）1、一维粒子的能量本征函数无简并。
（ × ）2、中心力场中的粒子，如果体系处于定态，则角动量具有确定值。
（ × ）3、设体系处于定态，则不含时力学量的测量值的概率分布不随时间变化。
（ √ ）4、若Aˆ与B ˆ对易，且B ˆ与C ˆ对易，则A ˆ与C ˆ对易。
（ × ） 5、若两个算符不对易，则它们不可能同时有确定值。
（ × ）三、证明推导题：（共3题、每题10分，共30分）1、试根据力学量平均值表达式⎰ψψ=dx t x Ft x F ),(ˆ),(*，证明力学量平均值随时间的变化为]ˆ,ˆ[1ˆH F i t F dt F d +∂∂=，其中H ˆ为体系的哈密顿量。
量子力学教程第十讲PPT学习教案
(r ,
t)
空间 反演算 符也称 为宇称 算符
反演算符 的本 征值
Iˆ
Iˆ[Iˆ
(r ,
t)]
Iˆ
(r ,
t
)
(r ,
t)
Iˆ
2
(r ,
t
)
I2 1
本征值
I 1
第6页/共9页
7
3.8 力学量随时间的变化 守恒律（续6）
1
I
1
Iˆ (r,t) (r,t) (偶宇称) Iˆ (r,t) (r,t) (奇宇称)
具 有偶宇 称或奇 宇称的 波函数 称为具 有确定 的宇称 。宇称 是运动 空间对 称性的 描述。
宇称守恒 律： 若体系的 哈密顿 算符具 有空间 反演不 变性
即
IˆHˆ (rˆ,t) Hˆ (r,t) Hˆ (rˆ,t)
则 为运 动积分 ，即宇 称守恒
Iˆ
Prove：
IˆHˆ (r)(r,t) Hˆ (r)(r,t) Hˆ (rˆ)Iˆ(r,t)
第7页/共9页
8
3.8 力学量随时间的变化 守恒律（续7）
IˆHˆ HˆIˆ
[Iˆ, Hˆ ] 0
又 不显 含t，
Iˆ
Iˆ 0
t
故
dIˆ
dt
Iˆ t
1 i
Iˆ, Hˆ
0
因此, 为 运动积 分，亦 即宇称 守恒
Iˆ
宇称守 恒表示 体系的 哈密顿 算符和 宇称算 符具有 共同本 征函数 , 因而 体系能 量本征 函数可 以有确 定的宇 称，而 且不随 时间变 化。 衰变宇 称不守 恒！
即
则有
结论:力学 量 的 平均值 不随 时间而 变化, 则称
量子力学中的力学量
2 3 3 (r , t )d r (r , t ) d r
坐标平均值
3 3 * r r (r , t )d r (r , t )r (r , t )d r
7
3.1 表示力学量的算符（续2）
利用C ( P, t ) 计算出坐标
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
第 三 章 量子力学中的力学量
The Dynamical variable in Quantum Mechanism
1
引 言
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
4
重点掌握内容
Chap.3 The Dynamical variable in Quantum Mechanism
一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）； 两个假设： 力学量用厄米算符表示； 状态用厄米算符本征态表示，力学量 算符的本征值为力学量的可测值 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值； 四个力学量算符的本征态及本征值：坐标算符，动量 算符，角动量算符及能量算符（哈密顿算 符）及它们的本征值。 一个关系：力学量算符间的对易关系（特别是坐标 算符与动量算符的对易关系，角动量算符 对易关系） 三个定理: 共同本征态定理（包括逆定理） 不确定关系 力学量守恒定理
1 * C ( P, t )[ (r , t )ie 3/ 2 (2 )
i Pr
ˆ i P
─ 动量算符
(i (r , t ))e
i P r
3 d r ]d P
(完整word版)量子力学18
§3—11 力学量平均值随时间的变化 守恒定律一、力学量的平均值随t 的变化规律（量子力学运动方程或Heisenberg 运动方程） 设),(t x ψ为归一化的波函数,则 F dx t x Ft x ),(ˆ),(*ψψ=⎰ （x 代表所有自变量） 考虑到F ˆ可能显含t （比如),(ˆˆˆt x U T H +=），则上式两边对t 的微商可表述为dtF d dx t F dx t F dx F t ∂ψ∂ψ+ψ∂∂ψ+ψ∂ψ∂=⎰⎰⎰ˆˆˆ*** 由薛定谔方程得ψ=∂ψ∂H i t ˆ1 **)ˆ(1ψ-=∂ψ∂H i t考虑到Hˆ为厄米算符，于是 *****ˆ11ˆˆˆˆ()ˆ1ˆˆˆˆ()d F F H F dx dx FH dx dt i t i F dx FH HF dx t i∂=-ψψ+ψψ+ψψ∂∂=ψψ+ψ-ψ∂⎰⎰⎰⎰⎰ 即ˆ1ˆˆ[,]d F F F H dt t i∂=+∂ 此即为海森伯运动方程.其中右边第一项是由于Fˆ显含时间而引起的，即使ψ不随t 变化这一项也存在；第二项是由于ψ随t 变化而引起的，即使F 不随t 变化这一项也存在。
如果F ˆ不显含时间t ,即0ˆ=∂∂tF ，则1ˆˆ[,]d F F H dt i =。
二、守恒定律在运动方程（1）中，如果F ˆ不显含时间t ,即0/ˆ=∂∂t F ，并且0]ˆ,ˆ[=H F (即对易），则有0/=dt F d ,即力学量Fˆ平均值不随时间变化。
这时称F 为运动积分，即守恒量.此即为量子力学中的守恒定律。
1．自由粒子的动量（动量守恒定律）当粒子不受外力，即μ2ˆˆ2p H =。
因为ˆ0p t ∂=∂，且 [,][,][,][,]0x y z p H i p H j p H k p H =++=所以0dp dt=，即为量子力学中的动量守恒定律。
2．粒子在中心力场中运动的角动量(角动量守恒定律）中心力场中粒子的哈密顿量)(2ˆ2ˆ22222r U r L r r r r H ++⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=μμ 因为zy x L L L L ˆ,ˆ,ˆ,ˆ2只和ϕθ,有关，与r 和t 无关,则 222222222ˆˆˆˆˆˆ[,],,[,()]022L L H L r L L U r r r r r μμ⎡⎤⎡⎤∂∂⎛⎫=-++=⎢⎥ ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 因为2ˆˆ[,]0L L α=，所以 ˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]0x y zL H L H L H === 所以 02=dtL d 0=dt L d x 0=dt L d y 0=dt L d z 此即为量子力学的角动量守恒定律.3．哈密顿不显含时间的体系能量（能量守恒定律）若哈密顿不显含时间，即0/ˆ=∂∂t H，而0]ˆ,ˆ[=H H ,则有 0=dtH d 此即为能量守恒定律。
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n
dAˆ 0
dt
我们称与体系 Hˆ 对易的不显含时间的力 学量算符为体系的运动常数。
运动常数并不都能同时取确定值。因 它们之间可能不对易。 B. 位力定理 ( virial Theorem )
已经证明，在定态上有位力定理
2Tˆ r V(r)
若 V(x, y,z) 是 x,y,z 的 n 次齐次函
l(l 1)2 2mr2
Rkl (r)
2k 2 2m
Rkl (r)
当 l 0 ，则有
2 2m
1 r
d2 dr 2
r Rk0
2k 2 2m
Rk0
从而得
1
d2 d 2
R k 0
Rk0
其中 kr 。显然，它有两个解
Rk0 sin( )
Rk0 cos()
但要求 Rk0 r0 0 ，所以取解
m)! m)!
1 sinm
(
d dcos
)lm
sin2l
称为连带勒让德函数（Associated Legendre
function）。
当 l,m 给定，也就是 Lˆ2, Lz的本征值
给定，那就唯一地确定了本征函数 Ylm(, ) 其性质：
a. 正交归一
Yl*m (, )Ylm (, )d llmm
Pˆr2
(l
1)l2 r2
Rkl1
所以
R kl1
l1Rkl Rkl1
事实上
R kl
()l ( 1
d )l d
Sin()
正是球贝塞尔函数
jl ()
()l ( 1
d )l d
Sin()
由
l Rkl Rkl1
•
l1Rkl Rkl1
从而可推得
1
jl ()
1 2l
1
jl1
()
A. 力学量的平均值随时间变化，
运动常数
力学量的平均值随时间变化
dAˆ Aˆ [Aˆ ,Hˆ ] dt t i
若 Aˆ 不显含 t，则
dAˆ [Aˆ ,Hˆ ] dt i
当 [Aˆ , Hˆ ] 0，则 Aˆ （对体系处于任何态）
不随 t 变，而取 As 的概率 cns 2 也不随
t 变。
数，则
2Tˆ nV(r)
例：谐振子势是 x,y,z 的二次齐次函数
Tˆ V(r)
V(r) 1 m2r2 2
例：库仑势是 x,y,z 的 –1 次齐次函数
2Tˆ V(r)
Ze 2 V(r)
4 0r
C. 能量-时间不确定关系
由算符间测量值的“涨落”关系，我
们推得
A E 2
A 其中 A dAˆ
dt
这即为能量和时间的不确定关系。
第十三
第四章 量子力学中的力学量
Ⅴ. 力学量平均值随时间的变化，运动
常数, 埃伦费斯脱定理（Ehrenfest
Theorem ）
D. 埃伦费斯脱定理
第五章 变量可分离型的三维定态问题
Ⅰ. 有心势
A. 不显含时间的薛定谔方程解在
r 0 的渐近行为
B. 三维自由粒子运动
d2x m dt2
dpˆ x dt
V x
Fˆx
称为埃伦费斯脱定理。
上面三个式子与经典力学看起来非常
相似
dxcl pxcl dt m
dp xcl Vcl (xcl )
dt
xcl
m
d2xcl dt 2
Vcl (xcl ) xcl
但决不能无条件地认为
x xcl
如果这样，即得
m
d2x dt2
1 r
2 r2
r
Lˆ2 2r2
显然
[Hˆ , Lˆ 2 ] 0
[Hˆ , Lˆ z ] 0
[Lˆ2, Lˆ z ] 0
因此， Hˆ , Lˆ2, Lˆ z 是两两对易。当共同 本征函数组不简并时，它们构成一组力学 量完全集(球对称势的体系都有这一特点）
以力学量 Hˆ , Lˆ2, Lˆ z 的本征值（即量子 数）对能量本征方程的特解进行标识，就 可得到一组完备的不简并的本征函数组。
即，取
m
l m l
这表明，角动量的本征值是量子化 的。自由粒子的角动量是量子化的。
2．本征函数
★
i
ulm
m
ulm
得解
ulm(,) Alm()eim
★
Lˆ ull
Lˆ
All(
eil
)
0
ei
(
l 1)
d d
l
cot
All
()
0
于是得归一化的本征函数
ull ( ,)
(1)l
1 2l l!
类似， Lˆ z，Lˆ Lˆ
ulm Lˆ ulm (Lˆ )2ulm (Lˆ )3ulm
m (m 1) (m 2) (m 3)
称 Lˆ 为升算符（对 Lˆ z 而言）。
Lˆ2 的本征值可取
l 2 l(l 1) 2 l 0,1,2,3,
Lˆ z 的本征值可取
l, (l 1), (l 2),,0,(l 2), (l 1), l
(2l 1)! sinl eil 4
★
ulm(,) c(Lˆ )lm sinl eil 于是得 Lˆ2, Lz 的共同本征函数组-球谐函数
Ylm (1)m
(2l 1) 4
(l (l
m) m)
! !
Plm
(cos
)e
im
Plm (cos)
(1)lm
1 2l l!
(2l 4
1)
(l (l
Rk0 sin( ) /
现设两个无量纲的算符
l
1 k
iPˆ r
(l
1) r
d d
(l 2)
l
1 k
iPˆ r
(l 1) r
d d
l
•
•
于是有
l l
1 2k 2
Pˆr2
(l 1)i(Pˆr
1 r
1 r
Pˆ r
)
(l
1)2 2 r2
而
Pˆ r
1 r
1 r
Pˆ r
i(1 d r dr
1 r2
d dr
r)
i
1 r2
所以
l l
1 2k 2
Pˆr2
（l 1）(l
r2
2) 2
同理
l l
1 2k 2
Pˆr2
l(l 1)2 r2
•
于是有
l l Rkl Rkl
并有
l l l R kl l R kl
即
1 2k 2
Pˆr2
（l
1）(l r2
2) 2
l Rkl
l Rkl
这表明
在这类位势下，束缚态 E<0 。所以 存在束缚态的条件为 0<m<2 。即仅当
r2V(r) r00
时，才有束缚态
2. 在 r 0 时，径向波函数应满足 rR(r) 0
由径向方程
d2 dr2
rR(r)
l(l r2
1)
rR(r)
2mE
2
V(r ) rR(r )
0
当 r 0 时，径向方程的渐近式为
函数 因 [Lˆ2, Lˆ z ] 0 ，它们有共同本征 函数组
1．本征值：
Lˆ2ulm l 2ulm Lˆ zulm m ulm
由
m
1/ 2 l
和
Lˆ z，Lˆ Lˆ
ulm Lˆ ulm (Lˆ )2ulm (Lˆ )3ulm
m (m 1) (m 2) (m 3)
称 Lˆ 为降算符
A. 不显含时间的薛定谔方程解在
r 0 的渐近行为
1．
V(r)
A rm
时 ( A 0 ) ，仅当
0m2
时才有束缚态。
根据位力定理：如 V(r)是 x,y,z 的 n 次齐次函数，则有
2T nV
（在定态上）
对于位势
V(r
)
A rm
，即 n m
即有
2T mV
E T V (1 2 )T m
b．封闭性
l0
ml
Ylm(, )Yl*m(, )
m l
1 sin
(
)(
)
c．
Ylm (1)m Yl*m
d. Ylm 宇称 (1)l
e. 递推关系
Lˆ Ylm (l m)(l m 1) Ylm1
Lˆ Ylm (l m)(l m 1) Ylm1 D. 力学量的完全集
量子力学描述与经典描述大不一样， 在量子力学中，是确定体系所处的状态。
有了力学量完全集，则可得 unabc
(r, t) cnabcunabceiE nt /
n,a,b,c
cnabc u*nabc(r)(r,0)dr
Lˆ2, Lˆ z 完全集相应的本征函数组为
Ylm (, )
Ⅴ. 力学量平均值随时间的变化，运动
常数, 埃伦费斯脱定理（Ehrenfest
Theorem ）
un(r) 满足定态本征方程 Hˆ (r,pˆ)un (r) Enun (r)
所以通解为
(r,t) cnn(r,t)
n
现处理变量可分离型的位势问题。 Ⅰ. 有心势
V(r) V(r)
能量本征方程可写为
Hˆ (r,
pˆ )un
(r)
2
2m
2
V(r)
un
(r)
Enun
(r
)
2
2m