动态电路时域分析
《电路分析》——动态电路时域分析
注意:
（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 （2）换路定律反映了能量不能跃变。
《电路分析》——动态电路时域分 析
LC
L iL(0)
+
C uC(0)
-
LC
(a) 稳态时 的L和C
(b) 换路前有储能 的L和C
(c) 换路前无 储能的L和C
第5章 动态电路的时域分析
重点
1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和
全响应求解； 3. 稳态分量、暂态分量求解； 4. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应。
《电路分析》——动态电路时域分 析
由电源和电阻器构成的电阻性网络，是用代 数方程来描述的，求解过程不涉及微分方程。
0
t
零输入响应
《电路分析》——动态电路时域分 析
5.3.2 一阶RC电路的零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所 产生的电压和电流。
已知 uC (0－)=U0 ; uS =0
t
uc (t) U0e RC t 0
ic (t)
U0 R
e
t RC
t0
《电路分析》——动态电路时域分
a1
df (t) dt
a0
f
(t)
e(t)
t0
(3)高阶电路
电路中有多个动态元件，描述电路 的方程是高阶微分方程。
an
d
n f (t) dt n
an1
d
n1 f (t) dt n1
a1
df (t) dt
a0
f
(t)
第八章动态电路的时域分析(教案).docx
第8章动态电路的时域分析重点1.动态电路关于解变量的输入一输出方程的列写、换路定律及初始值的确定；2.一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应、概念和求法；3.二阶电路的零输入响应及解的三种形式。
难点1.通过实验理解一阶电路的动态过程；2.通过典型例题和练习掌握冇关计算。
8. 1电路的暂态过程与换路定则含有动态元件（储能元件L、C）的电路叫做动态电路。
一、电路的暂态过程电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路的过渡过程。
称为电路的暂态过程，简称暂态。
暂态产生的原因是电感、电容等储能元件储存的能量发生了变化。
暂态产生的必要条件是动态电路发生了换路。
屯路中屯源的接人与切除、支路的接通和切断、元件参数的改变等统称为换路。
二、换路定则1、定理内容：电容电压（电荷）不能跃变，而只能连续地变化，否则，电流：将为无限大。
电感电流（磁链）也不能跃变，而只能连续地变化，否则，电压u将为无限大。
数学表达式为%c（0+）=况c（°J ] 江（0 亠）=ZL（O-））换路定则的实质是能量不能跃变。
需要指出：理想屯压源的屯压不受外部条件的影响，理想电流源的电流不受外部条件的影响，它们都不能因换路而跃变。
但是，理想电压源的电流、理想电流源的电压，却是可能跃变的。
三、初始值的确定电路中各元件的电压与电流在换路后的最初一憐间『 =（）+时的值，称为电路的初始值。
1、确定原则：1）电容兀件的初始电丿卡• ”c（0 ）及电感兀件的初始电流匚（0 ）为独立初始值，按换路定则确定。
2）换路时可能跃变的初始量，则需根据电容电压々（o’）及电感电流匚（0+）应用KCL、KVL和VCR來确定。
3）在较复杂的情况T, 40替代定理。
将电容元件用电压为々（0」收超獰电压源等效替代（若匚矽）,则代之以短路）;将电感元件用电流为的理想电流源等效替代（若=0 ,则代之以开路）。
例：如图所示的电路中，电压源的电压U S=12V,电阻&二40，& =80，开关S接通前电路已达稳定状态，且电容C未充电。
电路分析基础第4章 动态电路的时域分析
第4章 动态电路的时域分析 解 (1) 先计算电容电压uC(0－)和电感电流iL(0－)。开关
开启前电路已处于直流稳定状态，这时电容相当于开路，电 感相当于短路，t=0－时的等效电路如图4.2-5(a)所示。由图(a) 可得
图4.2-5 例4.2-2用图(二)
第4章 动态电路的时域分析
第4章 动态电路的时域分析
(2) 根据换路定律，有
iL(0+)=iL(0－)=1 A (3) 画出换路后瞬间t=0+时的等效电路，计算其他支路 电压、电流的初始值。根据置换定理，用一个电流值等于
iL(0+)=1 A的理想电流源代替电感元件，画出t=0+时的等效电 路如图(b)所示。对图(b)中右边一个回路应用KVL，得
第4章 动态电路的时域分析 图4.2-1 动态电路过渡过程说明用图
第4章 动态电路的时域分析
4.2.2 换路定律 如果电容电流iC和电感电压uL在无穷小区间［t0－，t0+］
为有限值，则上面两式中等号右边第二项积分为零，于是有
uC (t0 iL (t0
) uC (t0 ) iL (t0 )
4.2.1 动态电路的过渡过程 当动态电路的结构或元件参数发生变化时，电路将从一
个稳定状态变化到另一个稳定状态，这种变化一般需要经历 一个过程，这个过程称为过渡过程。通常把电路中电源的接 入或断开，以及元件参数或电路结构的突然改变，统称为 “换路”。下面以图4.2-1(a)所示的动态电路为例来说明过 渡过程的概念。
第4章 动态电路的时域分析
4.1 电容元件和电感元件
4.1.1 电容元件 1. 电容元件的定义 电容元件是从实际电容器中抽象出来的理想化模型。实
04 第4章 动态电路时域分析 学习指导及习题解答
第4章动态电路的时域分析学习指导与题解一、基本要求1．明确过渡过程的含义，电路中发生过渡过程的原因及其实。
2．熟练掌握换路定律及电路中电压和电流初始值的计算。
3．能熟练地运用经典分析RC和RL电路接通或断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。
明确RC和RL电路放电和充电时的物理过程与过渡过程中电压电流随时间的规律。
4．明确时间常数、零输入与零状态、暂态与稳态、自由分量与强制分量的概念，电路过渡过程中的暂态响应与稳态响应。
5．熟练掌握直流激励RC和RL一阶电路过渡过程分析的三要素法。
能分析含受控源一阶电路的过渡过程。
6．明确叠加定理在电路过渡过程分析中的应用，完全响应中零输入响应与零状态响应的分解方式。
掌握阶跃函数和RC，RL电路阶跃响应的计算。
7．明确RLC电路发生过渡过程的物理过程，掌握RLC串联二阶电路固有频率的计算和固有响应与固有频率的关系，以及振荡与非振荡的概念。
会建立RLC二阶电路描述过渡过程特性的微分方程。
明确初始条件与电路初始状态的关系和微分方程的解法。
会计算RLC 串联二阶电路在断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。
了解它在接通直流电源时电压和电流的计算方法。
二、学习指导电路中过渡过程的分析，是本课程的重要内容。
教学内容可分如下四部分：1．过渡过程的概念；2．换路定律；3．典型电路中的过渡过程，包括RC和RL一阶电路和RLC串联二阶电路过渡过程的分析；4．叠加定理在电路过渡过程分析中的应用。
着重讨论电路过渡过程的概念，换路定律，RC和RL一阶电路过渡过程中暂态响应与稳态响应和时间常数的概念，计算一阶电路过渡过程的三要素法，完全响应是的零输入响应和零状态响应，阶跃响应，以及RLC串联二阶电路过渡过程的分析方法。
现就教学内容中的几个问题分述如下。
（一） 关于过渡过程的概念与换路定律1． 关于过渡过程的概念电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态所经历的过程，称为过渡过程。
电路过渡过程中的电压和电流，是随时间从初始值按一定的规律过渡到最终的稳态值。
(电路理论)第八章-线性动态电路的时域分析
运算放大器使用注意事项
在使用运算放大器时，应注意其输入、输出范围以及共模抑制比等参数，避免信号失真或误差过大。
复杂电路时域响应求解技巧
初始值计算 列写微分方程 求解微分方程 分析响应特性 根据电路初始状态，计算各元件的初始值，如电容电压、电感电流等。 根据电路元件的伏安关系，列写电路的时域微分方程。 利用数学方法求解微分方程，得到电路的时域响应表达式。 根据时域响应表达式，分析电路的响应特性，如稳态值、时间常数等。
实验结果与仿真结果对比分析
观察实验测得的波形与仿真软件得到的波形是否一致，分析可能存在的误差原因。
对比实验波形与仿真波形
将实验测量得到的数据与仿真软件计算得到的数据进行对比，分析数据的准确性和可靠性。
对比实验数据与仿真数据
根据实验结果与仿真结果的对比情况，评估所建立的仿真模型的准确性，为后续的优化和改进提供依据。
初始条件与动态元件
第一章
初始条件概念及确定方法
在电路发生换路或动态过程开始的瞬间，电路中各独立电源及储能元件已存在的状态。 初始条件定义 通过电路换路前的稳态或上一状态的电路分析，利用基尔霍夫定律和元件的电压、电流关系来确定。 确定方法
动态元件特性与分类
在电路中，其电压或电流会随时间发生变化的元件，如电容、电感等。 电容元件的电压不能突变，其电流取决于电压的变化率。 电感元件的电流不能突变，其电压取决于电流的变化率。 根据动态元件在电路中的作用和特性，可将其分为储能元件和换能元件。 动态元件定义 电容元件特性 电感元件特性 分类
观察电路响应曲线随时间的变化趋势，若响应逐渐趋于稳定值，则系统稳定；若响应持续发散或振荡，则系统不稳定。
电路基础与实践 第4版 第3章 动态电路的时域分析
第3章动态电路的时域分析
1.线性电容
i
线性电容极板上储存的电荷量和其端电压成正比：
q C
+
C
u
u－
C为电容量，单位：法拉（F）；常用单位：μF、pF
2.电容元件的电压电流关系（关联参考方向）
i dq C du dt dt
（电容元件的VCR）
u 1
t
i dt u(0)
开关闭合后：I=0,Uc=10V,新的 稳定状态
是否S闭合，UC就立即由0V升至10V呢
闭合前：
WC
1 CU 2 2
0
闭合后：
WC
1 CU 2 1 1102 50(J )
2
2
？
电路基础与实践
第3章动态电路的时域分析
闭合前：
WC
1 CU 2 2
0(J )
闭合后：
WC
1 CU 2 2
1 1102 2
1
t
i dt
C0
C0
u(0) — t = 0 时电压u的值，若u(0) = 0
电路基础与实践
3.电容元件储存的能量
第3章动态电路的时域分析
（关联参考方向）
电容 C 在任一瞬间吸收的功率：
p u i u C du P > 0 吸收能量 dt P < 0 释放能量
电容 C 在 dt 时间内吸收的能量：
3)熟练掌握三要素法求解一
析。 4)能够按照要求搭建动态电路，
阶电路。
会对电路进行测量、对测量数据
4)了解阶跃函数和阶跃响应。 进行分析处理，并形成报告。
2024年8月31日11时50分
5)会对动态电路进行仿真。
电路分析(第六版)动态电路的时域分析
动态电路的时域分析
图7.14 题7.2 3图
动态电路的时域分析
图7.15 题7.2 4图
动态电路的时域分析
7.3 一阶电路的零状态响应
零状态响应是指当电路初始状态为零时,由外加激励产 生的响应。外加激励可为直流 电源(电压或电流),也可为交 流电源。
动态电路的时域分析
7.3.1 RC 电路的零状态响应 如图7.16所示RC 串联电路,开关S闭合前uC(0- )=0,t=0
动态电路的时域分析
图7.18 RL 电路的零状态响应
动态电路的时域分析 根据图7.18中S闭合后的电路,依 KVL,有
式(7－17)也是一常系数一阶线性非齐次微分方程,它的解同 样由其特解icp和相应的齐次 方程的通解ich组成,即
动态电路的时域分析
动态电路的时域分析
动态电路的时域分析
图7.19 RL 电路零状态响应曲线
动态电路的时域分析 例 7.1 图7.2(a)所 示 电 路 中,已 知 US =18 V,R1 =1Ω,R2
=2Ω,R3 =3Ω, L=0.5H,C=4.7μF,t=0时,S闭合,设S闭合前电路已 处稳态。求i1(0+ )、i2(0+ )、 i3(0+ )、uL(0+ )、uC(0+ )。
图 7.2 例 7.1 图
L 相当于短路,此时电感电流 为iL(0- )=US/RS=Io。开关动作后
的初始时刻t=0+ 时,根据换路定律,有iL(0+ )=Io。
这时电感中的初始储能
将逐渐被电阻消耗直至殆
尽,电流为零,电感的消磁过程 便结束。下面通过数学分析,找
出电感电流和电压的变化规律。
动态电路的时域分析
动态电路的时域分析 第一节 换路及其初始条件一、电路的两种工作状态（稳态、动态） 1、稳态电路： （1）定义当电路在直流电源的作用下，各条支路的响应也是直流；当电路在正弦交流电源的作用下，各条支路的响应也是正弦交流，这种类型的电路称为稳态电路。
（2）特征：稳态电路中不存在换路现象，描述稳态电路的方程是代数方程。
2、动态电路： （1）定义当电路中含有储能元件或称动态元件（如电容或电感），电路中的开关在打开或闭合的过程中参数发生变化时，可使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态。
电路从一种稳态到达另一种稳态的中间过程称为动态过程或过渡过程。
过渡过程中的电路称为动态电路。
（2）待征：动态电路中存在动态元件且有换路现象，描述动态电路的方程是微分方程。
一阶电路：能够用一阶微分方程描述的电路； 二阶电路：能够用二阶微分方程描述的电路； n 阶电路：能够用n 阶微分方程描述的电路。
（3）存在原因：1）含有动态元件电感或电容 ::di L u L dtdu C i Cdt ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2）存在换路：电路结构或参数发生变化 二、换路 1、定义：电路中含有储能元件，且电路中开关的突然接通或断开、元件参数的变化、激励形式的改变等引起的电路变化统称为“换路”。
（1）换路是在0t =时刻进行的（2）换路前一瞬间定义为：0t -=；换路后一瞬间定义为：0t +=； （3）换路后达到新的稳态表示为：t =∞。
2、换路定律：在换路时电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容电压和电感电流不能跃变。
即：(0)(0),(0)(0)c c L L u u i i +-+-==。
注意：00()()C C i t i t +-≠，00()()L L u t u t +-≠，00()()R R i t i t +-≠，00()()R R t u t +-≠ 三、独立初始条件 1、定义：一个动态电路的电容电压(0)C u +和电感电流(0)L i +称为独立初始条件，其余的称为非独立初始条件，非独立初始条件需通过已知的独立初始条件来求得。
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越大，充电时间越长；反之，充电时间越短。
1 u （ 1 e ）US 0.632US ，即电容电压增至稳 当时 t ， C
态值的0.632倍。当时，电容电压增至稳态值的0.95 0.997倍，
通常认为此时电路已进入稳态。
uC t 时 的稳态值可记
为
uC ( ) 3-12可写为 ，式
uC U 0 e
t RC
（3-6）
电容上的电流为
t duC U 0 RC iC C e dt R
（3-7）
零输入响应时，电容上的电流、电压曲线如图3-5所示。时间 常数 的大小直接影响及的衰减快慢。 越大，衰减的越慢， 暂态时间就越长。 RC称为时间常数，以 表示，单位为秒（s），即
由于 U S 是 iL 的稳态值，同样可记为 iL ( )，故式（3-15）中 R 的可表示为
iL iL ()(1 e
R t L
) iL ()(1 e ) （3-16）
t
电感上的零状态响应电流、电压曲线如图3-13所示。 iC（uC） US US/R iL
电流不能跃变，这一规律称为换路定则。那么换路定则可以
表示为
uC (0 ) uC (0 ) iL (0 ) iL (0 )
（3-5）
换路定则是分析电路暂态过程的一个重要依据。可根据
定则来确定换路瞬间电路的电压和电流值，即暂态过程的初 始值。
求初始值的一般步骤：
（1）由换路前电路（稳态）求和； （2）由换路定则得和； （3）画出时的等效电路：相当于电压源；相当于电流源； 电压源或电流源的方向与原电路假定的电容电压、电感电流 的参考方向相同。由此时的等效电路进而求得其他元件的初 始值。
uR uL 0
将 uR RiL ，uL L
diL 代入上式可得 dt
L diL iL 0 R dt
当电路的初始值 iL (0 ) I 0 时，电感上的响应电流为
iL I 0e
电感上的响应电压为
R t L
US e R
R t L
（3-9）
（3-10）
diL uL L I 0 Re dt
电感器件的电路图形符号。
C
（a） 图3-2 电容元件及其图形符号
（b）
电容就是用来衡量电容器储存电荷多少的物理量，以C 表示，其定义式为
q C u
电容的单位为法拉(F)。此外，常用单位还有微法( μF )、 皮法( pF )等，它们之间的换算关系为
1F 106 F=1012 pF
2. 电容元件的特性 在关联参考方向下，电容两端的电压与电流的关系为
动态电路时域分析
学习目标
1. 理解动态元件（电感元件、电容元件） 性质、作用； 2. 掌握换路概念、换路定则和三要素法 分析一阶线性电路的方法； 3. 能运用换路定则分析一阶动态线性电 路变化规律及应用。
课题一 动态元件与换路
在含有电容、电感等储能元件的电路中，能量的积累和 释放都需要一定的时间。储能不可能跃变，需要有一个过渡 过程。 描述动态电路的数学模型通常是线性常微分方程。如果 电路方程是一阶微分方程，则相应的电路就称为一阶电路。
du iC =C dt
（3-3）
当电容两端加电压时，便产生了电场，电场能的大小为
wC 0
t
1 2 pdt C u du Cu （3-4） 0 2
u
理想电容元件能实现电场能和电能进行相互转换，是一种储 能元件，且能量的储存和释放是可逆的。
1.3换路定则与初始值 在换路的瞬间，电容元件的电压不能跃变；电感元件的
RC=20 10 1000 10 =2 10 s
3 -12 -5
uC (t ) U0e
t
40e
t 2105
40e
5104 t
V
uC (t ) 40e i(t ) R 40
5104 t
e
5104 t
mA
将 t 20s 20 105 s 分别代入uC (t )，i ( t ) ，得
的电压
uC (0 ) U 100V
t 0 时的等效电路如图3-3（b）所示，根据换路定
则得
uC (0 ) uC (0 ) 100V
根据KVL得
uR2 (0 ) uC (0 ) 0
所以
uR2 (0 ) uC (0 ) 100V
iR2 (0 ) uR2 (0 ) R2 100 1A 100
L R
R为换路后的电路对于储能元件C或L两端的戴维南等效电阻。
2. 一阶电路的零状态响应 一阶电路的零状态响应是指电路换路瞬间储能元件中的初始 储能为零，电路中仅有因外加电源作用而产生的响应。 （1） RC电路的零状态响应
RC电路的零状态响应，是指电容的充电过程。图3-9所示，
开关S原处于断开状态，电容的初始状态为零，即 。 t0 在 时开关S闭合，电路接通直流电源，电源将向电容 充电。根据KVL，可得
过程。
1 + US -
S 2
R
i + C uC
i R uR
V UO
S
C
uC(0)
（a）电路图
（b）换路瞬间等效电路
图3-4 RC电路的零输入响应
根据KVL，可得
uR uC 0
duC 将uR iRC，iC C 代入上式得 dt
RC
duC uC 0 dt
当电路的初始值 uC (0 ) uC (0 ) U0 时，电容上 的响应电压为
uC (t ) 10(1 e100t ) 5 100t i(t ) A (1 e )mA 3 3 6 10 6 10 3
（2）RL电路的零状态响应
iL (0 ) 0A ， t 0 时开关S闭合，根据KVL，得 如图3-12，
uR uL US
将 uR RiL
t RC
)（ t 0）
（3-12）
t duC U S RC （ t 0 ）（3-13） iC C e dt R
零状态响应时，电容上的响应电流、电压曲线如图3-10所示。
iC（uC） US
US R
uC
iC 0
图3-10 电容上的响应电流、电压曲线
t
由上述分析可知：电容元件接通电源后的充电过程中，电压从零值按指数 规律上升并趋于稳态值；电路中的电流也是从零跃变到最大值后按指数规 律衰减趋于零值。
稳态， US 100V，R1 60，R2 40 ，R 20KΩ，C 1000pF 。试求S由位置1转接到位置2经过20 s 时的电压和电流i各为 多少？
R1 US R2
1 S 2 C uC
i R
图3-6 例3.2图
解：
US 100 uC (0 ) uC (0 ) R2 40V=40V R1 R2 60 40
R t L
L -RL电路的时间常数，单位是秒（s）。 R
它的大小同样反映了RL电路衰减快慢程度。
电感上零输入响应时的电流、电压的曲线如图3-8所示。
iL(uL)
iL(0+)
uR R Is
0.368I0 0
iL τ uL t
uL
I0R
图3-7 RL电路
图3-8 电感上零输入响应电流、电压的曲线
iC (0 ) iR2 (0 ) 1A
对 R1 则有
iR1 (0 ) 0A
uR1 (0 ) 0V
拓展视野 一阶电路的响应
1．一阶电路的零输入响应 一阶线性电路中，若仅有储能元件的初始储能所激 发的响应，称为一阶电路的零输入响应。 （1） RC电路的零输入响应 在图3-4所示的电路中，开关S在位置1时，电源对电容C 充电且已达到稳态，此时的电容电压 uC (0 ) U0 。若在时 把开关S从位置1扳到位置2，电路输入信号为零，进入过渡
uC (t ) u（ ） (1 e ) C
t
（3-14）
【例3.3】图3-11所示，已知uC (0 ) 0V ， t 0 时开关S闭 合。求
t 0时的 uC (t ) 、 iC (t )及 i ( t )。
3KΩ
i
6KΩ
iC uC
图3-11 例3.3图
解： 因为 uC (0 ) 0V ，故有
uC (t ) 40e
i(t ) e
5104 t
5104 2105
40e1 14.7V
e 0.37mA
1
e
5104 2105
（2） RL电路的零输入响应
RL电路的零输入响应是指电感元件放电过程。图3-7所示电 路中，开关S闭合前电路已经达到稳态。若在时开关S闭合， 电路的初始值 iL (0 ) I 0 。根据KVL，得：
RC
（3-8）
将式3-8代入式3-6、3-7，可表示为
t u U e 0 C t iC U 0 e R
iC（uC） U0 0.368US 0 uC t iC iC(0+) 图3-5 RC电路的零输入响应波形
τ
【例3.2】如图3-6所示，已知开关S原处于位置1，电路达到
【例3.1】 如图3-3（a）所示电路中，
U 100，R1 60，R2 100 ，开关S原处于位置1，电
路达到稳态。试求S由位置1转接到位置2时，电路中的 R1、R2和C
电压和电流的初始值。
（a）换路前电路
（b）换路后等效电路 图3-3 例3.1图
解： 选定有关电压和电流的参考方向如图3-3所示。由于电 容在直流稳定状态下相当于开路，所以首先求换路前电容